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Algebra II (61.08, 81.02) Primer cuatrimestre 2017
Pr´actica 5. Diagonalizaci´on de matrices herm´ıticas. Formas Cuadr´aticas. Nota: en todos los ejercicios, salvo que se indique lo contrario, (·,·) representa el producto interno
can´onico enRn ´o Cn.
1. Pruebe que:
(a) U es unitaria⇔ UH es unitaria⇔ UT es unitaria. (b) Si U yV son unitarias entoncesU V es unitaria.
2. Sea T : Rn → Rn la trasformaci´on lineal definida por T(x) = P x con P ∈ Rn×n ortogonal. Demuestre lo siguiente:
(a) (T(x), T(y)) = (x, y) para todo x, y∈Rn. En particularkT(x)k=kxkpara todox∈Rn. (b) x⊥y si y s´olo siT(x)⊥T(y).
(c) {v1, . . . , vn}es base ortonormal deRnsi y s´olo si{T(v1), . . . , T(vn)}es base ortonormal deRn. (d) Si S es un subespacio invariante por T, entoncesT(S) =S yT(S⊥) =S⊥.
3.Idem ejercicio 2 pero conCnen lugar deRnyU ∈Cn×nunitaria en lugar deP ∈Rn×nortogonal.
4.Suponga queB1 ={v1, . . . , vn}yB2 ={u1, . . . , un}son bases ortonormales deRn(resp.Cn). De-muestre que la matriz de cambio de baseCB1B2 es una matriz ortogonal (resp. unitaria). (Sugerencia:
demu´estrelo primero para el caso en que B2 es la base can´onica).
5.Sea T :Rn →Rn una transformaci´on lineal tal que para cierta base ortonormal B, [T]B es una matriz ortogonal. Demuestre que:
(a) [T]B0 es ortogonal para cualquier otra base ortonormal B0. (b) Valen (a)-(d) del ejercicio 2.
6.Diagonalice ortogonalmente cada una de las siguientes matrices sim´etricas, es decir, exprese cada una de ellas en la formaPΛPT, conP ortogonal y Λ diagonal:
(a) 3 1 1 3 (b) 1 1 3 1 3 1 3 1 1
(c) −2 −36 0 −36 −23 0 0 0 3 (d) 2 0 1 0 0 2 0 1 1 0 2 0 0 1 0 2 .
7. Diagonalice unitariamente cada una de las siguientes matrices herm´ıticas, decir, exprese cada una de ellas en la formaUΛUH, conU unitaria y Λ diagonal:
(a) 0 i −i 0 (b) 1 i 0 −i 1 0 0 0 1
8. Compruebe que las siguientes matrices pueden ser diagonalizadas unitariamente, a´un sin ser herm´ıticas: (a) 1 −1 1 1 (b) 0 −1 0 1 0 0 0 0 1 .
9.Califique cada una de las siguientes afirmaciones como verdadera o falsa: (a) Si A∈Rn×n es diagonalizable ortogonalmente entoncesA es sim´etrica. (b) Una matriz sim´etricaA∈Rn×n tienenautovalores reales distintos.
(c) Las multiplicidades algebraica y geom´etrica de cada autovalor de una matriz sim´etrica coinciden. (d) Si A∈Cn×n es diagonalizable unitariamente entonces Aes herm´ıtica.
(e) SiA∈Cn×n es diagonalizable unitariamente y sus autovalores son reales entoncesA es herm´ıti-ca.
(f) Si A ∈ Cn×n es diagonalizable unitariamente entonces Ak tambi´en es diagonalizable unitaria-mente.
(g) Si A∈Cn×n es diagonalizable unitariamente entonces su inversa, en caso de existir, tambi´en es diagonalizable unitariamente.
10.
(a) Encuentre los autovalores y autovectores de la matriz antisim´etrica B = 0 1 −1 0 ,
y compruebe que sus autovalores son imaginarios puros y que es diagonalizable unitariamente. (b) ConsidereA=iB y compruebe queAes herm´ıtica. Explique por qu´e a partir de esto ´ultimo se deduce que los autovalores deB son imaginarios puros y que B es diagonalizable unitariamente. (c) Demuestre que siC ∈Rn×n es antisim´etrica entonces iC es herm´ıtica.
(d) Deduzca del punto anterior que una matriz real antisim´etrica tiene autovalores imaginarios puros o nulos, que autovectores correspondientes a autovalores distintos son ortogonales y que es diagonalizable unitariamente.
(e) Demuestre que una matrizC∈Rn×n antisim´etrica es singular si nes impar.
11.
(a) HalleA∈R3×3sim´etrica tal queλ1 =−1 yλ2 = 2 sean sus autovalores ySλ1 = gen{[1 1 1]T}. (b) Halle una matriz herm´ıtica A ∈ C3×3 tal que B = A3 −A2 +A−I sea singular, λ = 2 sea autovalor doble yS ={x∈ C3 : x
1−ix2+x3 = 0} sea invariante por A. ¿ Es ´unica A?. Si no lo es, encuentre dos diferentes.
12. Clasifique cada una de las siguientes formas cuadr´aticas enR2 y efect´ue un cambio de variables x = P y que transforme la forma cuadr´atica en una sin t´ermino de producto cruzado. Escriba la nueva forma cuadr´atica. Grafique los conjuntos de nivel.
(a) x21+ 10x1x2+x22 (b) 3x21−4x1x2+ 6x22 (c) x21+ 2x1x2+x22 (d) −4x21+ 4x1x2−3x22.
13.Clasifique cada una de las siguientes formas cuadr´aticas en R3 y efect´ue un cambio de variables x = P y que transforme la forma cuadr´atica en una sin t´ermino de producto cruzado. Escriba la nueva forma cuadr´atica.
(a) 5x21+ 6x22+ 7x23+ 4x1x2−4x2x3
(b) 3x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 4x2x3 (c) x1x2+x2x3+x1x3.
14. De acuerdo con la definici´on, la expresi´on (x, y) =xHQy, con Q∈Cn×n herm´ıtica, define un producto interno enCn si y s´olo si Qes definida positiva.
(a) Determine cu´ales de las siguientes expresiones determinan productos internos en R2 ´o R3. x1y1+x1y2+x2y1+ 3x2y2
x1y1+x1y2+x2y1+ 3x2y2
7x1y1−4x1y2+ 4x1y3−4x2y1+ 5x2y2+ 4x3y1+ 9x3y3.
Para los que resulten productos internos, grafique la bola unitaria{x∈Rn/kxk= 1}.
(b) Compruebe que (x, y) = 2x1y1+ix1y2−ix2y1+x2y2+x3y3 es un producto interno enC3.
15.Demuestre que siB ∈Rm×n, entoncesG=BTB es semidefinida positiva. Encuentre la condici´on que debe cumplirB para queG resulte definida positiva. (A G se la denomina matriz deGram de B.)
16. Pruebe que siA ∈Rn×n es sim´etrica yA4 =A entonces Axdefine a la proyecci´on dex sobre col(A),∀x∈Rn.
17.
(a) Encuentre el m´aximo y el m´ınimo de la formas cuadr´aticas de los ejercicios 12 y 13, sujetos a la restricci´on xTx= 1.
(b) Dada la forma cuadr´aticaQ:R3→R,Q(x) =−2x21+ 2x1x2−2x22−10x23, determine los valores m´aximo y m´ınimo de Q(x) sujeto a la restricci´on x21+x22+ 9x23 = 9, y todos los valores de x para los cuales se alcanzan esos extremos.(Sugerencia: considere un cambio de variable que transforme la restricci´on dada en una de la formaxTx= 1.)
(c) Encuentre el m´aximo y el m´ınimo de la forma cuadr´aticaQ(x) =x21+x22 sujeto a la restricci´on 2x21−2x1x2+ 2x22 = 4. Halle todos losx para los cuales se alcanza el extremo.
(d) Encuentre los puntos de la curva
2x21+ 6x22−2√5x1x2= 1
m´as cercanos al origen de dos formas diferentes:
Minimizandokxkconx sujeto a una restricci´on adecuada.
Haciendo un cambio de variables adecuado y resolviendo el problema en las nuevas variables.
(a) Pruebe que Q(x) ∈ [−2,4] para todo x unitario (kxk = 1)y halle todos los x unitarios que verificanQ(x) = 4 oQ(x) =−2.
(b) Grafique el conjunto {x∈R3 : Q(x) = 4 ∧ x3 = 0}.
19.
(a) ¿ Existe una matrizA∈R3×3 sim´etrica tal que det(λI−A) =λ3−3λ2+ 2λy [1 1 1]T y [2 1 0]T son autovectores deA?
(b) ¿ Existe una matriz A∈R2×2 tal que (x, y) =xTAy es producto interno en R2 y A3−2A2−A+ 2I = 0?
En cada caso, de existir Aencuentre una. De no existir, explique el motivo.
20.
(a) Determine, si existen, todos los a∈Rpara los cuales la forma cuadr´atica Q:R3 →R; Q(x) =
kxk2+ax1x2 es definida positiva (x∈R3)
(b) Para a= 4 halle el m´aximo y el m´ınimo de Q(x) sujeto a la restricci´on 14x21+14x22+ 9x23 = 1 y los puntos donde se alcanzan esos valores.
21.
SeaA∈R2×2 sim´etrica yQ:R2→Rla forma cuadr´atica asociada. Sabiendo que A3+A es una matriz singular
2 1
∈N ul(A−4I)
halle, si existen, los puntos del conjunto C =
x∈R2 : Q(x) = 4 cuya distancia al origen es m´ınima.
22. SeaA∈R3×3 sim´etrica y con autovalores−1,3 y 5. Halle todos losr ∈R tales que
1≤xT(A+rI)x≤16 si kxk2 = 2 (x∈R3)
23. SeaA∈Rn×nsim´etrica y tal que 1 y 5 son sus autovalores m´ınimo y m´aximo respectivamente. Considere la forma cuadr´aticaQ(x) = xTAx para x ∈ Rn. Pruebe que existen w ∈
Rn, unitarios, para los cualesQ(w) = 3.
24. Sea un sistema de dos part´ıculas de masa mubicadas en las coordenadas (0,1,2) y (0,−1,−2) de un determinado sistema de referencia, unidas por una barra r´ıgida de masa despreciable. Consi-deremos que la Energa cin´etica de rotaci´on para el sistema de part´ıculas es
Ecin rot= 1 2 ω
T Iω
dondeω es el vector velocidad angular del sistema e I es la matriz de inercia que, para el sistema propuesto, es I= 10m 0 0 0 8m −4m 0 −4m 2m
(a) Determine los ejes principales de inercia y los momentos principales de inercia. ¿Qu´e expre-si´on tiene la Energ´ıa cin´etica de rotaci´on en el sistema de coordenadas determinado por los ejes principales?
(b) Determine las posibles direcciones del vector velocidad angular para que la Energ´ıa cin´etica de rotaci´on sea m´axima bajo la restricci´onkωk= 1.
