Capítulo 2
REPASO DE NÚMEROS - NÚMEROS REALES
Este módulo tiene por objeto recordar y clarificar las propiedades de las operaciones en los conjuntos numéricos que se consideran imprescindibles para seguir adelante.
Al finalizar el mismo el alumno debe ser capaz de: a) Identificar los distintos tipos de números
b) Aplicar correctamente las propiedades de las operaciones.
Comencemos…
NÚMEROS NATURALES: (N)
Este conjunto de números, que es de cardinal infinito, aparece como su nombre lo indica en forma natural, más precisamente cuando el hombre necesitó contar objetos, por ejemplo: Los días de la semana son 7
Este conjunto, simbolizado con la letra N, tiene como elementos
N=
{
0,1, 2,...., 20, 21,....152,153,... y esta sucesión continúa indefinidamente.}
Con los naturales también se pueden expresar ordenamientos, por ejemplo: Si se ordenan los planetas a partir del sol, la Tierra es el tercero y Marte es el cuarto.
Además dadas dos colecciones de objetos se pueden comparar sus cantidades “La tierra tiene menos satélites que Júpiter”
Surgen las siguientes preguntas:
¿N tiene primer elemento? , ¿Cuál es? ¿Tiene último elemento?
Consideremos las dos operaciones fundamentales en N, suma y producto, y veamos sus propiedades:
1) La suma de dos números naturales es un número natural
2) El 0 es tal que sumado con cualquier otro número no lo modifica
3) Si se consideran 3 números naturales la suma de los dos primeros mas el tercero resulta igual que si al primero se le suma la suma de los otros dos
4) La suma de números naturales es conmutativa
Ejercicios
1) Expresar simbólicamente las 4 propiedades anteriormente enunciadas
2) Enunciar las propiedades del producto de números naturales, en lenguaje corriente y simbólicamente
3) ¿Cuál es la propiedad que enlaza la suma y el producto de naturales? Definirla
Orden Usual
Dados a y b ε N se cumple : a < b , a > b ó a = b
NÚMEROS ENTEROS :(Z)
En Nla resta sólo está definida si el minuendo es mayor o igual al sustraendo. Para que dicha operación no sea tan restringida se creó el conjunto de enteros negativos (notado por - N)
Para ello para cada n ε N se introduce el opuesto de n, notado - n tal que
n + (-n) = 0
Entonces
Z=N U (-N)Los números negativos se consideran menores que 0 en el orden usual de los enteros. A los naturales se los llama enteros positivos, siendo mayores o iguales que 0
Importante
Cuando un número se simboliza con letras, por ejemplo a, la presencia de un signo - ante el mismo no significa que –a es negativo sino que es el opuesto de a
Ejercicios
1) Enunciar las propiedades de la suma y el producto de números enteros 2) Hallar todos los números invertibles de Z
Regla de los signos
Es POSITIVO el producto de dos enteros positivos o negativos.
Es NEGATIVO el producto de un positivo y un negativo (En cualquier orden) (+).(+) = + (+).(-) = -
(-) .(-) = + (-) .(+) = -
Ley de Monotonía
Si a, b y c ∈ Z y a≤ ⇒ + ≤ +b a c b c
Ejercicio:
Probar la ley de Monotonía, justificando claramente los pasos seguidos
Números Pares e Impares
Dentro del conjunto de los enteros se distinguen dos subconjuntos cuya unión componen a Z, ellos son el conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares.
DEFINICIÓN:
Un número entero n es par si y sólo si existe un entero k tal que n = 2k
DEFINICIÓN
Un número entero n es impar si y sólo si es el siguiente de un número par. Por lo tanto si n es impar se cumple que n = 2k + 1, con k ∈Z
Divisibilidad
Sean a, b ∈Z
Decimos que b divide a a si existe un entero k tal que a = k b
Ejercicios
1) Hallar los divisores del 0.
2) Justificando claramente cada paso probar que a b+ = + ⇒ =a c b c
3) Ídem 2) 0
a b+ = ⇒ = − b a
Otro concepto importante en la teoría de Enteros es el de Número Primo
DEFINICIÓN
Un número entero se dice primo si tiene exactamente 4 divisores: La unidad, el propio número y sus respectivos opuestos.
Ejercicios
1) Sea A=
{
0,1, 2,3, 4,5,6,7,8,9}
Hallar los elementos primos de A. Justificar.
2) Si un número es primo ¿Qué se puede decir de su opuesto? 3) Hallar la descomposición en primos del número 340
NÚMEROS RACIONALES :(Q)
La operación de dividir no es siempre posible en el conjunto Z de los números enteros. Veamos:
Puede efectuarse 12: 4 pues existe un entero, en este caso el entero 3, tal que 4. 3 = 12. No ocurre lo mismo con 4: 12 ó - 3: 7, por lo tanto esta imposibilidad nos conduce a ampliar a Z definiendo un conjunto en el que la división sea realizable en dicho conjunto. Vamos a definir ahora formalmente este nuevo conjunto que se denomina conjunto de los
números racionales y se simboliza con la letra Q.
Q = { m/n , m, n ε Z y n ≠0}
Los números racionales pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse y el resultado es un número racional.
En Q se definen la suma y el producto de forma que las propiedades de estas operaciones se conservan: Dados: c a y se define la suma d . y el producto . . a c ad bc b b a c a c b d b d d bd + ∈ + = = Se dice que y c d a
b son equivalentes si y sólo si ad = bc.
Ejemplos 9 3 − es equivalente a -3 3 1 6 , , 12 4 24 − − Son equivalentes. 4
Una operación entre racionales no se modifica si reemplazamos uno de ellos por otro que sea equivalente.
La suma tiene las siguientes propiedades a) Ley de cierre
b) Asociativa c) Conmutativa
d) Existencia del neutro e) Existencia del opuesto.
El producto tiene las siguientes propiedades a) Ley de cierre
b) Asociativa c) Conmutativa
d) Existencia del neutro
e) Existencia del inverso para todo elemento no nulo
Y por supuesto que existe una propiedad que enlaza las dos leyes de composiciones internas y es la propiedad distributiva.
Ejercicio
1) Enunciar cada una de las propiedades anteriores simbólicamente. 2) Hallar el error en el siguiente cálculo:
18 12 4 6 3 3 + = + pués 12 18 12 18 3 3 + = + . Entonces 4 - 12 6 18 3 = − 3 y luego 6 6 2(2 ) 3(2 ) 2 3 3 − = − ⇒ = 3 Orden en Q Dados a c b∧d ∈ se dice: a
b es menor o igual que c
d y se anota
a c
b ≤d si y sólo si ad ≤ bc
a
b es mayor o igual que c
d y se anota
a c
b ≥d si y sólo si ad ≥ bc
Ejercicios
1) Ordenar de menor a mayor 12,3, , 1,2 3 3 5 6, , ,
6 5 2 2 7
− − −
4 2) Sea - 4 < m < 2
a) Hallar m ε Z tal que se cumpla lo anterior b) Ídem si m ε Q
3) Probar que entre dos números racionales distintos, hay otro racional.
NÚMEROS IRRACIONALES: (I)
Si un número no es decimal exacto no decimal periódico, no representa a un número racional .Este tipo de números se llaman irracionales, o sea, son aquellos que no pueden expresarse como cociente de dos enteros m
n con n ≠ 0
Entre los más conocidos figuran 2 , 3 , π .
NÚMEROS REALES :( R)
Se llaman números reales aquellos números que son racionales o irracionales .Al conjunto de todos ellos lo notaremos con R.
Sobre R definimos dos operaciones: Suma (+) y Producto (.) de la manera usual y una relación < de orden.
Analicemos las propiedades de cada una de ellas. Propiedades de la suma
1) La suma es conmutativa 2) La suma es asociativa.
3) Existe el elemento neutro de la suma 4) Todo número real tiene opuesto
Ejercicios:
1) Escribir simbólicamente las 4 propiedades anteriores.
2) Probar las siguientes igualdades, resaltando las propiedades utilizadas. a) – (-a) = a
b) Si para un a ε R es a + b = b ⇒b = 0 Propiedades de la multiplicación
5) La multiplicación es conmutativa 6) La multiplicación es asociativa
7) Existe el elemento neutro de la multiplicación. 8) Todo número real distinto de cero tiene inverso
Ejercicio
Expresar simbólicamente las propiedades 5) a 8) 9) Propiedad Distributiva Si a, b, c ε R, a. (b+c)= a.b + a.c Ejercicio 1) Probar que si a 0 y a b = a c ≠ ⇒b = c 2) a b = 0 ⇒ a = 0 ó b = 0 3) (-1) a = - a
Resaltar las propiedades utilizadas Propiedades de orden
10) Para todo a ε R , se cumple que: a < 0, a = 0 ó a > 0 11) Si a, b ε R , a > 0, b > 0 ⇒ a b > 0 12) Para todo a, b ε R , si a < b ⇒ a – b < 0 Ejercicios 1) Dados a, b y c ε R .Probar: a) a > b ⇒ a + c > b + c b) a > b y c > 0 ⇒ a c > b c c) a > b y c > 0 ⇒ a c < b c 7
2) Para todo a, b ε R con a > 0 y b > 0, a>b <=> a. a > b. b
Potencia de un número real y exponente entero
Recordemos que si a ε R y n ε N, n ≠ 0, entonces an = a. a. a ...a n-veces - n n 1 a a = Por convención si a ≠ 0, Ya que a .a- n n =an - n =a0 =1.
Y la regla de las potencias de igual base sigue siendo válida. Ahora las recordaremos.
Propiedad de las potencias Sean a, b ε R y n ε Z. n n n n n (a.b) a .b (a:b) a : b = = n
Es decir: La potencia es distributiva respecto al producto y al cociente.
Resulta muy simple sistematizar el producto, cociente y potencia, de potencias de igual base. n m n + m n m n - m n m n.m a .a a a : a a con a 0 (a ) a = = ≠ =
Luego ahora surge la siguiente pregunta, ¿la potencia es distributiva respecto de la suma? La respuesta es NO
Veamos
2 2 2 2 (2 3) 5 25 2 3 4 9 1 + = = + = + = 3 n n ( a + b ) a +b Luego ≠ n Ejercicios
1) En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar propiedades. Indicar dichos errores y corregirlos
a) (2 .2 .2 )2 −3 5 2 =(2 )4 2=216 b) (5 ) : (5 )2 4 −3 2 =5 : 56 −6 =1 c) 4 2 6 4 12 2 2 9 2 18 7 .(7 ) 7 .7 7 ( 7) 4 (7 ) 7 − = = = − = 9 7 14)− +5 =1 10.2 ) : (2 )n+ n+ =1000 d) ( 0 0
2) Aplicando las propiedades de la potencia probar que: a) (3.3n+1+3 ) : (3 )n+2 n+2 3=8 b) ( 1 3 1 3 c) 2 .(2.22−n n+1+2n+2) 32= 3) Calcular a) 2 2 3 2 3 (1 ).( ) 2 3 4 .... 1 2 ( 1) : ( 2) 3 5 − − = − − b) 4 2 3 1 1 : 11 .... 2 27 − ⎡⎛ ⎞ ⎤ − + ⎢⎜⎝ ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = 4) Responder y justificar a)
( )
2 2 2 1 1 25 25 4 a 4 a ⎛ ⎞ < < ⇒⎜ ⎟ < < ⎝ ⎠ b)( ) ( )
2 2 2 1 1 3 3 3 3 a − a ⎛− ⎞ − <− < ⇒ − < − < ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9Radicación DEFINICIÓN:
Sea b ε R y n ε N, n >1, existe un número c tal que cn=b y este número c es llamado la raíz n-ésima de b n n c = b ⇔ c = b Ejemplos
( )
( ) ( )
3 3 2 2 64 4 pues -4 64 36 6 pues 6 6 36 − = − = − = ± = − =Veamos ahora si existe alguna restricción para la radicación en R.
Supongamos que se desea calcular − o sea buscar un número b ε R tal que 9
( )
( ) ( )
2 3 3 2 2 9 9 64 4 pues 4 64 64 8 pues 8 = -8 =64 b= − ⇔b = − = = = ±Tal número no existe pues 2es positivo.
b En consecuencia, si se trabaja en R: existe si a y n es impar ó a 0 y n es par n a ∈ ≥ Entonces:
Si n es impar el resultado es único.
Si n es par y el radicando es positivo el resultado no es único
Ejemplos
( )
( ) ( )
3 3 2 2 64 4 pues 4 64 64 8 pues 8 = -8 =64 = = = ± Propiedades de la radicación 10 . . n n n a b = a b : : n n n a b = a bDados , tales que existen a y b se cumple n n
a b∈
Respecto de la suma y la resta
n n
a b± ≠ a±n b
Analicemos ahora la siguiente pregunta: ¿Es siempre posible simplificar una raíz? Veamos un ejemplo:
( )
( )
( )
2 6 6 2 2 3 6 3.2 8 64 2 8 8 8 − = = ± − = − = − = −2 La respuesta esNO siempre es posible simplificar una raíz: Si la base de la potencia del radicando es negativa vemos que se pierde una solución
¿Qué sucede cuando el índice de la raíz y el exponente son iguales?
Si n es impar 3 3 3 3 3 3 4 64 4 ( 4) 64 4 = = − = − = −
El resultado es la base de la potencia
Si n es par 4 4 4 4 4 4 2 16 2 ( 2) 16 2 = = ± − = = ±
El resultado es la base de la potencia y su opuesto.
Para evitar esta ambigüedad se debe tener en cuenta el valor aritmético de la raíz.
El valor aritmético de la raíz n-ésima de an es:
asi n es impar y a si n es par O sea: Raíz Aritmética: En particular Si n es impar n n a =a Si n es par n n a = a 72 2 a = a 11
Racionalización de denominadores
En muchas cuestiones en que se presentan fracciones cuyo denominador es una expresión
irracional, conviene transformarlas en otras equivalentes de denominador racional.
Esta racionalización se logra siempre, multiplicando numerador y denominador de la fracción por una expresión irracional conveniente.
Sin embargo, es tan complicada la fracción obtenida que sólo en casos muy sencillos tiene utilidad práctica.
Se racionaliza el denominador de toda expresión del tipo
A
a± b ó bien A
a±c multiplicando los dos términos por la expresión conjugada
am b ó bien a cm respectivamente Ejercicios A) Calcular 1) 5. 5−3 2. 43 2)
(
1+ 5)
2− 20 3)4 48−43. 1(
+481)
B) ¿Son correctas las igualdades? 1) 50 5. 2=
2) 12 3. 2= 3) 5 −64 2.= 5 − 2
C) Racionalizar los denominadores 1) 4 2 2 − 2) 2 6− 2 3) 3 2 3 27 + − 7 12
D) Hallar el error en las siguientes demostraciones 1) a∈ ⇒ = −a a Demostración:
( )
2( )
2 2 2 a = −a ⇒ a = −a ⇒ = −aa ∈ ⇒ = b 2)b b 1 Demostración:(
) (
) (
2)
2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 b b b b b b b b b b b b b − = − − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ + − = + − ⇒ − = ⇒ − + = + ⇒ = ⇒ =E) Teniendo en cuenta la propiedad
(Demostrarla) 2 2 , entonces a b a b a b∈ + ≥ ⇔ ≥ Ordenar 1) 2. 2 y 5 2)3 2+ . 2 y 3+ 5 3) 1 y 1 2 3 4) 1 + 1 2 3 y 1 6 F) Responder V ó F y justificar Si a b, ∈ 1)
( )
. 2 2. 2 a b =a b 2)(
)
2 2 2. . 2 a+b =a + a b b+ 3)(
)
2 2 2 a b− =a −b 134) 2 2 2 a a b b ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5)
(
)
.(
)
2 2 a b+ a b− =a −bSupuestas definidas las raíces 6) a b+ = a+ b
7)n . n .n
a b= a b
Potencias de exponente racional
Vamos ahora a ver que significado hemos de atribuir al símbolo
m n
a , siendo m
n un número
racional.
Definiremos esta operación de modo que coincida con la ya conocida en el caso n =1 y que satisfaga a las mismas reglas de cálculo para potencias ordinarias
1) Sabemos que si h k, ∈ es
( )
ah k =ah.kPor lo tanto daremos a
m n
a tal significado que sea
n m m n a ⎛ ⎞ a = ⎜ ⎟ , o sea ⎝ ⎠ m
Lo cual tiene sentido en el campo real para a < 0 sólo si n es impar.
( )
m m
n m n
n
a = a = a
2) Si , para que subsista la ley de multiplicación de potencias de igual base sumando los exponentes, hemos de atribuir a , para que sea
0 a≠ 0 . 0 m m a + =a a =a 0 1 a =
3) Por la misma razón con a≠0,
m
0
ha de ser tal que multiplicado por a , resulte a 1
m n n a − = Luego m 1 a m n n a − =
Con estas 3 convenciones se evita el uso de radicales, con la ventaja que el cálculo con las potencias así generalizadas sigue las mismas leyes que cuando los exponentes son números naturales
Ejercicios Simplificar 1) . 1. 1 a a− a− 2) .3 2.3 2 b b− b− 3) .4 34 3 c c− c− 4) 2 3 4. 2 2 3 2. a + a b + b + a b4 15
