TEMA 4
1. Dada una v.a. bivariante cuya distribución de probabilidad es: P(1,1) = 1 4, P(1,2) = 1 2, P(2,1) = 1 4
a) Obtener la distribución de probabilidad marginal de la v.a.X. b) Obtener la distribución de probabilidad marginal de la v.a.Y. c) ¾SonX eY independientes?
2. SeanX eY dos v.a. cuyas distribuciones de probabilidad son
P(X= 1) = 0,4 P(X = 2) = 0,6 P(Y = 3) = 0,7 P(Y = 9) = 0,3 Obtener la distribución conjunta de la v.a.(X, Y)en el supuesto de que ambas componentes sean independientes.
3. Se dene la distribución de probabilidad de la v.a.(X, Y)dando a cada uno de los diez puntos siguientes la probabilidad 0.1. Es decir:
P(1,2) = P(2,2) =P(3,2) =P(4,2) =P(2,4) =P(3,4) = P(4,4) =P(3,6) =P(4,6) =P(4,8) = 0,1 Hallar:
a) La función de distribución en los puntos(205,7)y(3,6). b) La distribución de probabilidad de la v.a.Y|X = 3. c) Estudiar la independencia entreX eY.
4. La función de cuantía conjunta de dos variables viene dada por:
P(x, y) =
cxy si x= 1,2,3, y = 1,2,3 0 en otro caso
Hallar:
a) El valor del parámetroc b) P(X = 2, Y = 3) c) P(1≤X≤2, Y ≤2) d) F(x, y)
5. La función de cuantía conjunta de una variable aleatoria bidimensional(X, Y) viene dada por:
Y 2 3 X 1 1 9 0 2 0 a 3 2 9 0 a) Calcular el valor dea
c) Calcular la función de cuantía y la función de distribución de probabili-dad de la v.a.X|Y = 2
d) P(X = 2|X+Y = 5) e) P(Y >2|X >1)
f) ¾SonX eY v.a. independientes?
6. SeanX eY dos v.a. con la siguiente distribución de probabilidad conjunta: Y =−1 Y = 0 Y = 1 X=−1 2 9 0 1 9 X= 0 0 19 29 X= 1 19 29 0
a) Obtén las funciones de cuantía marginales deX eY. b) Calcula el valor deP(X+Y ≥1|X2= 1).
c) Calcula el valor deP(X+Y = 0).
7. La v.a.(X, Y)tiene función de densidad conjunta dada por:
f(x, y) = kx2y si 0≤x≤2, 0≤y≤2, y≤x 0 en otro caso a) Calculark. b) CalcularP(0< X <105, Y ≤1).
c) Obtener las funciones de densidad marginales. d) Estudiar la independencia entreX eY.
8. La v.a.(X, Y)tiene función de densidad conjunta dada por:
f(x, y) =
kxy si 0≤x≤2, 0≤y≤1 0 en otro caso
a) Calculark de modo quef(x, y)sea función de densidad. b) Obtener las funciones de densidad marginales.
c) CalcularP(1< X <2,0< Y <12). d) Estudiar la independencia entreX eY. e) CalcularP(X = 105).
9. Una empresa se dedica a la venta de dos productos: el primero da unos bene-cios que, expresados en millones de euros, se distribuyen uniformemente en el intervalo[0,6]. El segundo da unas pérdidas que se distribuyen uniformemente en el intervalo[0,2]. Se sabe que los benecios o pérdidas resultantes de la producción de ambos productos son v.a. independientes. Calcular la proba-bilidad de que el benecio neto de la empresa sea superior a 2 millones de euros.
10. Una empresa comercializa dos productos. Los benecios mensuales obteni-dos por la venta de ambos productos (X, Y)en millones de euros, sigue una distribución cuya función de densidad conjunta es:
f(x, y) =
x+y si 0≤x≤1, 0≤y≤1 0 en otro caso
a) Calcular la función de densidad marginal de los benecios de cada uno de los productos. ¾ Son independientes?
b) Calcular la probabilidad de que el benecio total de la empresa durante un mes no supere el millón de euros.
11. Sea(X, Y)una v.a. cuya función de densidad conjunta viene dada por
f(x, y) =
cxy, si0≤y≤x≤1 0, en otro caso
a) Halla el valor de la constante c para que f(x, y) sea una función de densidad completamente especicada.
b) Halla la función de densidad marginal de la v.a.X. c) CalculaE(X).(Este apartado corresponde al Tema 5). d) Calcula razonadamente la probabilidadP(X+Y ≤1).
e) Razona gráca o algebráicamente el valor de la probabilidad condiciona-daP(X+Y ≤1|X = 0,5).
12. La v.a.(X, Y)representa los benecios anuales, medidos en millones de euros, de dos empresas A y B de accesorios de automóviles. Su función de densidad conjunta viene dada por:
f(x, y) =kex+y, 0< y < x <1 dondek= 2
(e−1)2 ≈0,68.
a) ¾Cuál es la probabilidad de que los benecios anuales de la empresa B superen el medio millón de euros?
b) ¾Cuál es la probabilidad de que los benecios anuales de B sean menores que medio millón de euros, si los de la empresa A han sido exactamente tres cuartas partes de un millón de euros?
NOTA: para evitar errores de cálculo, trabajar con la letra k y sustituir su valor después de hacer todas las operaciones.
Soluciones a los problemas. Tema 4 1. a) P(X = 1) = 34,P(X = 2) =14. b) P(Y = 1) = 1 2,P(Y = 2) = 1 2. c) No son independientes.P(2,2) = 06=P(X = 2)P(Y = 2) =1 8. 2. P(1,3) = 0,28,P(1,9) = 0,12,P(2,3) = 0,42yP(2,9) = 0,18 3. a) F(205,7) = 0,3.F(3,6) = 0,6. b) P(Y = 2|X= 3) = 13,P(Y = 4|X = 3) = 13,P(Y = 6|X = 3) = 13. c) No son independientes. Por ejemplo: P(1,4) = 0 6= P(X = 1)P(Y =
4) = 0,03. 4. a) c= 361.
b) P(2,3) = 16.
d) F(x, y) = 0 x <1 ó y <1 1 36 1≤x <2,1≤y <2 3 36 2≤x <3,1≤y <2 6 36 3≤x,1≤y <2 3 36 1≤x <2,2≤y <3 9 36 2≤x <3,2≤y <3 18 36 3≤x,2≤y <3 6 36 1≤x <2,3≤y 18 36 2≤x <3,3≤y 1 3≤x,3≤y 5. a) a=69 ≈0,67 b) S(X) ={1,2,3}; PX(1) = 91, PX(2) =69, PX(3) = 29 S(Y) ={2,3};PY(2) = 13, PY(3) = 23 c) Z=X|Y = 2;S(Z) ={1,3}; PZ(1) = P(1,2) PY(2) = 1 3,PZ(3) = P(3,2) PY(2) = 2 3 F(z) =P(Z≤z) = 0 siz <1 1 3 si1≤z <3 1 siz≥3 d) P(X = 2|X+Y = 5) = P(X = 2, X+Y = 5) P(X+Y = 5) = P(X = 2, Y = 3) P(X= 2, Y = 3) +P(X = 3, Y = 2) = 6/9 8/9 = 6 8 = 3 4 = 0,75 e) P(Y >2|X >1) = P(Y >2, X >1) P(X >1) = P(Y = 3, X = 2) +P(Y = 3, X= 3) 1−P(X = 1) = 6/9 8/9 = 3 4 = 0,75
f) X,Y independientes ⇔PX(x)PY(y) =P(x, y)∀x∈S(X)∀y∈S(Y)
PX(2)PY(2) =6913 =29 6= 0 =P(2,2)
6. a) La distribución marginal de la v.a.X, es: P(X =−1) =P(X = 0) =P(X = 1) = 13 Y la de la v.a.Y, es:
P(Y =−1) =P(Y = 0) =P(Y = 1) = 13
Es decir ambas variables tienen la misma distribución. b) P(X+Y ≥1|X2= 1) = P[(X+Y ≥1)∩(X2= 1)] P(X2= 1) donde P[(X+Y ≥1)∩(X2= 1)] = P[(X+Y ≥1)∩(X = 1)] + + P[(X+Y ≥1)∩(X =−1)] = = P(1,0) +P(1,1) + 0 =2
P(X2= 1) =P(X = 1) +P(X =−1) = 2 3 Luego, P(X+Y ≥1|X2= 1) = 2 9 2 3 =1 3 c) P(X+Y = 0) = P(X=−Y) =P(−1,1) +P(0,0) +P(1,−1) = = 1 9 + 1 9 + 1 9 = 3 9 = 1 3 7. a) k= 165. b) P(0< X <105, Y ≤1) = Z 1 0 Z 105 y 5 16x 2ydxdy= = Z 1 0 Z x 0 5 16x 2ydydx+Z 105 1 Z 1 0 5 16x 2ydydx= = 0,15496 c) f(x) =325x4, si 0≤x≤2.f(y) =5 6y(1− y3 8), si0≤y≤2.
d) No son independientes. Por ejemplo en el punto (0.5, 1), la función de densidad conjunta es nula, f(0,5,1) = 0, mientras que el producto de marginales es distinto de cero.fX(0,5) = 0,00976, fY(1) = 0,7291.
8. a) k= 1. b) f(x) =x 2, si0≤x≤2.f(y) = 2y, si0≤y≤1. c) P(1< X <2,0< X < 1 2) = 3 16.
d) Son independientes, puesto que en cualquier punto del plano,(x, y), se vericaf(x, y) =fX(x)fY(y).
e) P(X = 1,5) = 0. 9. Z=X−Y.P(Z >2) = 0,5.
10. a) fX(x) = x+ 12, si 0 ≤ x ≤ 1. fY(y) = y+ 12, si 0 ≤ y ≤ 1. No son
independientes, puesto quef(x, y) =x+y6= (x+12)(y+12). b) P(X+Y ≤1) = 13.
11. a) Sabemos que la función de densidad debe integrar la unidad en el recinto en el que está denida. Esto es:
1 = Z 1 0 Z 1 y cxydxdy= Z 1 0 cy x2 2 1 y dy= = Z 1 0 cy(0,5−y 2 2 )dy= 0,5c y2 2 1 0 −0,5c y4 4 1 0 = c 8 de donde,c= 8.
b) f(x) = ( Rx 0 8xydy= 8x y2 2 x 0 = 4x3, si0≤x≤1 0, en otro caso c) E(X) = Z 1 0 xf(x)dx= Z 1 0 x·4x3dx= 4 x5 5 1 0 =4 5 d) P(X+Y ≤1) = Z 0,5 0 Z 1−y y 8xydxdy= Z 0,5 0 8y x2 2 1−y y dy= = Z 0,5 0 8y (1−y)2 2 − y2 2 dy= = 4 Z 0,5 0 ydy−8 Z 0,5 0 y2dy= 4 y2 2 0,5 0 −8 y3 3 0,5 0 = = 0,5−0,333 = 0,1666
e) En el triángulo en el que está denida la v.a (X, Y), pintamos la recta X = 0,5. Si estamos sobre dicho segmento de recta, estamos siempre en el semiplano X +Y ≤ 1, luego la probabilidad condicionada es la del suceso seguro, que es 1. Algebráicamente
P(X+Y ≤1|X = 0,5) =P(Y ≤0,5|X = 0,5)
y para calcular esta probabilidad condicionada, tenemos que obtener la función de densidad de la distribución condicionada deY|X = 0,5, que es:
f(y|x= 0,5) = f(0,5, y) fX(0,5)
= 8·0,5·y 4·0,53 = 8y si0≤y≤0,5, y cero en otro caso. Entonces:
P(Y ≤0,5|X= 0,5) = Z 0,5 0 8ydy= 8 y2 2 0,5 0 = 1 12. a) fY(y) = Z < f(x, y)dx= Z 1 y kex+ydx=key[ex]1y = key(e−ey) =k(ey+1−e2y), 0≤y≤1 P(Y >0,5) = 1−P(Y ≤0,5) = 1− Z 0,5 0 k(ey+1−e2y)dy = 1−k ey+1−e 2y 2 0,5 0 = 1−k(e1,5−0,5e−e+ 0,5)≈0,388
b) fX(x) = Z < f(x, y)dy= Z x 0 kex+ydy=kex[ey]x0 = kex(ex−1) =k(e2x−ex), 0≤x≤1 fY|X=x0(x) = f(x0, y) fX(x0) = ke x0+y k(e2x0−ex0) = e x0ey ex0(ex0−1) = ey ex0−1, 0< y≤x0 P(Y <0,5|X= 0,75) = Z 0,5 −∞ fY|X=0,75(y)dy= Z 0,5 0 ey e0,75−1dy = 1 e0,75−1[e y]0,5 0 = e0,5−1 e0,75−1 ≈0,5547