F u n c io n e s trig o n o m é t r ic a s

7. f { x ) = x 2 + x - 6 11. f ( x ) = 3x2 - 2 9 x + 4 0 15. / ( * ) = 2 4 x + 2 x 2 - x 3 8. f ( x ) = J x 2 - 16 12. / ( , ) = ( , + ? ) ( , - 3 ) 16. / ( * ) = 3*3 + 12*2 - 9 6x 9. / (x) = - (n/x2 - 1 6 ) 13. f { x ) = x 2 - 2 * - 3 5 17. f ( x ) = 7 0 x - 3 2 x 2 - 6 x 3 r-1 ? II o 14. / ( x ) = 2*3 - 3 x 2 - 3 2 x - 1 5 18. f ( x ) = 2 x 3 - 1 2 x 2 - 3 2 x

Obtén el dom inio y la imagen de las siguientes funciones.

1. / ( * ) = l o g ( 7 * + 4 ) 6. / ( * ) = 6 11. / ( * ) = 2 1 n (3 * -2 ) 2. / ( ^ ) =jc2 + 8x + 16 7. f ( x ) - ' í * + Í } 5x + 4 12. 3- / ( * K * + 2 8. f ( x ) = yl x2 - 9 13. 4. / ( * ) = >/3* + l 9. f ( x ) = J 9 - x 2 14. / ( * ) = 3 1 o g ( 9 - x 2) X 1 II «n _{10. / ( x ) = 2 1 o g (3 x -2 ) 15. / ( * ) = - 3x + l}

F u n c io n e s t r i g o n o m é t r i c a s

Marcos estudia Ingeniería en electrónica, y se encuentra con el tema de la corriente alterna. Su maestro le explica que este tipo de corriente tiene una forma senoidal porque de esta manera la transmisión de la energía es más eficiente. ¿Podrías explicarle a Marcos qué significa esto?

Otra aplicación de las funciones trigonométricas es determinar distancias y ángulos de figuras geométricas, com o en el siguiente caso: Luis ha comprado una casa y quiere asegurarse de que las condiciones del tinaco sean óptimas, pero requiere subir a la azotea y para ello debe pasar una es­ calera po r un pasillo en forma de “ L” . ¿Cuáles deben ser las dimensiones máximas de la escalera para que pueda pasar por dicho pasillo?

Las fruiciones trigonométricas son el conjunto de funciones que se definen con base en un triángulo rectángulo, o bien, de acuerdo con un círculo unitario, como se muestra en la figura 2.6.

O tra m anera de visualizar las funciones trigonom étricas

Las funciones trigonométricas son las razones de cambio que sufre una línea recta, cuyo largo siempre es igual a 1 cuando, dentro de un círculo unitario, se forma un triángulo rectángulo imaginario en el que delta y representa nuestro cateto opuesto, delta x el cateto adyacente y una línea recta (radio) forma la hipotenusa del triángulo. En otras palabras, si visualizamos el cambio de los catetos com o el cambio entre delta y y delta x, podemos en­ tender m ejor el cambio de la función trigonométrica (o pendiente m en nuestro caso) y así saber qué sucede con las respectivas funciones trigonométricas.

Fig ura 2.6

Si tenemos que lo m áximo que puede medir cada cateto es 1, dado que hablamos de un círculo unitario, y que las funciones trigonométricasestán definidas como

o í y y sen -h C S C s¡*2 + y 2 [mx + b) a 1 X x h sec (rnx+ b) tan = o sen i y a eos cot X cot = a _ o eos _ sen

_L

donde “o” es el cateto opuesto, “a ” el cateto adyacente y uh”la hipotensa, entonces el seno será 1 a los 90°, ya que tanto la hipotenusa com o el cateto opuesto tendrán radio 1; por el contrario, la función coseno será 1 a los 0o ya que tanto el cateto adyacente como la hipotenusa poseerán la longitud del radio. Procesos similares sucederán con el resto de las funciones.

No t a: D onde los catetos ten g an la m ism a longitud, el valo r de las funciones trigonom étricas será igual.

E J E M P L O

sen (45) = eos (45)

La figura 2.7 presenta el resto de los cambios que sufre el triángulo rectángulo en los diferen­ tes cuadrantes.

Figura 2.7

Ahora se pueden introducir los cambios que sufre k alrededor del círculo.

Gráficas, dominio e imagen de las funciones trigonométricas

La gráfica de la función seno (gráfica 2.25) siempre cruza el origen. Su dominio es (-°°,°°) y su imagen está dada po r [ U ]

-Si existe una constante dentro de la función seno, afectará la frecuencia de la misma; si es mayor que un entero aumentará la frecuencia de la función, y si es menor la disminuirá (vea las gráficas 2.26 y 2.27). Por otra parte, si la constante se encuentra afuera de la función afectará la imagen de la misma, aumentándola si es mayor que 1 y disminuyéndola si es menor que 1. Este principio también es válido para la función cos(x).

E J E M P L O

La gráfica de la función coseno (gráfica 2.28) siempre toca el punto (0,1) si es positiva, pero si es negativa su gráfica está en espejo con respecto al eje x y tocará el punto (0,-1). Su dominio es (-«o,©®) y su imagen está dada por [ —1,l]. Igual que en la función seno, su frecuencia y su amplitud se modifican si existen constantes dentro o fuera de la función, respectivamente (gráfi­ cas 2.29 y 2.30).

Gráfica 2.28 Fundón cos(x)

y 2 -i 1 1 1 1 1 i 1 1 I I > I I I I I » i i i i i i i i ^ 8 - 7 - 6 - 5 . - 4 - 3 - 2 - 1 t~ > ♦ t T T 1 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 -G ráfica 2.29 cos(O.Sx) 2- 1-I I I l i l i i i i -3 -2 -1 -1-1 -1-1 X 1 2 3 4 -2- -3-Gráfica 2.30 -2cos(x)

Luego tenemos las funciones tan(jc) (gráfica 2.31) y cot(jc). La gráfica de la función tan(x), al igual que la función seno, cruza el origen y su forma se asemeja a una “ S” alargada. Su dominio

Al igual que las funciones seno y coseno, su frecuencia se afecta por una constante dentro de la función, y el algarmiento de la “ S” (amplitud) varía si la constante se encuentra fuera de la fun­ ción (vea las gráficas 2.32 y 2.33). De hecho, este principio es válido para el resto de las funciones trigonométricas.

La siguiente función corresponde a la gráfica de cotangente. Si observamos las funciones anteriores podemos deducir que:

1. La gráfica de la función cotangente será similar a la gráfica de la función tangente. 2. Estará desplazada con respecto a la función tangente y no tocará el origen.

3. Estará en espejo respecto de la tangente.

Si afectamos el interior o el exterior de la función, obtendremos el mismo resultado que en la función tangente al modificar la frecuencia o amplitud de la misma. El dominio y la imagen de la función están dados por e R \x * 0 ,± n y + 2;r,...} y (-oo,°°) respectivamente.

Así llegamos a las dos últimas funciones: secante (gráfica 2.35) y cosecante (gráfica 2.36). Ambas semejan parábolas, es decir, tienen forma de “I T .

La gráfica, el dom inio y la imagen de la cosecante son e R \x 0, ± n , ± 2;r,...} y u [l,oo) respectivamente. La gráfica no cruza el origen.

4 3 2 + 1 -5 -4 -3 -2 -1 - 1 - 2 + - 3 - 4 1 2 3 4 5 * G ráfica 2.36 Fundón csc(x)

La imagen de ambas funciones es afectada por una constante fuera de la función y la frecuen­ cia se altera si ésta se encuentra dentro de la función.

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 G ráfica 2.37 3csc(x) -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 2 --3 -4 Gráfica 2.38 csc(6x) E n resumen

1. Las funciones seno y coseno tienen forma de ondas.

2. Las funciones tangente y cotagente tienen forma de “S” alargadas. 3. Las funciones secante y cosecante tienen forma de “ U” (parábolas).

4. Una constante dentro de cualquiera de las seis funciones trigonométricas afectará su fre­ cuencia.

5. Una constante fuera de la función trigonométrica modificará su amplitud e imagen (excepto para la tangente y la cotangente).

6. Las funciones seno y tangente cruzan el origen.

7. Las funciones coseno, cotangente, secante y cosecante N O cruzan el origen. 8. Las funciones coseno y secante tocan el punto (0,1).

9. Las funciones cotangente y cosecante están a los lados del eje y pero no lo tocan.

10. Si tomamos las funciones seno, tangente y secante com o bases, las gráficas de sus contra­ partes (coseno, cotangente, cosecante) son iguales; solamente están desplazadas, y en espejo las funciones tangente y cotangente.

A C TIV ID A D D E TR A B A JO 2.4

Con base en la teoría, determina cóm o serán el dom inio y la imagen de las funciones trigonométricas, y bosqueja la gráfica de la función.

1. f ( x ) = scn(5x) 2. / ( * ) = t a n ( 6 x ) 3. f ( x ) = cot(3*) 4. / ( * ) = -3 co s(2 * ) 5. / ( * ) = 3csc(3*) 6. / ( * ) = - 2 sen (*) 7. / ( * ) = -4 c o s (* ) 8. / ( * ) = ^ s e n (3 x ) 9. / ( x ) = 2 s e c ( x )

F u n c io n e s e x p o n e n c ia le s

Este tipo de funciones son particularmente importantes en la vida diaria pues representan el incre­ mento poblacional de los seres vivos.

El papá de Juan tiene una pequeña granja y compra, entre otros animales, una pequeña pareja de conejos. Sabe que los conejos se reproducen muy rápido y le preocupa la cantidad de conejos que po­ dría tener ya que la cantidad de alimento y de espacio que dispone es limitado. ¿Podrías determinar la población de conejos en un momento deteiminado? Como se ha dicho, el crecimiento de la población efe conejos se ajusta a una función exponencial, similar a la que se presenta en el problema 2 27.

Una función exponencial (gráfica 2.39) se define de manera general como: y = a x, donde a es la base de la función y es una constante positiva.

Las funciones exponenciales más utilizadas son:

a) y = 10*, función exponencial de base 10.

b) y = e x función exponencial de base e. (e es la constante del logaritmo Neperiano. Vea la