Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
Algebra Lineal:
Diagonalizaci´
on de una Matriz Cuadrada
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable Introducci´on
En esta lectura veremos uno de los temas m´as importantes del
´
Algebra Lineal que tiene aplicaciones fundamentales en
Ingenier´ıa. ´Este es el tema de la diagonalizaci´on de una matriz cuadrada. Se revisar´a la definici´on, algunos resultados te´oricos y algunas aplicaciones. Se requieren los conceptos de valor y vector propio, polinomio caracter´ıstico y bases de un espacio lineal.
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable Matriz diagonalizable
Una matriz cuadradaAn×n se dicematriz diagonalizable si
existe existe una matrizPn×n invertible que cumple
P−1AP=D
dondeDes una matriz diagonal.
El siguiente resultado indica qu´e significa que una matriz Asea
diagonalizable:
Sea Auna matriz cuadrada n×n, entonces son equivalentes:
• Aes una matriz es diagonalizable,
• Rn posee una base formada por vectores propios de la matrizA.
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable Reglas de Diagonalizaci´on
Reglas b´asicas para saber si una matriz es diagonalizable:
• Si tiene alg´un valor propio complejo, noes diagonalizable.
• Si tiene todos sus valores propios reales y son diferentes, s´ı es diagonalizable.
• Si tiene todos sus valores propios reales, y si para cada
valor propio que apareci´o repetido como ra´ız de la ecuaci´on caracter´ıstica el n´umero de veces que apareci´o repetido (multilicidad algebraica) es igual a la multiplicidad o dimensi´on geom´etrica entonces s´ıes diagonalizable.
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
Determine si la matriz es diagonalizable
A= 1 2 −1 2 Soluci´on El polinomio caracter´ıstico deAes pA(t) = 4−3t+t2
y sus ra´ıces son: t1 = 3/2 +i
√
7/2 y t1 = 3/2 +i
√
7/2. Por
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
Determine si la matriz es diagonalizable
A= 1 1 0 1 Soluci´on:
El polinomio caracter´ıstico deAespbfA(t) = (t−1)2. Y por
tanto, el ´unico valor propio es t = 1. El espacio nulo de
[A−(1)I] es precisamente el espacio invariante det = 1 deAy
es:
kernel([A−(t= 1)I]) = Gen (1,0)0
El conjuntoB={(1,0)0} no alcanza para una base paraR2.
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
Determine si la matriz es diagonalizable y calcule una factorizaci´on: A= 1 2 2 1 El polinomio caracter´ıstico deAes pA(t) =−3−2t+t2
y sus ra´ıces sont1 =−1 yt2 = 3. Por tanto, sus ra´ıces son
reales y diferentes. Por tanto,A es diagonalizable.
Deteminemos bases para los espacios nulos.
Parat =−1 Directo de Maple: ν(A−(−1)I) = Gen (−1,1)0 Parat = 3 Directo de Maple: ν(A−(3)I) = Gen (1,1)0
Por tanto una base paraR2 con vectores propios es:
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
Por tanto una base paraR2 con vectores propios es:
B=(−1,1)0,(1,1) Por consiguiente, P= −1 1 1 1 ,P−1= −1/2 1/2 1/2 1/2 ,D= −1 0 0 3
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
Determine si la matriz es diagonalizable y calcule una factorizaci´on: A= −1 −1 1 −1 2 4 1 4 2 Soluci´on: El polinomio caracter´ıstico deAes pA(t) = 18t+ 3t2−t3
y sus ra´ıces sont1 = 0,t2 =−3 yt3 = 6. Por tanto, sus ra´ıces
son reales y diferentes. Por tanto,Aes diagonalizable.
Deteminemos bases para los espacios nulos.
Parat1 = 0 Directo de Maple: ν(A−(0)I) = Gen (−2,1,−1)0 Parat2 =−3 Directo de Maple: ν(A−(−3)I) = Gen (−1,−1,1)0
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable Parat3 = 6 Directo de Maple: ν(A−(6)I) = Gen (0,1,1)0
Por tanto una base paraR3 con vectores propios es:
B= (−2,1,−1)0,(−1,−1,1),(0,1,1)0 Por consiguiente, P= −2 −1 0 1 −1 1 −1 1 1 P−1 = 1/3 −1/6 1/6 −1/3 −1/3 1/3 0 1/2 1/2 D= 0 0 0 0 −3 0 0 0 6
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
Determine la soluci´on al sistema
x0(t) = 2x(t) + 3y(t)
y0(t) = 2x(t) + y(t)
Sujeto sujeto a las condiciones iniciales: x(0) = 3 yy(0) =−2.
Soluci´on:(y m´etodo de soluci´on)
1. El sistema se escribe en forma matricial:
x0(t) y0(t) = 2 3 2 1 x(t) y(t)
2. Se determinan los valores propios de la matriz de coeficientes (Matriz de Transici´on). El polinomio caracter´ıstico es:
pA(λ) =λ2−3λ−4 Los valores propios son entonces:
λ1 =−1,λ2= 4
3. Se determinan los vectores propios correspondientes son:
v1 = −1 1 ,v2 = 3/2 1
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
4. Se forma la soluci´on general al sistema:
x(t) y(t) =C1 −1 1 e−1t+C2 3/2 1 e4t
5. Se determina la soluci´on particular: determinaci´on de C1 y
C2 usandox(0) = 3 yy(0) =−2: 3 −2 =C1 −1 1 e−1×0+C2 3/2 1 e4×0
Para determinar las constantes resolvemos el sistema cuya matriz aumentada es:
−1 3/2 3 1 1 −2 → c1 c2 1 0 −12/5 0 1 2/5
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable x(t) y(t) =−12 5 −1 1 e−t+2 5 3/2 1 e4t O bien: x(t) y(t) = 12/5 −12/5 e−t+ 3/5 2/5 e4t
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
En la figura1: se define la matriz del sistema A; se determinan
los valores propios; se obtienen los vectores propios correspondientes; y se introducen las condiciones iniciales.
Cabe observar que debe respetarse elorden de aparici´on de
cada valor propio y de cada vector propio:
• Para el valor propio 4, el vector<0.832,0.554>genera el espacio invariante.
• Para el valor propio 1, el vector <−0.707,0.707>genera el espacio invariante.
Figure : Ejemplo 1: Matriz del sistema y sus valores y vectores propios.
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
As´ı la soluci´on general quedar´ıa:
x y =C1 0.832 0.554 e4t+C2 −0.707 0.707 e−t
La constantesC1 yC2 de la soluci´on particular pueden ser
determinadas resolviendo el sistema: VC=Ci donde Ves la
matriz formada por los vectores propios yCi es el vector de
condiciones iniciales. Para obtenerciVi hacemos el truco del
productoV·diag(c1,c2). Estos c´alculos se ilustran en la figura
2.
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
Por tanto, la soluci´on particular es:
x y = 0.6 0.4 e4t+ 2.4 −2.4 e−t
Suponga que se desea determinarx(1.2) yy(1.2). En este caso, las operaciones pueden hacerse en forma sencilla utilizando la matrizV·diag(c1,c2) y el vector con los datos,
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
Suponga que s´olo existen tres lecher´ıas en el mercado Leche
Lola,Leche Los Puentes, yLeche ParmaLac. Suponga que de un mes a otro
• Lola retiene el 80% de sus clientes, atrae 20% de los
clientes de Los Puentes, y atrae 10% de los clientes de
ParmaLac,
• Los puentes retiene 70% de sus clientes, atrae 10% de los
clientes de Lola, y atrae 30% de los clientes deParmaLac,
y
• ParmaLac retiene 60% de sus clientes, atrae el 10% de los clientes de Lola, y atrae el 10% de los clientes deLos puentes.
Suponga el tama˜no de la poblaci´on no cambia y se mantiene
fijo en 1000000 de consumidores. Determine si existe los porcentajes a largo plazo de la distribuci´on de clientes de Lola,
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable Soluci´on
La matriz de transici´on queda:
A= .80 .20 .10 .10 .70 .30 .10 .10 .60
El polinomio caracter´ıstico deAes:
pA(t) =−(t3−2.1t2+ 1.40t−.300)
Usando los c´alculos reportados en las figuras1 y2, los valores propios son:
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable
y los vectores propios correspondientes son:
v1 = (−.744845,−.579324,−.331042)0 v2 = (−.707107,+.707107,0.)0 v3 = (+.408248,−.816497,+.408248)0 Por tanto P= −0.744845 −0.707107 +0.408248 −0.579324 +0.707107 −0.816497 −0.331042 0. +0.408248 D= 1.0 0 0 0 .60 0 0 0 .50
Algebra Lineal: Diagonalizaci´on de una Matriz Cuadrada Departamento de Matem´aticas Intro Diagonalizable Por tanto, A∞= lim k→∞A k =P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 P −1 A∞= lim k→∞A k = .45 .45 .45 .35 .35 .35 .20 .20 .20
Por tanto, la ditribuci´on del mercado de leche a largo plazo sin
importar la distribuci´on inicial es:
45% 35% 20%
