Valores y Vectores Propios

Valores y Vectores Propios

Departamento de Matem´aticas, CSI/ITESM 1 de abril de 2009

´Indice

9.1. Definiciones . . . . 1

9.2. Determinaci´on de los valores propios . . . . 2

9.3. El teorema del factor . . . . 5

9.4. Multiplicidad algebraica de un valor propio . . . . 6

9.5. Espacios Invariantes . . . . 6

9.6. Multiplicidad geom´etrica de un valor propio . . . . 7 9.1. Definiciones

Definici´on

Sea A una matriz cuadrada, un n´umero real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor caracter´ıstico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal que:

Ax= λx

Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicaci´on por A el vector resultante mantiene su direcci´on, posiblemente s´olo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llama vector propio o eigenvector asociado al valor propio λ.

Ejemplo

Para la matriz A indique cu´ales vectores son vectores propios.

A=

 1 2 2 1



v1=

 1 1

 , v2=

 2 3

 , v3 =

 −1 1

 , v4 =

 0 2

 Soluci´on

Debemos multiplicar cada vector por la matriz A y ver si el vector resultante es un m´ultiplo escalar del vector.

Av1 =

 1 2 2 1

  1 1



=

 3 3



= 3

 1 1



v1 s´ı es vector propio de A asociado al valor propio 3.

Av2 =

 1 2 2 1

  2 3



=

 8 7

 6= k

 2 3



v2 no es vector propio de A.

Av3 =

 1 2 2 1

  −1 1



=

 1

−1



= −1

 −1 1



v3 s´ı es vector propio de A asociado al valor propio -1.

Av4 =

 1 2 2 1

  0 2



=

 4 2

 6= k

 0 2



v4 no es vector propio de A.

Ejercicio 1

Cu´ales son vectores propios a la matriz

A=









−³³2 51

2 27

2

−⁸³₄ ¹²¹₄ ⁵⁷₄

57

4 −⁷⁵₄ −²⁷₄













−3

−3 2



,





−1 2

−5



,



 4 2 2



,



 6 8

−6



,



 1

−1 4



,



 0 1

−1



 Ejemplo

El vector

v=



 2 4

−4



 es un vector propio de la matriz

A=





5 0 3

16

5 1 ¹⁸₅

−2 0 −2



 Determine el valor propio al cual est´a asociado.

Soluci´on

Determinemos Av:





5 0 3

16

5 1 ¹⁸₅

−2 0 −2







 2 4

−4



=





−2

−4 4



= −1



 2 4

−4



 Por tanto, v est´a asociado al valor propio λ = −1 de la matriz A.

Ejercicio 2 Los vectores





−3

−2 1



,



 1 2

−2



,



 0 6 0



,



 9 6

−3



 s´ıson vectores propios de la matriz

A =





5 0 3

16

5 1 ¹⁸₅

−2 0 −2



. Determine los valores propios a los cuales est´an asociados.

9.2. Determinaci´on de los valores propios

Sea λo un valor propio de la matriz cuadrada A, as´ı existe un vector diferente cero de xo tal que:

Ax_o= λox_o= λoI_nx_o Por tanto:

Ax_o− λ_oI_nx_o= (A − λ_oI_n) x_o = 0 Si B = A − λoInlo anterior significa que el sistema homog´eneo n × n

Bx= 0

tiene adem´as de la soluci´on trivial otra soluci´on (x = xo6= 0). Por consiguiente, no tiene soluci´on ´unica. Y por tanto, el determinante de la matriz B debe ser cero:

det(B) = det (A − λoIn) = 0.

Resumiendo:

Todo valor propio λ_o debe ser ra´ız del polinomio caracter´ısticoasociado a A:

pA(λ) = det (A − λIn) (1)

y un vector propio asociado al valor propio λ debe ser soluci´on al sistema homog´eneo:

(A − λI_n) x = 0 (2)

Ejemplo

Determine los valores y los vectores propios correspondientes de las matrices:

A1=

 1 2 2 1



, A2 =

 1 1 0 1



, A3 =

 1 2

−1 2



Soluci´on Para A1:

pA(λ) = det (A − λI2) = det

 1 2 2 1



− λ

 1 0 0 1



pA1(λ) = det

 1 2 2 1



−

 λ 0 0 λ



= det

 1 − λ 2 2 1 − λ



pA1(λ) =    

1 − λ 2 2 1 − λ

= (1 − λ)²− 4

pA1(λ) = λ²− 2λ − 3 = (λ − 3) (λ + 1) Por tanto, los ´unicos valores propios de A1 son λ1= 3 y λ2= −1.

Vector propio para λ¹= 3

Debe ser soluci´on al sistema homog´eneo:

(A1− λI2) x = 0 Es decir:

 1 2 2 1



− (3)

 1 0 0 1



x= 0

Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:

 1 − 3 2 2 1 − 3



x= 0 →

 −2 2 0 2 −2 0



→

 1 −1 0

0 0 0



Convirtiendo en ecuaci´on y poniendo en la notaci´on vectorial:

x − y = 0 → x = y →

 x y



= y

 1 1



Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:

y

 1 1



es un vector propio asociado a λ1 = 3; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = 1:

 1 1



Vector propio para λ2= −1

Debe ser soluci´on al sistema homog´eneo:

(A1− λI2) x = 0 Es decir:

 1 2 2 1



− (−1)

 1 0 0 1



x= 0 Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:

 1 + 1 2 2 1 + 1



x= 0 →

 2 2 0 2 2 0



→

 1 1 0 0 0 0



Convirtiendo en ecuaci´on y poniendo en la notaci´on vectorial:

x + y = 0 → x = −y →

 x y



= y

 −1 1



Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:

y

 −1 1



es un vector propio asociado a λ2 = −1; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = 1:

 −1 1



Para la matriz A2:

pA2(λ) = det

 1 1 0 1



−

 λ 0 0 λ



= det

 1 − λ 1 0 1 − λ



pA2(λ) =    

1 − λ 1 0 1 − λ

= (1 − λ)²

Por tanto, el ´unico valor propio de A2 es λ1= 1.

Vector propio para λ1= 1

Debe ser soluci´on al sistema homog´eneo:

(A2− λI2) x = 0 Es decir:

 1 1 0 1



− (1)

 1 0 0 1



x= 0 Desarrollando y finalmente aplicando Gauss-Jordan:

 1 − 1 1 0 1 − 1



x= 0 →

 0 1 0 0 0 0



→

 0 1 0 0 0 0



Convirtiendo en ecuaci´on y poniendo en la notaci´on vectorial:

y = 0 →

 x y



= x

 1 0



Lo anterior indica que cualquier vector de la forma:

x

 1 0



es un vector propio asociado a λ1 = 1; nosotros nos conformaremos con uno: digamos el que se obtiene para y = 1:

 1 0



Para la matriz A³:

pA3(λ) = det

 1 2

−1 2



−

 λ 0 0 λ



= det

 1 − λ 2

−1 2 − λ



El polinomio caracter´ıstico queda:

pA3(t) = t²− 3 t + 4

Como este polinomio tiene ra´ıces complejas, A3 no tiene valores ni vectores propios⋄

Ejercicio 3

Determine el polinomio caracter´ıstico, los valores propios, y vectores propios asociados a la matriz:

A=









−¹₂ ⁷₄ −⁹₄

−⁵₄ ¹¹₈ −⁵₈

−¹⁵4 −⁶³8 17

8









9.3. El teorema del factor

De los cursos b´asicos de ecuaciones algebraicas es importante recordar el teorema del factor:

Teorema 9.1

Sea p(x) un polinomio. Un n´umero c es ra´ız del polinomio p(x), es decir p(x = c) = 0 si y s´olo si x − c divide a p(x). Es decir, al hacer la divisi´on de p(x) entre x − c el residuo es cero.

De hecho, p(c) es precisamente el residuo de la divisi´on de p(x) entre x − c. Y este residuo puede calcularse por medio de un proceso elemental conocido como divisi´on sint´etica:

an an−1 · · · a1 a0 c

− c · a_n · · · · · a_n a_n−1+ c · a_n · · · p(c) 9.4. Multiplicidad algebraica de un valor propio

Definici´on

Sea A una matriz cuadrada y λ_oun valor propio. Como hemos visto λ debe ser ra´ız del polinomio caracter´ıstico de A pA(λ) as´ı:

(λ − λo) | pA(λ) Al mayor exponente m que cumple

pA(λ) = (λ − λ_o)^mq(λ) le llamaremos la multiplicidad algebraicade λ_o.

Ejercicio 4

Determine la multiplicidad algebraica de cada uno de los vectores propios de la matriz

A=





5 −5 −2

−3 −2 3

7 −5 −4





9.5. Espacios Invariantes

Teorema 9.2

Sea A una matriz cuadrada y λ un escalar cualquiera entonces {x ∈ Rⁿ|Ax = λx}

es un subespacio lineal de Rⁿ.

Demostraci´on

1. No es vac´ıo pues: A0 = 0 = λ0. Es decir, 0 es un elemento del conjunto.

2. Si Ax1 = λx1 y Ax2 = λx2:

A(x1+ x2) = Ax1+ Ax2 = λx1+ λx2 = λ (x1+ x2)

Es decir, que si x1 y x2 son elementos del conjunto, la suma de ellos tambi´en es un vector en el conjunto al cumplir la propiedad que define al conjunto.

3. Si Ax¹ = λx¹:

A(cx1) = cAx1= cλx1 = λ (cx1)

Es decir, que si un vector x1 pertence al conjunto y c es un escalar cualquiera, entonces, el vector cx1

tambi´en pertenece al conjunto al cumplir la propiedad.

Por tanto, el conjunto dado es un espacio lineal⋄

Observe que en la afirmaci´on del teorema anterior no se requiere que el escalar λ sea un valor propio. Sin embargo, el conjunto anterior es diferente de {0} s´olo cuando el valor λ es efectivamente un valor propio.

Ejercicio 5

Demuestre que si V es un espacio lineal y posee al menos un vector diferente del vector cero, entonces la dimensi´on es mayor que 1.

Sugerencia. Tome el vector que no es cero, y forme un conjunto s´olo con ´el: muestre que el conjunto es linealmente independiente.

9.6. Multiplicidad geom´etrica de un valor propio Definici´on

Por el resultado anterior: Siendo λ_o un valor propio el anterior conjunto es un espacio lineal diferente de {0}

as´ı tiene dimensi´on mayor que cero: la dimensi´on del espacio anterior se llamar´amultiplicidad geom´etricadel valor propio λo.

Teorema 9.3

La dimensi´on geom´etrica de un valor propio es menor o igual que la dimensi´on algebraica.

Ejemplo

Determine la dimensi´on y una base para el espacio propio asociado a λ = −3 para la matriz:

A=









−¹2 7 4 −⁹4

−⁵₄ ¹¹₈ −⁵₈

−¹⁵₄ −⁶³₈ ¹⁷₈







 Soluci´on

El espacio propio de un valor λ es el conjunto de soluciones al sistema homog´eneo:

(A − λI) x = 0 En este caso queda:

[A − (−3)I|0] =





5/2 7/4 −9/4 0

−5/4 35/8 −5/8 0

−15/4 −63/8 41/8 0



 Despu´es de eliminaci´on gaussiana obtenemos:





1 0 −2/3 0 0 1 −1/3 0

0 0 0 0





Como s´olo hay una variable libre, entonces la dimensi´on geom´etrica del espacio propio de λ = −3 es 1. Y una base es:









 2/3 1/3 1











Como se trabaja en R³, el espacio propio es una l´ınea que pasa por el origen y que tiene direcci´on <

2/3, 1/3, 1 >^′ por consiguiente tiene ecuaciones sim´etricas:

x − 0

2/3 = y − 0

1/3 = z − 0 1 ^⋄ Ejercicio 6

Determine la dimensi´on y una base para el espacio propio asociado a λ = −2 para la matriz:

A=





5 −5 −2

−3 −2 3

7 −5 −4





En este ejemplo debido a estar en ℜ³ los espacios deber´ıan ser {0}, l´ıneas, planos o todo ℜ³: ¿Cu´al caso aplica? En caso de ser posible, encuentre la(s) ecuaciones correspondientes.

Teorema 9.4

Si los vectores v1, v2, . . . , v_k son vectores propios asociados a valores propios diferentes entonces el conjunto formado por ellos es linealmente independiente.

Demostraci´on

Llamemos λ_i al valor propio al cual est´a asociado el vector v_i. Supongamos que el conjunto de vectores es linealmente dependiente. Puesto que ning´un vector propio puede ser el vector cero , de esta suposici´on deducimos entonces que un vector v_i debe ser combinaci´on lineal de los anteriores. Escojamos aqu´el que tiene el menor ´ındice posible, digamos j , as´ı: v_j es combinaci´on lineal de los vectores v1,. . . ,v_j−1 y ning´un vector v_i es combinaci´on lineal de los anteriores para i = 2, 3, . . . , j − 1. Tenemos

v_j = c¹v1+ c²v2+ · · · + cj−1v_j−1 Multiplicando por A, y utilizando que cada v es vector propio, obtenemos

λ_jv_j = c1λ1v1+ · · · + c_j−1λ_j−1v_j−1

Si multiplicamos la primera de estas ecuaciones por λ_j y se la restamos a la segunda obtenemos:

0= c1(λ1− λ_j) v1+ · · · + c_j−1(λ_j−1− λ_j) v_j−1

Como el conjunto formado por los vectores v1,. . . ,v_j−1 es linealmente independiente , al no ser un vector combinaci´on de los restantes , se deduce que todos los coeficientes de esta ´ultima ecuaci´on deben ser cero:

c_i(λ_i− λ_j) = 0 para i = 1, . . . , j − 1

Como los valores propios son diferentes entre si: λ_i− λ_j 6= 0. As´ı son los c_i = 0 para i = 1, . . . , j − 1. As´ı la f´ormula inincial de este teorema queda:

v_j = 0v1+ · · · + 0v_j−1= 0

Pero esto es imposible pues ning´un vector propio es el vector cero. Esta contradicci´on afirma que el conjunto formado por los vectores es linealmente independiente⋄

Ejercicio 7

Investigue c´omo se obtienen los valores y vectores propios en una calculadora avanzada. Docum´ente- se de cu´al es el formato en el cual se presentan los resultados.