F´ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

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(1)

ormula de Lagrange

para el polinomio interpolante

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional, ESFM, M´exico 7 de julio de 2017

(2)

F´ormula de Lagrange (ejemplo)

F´ormula de Lagrange (general)

(3)

Sugiero poner una pausa, preparar papel y l´apiz

(4)

Ejercicio (primera indirecta para inventar la f´

ormula de Lagrange)

Seanf yg dos polinomios tales que

f (−4) = 5, g (−4) = 3.

Definimos el polinomio h como la siguiente combinaci´on lineal def yg:

h(x ) = 10 f (x ) + 2 g (x ). Calcular h(−4).

(5)

Ejercicio (primera indirecta para inventar la f´

ormula de Lagrange)

Seanf yg dos polinomios tales que

f (−4) = 5, g (−4) = 3.

Definimos el polinomio h como la siguiente combinaci´on lineal def yg:

h(x ) = 10 f (x ) + 2 g (x ). Calcular h(−4).

Respuesta. h(−4) = 56.

Buen momento para detener la presentaci´on

(6)

Ejercicio (primera indirecta para inventar la f´

ormula de Lagrange)

Seanf yg dos polinomios tales que

f (−4) = 5, g (−4) = 3.

Definimos el polinomio h como la siguiente combinaci´on lineal def yg:

h(x ) = 10 f (x ) + 2 g (x ). Calcular h(−4).

(7)

Ejercicio (segunda indirecta para inventar la f´

ormula de Lagrange)

Encontrarα,β,γ tales que

α    1 0 0   +β    0 1 0   +γ    0 0 1   =    6 −1 4   .

Buen momento para detener la presentaci´on

(8)

Encontrarα,β,γ tales que α    1 0 0   +β    0 1 0   +γ    0 0 1   =    6 −1 4   .

Buen momento para detener la presentaci´on

(9)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x 2− 3x − 4 6 ×7 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 ×(−4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Escribir Lj(x ), j = 1, 2, 3 Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(10)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) = x 2− 3x − 4 6 ×7 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 ×(−4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Escribir Lj(x ), j = 1, 2, 3 Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(11)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x 2− 3x − 4 6 ×7 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 ×(−4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Escribir Lj(x ), j = 1, 2, 3 Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(12)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) 0 1 0 L2(x ) = (−1 + 2)(−1 − 4) −5 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + LSugiero parar3(x ) la presentaci´on e inventar la f´ormula

(13)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 ×7 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 ×(−4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Escribir Lj(x ), j = 1, 2, 3 Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(14)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) 0 1 0 L2(x ) = (−1 + 2)(−1 − 4) −5 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + LSugiero parar3(x ) la presentaci´on e inventar la f´ormula

(15)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 ×7 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 ×(−4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Escribir Lj(x ), j = 1, 2, 3 Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(16)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + LSugiero parar3(x ) la presentaci´on e inventar la f´ormula

(17)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 ×7 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 ×(−4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Escribir Lj(x ), j = 1, 2, 3 Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(18)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + LSugiero parar3(x ) la presentaci´on e inventar la f´ormula

(19)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 ×7 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 ×(−4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x 2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Escribir Lj(x ), j = 1, 2, 3 Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(20)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + LSugiero parar3(x ) la presentaci´on e inventar la f´ormula

(21)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 ×7 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 ×(−4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Escribir Lj(x ), j = 1, 2, 3 Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(22)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(23)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 ×7 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 ×(−4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Escribir Lj(x ), j = 1, 2, 3 Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(24)

Ejemplo. Hallar un polinomioP de grado ≤ 2 tal que P(−2) = 7,P(−1) = −4,P(4) = 1. valor en −2 valor en −1 valor en 4 Primero construimos

los polinomios b´asicos de Lagrange:

1 0 0 L1(x ) = (x + 1)(x − 4) (−2 + 1)(−2 − 4) = x2− 3x − 4 6 ×7 0 1 0 L2(x ) = (x + 2)(x − 4) (−1 + 2)(−1 − 4) = x2− 2x − 8 −5 ×(−4) 0 0 1 L3(x ) = (x + 2)(x + 1) (4 + 2)(4 + 1) = x2+ 3x + 2 30 ×1 7 −4 1 P(x ) = 7 L1(x ) − 4 L2(x ) + L3(x ) Sugiero parar la presentaci´on e inventar la f´ormula

(25)

Final de la soluci´on. En la f´ormula

P(x ) = 7L1(x ) − 4L2(x ) + L3(x )

sustituimos las expresiones para L1(x ), L2(x ), L3(x ):

P(x ) = 7(x 2− 3x − 4) 6 + (−4) x2− 2x − 8 −5 + x2+ 3x + 2 30 = 35(x 2− 3x − 4) + 24(x2− 2x − 8) + (x2+ 3x + 2) 30 = 35x 2− 105x − 140 + 24x2− 48x − 192 + x2+ 3x + 2 30 = 60x 2− 150x − 330 30 = 2x 2− 5x − 11. Calcular P(x ).

(26)

Final de la soluci´on. En la f´ormula

P(x ) = 7L1(x ) − 4L2(x ) + L3(x )

sustituimos las expresiones para L1(x ), L2(x ), L3(x ):

P(x ) = 7(x 2− 3x − 4) 6 + (−4) x2− 2x − 8 −5 + x2+ 3x + 2 30 = 60x 2− 150x − 330 30 = 2x 2− 5x − 11. Calcular P(x ).

(27)

Final de la soluci´on. En la f´ormula

P(x ) = 7L1(x ) − 4L2(x ) + L3(x )

sustituimos las expresiones para L1(x ), L2(x ), L3(x ):

P(x ) = 7(x 2− 3x − 4) 6 + (−4) x2− 2x − 8 −5 + x2+ 3x + 2 30 = 35(x 2− 3x − 4) + 24(x2− 2x − 8) + (x2+ 3x + 2) 30 = 35x 2− 105x − 140 + 24x2− 48x − 192 + x2+ 3x + 2 30 = 60x 2− 150x − 330 30 = 2x 2− 5x − 11. Calcular P(x ).

(28)

Final de la soluci´on. En la f´ormula

P(x ) = 7L1(x ) − 4L2(x ) + L3(x )

sustituimos las expresiones para L1(x ), L2(x ), L3(x ):

P(x ) = 7(x 2− 3x − 4) 6 + (−4) x2− 2x − 8 −5 + x2+ 3x + 2 30 = 35(x 2− 3x − 4) + 24(x2− 2x − 8) + (x2+ 3x + 2) 30 = 35x 2− 105x − 140 + 24x2− 48x − 192 + x2+ 3x + 2 30

(29)

Final de la soluci´on. En la f´ormula

P(x ) = 7L1(x ) − 4L2(x ) + L3(x )

sustituimos las expresiones para L1(x ), L2(x ), L3(x ):

P(x ) = 7(x 2− 3x − 4) 6 + (−4) x2− 2x − 8 −5 + x2+ 3x + 2 30 = 35(x 2− 3x − 4) + 24(x2− 2x − 8) + (x2+ 3x + 2) 30 = 35x 2− 105x − 140 + 24x2− 48x − 192 + x2+ 3x + 2 30 = 60x 2− 150x − 330 30 = 2x 2− 5x − 11. Calcular P(x ).

(30)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x −5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

(31)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

−1 2 −7 −4 X

(32)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

(33)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2

2 −9 7 X

−1 2 −7 −4 X

(34)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

(35)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9

7 X

−1 2 −7 −4 X

(36)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

(37)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

−1 2 −7 −4 X

(38)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

(39)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

−1 2

−7 −4 X

(40)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

(41)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

−1 2 −7 −4

X

(42)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

(43)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

−1 2 −7 −4 X

4

(44)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

−1 2 −7 −4 X

(45)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

−1 2 −7 −4 X

4 2 3

(46)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

−1 2 −7 −4 X

(47)

(−2,7) (−1,−4) (4,1) Respuesta. P(x ) = 2x2− 5x − 11 = 2  x − 5 4 2 −113 8 . Comprobaci´on. Probemos que P(−2) = 7, P(−1) = −4, P(4) = 1. Usamos la divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini).

2 −5 −11

−2 2 −9 7 X

−1 2 −7 −4 X

(48)

Ejercicio

I. Construir los polinomios b´asicos de Lagrange asociados a los puntos

−3, −2, 3.

II. Usando la f´ormula de Lagrange hallar un polinomio P de grado ≤ 2 tal que

P(−3) = −12, P(−2) = −4, P(3) = 6.

(49)

Ejercicio

I. Construir los polinomios b´asicos de Lagrange asociados a los puntos

−3, −2, 3.

II. Usando la f´ormula de Lagrange hallar un polinomio P de grado ≤ 2 tal que

P(−3) = −12, P(−2) = −4, P(3) = 6.

III. Hacer la comprobaci´on.

Respuesta: P(x ) = −x2+ 3x + 6.

(50)

Ejercicio

I. Construir los polinomios b´asicos de Lagrange asociados a los puntos

−3, −2, 3.

II. Usando la f´ormula de Lagrange hallar un polinomio P de grado ≤ 2 tal que

P(−3) = −12, P(−2) = −4, P(3) = 6.

III. Hacer la comprobaci´on.

(51)

Polinomios b´asicos de Lagrange Problema de la interpolaci´on polinomial F´ormula de Lagrange (ejemplo) F´ormula de Lagrange (general)

(52)

ormulas para los polinomios b´

asicos de Lagrange (repaso)

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares.

Les corresponden n polinomios b´asicos de Lagrange: L1, . . . , Ln. Elegimos un j ∈ {1, . . . , n}.

El j-´esimopolinomio b´asico de Lagrange asociado a los n´umerosx1, . . . , xn se define como

Lj(x ) := Y 1≤ k ≤n k6=j x − xk xj − xk . Propiedades principales deLj: deg(Lj) = Lj(xs) = Recordar la f´ormula

(53)

ormulas para los polinomios b´

asicos de Lagrange (repaso)

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares.

Les corresponden n polinomios b´asicos de Lagrange: L1, . . . , Ln. Elegimos un j ∈ {1, . . . , n}.

El j-´esimopolinomio b´asico de Lagrange asociado a los n´umerosx1, . . . , xn se define como

Lj(x ) := Y 1≤ k ≤n k6=j x − xk xj − xk . Propiedades principales deLj: deg(Lj) = n − 1, Lj(xs) = δj,s. Recordar la f´ormula

(54)

ormulas para los polinomios b´

asicos de Lagrange (repaso)

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares.

Les corresponden n polinomios b´asicos de Lagrange: L1, . . . , Ln. Elegimos un j ∈ {1, . . . , n}.

El j-´esimopolinomio b´asico de Lagrange asociado a los n´umerosx1, . . . , xn se define como

Lj(x ) := Y 1≤ k ≤n k6=j x − xk xj − xk . Propiedades principales deLj: deg(Lj) = Lj(xs) = Recordar la f´ormula

(55)

ormulas para los polinomios b´

asicos de Lagrange (repaso)

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares.

Les corresponden n polinomios b´asicos de Lagrange: L1, . . . , Ln. Elegimos un j ∈ {1, . . . , n}.

El j-´esimopolinomio b´asico de Lagrange asociado a los n´umerosx1, . . . , xn se define como

Lj(x ) := Y 1≤ k ≤n k6=j x − xk xj − xk . Propiedades principales deLj: deg(Lj) = n − 1, Lj(xs) = δj,s. Recordar la f´ormula

(56)

ormulas para los polinomios b´

asicos de Lagrange (repaso)

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares.

Les corresponden n polinomios b´asicos de Lagrange: L1, . . . , Ln. Elegimos un j ∈ {1, . . . , n}.

El j-´esimopolinomio b´asico de Lagrange asociado a los n´umerosx1, . . . , xn se define como

Lj(x ) := Y 1≤ k ≤n k6=j x − xk xj − xk . Propiedades principales deLj: deg(Lj) = n − 1, Lj(xs) = δj,s.

(57)

ormulas para los polinomios b´

asicos de Lagrange (repaso)

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares.

Les corresponden n polinomios b´asicos de Lagrange: L1, . . . , Ln. Elegimos un j ∈ {1, . . . , n}.

El j-´esimopolinomio b´asico de Lagrange asociado a los n´umerosx1, . . . , xn se define como

Lj(x ) := Y 1≤ k ≤n k6=j x − xk xj − xk . Propiedades principales deLj: deg(Lj) = n − 1, Lj(xs) = δj,s. Recordar la f´ormula

(58)

ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y seany1, . . . , yn algunos n´umeros.

Definimos P como la combinaci´on lineal de los polinomios b´asicos de Lagrange con los coeficientes yj:

P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces:

(59)

ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y seany1, . . . , yn algunos n´umeros. Definimos P como la combinaci´on lineal de los polinomios b´asicos de Lagrange con los coeficientes yj:

P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces:

deg(P) ≤ n − 1. En efecto, deg(P) ≤ max

1≤j≤ndeg(yjLj) ≤ max1≤j≤ndeg(Lj) = n − 1.

P(xs) = ys. En efecto, P(xs) = n X j=1 yjLj(xs) = n X j=1 yjδj,s = ys.

(60)

ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y seany1, . . . , yn algunos n´umeros. Definimos P como la combinaci´on lineal de los polinomios b´asicos de Lagrange con los coeficientes yj:

P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces:

(61)

ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y seany1, . . . , yn algunos n´umeros. Definimos P como la combinaci´on lineal de los polinomios b´asicos de Lagrange con los coeficientes yj:

P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces: deg(P) ≤

n − 1. En efecto, deg(P) ≤ max

1≤j≤ndeg(yjLj) ≤ max1≤j≤ndeg(Lj) = n − 1.

P(xs) = ys. En efecto, P(xs) = n X j=1 yjLj(xs) = n X j=1 yjδj,s = ys.

(62)

ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y seany1, . . . , yn algunos n´umeros. Definimos P como la combinaci´on lineal de los polinomios b´asicos de Lagrange con los coeficientes yj:

P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces: deg(P) ≤ n − 1. P(xs) =

(63)

ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y seany1, . . . , yn algunos n´umeros. Definimos P como la combinaci´on lineal de los polinomios b´asicos de Lagrange con los coeficientes yj:

P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces:

deg(P) ≤ n − 1. En efecto, deg(P) ≤ max

1≤j≤ndeg(yjLj) ≤ max1≤j≤ndeg(Lj) = n − 1.

P(xs) = ys. En efecto, P(xs) = n X j=1 yjLj(xs) = n X j=1 yjδj,s = ys.

(64)

ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y seany1, . . . , yn algunos n´umeros. Definimos P como la combinaci´on lineal de los polinomios b´asicos de Lagrange con los coeficientes yj:

P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces:

deg(P) ≤ n − 1. En efecto, deg(P) ≤ max

1≤j≤ndeg(yjLj) ≤ max1≤j≤ndeg(Lj) = n − 1.

(65)

ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y seany1, . . . , yn algunos n´umeros. Definimos P como la combinaci´on lineal de los polinomios b´asicos de Lagrange con los coeficientes yj:

P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces:

deg(P) ≤ n − 1. En efecto, deg(P) ≤ max

1≤j≤ndeg(yjLj) ≤ max1≤j≤ndeg(Lj) = n − 1.

P(xs) = ys. En efecto, P(xs) = n X j=1 yjLj(xs) = n X j=1 yjδj,s = ys.

(66)

ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y seany1, . . . , yn algunos n´umeros. Definimos P como la combinaci´on lineal de los polinomios b´asicos de Lagrange con los coeficientes yj:

P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces:

deg(P) ≤ n − 1. En efecto, deg(P) ≤ max

1≤j≤ndeg(yjLj) ≤ max1≤j≤ndeg(Lj) = n − 1.

P(xs) = ys. En efecto, P(xs) = n

X

j=1

(67)

ormula de Lagrange para el polinomio interpolante

Seanx1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y seany1, . . . , yn algunos n´umeros. Definimos P como la combinaci´on lineal de los polinomios b´asicos de Lagrange con los coeficientes yj:

P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces:

deg(P) ≤ n − 1. En efecto, deg(P) ≤ max

1≤j≤ndeg(yjLj) ≤ max1≤j≤ndeg(Lj) = n − 1.

P(xs) = ys. En efecto, P(xs) = n X j=1 yjLj(xs) = n X j=1 yjδj,s = ys.

(68)

con los coeficientes yj: P(x ) := n X j=1 yjLj(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk . Entonces:

deg(P) ≤ n − 1. En efecto, deg(P) ≤ max

1≤j≤ndeg(yjLj) ≤ max1≤j≤ndeg(Lj) = n − 1.

P(xs) = ys. En efecto, P(xs) = n X j=1 yjLj(xs) = n X j=1 yjδj,s = ys.

(69)

Ventajas y desventajas de la f´

ormula de Lagrange

Es directa (expl´ıcita, no recursiva) y simple:

P(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk .

Sirve para estimar el error de la interpolaci´on

(70)

Ventajas y desventajas de la f´

ormula de Lagrange

Es directa (expl´ıcita, no recursiva) y simple:

P(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk .

(71)

Ventajas y desventajas de la f´

ormula de Lagrange

Es directa (expl´ıcita, no recursiva) y simple:

P(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk .

Sirve para estimar el error de la interpolaci´on

(72)

Es directa (expl´ıcita, no recursiva) y simple: P(x ) = n X j=1 yj Y 1≤k≤n k6=j x − xk xj − xk .

Sirve para estimar el error de la interpolaci´on

(73)

Polinomios b´asicos de Lagrange Problema de la interpolaci´on polinomial F´ormula de Lagrange (ejemplo) F´ormula de Lagrange (general) Algoritmo ∃! polinomio interpolante

Estimaci´on del error de interpolaci´on

F´ormula de Neville

F´ormula de Newton

Son otros m´etodos para calcular el polinomio interpolante

(74)

(ejemplo)

F´ormula de Lagrange (general)

Algoritmo ∃! polinomio

interpolante

Estimaci´on del error de interpolaci´on

F´ormula de Neville

F´ormula de Newton

Son otros m´etodos para calcular el polinomio interpolante

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