PR ´ ACTICA 3
Forma can´ onica de Jordan.
Contenido:
Forma can´onica de Jordan: Proceso de construcci´on, Ejemplo pr´actico, Ejercicios Aplica- ciones: potencia de una matriz, resoluci´on de ecuaciones diferenciales lineales, forma real de la forma can´onica de Jordan.
3.1 Forma can´ onica de Jordan
3.1.1 Definiciones
Una matriz A de MIR(n), sea diagonalizable o no, siempre se puede poner en la forma can´onica de Jordan (si se elige el cuerpo adecuado), o en otras palabras, dado un endomorfismo h de IRn, siempre se puede encontrar una base respecto de la cual la matriz coordenada de h es la matriz o forma can´onica de Jordan. Como es conocido, la forma o matriz de Jordan es una matriz triangular por bloques de Jordan, cuyo n´umero y tama˜no est´an determinados por el endomorfismo h. La base (de Jordan) correspondiente a la matriz de Jordan de h es una base constituida por cadenas del tama˜no de los bloques de Jordan correspondientes asociados a los mismos valores propios.
La matriz que define el cambio de la base inicial a la de Jordan es la matriz P que tiene por columnas las coordenadas de los vectores de las cadenas respecto de la base inicial. Esta matriz verifica la relaci´on de semejanza entre la matriz inicial A y la de Jordan J, en la forma:
A P = P J
Recordamos que las cadena que aqu´ı se deben usar cumplen:
(h− λ idIRn) (vj+1) = vj, j = 1, 2, . . . para los diferentes valores propios λ.
3.1.2 Proceso de construcci´ on
El proceso para encontrar la matriz de Jordan y la base de Jordan correspondiente puede ser el siguiente:
15
• Calcular valores propios con su multiplicidad.
• Realizar la partici´on de multiplicidades de cada uno de los valores propios (es decir, encontrar cu´antos bloques de Jordan y de qu´e tama˜no hay para cada valor propio, o tambi´en, encontrar cu´antas cadenas hay y de qu´e tama˜no son).
• Encontrar la matriz de Jordan (se sugiere ordenar los bloques de Jordan de mayor a menor tama˜no, primero los complejos)
• Encontrar los vectores de cada cadena y, en consecuencia, la base de Jordan.
• Encontrar la matriz de cambio a la base de Jordan
• Comprobar la semejanza de la matriz inicial y la de Jordan.
3.1.3 Ejemplo pr´ actico
Encontrar la forma can´onica de Jordan del endomorfismo cuya matriz coordenada respecto de una base conocida es la matriz
A = [1, 0, 0; 1, 0, 1; 0, 1, 0]
Soluci´on:
Con el comando [v,d] = eig(a)
se encuentran los vectores propios y los valores propios correspondientes, que se localizan en las columnas de las matrices v y d
v =
0 0 0.0000
0.7071 0.7071 0.7071 0.7071 -0.7071 0.7071 d =
1 0 0
0 -1 0
0 0 1
se encuentran los valores propios: t1 = 1, doble; t2 = -1, simple.
Partici´on de multiplicidades. Se estudia el rango de la matriz A− λ I , as´ı como de sus sucesivas potencias (a lo m´as, hasta la multiplicidad del valor propio). En nuestro caso:
ax1=a-d(1,1)*eye(3) ax1 =
0 0 0
1 -1 1
0 1 -1
rref(ax1)
1 0 0
0 1 -1
0 0 0 ===> rank(ax1) = 2 dim Ker(t_{1}) =3-rank(ax1) = 1
Por lo tanto, la matriz de Jordan tendr´a un solo bloque de Jordan de orden 2 asociado a t1; y un solo bloque de Jordan de orden 1 asociado a t2, es decir,
j= [d(1,1)*eye(2),zeros(2,1);zeros(1,2),d(2,2)*eye(1)];j(1,2)=1;j
1 1 0
0 1 0
0 0 -1
La base de Jordan estar´a compuesta, en consecuencia, por dos cadenas, la primera con dos vectores, v1 y v2, y la segunda con uno solo:{v1,v2,v3}. v1 debe ser un vector propio asociado a t1
v1= v(1:3,1) 0 0.7071 0.7071
y v2 ha de verificar la ecuaci´on: ax1 v2 = v1, es decir, ans=rref([ax1,v1])
1.0000 0 0 1.4142
0 1.0000 -1.0000 0.7071
0 0 0 0
v2 =ans(1:3,4) 1.4142 0.7071 0
v3 ha de ser un vector propio asociado a t2, por ejemplo, v3=v(1:3,2)
0 0.7071 -0.7071
La matriz, P, del cambio de la base inicial a la de Jordan tiene por columnas las coordenadas respecto de la base inicial de los vectores de las cadenas en el orden que aparecen
p=[v1,v2,v3]
0 1.4142 0
0.7071 0.7071 0.7071
0.7071 0 -0.7071
Comprobaci´on: ver que las matrices A y J son semejantes:
a * p == p * j
1 1 1
1 1 1
1 1 1
3.1.4 Ejercicios
1. Encontrar la forma can´onica de Jordan y la matriz del cambio de base de las matrices A y B siguientes
A =
1 −2 −1 0 −4 0 6
1/2 3 1/2 0 2 0 −3
0 0 2 0 2 0 −4
0 0 −1/2 2 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
1 6 0 4 4 0 −4
0 0 0 0 1 0 0
, B =
1 −1 0 1 −2 −1/2 2
1/2 5/2 0 1/2 1 1/4 −1
0 0 2 0 0 0 −2
0 0 0 2 0 0 0
0 1 0 1 0 −1/2 0
1 5 0 5 2 1/2 −2
0 0 0 0 0 0 2
2. Encontrar la forma can´onica de Jordan y la matriz del cambio de base de las matrices C y D siguientes
C = 1/4
4 2 0 0
0 3 0 1
0 0 −2 0
0 −1 0 5
, D =
0 8 −2 5
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
3.2 Aplicaciones
3.2.1 Potencia de matrices
Dado que una matriz cuadrada A y su forma can´onica de Jordan J verifican: A = P−1J P , la potenci n-´esima de A se puede obtener en la forma:
An= P−1J P P−1J P . . . P−1J P = P−1JnP.
En consecuencia, basta encontrar la forma can´onica de Jordan de A y la matriz de cambio a la base de Jordan.
3.2.2 Resoluci´ on de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales
Un sistema de ecuaciones diferenciales lineales representa un problema en el que la inc´ognita es una funci´on vectorial definida como una relaci´on lineal entre ella y su derivada, m´as concretamente, se puede escribir en t´erminos matriciales como:
X = A X
Se puede probar que, si se conoce el valor de la soluci´on X(t0) en un instante t0 (codiciones iniciales), existe una ´unica soluci´on.
Para encontrar la soluci´on correspondiente a las condiciones iniciales X(t0) se procede en la forma siguiente:
a) Se encuentra la forma can´onica de Jordan y la matriz de paso
b) Se transforma el sistema inicial al siguiente: Y = J Y , siendo J = P−1A P y X = P Y c) Se resuelve el sistema diferencial lineal en forma regresiva
d) Se imponen las condiciones iniciales: Y0 = P−1X0 para determinar las constantes de integraci´on
e) Se realiza el cambio de coordenadas inverso para obtener: X = P Y (t).
Ejercicio
1. Resolver los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales X = A X, cuyas matrices y condiciones iniciales son las siguientes
A =
1 5 −2
−4 3 7
−3 1 7
, X0 = X(0) =
1 1 0
B =
0 1 1 0 1 0
−1 1 2
, X0 = X(0) =
1 1 0
3.2.3 Forma realde la forma can´ onica de Jordan
El m´etodo de Radau para la resoluci´on de sistemas diferenciales de primer orden es un m´etodo num´erico impl´ıcito que requiere la resoluci´on de un sistema lineal de la forma A Xn+1= Xn
en cada paso. En una situaci´on habitual, el paso de integraci´on puede ser h = 0.05, si el intervalo de integraci´on es [0, 10π], esto supone que hay que resolver el citado sistema unas 6000 veces. Para evitar que los errores de redondeo se amplifiquen desmesuradamente es conveniente resolver el sistema despejando Xn+1 en la forma Xn+1 = A−1Xn y calculando la forma de Jordan de A−1. El problema es que los valores propios son real uno y complejos conjugados los otros dos. Como no siempre se puede utilizar aritm´etica compleja, se hace preciso considerar la forma real de la forma can´onica de Jordan. Entonces se actua en la forma que se propone a continuaci´on.
Proceso (cf. Merino y Santos, pag. 229):
• Ordenar los bloques (primero los complejos, luego los reales) y sustituir los bloques de Jordan del mismo tama˜no asociados a un valor propio complejoλ y a su conjugado por un bloque real constituido por bloques B1 en la diagonal y bloques B2 encima de la diagonal, siendo
B1 =
Re(λ) −Im(λ) Im(λ) Re(λ)
, B2 =
1 0 0 1
Nota: Se puede usar [V,D] = CDF2RDF(V,D) para transformar la salida compleja de eig(a) en real.
• La base correspondiente a esta forma de la matriz de Jordan se consigue de la manera siguiente: se colocan en la primera y segunda posiciones, respectivamente, la parte real y la parte imaginaria de los vectores propios complejos correspondientes.
• La relaci´on de semejanza que ha de cumplirse es, como otras veces, A P = P J
Ejercicios
1. Encontrar la forma real de la matriz de Jordan y la matriz del cambio de base corres- pondientes a la matriz
A =
1 1 1 1
−2 −1 0 −1
0 0 −1 −1
0 0 2 1
(cf. Merino y Santos, pag. 232)
2. Encontrar la forma real de la matriz de Jordan y la matriz del cambio de base corres- pondientes a la matriz
B =
1 1 1 1 0 0
−2 −1 0 −1 0 0
0 0 −1 −1 0 1
0 0 2 1 0 0
0 0 0 0 1 2
0 0 0 0 −1 −1
(cf. Merino y Santos, pag. 256)
3. (M´etodo de Radau) Sea el sistema lineal A X = B,
C =
88− 7√ 6 360
296− 169√ 6 1800
−2 + 3√ 6 225 296 + 169√
6 1800
88 + 7√ 6 360
−2 − 3√ 6 16−√ 225
6 36
16 +√ 6 36
1 9
, B =
1 2 3
.
Encontrar la forma can´onica de Jordan de A−1 y una base correspondiente y resolver el sistema utilizando estos resultados.
