Ecuacion de transporte y Ley de conservacion
Nicolas Saintier
(Univ. Buenos Aires - Argentina)
Consideremos particulas moviendose bajo un campo de vector
v :Rd →Rd: la trayectoria de una particula inicialmente en x es φt(x)
donde
∂tφt(x) =v(φt(x)) t>0.
φ0(x) =x (1)
(Por el teo de Cauchy-Lipschitz, φt(x) existe para todot si suponemosv
globalmente Lipschitz. )
Que ecuacion verica la densidad u(t,x) de particulas ?
Como el ujo de particulas esJ =uv, sabemos por lo visto en los slides
sobre la ecuacion del calor que
∂tu+div(vu) =0
Veamos otra manera de llegar a esta ecuacion, mas larga pero util para tener intuicion.
Tomemos un conjunto U ⊂Rd. Siguiendo en el tiempo las particulas que
contiene, obtenemosφt(U). Suponiendo que no hay ni destruccion ni
creacion de masa, tenemos entonces Z φt(U) u(t,x)dx = Z U u(0,x)dx t ≥0. luego d dt Z φt(U) u(t,x)dx =0.
Calculemos esta derivada. Recordando que φt+h(x) =φh(φt(x)),
Z φt+h(U) u(t+h,x)dx = Z φh(φt(U)) u(t+h,x)dx = Z φt(U) u(t+h, φh(x))|detDφh(x)|dx
Desarrollemos el miembro derecho hasta el orden h (o sea negligimos los
Parah 1,φh(x)≈x+hv(x)por lo que
u(t+h, φh(x))≈u(t+h,x+hv(x)) =u(t,x)+h(∂tu(t,x)+∇u(t,x)v(x)).
Ademas diferenciando (1),
∂tDφt(x) =Dv(φt(x))Dφt(x) t >0.
Dφ0(x) =Id
por lo que Dφh(x)≈Id +hDv(x). Luego
detDφh(x)≈det(Id+hDv(x))≈1+h.Tr(Dv(x)) =1+h.div(v(x))
Entonces u(t+h, φh(x))|detDφh(x)| ≈hu(t,x) +h(∂tu(t,x) +∇u(t,x)v(x)) ih (1+h.div(v(x)) i ≈u(t,x) +hh∂tu(t,x) +u(t,x)div(v(x)) +∇u(t,x)v(x) i =u(t,x) +h h ∂tu(t,x) +div(u(t,x)v(x)) i
Entonces Z {φt+h(U)} u(t,x)dx = Z φt(U) u(t, φh(x))|detDφh(x)|dx ≈ Z φt(U) u(t,x)dx+h Z φt(U) ∂tu(t,x) +div(uv(x))dx Luego 0= d dt Z φt(U) u(t,x)dx = Z φt(U) ∂tu(t,x) +div(uv(x))dx
Como esto vale para todo U y φt es biyectiva, deducimos ∂tu+div(vu) =0
Note que esta deduccion nos dice que conviene seguir las trayectorias de v:
Transito vehicular
Veamos ahora situaciones que llevan a ecuacion de este tipo pero no lineales. Una posibilidad es agregar un termino de fuente, que puede depender de u, en el miembro derecho:
∂tu+div(vu) =F(u)
Otra posibilidad interesante es considerar que el campo de vectores v
depende deu. Ya vimos en los slides sobre el paseo al azar la ecuacion de
Burgers
∂tu+∂x(u2) =0 x∈R,t>0.
Une ejemplo cercano consiste en modelar el transito vehicular en una ruta con la densidad de autos u(t,x),x ∈R, donde la velocidad v de un auto
depende de la densdad (mas transito hay, mas lento voy): por ejemplo,
v =v(u) =Vmax(1−u/umax)+
donde Vmax es la velocidad maxima posible si no hay auto, y umax es la
Ejemplo en biologia
Ecuaciones de transporte ocurren frecuentemente en biologia para modelar el crecimiento de una poblacion. Sea u(t,x) la densidad de animales con
tamano x≥0. Con el tiempo un animal que nace con tamano 0 va
creciendo con velocidad v y se muere con tasad:
∂tu+∂x(vu) =−du x >0,t >0
Tiene sentido suponer que el ritmo de crecimiento depende (i) del tamano del animal y (ii) del tamano global de la poblacion (mayor la poblacion, menos comida por cabeza por ejemplo):
v =v x, Z +∞ 0 u(t,y)dy
Ejemplo en biologia
Ademas cada animal se puede reproducir dando crias de tamano 0. Luego el ujo en 0 puede ser de la forma
v(0)u(t,0) =
Z +∞
0 b(y)u(t,y)dy
donde b(y) es la tasa de natalidad de un animal de tamanoy. Note queb
y d podrian tambien depender de R+∞
0 u(t,y)dy... ∂tu+∂x(vu) =−du x >0,t >0 v =vx, Z +∞ 0 u(t,y)dy v(0)u(t,0) = Z +∞ 0 b(y)u(t,y)dy u(t =0,x) =u0(x)
Modelo de ocking
Consideremos ahora una gran poblacion de animales moviendose en Rd y
caracterizado por su posicion x ∈Rd y su velocidadv ∈
Rd. Cada uno
interactua con todos los demas de la misma forma. Por ejemplo el modelo de Cucker-Smale (2006) es d dtxi(t) =vi(t), i =1, ..,N, d dtvi(t) = 1 N N X j=1 φ(|xi −xj|)(vj −vi)
donde φ(r) =1/rα. Bajo ciertas hipotesis, Cucker y Smale prueban que
Modelo de ocking
En una poblacion muy grande (N1), la densidad ρ(t,x,v) de animales verica
∂tρ+v∇xρ+divv(K[u](x,v)ρ) =0
donde v∇xu es el termino de transporte enx que proviene dex0(t) =v(t),
y K[u] :R2d →Rd viene dado por
K[u](x,v) = Z
Rd
φ(|x−x¯|)(¯v−v)ρ(¯x,v¯)dx d¯ v¯
