Dada la función

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL SEGUNDO EXAMEN FINAL 1221

8 de junio de 2016 Semestre 2016-2

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es 2 horas.

1. Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencias.

 

1

2 1 ⁿ

n

x n







15 Puntos

2. Dada la función

^{f x}   ^{  2 x}

  ^{0 , 2}

c

 

f c

15 Puntos

3. Efectuar:

₃ 3

1

16 4 cos x

a) dx b ) dx

x x  x

 

20 Puntos

2EFA16-2 4. Calcular el área de la región limitada por las curvas

3 2

1 : 4 2 : 8

C y  x C y  x

15 Puntos

5. Verificar que la función

^u  ^{x y ,}  ^ e

^{cos y } e

^{cos x}

satisface la ecuación en derivadas parciales

0

xx yy

u  u 

15 Puntos

6. Determinar la máxima razón de cambio de

^f  ^{x y ,}  ^{ x e}

^{ 3 y}

en el punto

^P  ^{1, 0} 

20 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SOLUCIÓN DEL SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO 1221

8 de junio de 2016 Semestre 2016-2

1. El límite de la razón de D´Alembert quedará

 

 

 

1

1

1

2 1

lim 1 1

2 1

2 1 lim 1

1

2 1 1 , 1 2 1 1 , 0 2 2 , 0 1

Para los extremos:

x = 0 : 1 serie armónica de signos alternados, es convergente

x = 1 : 1 serie armónica de mismos signos

n

n n

n

n

n

n

x n x

n x n

n

x x x x

n n

















 



 

      

         

 

 , es divergente

Finalmente, el intervalo de convergencia es 0   x 1

15 Puntos

2.

 

 

2 2

0 0

Valor promedio = ( )

8 4

2 2 4

3 3 3

b

a

f x dx

f c b a

x dx x x



 

      

 



 

 

2 2

4

4 2

3

2 6 3

2 2 4

2 ; 2

3 3 3

2 0 , 2

3

prom

prom

V

V f c c c

c c

  

      

 

15 Puntos

3. a) Por partes

2

2

2

1

1 1

cos

1 1 1

1 1 1

cos

u du dx

x x

dv dx v sen

x x x

I sen sen dx

x x x x

I sen c

x x x

  

   

      

 

 

 

   

        

    

   

        

   



b) Por fracciones parciales

   

 

2 2

2 2

16

4 4

16 4

0 1

4 16 20

4 0

A Bx C

x x x x

A x Bx Cx

si x si x

A B C

B C

  

 

    

 

   

    

   

2

2

4 4

4 4 ln 2 ln 4

I x dx

x x

I x x c

 

      

   



20 Puntos

4.

 

 

3 2

2

2 3

0

2

3 4

0

Para las intersecciones:

4 8

0 2

Entonces

8 4

8 8

8 16

3 3

64 48

3 16

3

x x

x x

A x x dx

A x x

A

A unidades de área



 

 

 

     

 

 





15 Puntos 5. Sean las derivadas indicadas

x y

x y

x y

x y

x xx y yy

cos y x

cos y x

y x

cos y x

u sen

u cos

u sen cos

u cos

e e

e e

e e

e e

 

 

 

 









 



 

 

0 Sustituyendo en la ecuación en derivadas parciales:

0 0

x y x y

cos y cos x cos y cos x

se verifica

e

 e

 e

 e



 

15 Puntos 6.

 

 

La máxima razón de cambio es

3

2 1 0 5

y y

p

x y

p

f f f i f j

f i x j

f i j f ,

e

e



  

    

     

20 Puntos