Módulo de Lógica matemática

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Módulo de Lógica matemática

Favián Arenas A. y Amaury Camargo .

Índice

1. Generalidades. 5

1.1. Objetivos generales . . . 6

1.2. Introducción a la lógica matemática . . . 7

1.3. Objetivos . . . 8

1.4. Competencias . . . 9

1.5. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje . . . 10

1.6. Recursos de aprendizaje . . . 10

1.7. Proposiciones . . . 11

1.8. Clases de proposiciones . . . 12

1.8.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ q . . . 13

1.8.2. Proposiciones disyuntivas, p _ q . . . 15

1.8.3. Proposiciones disyuntivas exclusivas pY q . . . 16

1.8.4. Proposiciones condicionales, p ! q . . . 16

1.8.5. Proposiciones bicondicionales, p $ q . . . 17

1.8.6. Proposiciones negativas: p . . . 19

1.8.7. Validación de leyes lógicas . . . 21

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ÍNDICE Lógica Matemática

1.9. Cuanti…cadores . . . 26

1.10. Actividades . . . 28

2. Introducción a los Conjuntos 33 2.1. Objetivos . . . 34

2.5. Teoría de conjuntos . . . 36

2.6. Clases de conjuntos . . . 37

2.7. Determinación de un conjunto . . . 38

2.8. Algebra de conjuntos . . . 40

2.9. Propiedades de los Conjuntos . . . 43

3. Introducción al Álgebra de Boole 48 3.1. Objetivos . . . 49

3.5. Clases de operaciones . . . 51

3.6. Álgebra de Boole . . . 53

3.7. Principio de dualidad . . . 55

3.8. Funciones booleanas . . . 58

3.8.1. Funciones reales y funciones booleanas . . . 58

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3.8.2. Funciones booleanas y tablas de verdad . . . 61

4. Introducción al método de Karnaugh 65 4.1. Objetivos . . . 66

4.5. Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos . . . . 68

4.5.1. Método Karnaugh de simpli…cación de expresiones booleanas 87 4.6. Actividades . . . 96

4.7. Objetivos . . . 100

4.9.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ q . . . 103

4.9.2. Proposiciones disyuntivas, p _ q . . . 104

4.9.3. Proposiciones condicionales, p ! q . . . 105

4.9.4. Proposiciones bicondicionales, p $ q . . . 106

4.9.5. Negación de Proposiciones : p . . . 106

4.11. Objetivos . . . 109

4.13. Algebra de conjuntos . . . 110

4.15. Objetivos . . . 115

(4)

4.17. Clases de operaciones . . . 116

4.18. Álgebra de Boole . . . 117

4.18.1. Funciones reales y funciones booleanas . . . 120

4.20. Objetivos . . . 125

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Lógica Matemática

1. Generalidades.

Nombre del curso:

Programa:

Area:

Semestre:

Créditos:

Prerrequisitos:

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1.1 Objetivos generales Lógica Matemática

1.1. Objetivos generales

Proporcionar una formación sólida en los fundamentos de la lógica de proposiciones.

Desarrollar las habilidades y destrezas para la representación formal del conocimiento y para la transcripción de frases del lenguaje natural en lenguaje formal.

Introducir el manejo simbólico de sistemas formales y la demostración de teoremas

Describir qué es una interpretación, cómo se calcula el valor de una fórmula en una interpretación y los tipos de fórmulas en función de las diferentes interpretaciones.

Fomentar al alumno para que se enfrente a la resolución de problemas de forma lógica, analítica y estructurada.

Comprender los mecanismos computacionales asociados a las prob- lemáticas de la demostración automática de teoremas y la Progra- mación Lógica.

Mostrar el contexto de la lógica en la Informática y captar su relación con ramas especí…cas como: Programación, Ingeniería del Software, Bases de Datos, Diseño de Circuitos, etc.

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1.2 Introducción a la lógica matemática Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE I

1.2. Introducción a la lógica matemática

La verdad y la mentira, palabras opuestas que utilizamos a diario para tomar decisiones, sean estas correctas o no. Debemos valorar cada cosa; pero es razonable que no todas las expresiones se pueden valorar, o...¿Alguien se atrevería a contradecir a quien pregunte por la hora?, por supuesto que no, y aunque a usted no le guste algún color ¿signi…ca que por ello a nadie mas le gustará?.¡Claro que no! En este caso podemos decir que es una situación sub- jetiva o dependiente del individuo que lo exprese. También hay expresiones que para la mayoría de las personas tiene un valor único, por ejemplo .la rosa es una ‡or, en algunas tendremos que ser bien explícitos para evitar malos entendidos, por ejemplo: “Jesús tiene cinco letras”. ¿a quien nos referimos al hombre llamado Jesús ó a la palabra Jesús?. Por lo tanto una proposición es una a…rmación de la cual se puede a…rmar que es cierta o que es falsa. Para expresarnos con claridad utilizamos conjuntos de palabras con sentido “lógi- co”, sin embargo, ¿qué es en realidad lógica? Cuando escuchamos expresiones como:

“Su respuesta fue lógica”

“Es ilógico pensar que no lo notará”

“Lógicamente...”

En realidad estamos expresando lo que la mayoría de las personas haría o escogería como correcto, o dicho de otra forma, el sentido común.

¿será cierto que el sentido común es el menos común de los sentidos?

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1.3 Objetivos Lógica Matemática

1.3. Objetivos

El alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguientes elementos básicos para la solución de un problema:

Resolver proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos.

Hallar el valor de verdad de una proposición a través de la conjunción, disyunción, condicional, bicondicional y negación a través de proposiciones simples.

Construir la tabla de verdad de una proposición compuesta, y decidir si es una ley.

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1.4 Competencias Lógica Matemática

1.4. Competencias

Sustenta una proposición compuesta como una tautología a partir de su tabla de verdad.

Identi…ca en un teorema el antecedente y el consecuente.

Desarrolla el proceso de síntesis a partir de la construcción de proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos.

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1.5 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizajeLógica Matemática

1.5. Estrategias pedagógicas o actividades de apren- dizaje

Mesa redonda.

Presentación de trabajos.

Sesión de Chat.

Sesión Foro.

Talleres

Encuentro presencial

1.6. Recursos de aprendizaje

Aula de clases, Laboratorios Auditorios.

Videobeam Retroproyector.

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1.7 Proposiciones Lógica Matemática

1.7. Proposiciones

La lógica es toda una disciplina en la que las re‡exiones y el razonamien- to son fundamentales. Es estudiada también por la …losofía, pero, aquí nos referiremos por lógica a la Lógica matemática. El elemento básico sobre el que se desarrolla toda esta teoría se llama proposición.

De todo lo anterior una proposición es una a…rmación con sentido com- pleto de la cual se puede a…rmar que es cierta o que es falsa.

Ejemplo 1.

1. “La sal es un compuesto químico”

2. 10 < 14

3. “13 es un número impar”

4. “El sol sale de noche”

5. 45 + 5 = 30

6. “¿De que color es la pared?”

Las a…rmaciones 1, 2, 3, 4 y 5. son proposiciones aunque no todas son verdaderas siguen siendo proposiciones.

A esta propiedad de las proposiciones de ser verdadera o falsa se le llama valor de verdad.

Las proposiciones se representan con letras minúsculas, usualmente p, q, r, s, t,..

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1.8 Clases de proposiciones Lógica Matemática

Existen casos donde el sujeto del que se habla en la proposición no está de…nido o no se conoce, por lo que tiene una incógnita.

A estos casos les llamamos frases proposicionales. (Suele llamarles proposiciones abiertas)

1. x + 12 = 20

2. “Alguien es un ingeniero famoso”

3. Mi nombre es "fulano de tal"

4. “Tengo x dinero en el banco”

1.8. Clases de proposiciones

1. Proposiciones simples o atómicas: Son aquellas que no se pueden frag- mentar en proposiciones menores.

a) “La luna es un satélite natural”

“Los dígitos son nueve”

“4 es un número par”

“Todos los números impares son primos”

“Los pingüinos son aves”

2. Proposiciones compuestas o moleculares: Las proposiciones simples se pueden conectar, y construir proposiciones llamadas compuestas. Ésta operación puede hacer que cambie su valor de verdad.

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"Las rosas son rojas y las violetas azules"es un enunciado compuesto por los subenunciados "las rosas son rojas ² "las violetas son azules".

"El es inteligente o estudia todas las noches"es, implícitamente, un enunciado compuesto por los subenunciados "El es inteligente ²

"estudia todas las noches".

La propiedad fundamental de un enunciado compuesto es que su valor de verdad está completamente determinado por los valores de verdad de sus subenunciados junto con la manera como están conectados para formar el enunciado compuesto. Comenzamos con un estudio de algunas de estos conectivos.

Utilizaremos las letras p; q; r(en minúsculas) para denotar proposiciones.

Además una proposición puede tomar el valor de 1 si es verdadera, 0 si es falsa, esto también se espera que ocurra en las proposiciones compuestas, por esto es necesario una tabla que de la oportunidad de veri…car todas las posibles combinaciones, la llamaremos T ablas de verdad

1.8.1. Proposiciones conjuntivas, p^ q

Dos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra ² "para formar un enunciado compuesto llamado la conjunción de los enunciados originales. Simbólicamente, p ^ q denota la conjunción de los enunciados p y q, que se lee "p y q".

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el valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposiciones que la conforman sean verdaderas

1. p : El dos es un número par (V) 2. q : Siete es un número primo (V) 3. r : El ocho es un número primo (F) así que :

p ^ q : El dos es un número par y siete es un número primo (V)

En caso de que una de las dos sea falsa entonces toda la proposición conjuntiva lo será.

r ^ q : El ocho es un número primo y siete es un número primo (F)

La tabla de verdad del enunciado compuesto p ^ q está dada por la siguiente tabla:

p q p^ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Para ilustrarlo: en una tubería de acueducto se han colocado 2 grifos numerados p y q respectivamente si se abre p escribimos 1, si la cerramos escribimos 0. la única forma en que salga agua es p = 1 y q = 1 en cualquier otro caso no saldrá agua.

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1.8.2. Proposiciones disyuntivas, p_ q

Dos enunciados se combinan con la palabra .^o"para formar un enunciado compuesto llamado la disyunción de los enunciados originales. Simbólica- mente, p _ q denota la disyunción de los enunciados p y q, que se lee "p o q".

El valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposiciones que la conforman sean no sean falsas.

La tabla de verdad del enunciado compuesto p _ q está dada por la siguiente tabla:

p q p_ q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

En este caso la única manera en que no salga agua es que ambos grifos estén cerrados

q p

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1.8.3. Proposiciones disyuntivas exclusivas pY q

Dos enunciados se pueden combinar con la palabra .^o"para formar un enunciado compuesto llamado la disyunción de los enunciados originales.

Simbólicamente, p Y q denota la disyunción de los enunciados p y q, que se lee "p o q".

La tabla de verdad del enunciado compuesto pY q está dada por la siguiente tabla:

p q pY q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

1.8.4. Proposiciones condicionales, p! q

Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “entonces”, se forma una proposición que solo es falsa si las primera es verdadera y la segunda es falsa (solo en este orden).

Ejemplo 2.

Sea p : El canguro es marsupial ( 1 )

q : America es habitat de todos los marsupiales ( 0 )

El canguro es marsupial entonces América es habitat de todos los marsupiales.

en forma simbólica

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p q p! q

1 0 0

En las proposiciones condicionales llamamos a la primera proposición que la compone “antecedente” y a la segunda “consecuente”. Cuando el antecedente tiene una relación directa con el consecuente podemos utilizar el símbolo de la implicación “=)”

La suma de dos números naturales es un número natural esto implica que 2+3 es número natural

La tabla de verdad de la proposición compuesta p ! q está dada por la siguiente tabla:

p q p! q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 1

Ahora el grifo p tiene un problema, se encuentra mal y cuando alguien la abre esta se cierra, cuando alguien la cierra esta se abre, por eso la única forma en que no salga agua es que se abra p (en realidad se cierra) y se cierre q

1.8.5. Proposiciones bicondicionales, p$ q

Cuando se unen dos proposiciones con el conectivo “si y solo si”, se forma una proposición que solo es falsa si las dos tienen valores de verdad diferentes.

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q p

Ejemplo 3.

Sea p : todo número impar es primo ( 0 ) q : 9 es menor que 6 ( 0 )

Todo número impar es primo si y solo si 9 es menor que 6, es como decir:

Todo número impar es primo única y exclusivamente si 9 es menor que 6 Como ambas proposiciones son falsas se cumple la a…rmación compuesta La tabla de verdad del enunciado compuesto p $ q está dada por la siguiente tabla:

p q p$ q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

La proposición bicondicional p $ q es equivalente por su tabla de verdad a (p! q) ^ (q ! p)

(19)

q p

Compruebe la tabla de verdad para este circuito de acueducto:

p q (p! q) ^ (q ! p) 1 1

1 0 0 1 0 0

1.8.6. Proposiciones negativas: p

Aunque no es un conectivo lógico (como _; ^; Y ,=); ,) genera nuevas proposiciones con solo cambiarle el valor de verdad y se simboliza anteponien- do “ ” a la letra de la proposición:

Ejemplos:

p : todo número impar es primo p :no todo número impar es primo q : 9 es menor que 6

q : 9no es menor que 6

La tabla de verdad de la negación de p : pestá dada por la siguiente tabla:

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Problema 1.

p

p p

1 0 0 1

Problema 2. Supóngase que en este circuito de acueducto llamamos abrir con el 1 y cerrar con el 0. Si sale agua 1 y si no sale 0. Completa la siguiente tabla de acuerdo a la grá…ca.

p r

q

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grifo p grifo q grifo r ¿Sale?

1 1 1

1 1 0

1 0 1

1 0 0

0 1 1

0 1 0

0 0 1

0 0 0

1.8.7. Validación de leyes lógicas

A partir de las tablas de verdad anteriores se pueden calcular la tabla de verdad de proposiciones mas complejas.

Ejemplo 4. Hallar La tabla de verdad de la proposición: (p ! q) ^ (q_ p)

para esto se determinan inicialmente las tablas de:p; q; p; p ! q; q_ p y por último (p ! q) ^ (q_ p)

p q p p! q q_ p (p! q) ^ (q_ p)

1 1 0 1 1

1 0 0 0 0

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

(22)

El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

N^o de líneas = 2ⁿ

Donde n = número de variables distintas.

El propósito de estas tablas de verdad consiste en probar si dos proposiciones son equivalentes o no, o tal vez si una implica a la otra.

Ejemplo 5. Veamos, se desea probar que (p ! q) es equivalente a ( p _ q) para eso validamos la proposición (p ! q) , ( p _ q) mediante su tabla de verdad

Ejemplo 6.

p q p p! q p_ q (p ! q) , ( p _ q)

1 1 0 1 1 1

1 0 0 0 0 1

0 1 1 1 1 1

0 0 1 1 1 1

Nótese que el valor de verdad es en todo caso verdadero, cuando esto ocurre le llamamos TAUTOLOGÍA, cuando tenemos una tautología tenemos una ley lógica.

Veamos otro ejemplo: (p ! q) ^ (p ! r) ) p ! (q ^ r)

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p q r (p! q) (p ! r) (q ^ r)

1 1 1 1 1 1

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

1 0 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0

0 0 1 1 1 0

0 0 0 1 1 0

(p! q) ^ (p ! r) p ! (q ^ r) (p ! q) ^ (p ! r) ) p ! (q ^ r)

1 1 1

0 0 1

1 1 1

Un ejemplo de las leyes lógicas son : Leyes de Idempotencia

p^ p , p p_ p , p

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Leyes conmutativas

p^ q , q ^ p

p_ q , q _ p

pY q , q Y p

p$ q , q $ p

Leyes asociativas

p^ (q ^ r) , (p ^ q) ^ r p_ (q _ r) , (p _ q) _ r p$ (q $ r) , (p $ q) $ r Leyes distributivas

p^ (q _ r) , (p ^ q) _ (p ^ r) p_ (q ^ r) , (p _ q) ^ (p _ r) Leyes de absorción

p^ (p _ q) , p p_ (p ^ q) , p

Leyes de Morgan

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(p^ q) , p_ q (p_ q) , p^ q Leyes de Involución

( p), p

Problema 3. aplica la validación de tablas para probar las anteriores leyes.

Tambien hay ocasiones en que lo que se desea probar es que dos proposiciones no pueden ser simultáneamente verdaderas. veamos

Ejemplo 7. pruebe que las proposiciones p es excluyente con p se debe validar (p^ q)

p q q (p^ q)

1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

Ejemplo 8. pruebe que las proposiciones (p^ q) es excluyente con (p! q) se debe validar (p^ q)^ (p ! q)

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1.9 Cuanti…cadores Lógica Matemática

p q q p! q (p^ q) (p^ q)^ (p ! q)

1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0

A casos como estos donde la tabla termina solo con ceros se le llama CONTRADICCIÓN

1.9. Cuanti…cadores

Si, en una condición dada p(x), atribuimos a la variable x los valores de su dominio, obtendremos, como vimos, una proposición. Otra forma, ex- tremadamente importante en Matemática, de obtener proposiciones a partir de una condición p(x), es anteponerle a esta los símbolos 8x; 9x y 9!x que se llaman cuanti…cadores (cuanti…cador universal , cuanti…cador existencial y cuanti…cador existencial de unicidad respectivamente).

La proposición 8x : p(x) se lee “para todo x, tal que p(x)” y signi…ca que p(x) es verdadera, atribuyendo a x cualquier valor de su dominio.

La proposición 9x : p(x) se lee “existe un x, tal que p(x)”y signi…ca que p(x) es verdadera, para algún x de su dominio, ün"no signi…ca "único". por ejemplo "María Teresa tiene una amiga que la quiere mucho"es posible que tenga más de una, es por esto que la proposición 9!x : p(x) se lee “existe un único x, tal que p(x)” y signi…ca que p(x) es verdadera si y solo si x toma un único valor de su dominio.

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1.9 Cuanti…cadores Lógica Matemática

Por ejemplo, siendo x una variable real, son verdaderas las proposiciones:

1) 8x : x²+ 1 > 0 2) 9x : x² 4 = 0 3) 9!x : 8x 4 = 0 Justi…cación:

1) Como ningún número al cuadrado es negativo 8x : x² 0

8x : x²+ 1 0 + 1

8x : x²+ 1 1 y como 1 > 0 8x : x²+ 1 > 0

2) Mostremos los valores de x en los cuales:x² 4 = 0 ; x² = 4

x = p 4 x = 2

solo con lo valores 2 y 2 la proposición es verdadera

3) Se pide 8x 4 = 0 así que el valor de x es:

8x 4 = 0 8x = 4 x = ⁴₈ x = 2

y este es el único valor de x que lo hace verdadero

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1.10 Actividades Lógica Matemática

1.10. Actividades

Ejercicio 1. 1. ¿Cuáles de los enunciados siguientes pueden considerarse como proposiciones

a) Si llueve es porque estamos en invierno.

b) Un triángulo es una …gura plana con tres lados.

c) Un triángulo es un polígono de tres ángulos.

d) La …losofía es triangular e) 5² = 21

f) Un cuadrado es una …gura plana de cuatro lados.

g) Un cuadrado es un polígono de cuatro ángulos rectos h) Un rectángulo es un polígono de cuatro ángulos rectos.

i) Medellín es ciudad de eterna primavera.

j) Un rectángulo es una …gura verde.

k) x²+ 3x 4 = 0

l) Todas las naranjas son amarillas.

m) Algunas manzanas son rojas.

2. Para que la proposición abierta x + 5 < 10 tenga valor de verdad falso, x debe reemplazarse por:

a) 2 b) 3

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c) 4 d) 5

3. En la proposición: “ Sí respetamos la vida entonces Colombia será un país feliz”. Podemos escoger:

p :Respetamos la vida

q :Colombia será un país feliz

Se construyó la tabla de verdad para esta proposición compuesta, pero tiene un error. Localízalo, marcando con x el renglón correcto

p q p! q

1 0 1

0 0 1

1 1 1

0 1 1

4. “Una …gura de 4 lados se llama cuadrilátero, si tiene 5 lados se llama pentágono, si tiene 6 lados se llama hexágono”En el enunciado anterior identi…ca todas las proposiciones cerradas.

(Represéntalas con las letras p, q, r).

5. Con las proposiciones clasi…cadas en el ejercicio anterior. escribe en palabras las proposiciones compuestas siguientes:

a) p! q b) (p$ q)

(30)

c) (p! q ) ! (p ! r)

6. Supón que p es verdadera, q es falsa y r es falsa ¿cómo es el valor de verdad de las siguientes proposiciones

a) p^ q b) (p! q)

c) (p_ q ) Y (p ! r)

7. Completa las siguientes tablas de verdad

a)

p q q p p^ q pY q (p Y q) _ ( p^ q)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

b)

p q q p$ q p^ q (p$ q) ! (p^ q)

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

(31)

c)

p q r ((p! r) ^ (q ! r)) ! r

1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0

8. Construye 3 frases que no sean proposiciones, 3 proposiciones, luego niega las tres proposiciones.

9. Ana y José apostaron al marcador entre sus equipos favoritos de fútbol.

Al iniciarse el partido José le dice a Ana: “si mi equipo gana entonces yo pago el almuerzo” La situación puede tener los resultados que se muestran en la tabla. ¿En cual de todos José habrá mentido? Escríbelo en la tabla.

p q ¿José cumplió?

Ganó el equipo de José v José pagó el almuerzo v Ganó el equipo de José v José no pagó el almuerzo f Perdió el equipo de José f José pagó el almuerzo v Perdió el equipo de José f José no pagó el almuerzo f

10. Encuentre una expresión que solo contenga ^; _ y la negación ;para representar:

(32)

a) p! q b) p$ q c) pY q:

11. En el siguiente circuito eléctrico cada interruptor está representado por una letra , encuentra la tabla de verdad que representa este circuito y diseña otro circuito que tenga la misma tabla de verdad.

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Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE II

2. Introducción a los Conjuntos

Las ideas esenciales de la teoría de conjuntos fue introducida por George.

Cantor, en la parte …nal del siglo XIX. Desde entonces la teoría dos conjuntos no ha dejado de desarrollarse intensamente, de tal forma que ahora puede decirse que todas las ramas de la Matemática fueron profundamente in‡uenciados y enriquecidos por esa teoría. Procuraremos en esta unidad de aprendizaje introducir algunas de las ideas básicas de teoría de conjuntos, evitando un tanto una formulación demasiado abstracta, o rigurosa.

La noción de conjunto es una de las que tiene la Matemática Moderna (¿recuerda que es un punto en geometría? eso también es una noción) , en donde los conceptos y no las de…niciones son adoptados como punto de par- tida y sirven base para la de…nición de otros conceptos introducidos en el desarrollo de la teoría. Intuitivamente, un conjunto es entendido como una colección de objetos de cualquier natureza , los cuales se dicen elementos del conjunto.

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2.1. Objetivos

El alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicos para la solución de un problema:

Generalidades sobre que es un conjunto y sus Clases.

Generalidades sobre el álgebra de conjuntos y problemas.

Razonamiento sobre cardinalidad de conjuntos..

2.2. Competencias

Determina conjuntos por extensión y comprensión.

Mani…esta habilidad en la representación grá…ca de conjuntos y sus operaciones.

Muestra interés participando en la construcción de proposiciones compuestas y nuevos conjuntos.

Reconoce a partir de una proposición el conjunto equivalente.

Comprende y demuestra las leyes logicas y de conjuntos.

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2.3. Estrategias pedagógicas o actividades de apren- dizaje

Mesa redonda.

Sesión de Chat.

Sesión Foro.

Talleres

2.4. Recursos de aprendizaje

(36)

2.5 Teoría de conjuntos Lógica Matemática

2.5. Teoría de conjuntos

Elementos: la mínima parte de un objeto se denomina elementos, son elementos los integrantes de una familia, son elementos los días de la semana, son elementos los números de teléfonos de montería, son elementos las hojas de un árbol, claro está esta es una noción que has escuchado antes y está muy relacionado con otro objeto matemático llamado CONJUNTO.

Conjunto:se suele decir que una agrupación de elementos es un conjun- to, pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque no tenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el direc- torio telefónico, un árbol, el grupo de presidentes de Colombia, el grupo de mamíferos que ponen huevos.

Símbolos:Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A; B; C;...

Los elementos con letras minúsculas: a; b; c; :::

Al representarlos , para agrupar los elementos utilizamos llaves f g, tam- bién podemos usar un diagrama de Venn, a veces es más fácil , por eso debes utilizar las dos formas.

Ejemplo:

Representa el conjunto de los números dígitos D =f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g

o también

Relación de pertenencia. Si se tiene un conjunto A y un elemento a y ocurre que a es un miembro de A, se dice, entonces, a pertenece a A y se escribe a 2 A (a es un elemento de A).

Pero si se tiene un elemento c que no pertenece al conjunto A ,se escribe

(37)

2.6 Clases de conjuntos Lógica Matemática

c =2 A (c no es un elemento de A).

2.6. Clases de conjuntos

Los conjuntos se clasi…can según el número de elementos que posean, veamos:

Conjunto vacío:

Es aquel conjunto que no tiene elementos, como una bolsa vacía, se simboliza con

El conjunto de los números pares que terminan en 3 Representémoslo así:

P =flos números pares que terminan en 3 g =

Conjunto unitario: es el que tiene un solo elemento.

B = { la capital de Colombia}

M = {Lucy}

C =f0g

Conjunto …nito: es aquel que tiene un número …nito de elementos . También es …nito el conjunto unitario.

(38)

2.7 Determinación de un conjunto

Lógica Matemática S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

N =f3; 13; 23; 33; 34; 35g T = {Miguel, José}

A =fa; b; c; d; :::; x; y; zg

Conjunto in…nito:si tiene tantos elementos que es imposible contarlos se le llama conjunto in…nito.

N = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; :::g

¿Conoces otro conjunto que sea in…nito? ¿Cuantos?

¿Que signi…ca los puntos suspensivos?

2.7. Determinación de un conjunto

Para determinar o identi…car un conjunto existen dos maneras:

Por extensión, que consiste en escribir todos y cada uno de los elementos que lo conforman, así conociendo todos sus elementos conocemos el conjunto.

Por comprensión, esta consiste en indicar una característica especial y común que tienen los elementos de un conjunto.

Ejemplo 9.

por extensión:

V =fa; e; i; o; ug

F =f1; 11; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81; 91; 101; 111; ::::g Y =

Por comprensión:

(39)

2.7 Determinación de un conjunto

Lógica Matemática

V={las vocales}

F={los números naturales que terminan en 1}

Y={los números impares que terminan en 0}

Subconjunto:

Si un conjunto B está contenido en un conjunto A, es porque todos los elementos de B están en A; pero es posible que existan elementos en A, que no estén en B.

Entonces B es un Subconjunto de A, o también se puede decir “ B está contenido en A”. Se representa con los símbolos: B A

Así que:

(B A)() (x 2 B =) x 2 A)

(40)

2.8 Algebra de conjuntos Lógica Matemática

2.8. Algebra de conjuntos

Unión de Conjuntos Los conjuntos A = fa; b; c; d; eg y B = fa; e; i; o; ug se combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puede estar repetido fa; b; c; d; e; i; o; ug, a este conjunto lo llamaremos unión de A y B.

M =f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces M[ J = f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9g

En forma grá…ca la unión es la región resaltada

Simbólicamente la unión de A y B es:

AU B =fx : x 2 A _ x 2 Bg

Intersección de Conjuntos En esta operación de conjuntos se trata de encontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos, veamos:

M =f1; 2; 3; 4; 5g y J =f1; 3; 5; 7; 9g entonces

(41)

La intersección la representamos por:

M \ J = f1; 3; 5g pues son los que se repiten. En forma grá…ca la inter- sección es la región resaltada

Simbólicamente la intercepción de A y B es:

A\ B = fx : x 2 A ^ x 2 Bg

Diferencia de Conjuntos En los conjuntos V = fa; e; i; o; ug y A = fa; e; og

La diferencia de V A es el conjunto formado por los elementos de V que no están en A así:

V A =fi; og

M =f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entonces La diferencia la representamos por:

M J =f2; 4g pues son los que están en M y no en J.

También se puede calcular J M

J M =f7; 9g pues son los que están en J y no en M.

(42)

En forma grá…ca la diferencia es la región sombreada Simbólicamente es:

M J =fx : x 2 M ^ x =2 Jg J M =fx : x 2 J ^ x =2 Mg

Complemento Para esta operación debemos de…nir primero un conjunto que nos sirva como base o referencia, lo simbolizarán con la letra U, se llamará universal o referencial.

Si U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g y el conjunto A = f0; 1; 2; 3g

Llamaremos complemento de A , al conjunto formado por todos los elementos de U que no están en A, o sea f4; 5; 6; 7; 8; 9g, a este conjunto lo denotaremos con A0

Notese que A0 = U A

U =f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g

Si B = f1; 11; 29g entonces B0 = f3; 5; 7; 13; 17; 19; 23g Si C = f3; 5; 7; 17; 23g entonces C0 = f1; 11; 13; 19; 29g Si D = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g entonces D0 = Simbólicamente es:

A⁰ =fx : x 2 U ^ x =2 Ag

(43)

2.9 Propiedades de los Conjuntos

Lógica Matemática

2.9. Propiedades de los Conjuntos

Existen ciertas analogías entre los conectivos de las proposiciones y las operaciones con conjuntos, una de ellas consiste en que todos los operadores de conjuntos se pueden poderse reducir a combinaciones de intercepciones y uniones, así como los conectivos de proposiciones se pueden reducir a los conectivos ² "(^), .^o"(_) y la negación ( ).

La intersección de conjuntos es análoga a la conjunción de proposiciones \ ^

La unión de conjuntos es análoga a la disyunción de proposiciones [ _

El complemento de conjuntos es análogo a la negación de proposiciones A⁰ p

La contenencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposiciones A B p! q

La diferencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposicionesA B = A\ B⁰ p! q , p _ q

Por lo tanto gozan de propiedades semejantes a las proposiciones:

Leyes de Idempotencia

A\ A = A A[ A = A

Leyes conmutativas

(44)

2.9 Propiedades de los Conjuntos

Lógica Matemática

A\ B = B \ A

A[ B = B [ A

Leyes asociativas p^ (q ^ r) , (p ^ q) ^ r p_ (q _ r) , (p _ q) _ r p$ (q $ r) , (p $ q) $ r Leyes distributivas

A\ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) A[ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) Leyes de absorción

A\ (A [ B) = A A[ (A \ B) = A

Leyes de Morgan

(A[ B)⁰ = A⁰\ B⁰ (A\ B)⁰ = A⁰[ B⁰ Leyes de Involución (A⁰)⁰ = A

(45)

Veamos grá…camente la ley de Morgan (A [ B)⁰ = A⁰ \ B⁰

2.10. Actividades

1. Completa en el dibujo las cantidades correspondientes a cada sección de la …gura y con esa información responde las preguntas a, b, c y d

36personas fueron a Europa, visitaron España, Inglaterra o Francia, sin embargo, no todas fueron a los tres lugares, para identi…car la cantidad exacta

(46)

de personas que fueron a cierto país, se especi…ca cada cantidad en el siguiente diagrama de Venn.

21 personas fueron a Francia

17 personas fueron a España

16 personas fueron a Inglaterra

9 personas fueron a Francia y a España

8 personas fueron a España y a Inglaterra 6 personas fueron a Francia y a Inglaterra

1. a) El número de personas que fue a Francia y España pero no a Inglaterra es:_______

b) El número de personas que fue a España o Inglaterra es:______

c) El número de persona que fue a Inglaterra, España y Francia es:________

d ) El número de personas que fue a España o Inglaterra pero no a Francia es:______

2. Después de medir su peso en una balanza, se obtienen los siguientes resultados:

(47)

Andrés es más liviano que Fernando, pero más pesado que Gabriela Esteban es más liviano que Andrés, pero más pesado que Gabriela Pedro es más liviano que Jorge, pero más pesado que Miguel Jorge es más liviano que Gabriela

Ordena los jóvenes según su peso, comenzando con el más pesado.

(Paradoja de Russell) En un pueblo chico hay solo un barbero, y los hombres del pueblo, por lo que se re…ere a la rasurada, se dividen en dos grupos: los que se rasuran con el barbero, y los que se rasuran solos.

¿A cual de los dos grupos pertenece el barbero?

Explica.

(48)

Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE III

3. Introducción al Álgebra de Boole

En las dos unidades anteriores se vió que las leyes para las proposiciones y para los conjuntos son semejantes. Podemos ahora demostrar que cada uno de estos sistemas es un álgebra de Boole. Esta estructura algebraica mas general es una de las partes del Algebra abstracta, que a pesar del nombre se aplica podríamos decir que "demasiado.^a la computación y a la inteligencia Arti…cial. Esta unidad es fundamental, sobre todo para la simpli…cación de circuitos (Unidad 4 ).

(49)

3.1. Objetivos

Generalidades sobre que es un álgebra de Boole y como se prueba.

Generalidades sobre las leyes del álgebra de Boole y demostraciones.

Generalidades sobre las funciones de Boole con una o mas variables.

3.2. Competencias

Interpretará las demostraciones de las leyes del álgebra de Boole.

Compruebará si el conjunto en cuestión veri…ca las leyes del álgebra de Boole.

Aplicará las leyes del álgebra de Boole para simpli…car funciones booleanas.

Armonizará los conocimientos de Tablas de verdad con las funciones booleanas.

(50)

3.3. Estrategias pedagógicas o actividades de apren- dizaje

Mesa redonda.

Sesión de Chat.

Sesión Foro.

Talleres

3.4. Recursos de aprendizaje

(51)

3.5 Clases de operaciones Lógica Matemática

3.5. Clases de operaciones

Hasta el momento hemos hablado de operaciones entre proposiciones y entre conjuntos

Vale la pena clasi…car en general las operaciones

El primer tipo se llama operación binaria, y no sólo enlaza dos elementos, sino que determina un tercero (el resultado de los otros dos) que pertenece al conjunto que consideramos. Por lo tanto una OPERACIÓN BINARIA

es una .operación tal que:

si a; b 2 X,entonces también la es a b

Ejemplo 10. la Suma en el conjunto de los naturales es una operación binaria

pues si m; n 2 N;entonces m + n 2 N:

Ejemplo 11. la Resta en el conjunto de los naturales no es una operación binaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 7 y 12 tal que 7 12 =

5 =2 N:

Ejemplo 12. la división en el conjunto de los naturales no es una operación binaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 9 y 2 tal que 9 2 =

9 2 2 N:=

Ejemplo 13. La operación > en el conjuntofa; b; cg se de…ne como sigue en la siguiente tabla:

> a b c

a a b a

b b a c

c a c a

(52)

3.5 Clases de operaciones Lógica Matemática

El segundo tipo de operación se llama operación unitaria, esta en realidad transforma un número en otro, por lo tanto unaOPERACIÓN UNI- TARIA' sobre un conjunto B es una .operación tal que:

Si a 2 B, entonces '(a) 2 B

Ejemplo 14. el operador menos ( ) el conjunto de los enteros es una op- eración binaria

pues si m 2 Z;entonces m2 Z:

Ejemplo 15. la Radicación en el conjunto de los números reales es una operación binaria si y solo si es raíz impar; es decir el operador ²ⁿ⁺¹p

es una operación binaria con n 2 N

pero el operador ²ⁿp

no es una operación binaria con n 2 N nótese que 1 2 R pero ²ⁿp

1 =2 R:

1. Dígase cuáles de las siguientes son operaciones unitarias

a) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los números reales.

b) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los números enteros.

c) encuéntrese otro conjunto sobre el cual "tomar el inverso de"sea una operación unitaria.

2. En qué circunstancias son +; ; ; ; operaciones binarias:

(53)

3.6 Álgebra de Boole Lógica Matemática

a) En el sistema de los números reales o subconjuntos de este sistema.

b) En el sistema de los números complejos.

3.6. Álgebra de Boole

Un conjunto B, junto con las operaciones binarias ; de…nidas sobre él es un álgebra de Boole,

si se veri…can las siguientes Propiedades:

Ley conmutativa

1. a) 1) 8a; b 2 B; a b2 B 2) 8a; b 2 B; a b2 B Ley distributiva

1. a) 1) 8a; b; c 2 B; a (b c) = (a b) (a c) 2) 8a; b; c 2 B; a (b c) = (a b) (a c)

Elementos neutros

1. a) 1) 8a 2 B; 9e 2 B; a e = a (Neutro Aditivo o cero) 2) 8a 2 B; 9i 2 B; a i = a (Neutro Multiplicativo o

unidad)

Complementación

1. a) 1) 8a 2 B; 9a^c 2 B; a a^c = i (complemento a la unidad)

(54)

3.6 Álgebra de Boole Lógica Matemática

2) 8a 2 B; 9a^c 2 B; a a^c = e (complemento al cero) mas adelante se probará que a^c es el mismo en ambos casos.

Ejemplo 16. Sea D26 = f1; 2; 13; 26g el conjunto de los divisores positivos del 26; de…namos las operaciones binarias así:

a b = M CM (a; b) ( Mínimo Común múltiplo) a b = mcd(a; b) ( Máximo Común divisor)

observe que para que a b = a; b tiene que ser 1(Neutro Aditivo o cero)

y para que a b = a; b tiene que ser 26(Neutro Multiplicativo o unidad)

por otra parte:

para que a b = 26; tiene que ser b = 26

a (complemento de la unidad) y para que a b = 1; depende de quien sea a así:

si a = 1 entonces b = 26 si a = 2 entonces b = 13 si a = 13 entonces b = 2 si a = 26 entonces b = 1

Para representar estas operaciones utilizaremos tablas algo parecidas a las de la escuela.

1 2 13 26

1 1 2 13 26

2 2 2 26 26

13 13 26 13 26 26 26 26 26 13

1 2 13 26

1 1 1 1 1

2 1 2 1 2

13 1 1 13 13 26 1 2 13 26

(55)

3.7 Principio de dualidad Lógica Matemática

3.7. Principio de dualidad

Si en un teorema válido intercambiamos por y e por i, obtenemos otro teorema válido.

La demostración de que esto es cierto se obtiene haciendo este intercambio en todos los pasos de la demostración del teorema original.

Solo por comodidad cambiaremos los signos de las operaciones a b por a + b; a b por ab; aclaramos que estos signos representarán las dos operaciones del álgebra de Boole las cuales pueden ser cualesquier operación binaria. Ademas cambiaremos los elementos neutros e por 0; i por 1; sin querer con esto confundirlos.

A continuación se plantearán otras Propiedades de las Algebras de Boole, se realizarán las pruebas de estas propiedades para uno de ellas y la otra la realizará el estudiante con el principio de dualidad.

Ley de idempotencia

1. a) 1) 8a 2 B; a + a = a 2) 8a 2 B; aa = a

Prueba (i): Sea a 2 B a = a + 0 = a + (aa^c) = (a + a) (a + a^c) = (a + a) (1) = a + a

Ley de acotamiento

1. a) 1) 8a 2 B; a + 1 = 1

(56)

2) 8a 2 B; a0 = 0

Prueba (i):Sea a 2 B a+1 = (a + 1) 1 = (a + 1) (a+a^c) = a+(1a^c) = a + a^c = 1

Ley de absorción

1. a) 1) 8a; b 2 B; a + ab = a 2) 8a; b 2 B; a(a + b) = a

Prueba (i): Sea a; b 2 B a + ab = a1 + ab = a(1 + b) = a(1) = a Ley asociativa

1. a) 1) 8a; b; c 2 B; a + (b + c) = (a + b) + c 2) 8a; b; c 2 B; a(bc) = (ab)c

Prueba (i): Sea a; b; c 2 B

a + (b + c) = 1 [a + (b + c)]

= a^ca [a + (b + c)]

= a^c[aa + a (b + c)]

= a^c[a + a (b + c)]

= a^ca

= a^c[a + ac]

= a^c[a (a + b) + ac]

= a^ca [(a + b) + c]

= 1 [(a + b) + c]

= (a + b) + c

(57)

Unicidad del complemento

1. a) 1) 8a 2 B; (a + x = 1) ^ (ax = 0) ) x = a^c

Prueba (i): Sea a 2 B supóngase a + x = 1 y ax = 0

a^c = a^c1 = a^c(a + x) = a^ca + a^cx = 0 + a^cx = a^cx = a^c(x + 0) = a^cx + ax = (a^c+ a)x = 1x = x

Ley de involución

1. a) 1) 8a 2 B; (a^c)^c = a

Prueba (i): Sea a 2 B a + a^c = 1; esto signi…ca que a es el complemento de a^c; es decir a = (a^c)^c

Ley de Morgan

a) 1) 8a; b 2 B; (a + b)^c = a^cb^c 2) 8a; b 2 B; (ab)^c = a^c+ b^c

Prueba (i): Sea a; b 2 B (a + b) + a^cb^c = a + (b + a^cb^c) = a + (b + a^c)(b + b^c)

= a + (b + a^c)1 = a + b + a^c = a + a^c + b = 1 + b = 1

con esto por la unicidad del complemento (a + b)^c = a^cb^c

(58)

3.8 Funciones booleanas Lógica Matemática

3.8. Funciones booleanas

3.8.1. Funciones reales y funciones booleanas

Hasta ahora se ha mostrado en qué operaciones se basa el Algebra de Boole y algunas de sus

propiedades.

Utilizando expresiones booleanas, vamos a de…nir Funciones booleanas, que son muy parecidas a las funciones matemáticas a las que estamos acostumbrados pero con la particularidad de que las variables son booleanas y que los valores devueltos por la función también son booleanos, es decir, una función booleana sólo puede tomar los valores ’0’ó ’1’.

Como hemos hecho antes, vamos a ver un ejemplo utilizando una función matemática de las

que todos conocemos. Por ejemplo esta:

f (x) = 2x + 1

Se trata de una función Real que tiene una variable Real (x) es decir el dominio de f es R

(59)

5 2 .5

0 -2 .5

-5

1 0

5

0

-5

x y

hay una in…nidad de valores en el dominio de f por esto se obtiene una in…nidad de puntos en forma de una recta.

También podemos de…nir funciones reales de 2 ó más variables, como por ejemplo:

f (x; y) = 2x + y² f (x; y; z) = z² sen(x + y) f (x₁; x₂; x₃; :::; x_n) = p³

x₁+ x₂ + x₃+ ::: + x_n

Como estamos acostumbrados a trabajar con este tipo de funciones, nos resultan claras. Ahora

vamos a de…nir funciones booleanas. Para ello hay que tener presente que trabajaremos con

variables booleanas y que por tanto usaremos las operaciones + y del Algebra de Boole.

(60)

Ejemplo 17. sea la siguiente función booleana de una variable:

f (x) = x^c

El valor devuelto por la función es el complemento del valor de la variable.

Como la variable x es booleana, sólo puede tomar los valores ’0’y ’1’.

Los que la función F toma son:

f (0) = 0^c = 1 f (1) = 1^c = 0

Ejemplo 18.

Ejemplo 19. Sea la siguiente función booleana se dos variables:

f (x; y) = x^c (x + y) obtenemos:

f (0; 0) = 0^c (0 + 0) = 1 0 = 0 f (0; 1) = 0^c (0 + 1) = 1 1 = 1 f (1; 0) = 1^c (1 + 0) = 0 1 = 0 f (1; 1) = 1^c (1 + 1) = 0 0 = 0

Antes de calcular los valores que toma la función, se pueden aplicar algunas propiedades para obtener una función más simpli…cada:

del ejemplo anterior

f (x; y) = x^c (x + y)

= x^cx + x^cy (ley distributiva)

= 0 + x^cy (complemento al cero)

= x⁰y

(61)

en el cual también obtenemos:

f (0; 0) = 0⁰ 0 = 1 0 = 0 f (0; 1) = 0⁰ 1 = 1 1 = 1 f (1; 0) = 1⁰ 0 = 0 1 = 0 f (1; 1) = 1⁰ 1 = 0 0 = 0

3.8.2. Funciones booleanas y tablas de verdad

Existe otra manera de representar una función booleana. es mediante las tablas de verdad, pero cambiando las proposiciones por expresiones booleanas:

utilizaremos nuevamente el ejemplo anterior:

f (x; y) = x^c (x + y) su tabla es:

x y f (x; y)

1 1 0

1 0 0

0 1 1

0 0 0

El número de …las de la tabla de verdad depende del número de variables que usemos.

consideremos h(x; y; z) = x + yz

(62)

x y z yz x+ yx

1 1 1 1 1

1 1 0 0 1

1 0 1 0 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

(63)

3.9. Actividades

Ejercicio 2. Probar las siguientes equivalencias de expresiones por los méto- dos de:

1. a) Tablas de verdad.

b) Transformaciones algebraicas(propiedades del álgebra de Boole)

ab^c+ a^cb + a^cb^c = a^c + b^c

a^cb^c+ ac + bc^c = a^cc^c + b^cc + ab a^cb^c+ bd + ab^c = d + d^cb^c

(a + b^c + ab)(a^c+ b)ab^c = 0

(a + b^c + ab^c)(ab + bc^c+ a^cc) = ab + a^cb^cc (ab + c + d)(c^c+ d)(c^c+ d + e) = abc^c+ d

Ejercicio 3. 1. Demostrar las siguientes propiedades de la función lógica O-exclusiva:

f (p; q) = pY q a) Asociativa b) Conmutativa

c) Existencia de elemento neutro e tal que x Ye = x

d) Existencia de Inverso (A todo elemento x se le puede hacer corre- sponder un elemento x tal que xY y = e

(64)

e) Distributiva del Producto respecto a la O-exclusiva

f ) que mediante la O-exclusiva y la función y : f (p; q) = p ^q se pueden realizar las otras dos operaciones fundamentales del álgebra de Boole:

negación y suma(disyunción)

Nota: Calcular el valor de 1 Yx y de 1 Y ((1 Y x)(1 Y y))

Una función de tres variables f(a,b,c) debe tomar el valor cero cuando la variable b esté a uno y la variable a no está en estado uno. En los demás casos posibles debe estar en estado uno.

a) Realizar la tabla de verdad de la función.

Discurso sobre los estudios de Informática en clase de Lógica:

Señoras y señores, buenas tardes:

Es hora de que recapacitemos sobre los estudios de informática en vísperas del asentamiento de la titulación en nuestra Universidad. Se sabe que si los ordenadores hablasen los informáticos no existirían. Por otra parte, en la últi- ma reunión del Consejo de Universidades, éste a…rmó que: "...la Universidad titulará informáticos mientras los ordenadores no hablen ..."; a…rmación que nos parece muy correcta, si bien lo cierto es que los ordenadores no hablan pero los informáticos existen.

A la vista de todo ello nos preguntamos: ¿Es, por tanto, coherente que la Universidad expida títulos de informática en la actualidad?.

Demuestre las leyes del algebra de Boole que no se probaron aplicando el principio de dualidad.

(65)

Lógica Matemática

UNIDAD DE APRENDIZAJE IV

4. Introducción al método de Karnaugh

El método de Karnaugh convierte una expresión booleana a otra más simpli-

…cada. En nuestro caso, convierte una suma de productos en otra minimal . Tiene como características:

Un mínimo número de términos en la expresión.

Un mínimo número de variables en cada término de dicha expresión.

Inicialmente se tiene una expresión booleana constituida por una suma de productos de variables, que pueden tomar únicamente los valores de cero [0] o uno [1]. El resultado de esta expresión es un valor booleano para cada uno de los valores que tomen dichas variables.

(66)

4.1. Objetivos

Entradas y salidas de las compuertas lógicas.

tablas de verdad a partir de mediciones en compuertas lógicas.

Simpli…cación Tabular mediante Mapas de Karnaugh

4.2. Competencias

Deduce la relación existente entre las entradas y salidas de las compuertas lógicas.

Construye tablas de verdad a partir de mediciones en compuestos lógi- cos.

Representa funciones lógicas mediante simbología electrónica normal- izada y de uso tradicional.

Reconoce por su símbolo, forma o nomenclatura las diferentes funciones lógicas.

(67)

4.3. Estrategias pedagógicas o actividades de apren- dizaje

Mesa redonda.

Sesión de Chat.

Sesión Foro.

Talleres

4.4. Recursos de aprendizaje

Aula de clases Laboratorios Auditorios.

(68)

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitosLógica Matemática

4.5. Método de Karnaugh para la Simpli…cación de cir- cuitos

Las señales de tensión alta ( mas de 1 voltio) o bajas (menos de 1 voltio) han dado lugar a su vez a representaciones electrónicas que se utilizan en el diseño de los circuitos integrados. Estos circuitos se conocen como çircuitos lógicos"pues basan su función en condiciones presenciales o no de los pulsos altos o bajos.

En los circuitos digitales todos los voltajes, a excepción de las fuentes de alimentación, se agrupan en dos posibles categorías: voltaje altos y voltajes bajos. Entre estos dos rangos de voltajes existen existe una denominada zona prohibida o de incertidumbre que los separa. Una tensión alta signi…ca un 1 binario y una tensión baja signi…ca un 0 binario. Todos los sistemas digitales se construyen utilizando básicamente tres puertas lógicas básicas. Estas son las puertas AND, la puerta OR y la puerta NOT; o la combinación de estas.

El recurso a las tablas para la simpli…cación de ecuaciones booleanas es, como ya se ha dicho, fruto de su mayor simplicidad. Aunque existen otros métodos (como las tablas de Quine- McCluskey), nos limitaremos a explicar someramente el método conocido como “mapas de Karnaugh”. Éstos se pueden utilizar para simpli…car funciones de dos a seis variables, aunque habitualmente sólo se los emplee para funciones de dos a cinco variables.

El método grá…co de Karnaugh, desarrollado en The Map Method for Synthesis of Combinatorial Logic Circuits (AIEE, vol. 72, 1953), se basa en otro de E. W. Veitch publicado en A Chart Method for Simplifying Truth Functions (ACM, 1952). Esta técnica se convirtió rápidamente en la her- ramienta más potente entre los diseñadores de computadores y expertos en

(69)

lógica digital durante la década de los 50.

LA COMPUERTA AND

A B

El esquema de la …gura, da una idea de funcionamiento de la compuerta AND. Examinando de cerca el circuito, notamos que la lámpara encenderá solo si ambos interruptores se cierran o se activan simultáneamente. Si uno de los interruptores esta abierto, el circuito se interrumpe y la lámpara no se enciende. Todas las posibles combinaciones para los interruptores A y B se muestran en la tabla de verdad.

A B Lampara

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

(70)

La tabla de esta …gura es la misma que la de la conjunción, es decir dos interruptores en serie se representan con la compuerta AND

Para representar una compuerta AND se utilizará el símbolo siguiente

Esta compuerta AND es un dispositivo que posee dos entradas A y B y una salida A B.

El álgebra booleana es una forma de lógica simbólica que muestra como operan las compuertas lógicas. Una expresión booleana es un método de mostrar que ocurre en un circuito lógico.

A B = Y es la expresión booleana de la compuerta AND se lee .^A AND B igual a la salida Y"

El punto ( ) signi…ca la función lógica AND en álgebra booleana, y no la operación de multiplicar como en el álgebra corriente.

En caso de que el circuito lógico tenga tres variables.

la expresión A B C se lee " A AND B AND C" y se representa con la

…gura:

(71)

La tabla de verdad de esta última coincide con el conjuntivo múltiple p^ q ^ r

es decir:

p q r p^ q ^ r

1 1 1 1

1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

0 1 1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0

LA COMPUERTA OR El grá…co de este circuito ilustra el funcionamiento de la compuerta OR, en el cual los interruptores han sido conectados en paralelo. El encendido de la lámpara se producirá si se cierra

(72)

cualquiera de los dos interruptores o ambos. Todas las posibles combinaciones de los interruptores se muestran en la tabla siguiente.

A B Lampara

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

La tabla de esta …gura es la misma que la de la disyunción, es decir dos interruptores en serie se representan con la compuerta OR

Para representar una compuerta OR se utilizará el símbolo siguiente:

Esta compuerta OR es un dispositivo que posee dos entradas A y B y una salida A + B.

(73)

A + B = Y es la expresión booleana de la compuerta OR se lee .^A OR B igual a la salida Y"

El signo mas (+) signi…ca la función lógica OR en álgebra booleana, y no la operación de sumar como en el álgebra corriente.

En caso de que el circuito lógico tenga tres variables.

la expresión A + B + C se lee A OR B OR C y se representa con la …gura:

COMPUERTA INVERSORA En este circuito cuando se cierra el inter-

(74)

ruptor A, la bombilla se apaga,(¿Por qué?), al abrir el interruptor la bombilla se enciende.

La tabla es:

A lámpara

1 0

0 1

Es la misma tabla de la negación p; a este esquema se le llama La compuerta inversora,

esta posee una entrada y una salida como se muestra en la …gura. Su fun- ción es producir una salida inversa o contraria a su entrada es decir convertir unos a ceros y ceros a unos.

El círculo inversor puede estar en la parte de entrada o de salida del símbolo triangular.

(75)

este tiene el mismo sentido de el complemento a la unidad del álgebra de Boole.

con solo estas tres compuertas se pueden conformar otras como las siguientes:

LA PUERTA NAND Una compuerta NAND es un dispositivo lógico que opera en forma exactamente contraria a, una compuerta, AND, entregando una salida baja cuando todas sus entradas son altas y una salida alta mientras exista por lo menos un bajo a cualquiera de ellas:

En forma proposicional (p^ q).

En forma de expresión booleana (AB)⁰.

Observar que el símbolo NAND es símbolo AND con un pequeño círculo a la salida.

(76)

LA PUERTA NOR Se ha conectado un inversor a la salida de una puerta OR, obsérvese que se ha añadido un pequeño circulo inversor al símbolo OR para formar el símbolo NOR.

Debido a que los interruptores A y B están en paralelo entre si y con la lámpara (Y) esta ultima solo enciende cuando ambos interruptores están abiertos y permanece apagada mientras cualquiera de ellos , o ambos estén cerrados.

Símbolo lógico de una compuerta NOR es:

Podemos decir que este dispositivo lógico opera en forma exactamente opuesta a una compuerta OR , entregando una salida alta cuando todas sus entradas son bajas y una salida baja cuando existe por lo menos un alto en

(77)

cualquiera de ellas.

En forma proposicional (p_ q).

En forma de expresión booleana (A + B)^c.

LA COMPUERTA OR EXCLUSIVA O XOR La OR exclusiva, se denomina la puerta comparadora OR, La tabla de verdad para la función XOR se muestra en la tabla

A B A XOR B

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

la cual es equivalente a la disyunción exclusiva

(78)

p q pY q

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Note que XOR es combinación de los anteriores:

apliquemos el calculo proposicional:

pY q = (p, q)

= [(p! q) ^ (q ! p)] aplicando la ley de Morgan

= (p! q)_ (q ! p) negación del condicional

= (p^ q)_ (q^ p) ley distributiva

= (p_ q) ^ (p_ p)^ ( q _ q) ^ ( p_ q) siempre (p_ p) = 1

= (p_ q) ^ 1 ^ 1 ^ ( p_ q) simplificando

= (p_ q) ^ ( p_ q) Ley de Morgan

= (p_ q)^ (p^ q) c ley distributiva

= (p^ p)_ (p^ q)_ (q^ p)_ (q^ q) complemento a cero

= 0_ (p^ q)_ (q^ p)_ 0 suma del modulo

= (p^ q)_ (q^ p) Listo!

Con c probamos que pY q equivale a tres compuertas una de (p _ q);

otra de (p^ q) y otra que las relacione con la conjunción ^; así pues: A XOR B equivale a: (A OR B) AND (A NAND B) es decir:

(A + B)(AB)⁰

con la parte …nal del cálculo proposicional anterior A XOR B = A⁰B+AB⁰

VERIFICACIÓN:

(79)

A=1 y B=1

A=1 y B=0

A=0 y B=1

A=0 y B=0

(80)

(81)

Ejemplo 20. construya un circuito con compuertas lógicas que exprese la siguiente función booleana de dos variables:

Ejemplo 21. f (x; y) = x⁰ + xy + xy⁰ se comienza con cada sumando

x⁰

X

Y

X’

Y

xy

X

Y

XY

xy⁰

(82)

X

Y

XY’

X

Y

X’+XY+XY’

(83)

La suma de todos ellas es una compuerta OR de tres entradas:

El lector puede probar que la tabla de verdad de esta función booleana es una tautología:

Observación: debido a que xyz = (xy)z = x(yz) y que x + y + z = (x + y) + z = x + (y + z)

una compuerta OR de tres entradas puede reemplazarse por dos compuertas OR de dos entradas

así:

es equivalente a:

De manera semejante ocurre para la compuerta AND.

Ejemplo 22. Encuentre un circuito de compuertas lógicas para: F (x; y; z) = xyz + x0z0

Ejemplo 24. Encontrar una representación booleana del siguiente circuito de compuertas lógicas.

(84)

(X+Y)+Z

Ejemplo 23.

x

y z

xyz+x’y’