Operaciones con números complejos

Operaciones con números complejos

Objetivos de aprendizaje

• Sumar números complejos.

• Restar números complejos.

• Multiplicar números complejos.

• Encontrar conjugados de números complejos.

• Dividir números complejos.

Introducción

Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras preguntas es,

“¿Cómo se suman?” En este tema, aprenderás a sumar números complejos así como a restarlos, multiplicarlos y dividirlos.

Sumando y restando números complejos Primero, considera la siguiente expresión.

(6x + 8) + (4x + 2)

Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos son los términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo exponente. De manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son constantes, sin variables.

(6x + 8) + (4x + 2) = 10x + 10

De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales.

Puedes sumar con porque ambos términos tienen el mismo radical, , del mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente.

El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a . Lo interesante es que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como una variable o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restar números complejos. Combinas las partes imaginarias (los términos con i) y combinas las partes reales.

Ejemplo Problema Sumar. (−3 + 3i) + (7 –

2i)

−3 + 3i + 7 – 2i =

−3 + 7 + 3i – 2i

Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes.

Respuesta

−3 + 7 = 4 y 3i – 2i = (3 – 2)i = i (−3 + 3i) + (7 – 2i) = 4 + i

Combina los términos semejantes.

Ejemplo

Problema Restar. (−3 + 3i) – (7 – 2i) (−3 + 3i) – (7 – 2i) =

−3 + 3i – 7 + 2i

Asegúrate de distribuir el signo de resta a todos los términos del

sustraendo.

−3 – 7 + 3i + 2i Reacomoda las sumas para juntar los términos semejantes.

Respuesta

−3 – 7 = −10 y 3i + 2i = (3 + 2)i = 5i (−3 + 3i) – (7 – 2i) = 10 + 5i

Combina los términos semejantes.

Restar. (5 + 3i) – (3 – i) A) 2 + 4i

B) 6 C) 2 + 2i D) 8 + 2i

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Multiplicando números complejos

De nuevo, considera la siguiente expresión. Antes de seguir leyendo, piensa en cómo la podrías simplificar.

(5x)(−3x)

Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables.

(5x)( −3x) = (5)( −3)(x)(x)

= −15x²

Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo modo, pero hay un paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar 5i y −3i.

(5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i)

= −15i²

Hasta ahora todo va bien, pero el i² se puede simplificar más.

Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del radical.

Esto es lo que significa una raíz cuadrada.

Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a .

Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i² es reemplazar i² con −1.

(5i)( −3i) = (5)( −3)(i)(i)

= −15i²

= −15(−1)

= 15

Ejemplo Problema Multiplica. (3i)(2i)

(3i)(2i) = (3)(2)(i)(i)

= 6i²

Multiplica los coeficientes de i y luego

multiplica i por i.

6i² = 6(−1) 6(−1) = −6

Reemplaza i² con –1.

Multiplica.

Respuesta (3i)(2i) = −6

¡Observa que el producto de dos números imaginarios es un número real! Veremos esto de nuevo cuando multipliquemos dos números complejos.

Multiplica y simplifica. (3i)( −i) A) 3

B) −3 C) 3i D) −3i²

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Usando la propiedad distributiva

La siguiente expresión es un poco más complicada porque se multiplican dos binomios.

Esto significa que debes usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación. (Recuerda que multiplicar con el método FOIL — First, Outside, Inside, Last — es aplicar la

propiedad distributiva de la multiplicación.) Una vez que los binomios han sido multiplicados, simplifica la expresión combinando los términos semejantes.

(6x + 8)(4x + 2) = 6x(4x + 2) + 8(4x + 2)

= 6x(4x) + 6x(2) + 8(4x) + 8(2)

= 24x² + 12x + 32x + 16

= 24x² + 44x + 16

De nuevo, puedes multiplicar números complejos de la misma manera. Al final, necesitas simplificar i².

Ejemplo

Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(4 + 2i) (6 + 8i)(4 + 2i)

6(4 + 2i) + 8i(4 + 2i) 6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) 24 + 12i + 32i + 16i²

Se están multiplicando dos binomios, por lo que necesitas la Propiedad Distributiva de la Multiplicación.

Podríamos usar FOIL e ir directamente a

6(4) + 6(2i) + 8i(4) + 8i(2i) . 24 + 44i + 16i² Combina los términos

semejantes.

24 + 44i + 16(-1) 24 + 44i – 16 8 + 44i

Reemplaza i² con −1 y simplifica.

Respuesta (6 + 8i)(4 + 2i) = 8 + 44i

En este caso, el producto de dos números complejos es complejo. Pero en el siguiente ejemplo, el producto es real y no complejos. ¡Veamos si puedes averiguar por qué!

Ejemplo

Problema Multiplicar y simplificar. (6 + 8i)(6 – 8i) (6 + 8i)(6 – 8i)

6(6) + 6(–8i) + 8i(6) + 8i(–8i) 36 – 48i + 48i – 64i²

Usa FOIL para expandir el producto.

36 – 64i² Combina los términos

semejantes.

36 – 64(−1) 36 + 64 100

Reemplaza i² con −1 y simplifica.

Respuesta (6 + 8i)(6 – 8i) = 100

Así como y son conjugados, 6 + 8i y 6 – 8i son conjugados. (De nuevo, i es una raíz cuadrada, por lo que esto no es realmente algo nuevo.) Cuando los números son complejos, los llamamos conjugados complejos. Porque los conjugados tienen términos que son iguales excepto por la operación entre ellos (una es suma y la otra es resta), los términos i en el producto sumarán 0. En el ejemplo anterior, −48i se suma a 48i y esa suma es 0, por lo que no el término i no existe en el producto final. Esto significa que el producto de dos complejos conjugados siempre será un número real (y no complejo).

Multiplicar. (9 + i)(9 – i) A) 82 + 18i

B) 80 – 18i

C) 80 D) 82

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División de números complejos

Hasta ahora, cada operación con números complejos ha funcionado de la misma manera que con expresiones radicales. Esto no debería sorprenderte, el número i es el radical, después de todo, ¡por lo que los números complejos son expresiones radicales!

Veamos a la división en dos partes, como hicimos con la multiplicación. Primero, veamos la situación cuando el divisor es un monomio.

Ejemplo

Problema Simplifica. −24i ÷ 6

Trata a la división como

una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el

denominador.

Respuesta −24i ÷ 6 = −4i Como el resultado no tiene denominador, no es necesario seguir

simplificando.

Ejemplo Problema Simplifica. 32i ÷ 6i

Trata a la división como

una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el

denominador. Observa que en este caso, i es parte del factor común.

Respuesta

32i ÷ 6i =

La fracción quede en su forma simple.

Ejemplo Problema Simplifica. 56 ÷ −7i

Trata a la división como

una fracción. Simplifica la fracción usando un factor que tengan en común el numerador y el

denominador.

En este caso, el

denominador todavía tiene el término i.

Como i es un radical, debes seguir simplificando para racionalizar el

denominador.

Como el denominador es

sólo un término, no necesitas pensar en conjugados complejos.

Sólo multiplica por 1 en la

forma y simplifica.

(Recuerda, el producto de dos números imaginarios es real, por lo que el denominador es real.) Respuesta 56 ÷ −7i = 8i

Simplifica. 12 ÷ 10i

A)

B)

C)

D)

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Cuando el divisor (esto es, el denominador en la fracción) es un número complejo con partes real e imaginaria distintas de cero, debes racionalizar el denominador usando el conjugado complejo. Recuerda que el producto de un número complejo con su conjugado complejo siempre es un número real, por lo que el denominador será un número real. Esto significa que el resultado será equivalente, pero racionalizado.

Ejemplo

Problema Simplificar. (56 – 8i) ÷ (14 + 10i)

Trata la división

como una fracción.

Simplifica la

fracción usando un factor común que tengan el

numerador y el denominador, si existe.

Ten cuidado de usar la propiedad distributiva, los números deben ser un factor

de todos los términos.

En este caso, el

denominador aún tiene el término i.

Para racionalizar el denominador, multiplica por el conjugado complejo del denominador. En este caso, el

conjugado complejo es (7 – 5i).

(En los conjugados complejos, las partes reales son iguales y las partes imaginarias son inversos aditivos.)

Expande el

numerador y el denominador.

Recuerda, el denominador debe ser un número real (sin el término i) si escoges el

conjugado

complejo correcto y realizas la multiplicación correctamente.

Reemplaza i² con

−1 y

simplifica. ¡Asegúr ate de remplazar i² en el numerador y en el

denominador!

El cociente puede

escribirse en la forma a + biusando fracciones

para a y b.

^Siempre

comprueba el producto final para ver si se puede simplificar más. En este caso, ambas fracciones pueden simplificarse.

Respuest

a (56 – 8i) ÷ (14 + 10i) =

Simplifica. (10 + 6i) ÷ (5 – 3i)

A) B) 2 – 2i

C)

D)

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Operaciones con números complejos

Para sumar o restar, combinar términos semejantes.

Para multiplicar monomios, multiplicar los coeficientes y luego multiplicar los números imaginarios i. Si aparece i², reemplazar con −1.

Para multiplicar números complejos que son binomios, usar la Propiedad Distributiva de la Multiplicación, o el método FOIL. Multiplicar los términos resultantes como

monomios.

Para dividir, tratar el cociente como una fracción.

• Simplificar las partes numéricas y luego racionalizar el denominador, si es

necesario.

• Reemplazar i² por −1 en el numerador y el denominador, si es necesario.

•

de ay b cuando son fracciones.

Sumario

Los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir usando las mismas ideas que con los radicales y las variables. Con la multiplicación y la división, podrías necesitar reemplazar i² con −1 y continuar simplificando.