Universidad Diego Portales

Universidad Diego Portales

Facultad de Ingeniería

Instituto de Ciencias Básicas Asignatura: Álgebra

Laboratorio Nº 4

Trigonometría

Contenido:

• Gráficos de funciones trigonométricas

• Ecuaciones trigonométricas

• Funciones trigonométricas inversas

• Teorema del coseno

Para realizar este Laboratorio, el estudiante debe conocer los íconos Principal, Resolución Numérica y Gráficos & Tablas del menú de la calculadora Cassio - Class Pad 300, todos ellos ya trabajados en laboratorios anteriores

Además debe reconocer,

¾ las diferentes opciones que proporciona el teclado

¾ las opciones del Formato básico RAD, DEG

¾ la ventana gráfica y las posibilidades de visualización

¾ ciertas Acciones que ofrece el menú principal, por ejemplo resolver ecuaciones

( Ecuación – Solve ).

Actividad 1 : Resolver una ecuación trigonométrica en el intervalo [ 0 , 2 π . ]

a) Resolvamos, usando el comando solve de la calculadora, la ecuación cos x = 0,5

El resultado obtenido en formato grados es:

x = -60 + 360 constn(1), x = 60 + 360 constn(2) En formato radián es:

x = ⁻ ₃ ^π + 2 constn(1) π , x = ₃ ^π + 2 constn(2) π

En ambos casos, observamos que la calculadora nos proporciona las múltiples soluciones de la ecuación en ℜ , que en nuestro curso acostumbramos a expresar así:

{ 2 k / k Z } { 2 k / k Z }

3

3 ^π + π ∈ ∪ ^π + π ∈

−

Las dos soluciones que esta ecuación tiene

• en el intervalo [ 0 , 2 π son ]

3 5 3 y x

x = ^π = ^π

• en grados son x = 60° y x = 300°

b) Si la ecuación fuese cos x = 0,4, los resultados obtenidos son:

x = 1, 159279481 rad, x = 5,123905826 rad.

O bien,

x = 66,42182152°

x = 293,5781785°

Actividad 2: Reconocer el gráfico de las funciones trigonométricas básicas.

a) Utilizando Gráficos y Tablas , tracemos la gráfica de

x cos

x 2 cos x

sen x 2

y = sen − , usando

una ventana de visualización apropiada.

b) Reconocemos en este gráfico a la función trigonométrica

x cos x 1 sec ) x (

f = =

Demostremos la identidad f ( x ) x

cos x 2 cos x

sen x 2

sen − =

x sec

x cos x 2

cos x 1 cos 2

x cos

x cos 2 x 1 cos 2

x cos

x sen x cos senx

x cos senx 2 x cos

x 2 cos x

sen x 2 sen

2

2 2

=

− +

=

+ −

=

− −

=

−

Se ha usado la ventana de visualización Inicial

No olvide de usar el formato RAD

Simplify(

Actividad 3 : Estudiar las funciones trigonométricas inversas sen ^-1 x y cos ^-1 x .

a) Grafiquemos las funciones y 1 = sen ^-1 x e y2 = cos ^-1 x , usando una ventana de visualización apropiada. A partir del gráfico reconozcamos dominio, recorrido y ceros de estas funciones.

Usamos la ventana Inicial y luego Aumentar con el Zoom :

Dominio de y1 = [-1, 1] Dominio de y2 = [-1, 1]

Recorrido de y1 = ] [ - ,

2 2

π

π Recorrido de y2 = [ 0, π ]

Ceros de y1 = { 0 } Ceros de y2 = { 1 }

b) Grafiquemos la función y3 = sen ^-1 x + cos ^-1 x usando la ventana de visualización

Inicial, Trigonométrico y Estándar.

c) En consecuencia, podemos asegurar que la función y3 = sen ^-1 (x) + cos ^-1 (x) no tiene ceros.

En efecto, si suponemos que y3 tiene algún cero en su dominio, entonces ∃ x ∈ [-1, 1]

tal que sen

(x) + cos

(x) = 0, es decir, sen

(x) = - cos

(x).

Tenemos que: ( sen ^-1 (x) = y ⇒ x = sen(y)) ∧ (- cos ^-1 (x) = y ⇒ x = cos(-y)) . Luego sen(y) = cos(-y), es decir, sen(y) = cos(y) para algún valor y [0, ]

2

∈ π . Esto

nos lleva a concluir que 4

y = ^π lo que es una contradicción pues en este caso se tendría que sen (x) cos (x) .

2 -1

-1 + = π

Actividad 4 Un problema típico de resolución de triángulos es el siguiente:

Un niño está haciendo volar dos cometas simultáneamente. Una de ellas tiene 80 mts de cordón y la otra 96 mts. Se supone que el ángulo entre los cordones es de 30°. Estime la distancia entre los cometas.

Tocando aquí, podemos observar que la función y3 es constante de valor ₂ ^π .

El dominio de la función y3

es [ -1, 1 ] que corresponde a

la intersección de los

dominios de y1 e y2.

El problema se resuelve a través del Teorema del coseno:

Podemos formular la ecuación conocida como Teorema del coseno, usando para ello Resolución Numérica

Con esta ecuación podemos resolver el problema de los cometas cuando el ángulo ϑ , entre los cordones, varía según

k 2

= π

ϑ , k = 1, 2, 3, 5 y 6.

Obtenemos:

9639 , 124

2 ⇒ d =

= π

θ , d 68 , 9553

4 ⇒ =

= π

θ , d 48 , 1024

6 ⇒ =

= π

θ ,

7454 , 31 10 π ⇒ d =

=

θ , d 27 , 9173

12 π ⇒ =

=

θ

80 30 96

d

La distancia d entre los cometas es:

) 30 cos(

) 96 )(

80 ( 2 ) 96 ( ) 80 (

d = ² + ² − °

aprox. 48,10249 mts.

Tocar

Resolver

Ejecutar