Segura - 2013 -- Equilibrio de Nash - 28 Abril 2013.pdf

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Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash

Conceptos Solución: El Equilibrio de Nash

J.C.Segura Ms.Sc.

Universidad de La Salle

Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela Colombiana de Ingeniería

Facultad de Economía

jcsegura@lasalle.edu.co / juan.segura@escuelaing.edu.co / j.c.segura@gmail.com URL: http://microeconomica.googlepages.com / twitter:@JackFlash

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Presentación

La Noción de Equilibrio de Nash es la pieza central, el criterio de solución nuclear en la Teoría Clásica de los Juegos. Su relevancia tiene que ver con la potencia de este criterio en el momento de encontrar soluciones a juegos, conflictos en los que los individuos involucrados actúan estratégicamente, una potencia que muchas veces se echa de menos cuando se aplican otros criterios esenciales como aquél asociado a los nombres de Von Neumann y Morgenstern (MinMax) o aquel otro de la eliminación iterada de estrategias estrictamente dominadas.

La mayoría de los juegos pueden no ser resueltos mediante el principio de dominancia estricta iterada. En la otra mano, el concepto solución de Nash supone una posibilidad para una gran variedad de juegos [ Fundenberg & Tirole (1991): 11) ]

En efecto, el reconocer que en un equilibrio de un juego no cooperativo de N personas en el cual

no es necesario limitarse al principio de common knowledge1 _{y ningún jugador tiene nada que ganar al}

cambiar su estrategia en forma unilateral, i.e., si un jugador ha elegido una estrategia y ningún

jugador puede beneficiarse del cambio de estrategia, mientras los demás permanecen en sus estrategias elegidas, el concepto de solución así definido termina capturando soluciones que los otros criterios suelen normalmente omitir.

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Definición.

Estrategias Mixtas

[ Fundenberg & Tirole (1992): 5 ]

Una estrategia mixta, notada con 𝜎_𝑖 es una distribución de probabilidades sobre las estrategias puras de un jugador. La aleatorización de cada jugador es independiente de la de sus oponentes y el pago correspondiente a un perfil de estrategias mixtas es el valor esperado de los pagos correspondientes a cada estrategia pura.

El espacio de estrategias mixtas del i-ésimo jugador se representa mediante Σ_𝑖 y 𝜎_𝑖(𝑠_𝑖) es la probabilidad

𝜎_𝑖 que se le asigna a 𝑠_𝑖. El espacio de perfiles de estrategias mixtas se nota con Σ = ∏ Σ_𝑖 _𝑖. El pago correspondiente al perfil 𝜎 del jugador 𝑖 está dado por:

𝑢_𝑖(𝜎) ≡ ∑ (∏ 𝜎_𝑗(𝑠_𝑗)

𝐼

𝑗=1

) 𝑢_𝑖(𝑠)

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Definición.

Utilidad Esperada

[ Manrique et. al. (1999:180) ]

La utilidad esperada de un jugador es el pago que podría recibir como resultado de las distintas loterías que sobre estrategias puras pueda enfrentar un jugador, i.e. cuando se introduce aleatoriedad en el comportamiento del individuo. Con base en la definición anterior ( Estrategia Mixta ), dada por ejemplo

𝜎 = (𝜎₁, 𝜎₂, … , 𝜎_𝑁) ∈ ∏𝑁_𝑖=1Δ_𝑖

𝑢_𝑖(𝜎) ≡ ∑ (∏ 𝜎_𝑗(𝑠_𝑗)

𝐼

𝑗=1

) 𝑢_𝑖(𝑠)

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Ejemplo [ Manrique

et. al

. Tirole (1999:180) ]

Considere el siguiente Juego:

Jugador 2

x2 y2

Jugador 1 x1 3, 2 5, 1

y2 4, 1 2, 3

Suponga que no hay certeza para ningún jugador acerca de lo que su contraparte hará. En este caso cada jugador aleatoriza sus decisiones asignando probabilidades de acuerdo con sus estimaciones. Si p𝑇 = (𝑝₁, 𝑝₂) y q𝑇 = (𝑞₁, 𝑞₂) son estrategias mixtas para los jugadores 1 y 2, respectivamente, entonces, las utilidades esperadas por jugador son como sigue:

 Jugador 1: 𝑢₁(𝜎) = 𝑝₁(3𝑞₁ + 5𝑞₂) + 𝑝₂(4𝑞₁ + 2𝑞₂)

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Ejemplo [ Fundenberg and Tirole (1992:5) ]:

Considere el siguiente juego:

Columna L M R

Fila

U 4, 3 5, 1 6, 2

M 2, 1 8, 4 3, 6

D 3, 0 9, 6 2, 8

Suponga que una estrategia mixta para el jugador 1 es un vector (𝜎₁(𝑈), 𝜎₁(𝑀), 𝜎₁(𝐷)) con probabilidades todas mayores que cero y tales que 𝜎₁(𝑈) + 𝜎₁(𝑀) + 𝜎₁(𝐷) = 1. Por otra parte, una estrategia mixta para el jugador 2 es un vector (𝜎₂(𝐿), 𝜎₂(𝑀), 𝜎₂(𝑅)) con probabilidades todas mayores que cero y tales que 𝜎₂(𝐿) + 𝜎₂(𝑀) + 𝜎₂(𝑅) = 1. Entonces los pagos para los perfiles 𝜎₁ = (1₃,1₃,1₃) y

𝜎₂ = (0,1₂,1₂) son:

𝑢₁(𝜎₁) = 1

3(0 ∙ 4+ 1

2 ∙ 5+ 1

2 ∙ 6) + 1

3(0 ∙ 2 + 1

2 ∙ 8 + 1

2 ∙ 3) + 1

3(0 ∙ 3 + 1

2 ∙ 9 + 1

2 ∙ 2) = 11

2

𝑢₂(𝜎₂) = 0 (1

3 ∙ 3 + 1

3 ∙ 1 + 1

3 ∙ 0) + 1 2(

1

3 ∙1 + 1

3 ∙4 + 1

3 ∙6) + 1 2(

1

3 ∙ 2 + 1

3 ∙ 6 + 1

3 ∙ 8) = 27

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Ejemplo:

La Batalla de los Sexos

[ (sic) Varian (1993:313) ]

Felisa Fila y Carlos Columna no saben si estudiar microeconomía o macroeconomía este semestre. Felisa obtiene la utilidad 2 y Carlos la utilidad 1 si ambos estudian micro; las ganancias son inversas si ambos estudian macro. Si asisten a cursos diferentes, ambos obtienen utilidad 0. El juego, puesto en forma estratégica adquiere la siguiente forma:

Carlos

Micro Macro

Felisa Micro 2, 1 0, 0

Macro 0, 0 1, 2

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El problema es susceptible de ponerse y resolverse como un problema de optimización. Sean (𝑝_𝑎, 𝑝_𝑏)

las probabilidades de que Felisa elija “Micro” y “Macro” respectivamente y sean (𝑝_𝑖, 𝑝_𝑑) las probabilidades de que Carlos elija “Micro” y “Macro” respectivamente.

El problema de Felisa es:

max

(𝑝𝑎,𝑝𝑏)

𝑝_𝑎[𝑝_𝑖2 + 𝑝_𝑑0] + 𝑝_𝑏[𝑝_𝑖0 + 𝑝_𝑑1] 𝑠. 𝑎. {

𝑝_𝑎 + 𝑝_𝑏 = 1 𝑝_𝑎 ≥ 0

𝑝_𝑏 ≥ 0

La función de Lagrange es:

Φ(𝑝_𝑎, 𝑝_𝑏; 𝜆, 𝜇_𝑎, 𝜇_𝑏) = 2𝑝_𝑎𝑝_𝑖 + 𝑝_𝑏𝑝_𝑑 − 𝜆(𝑝_𝑎 + 𝑝_𝑏 − 1) − 𝜇_𝑎𝑝_𝑎 − 𝜇_𝑏𝑝_𝑏

Las condiciones de Kuhn-Tucker son:

[𝑝_𝑎]: 2𝑝_𝑖 − 𝜆 − 𝜇_𝑎 = 0 [𝑝_𝑏]: 𝑝_𝑑 − 𝜆 − 𝜇_𝑏 = 0

Supondremos 𝑝_𝑎 > 0, 𝑝_𝑏 > 0 luego 𝜇_𝑎 = 𝜇_𝑏 = 0 por tanto igualando las CPO:

(10)

Y dado 𝑝_𝑖 + 𝑝_𝑑 = 1

𝑝_𝑖 + 2𝑝_𝑖 = 1 ∴ (𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑑∗) = (1

3, 2 3) ∎

En el caso de Felisa se obtiene (𝑝_𝑎∗, 𝑝_𝑏∗) = (2 3,

1

3). Reemplazando estos valores en su función objetivo:

2𝑝_𝑎∗𝑝_𝑖∗ + 𝑝_𝑏∗𝑝_𝑑∗ = 2 × (2

3 ×

1

3) + ( 1

3 ×

2

3) =

2 3

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Definición.

Dominancia Estricta en Estrategias Mixtas

Considere el juego finito en forma normal Γ = [𝑁, (𝐶_𝑖)_𝑖=1𝑁 , (𝑢_𝑖)_𝑖=1𝑁 ]. Se dice que una estrategia mixta

𝜎_𝑖 ∈ ∆_𝑖 es estrictamente dominante si y solo si existe otra estrategia mixta 𝜎_𝑖′ ∈ ∆_𝑖 tal que:

𝑢_𝑖(𝜎_𝑖, 𝜎_−𝑖) > 𝑢_𝑖(𝜎_𝑖′, 𝜎_−𝑖) para toda 𝜎_−𝑖 ∈ ∆_−𝑖

En este caso, la estrategia 𝜎_𝑖′ ∈ ∆_𝑖 es una estrategia estrictamente dominada.

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Proposición 1

Una estrategia mixta de un jugador que asigna una probabilidad no negativa a una estrategia pura estrictamente dominada, también es estrictamente dominada. En otros términos: si una estrategia pura es eliminada por ser estrictamente dominada, esta no puede hacer parte de ninguna estrategia mixta estrictamente dominante.

Demostración [Según Manrique et. al. (1999: 183)]: Sean 𝑁 = {1,2}, 𝐶₁ = {𝐴, 𝐵}, 𝐶₂ = {𝐶, 𝐷}. Suponga que 𝐴 ≻₁ 𝐵. Sean además las estrategias mixtas 𝜎₁ = (𝑝, 1 − 𝑝) siendo 𝑝 la probabilidad asociada a la estrategia 𝐵, y 𝜎₂ = (𝑞, 1 − 𝑞), donde 𝑞 es la probabilidad asociada a la estrategia 𝐷. En este caso:

𝑢₁(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝑝𝐸(𝐵) + (1 − 𝑝)𝐸(𝐴) donde: {𝐸(𝐵) = 𝑞 ∙ 𝑢1(𝐵, 𝐷) + (1 − 𝑞) ∙ 𝑢1(𝐵, 𝐶) 𝐸(𝐴) = 𝑞 ∙ 𝑢₁(𝐴, 𝐷) + (1 − 𝑞) ∙ 𝑢₁(𝐴, 𝐶)

Puesto que 𝑢₁(𝐴, ∗) > 𝑢₁(𝐵, ∗) → 𝐸(𝐴) > 𝐸(𝐵). Entonces:

𝑢₁(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝑝𝐸(𝐵) + (1 − 𝑝)𝐸(𝐴) < 𝑝𝐸(𝐴) + (1 − 𝑝)𝐸(𝐴)

∴ 𝑢₁(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝑝𝐸(𝐵) + (1 − 𝑝)𝐸(𝐴) < 𝐸(𝐴) = [0 ∙ 𝐸(𝐵) + 1 ∙ 𝐸(𝐴)] = 𝑢₁(𝜎₁′, 𝜎₂)

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El Equilibrio de Nash

El concepto solución del Equilibrio de Nash se basa en el postulado según el cual “la combinación de estrategias que los jugadores predeciblemente escogerán es aquella en la cual ningún jugador podría mejorar su pago escogiendo unilateralmante una estrategia diferente, si supone que los otros continuarán jugando la estrategia previamente escogida” [Manrique, Villa, Junca, Monsalve (1999:184)]. En consecuencia un equilibrio de Nash constituye un perfil de estrategias tal que cada una de las estrategias de los jugadores involucrados es una respuesta óptima a las estrategia de los otros jugadores. [ Fundenberg & Tirole (1991): 11 ]

Equilibrio de Nash en Estrategias Puras

2

_(Manrique

_et.al

_{. (1999): 184)}

En un juego en forma estrategia Γ = [𝑁, (𝐶_𝑖)_𝑖=1𝑁 , (𝑢_𝑖)_𝑖=1𝑁 ] se dice que un Equilibrio de Nash en

estrategias puras para el juego finito Γ es una estrategia 𝑐∗ = (𝑐_𝑖∗)_𝑖=1𝑁 siempre que

𝑢_𝑖(𝑐₁∗, … ,𝒄_𝒊∗, … , 𝑐_𝑁∗) ≥ 𝑢_𝑖(𝑐₁∗, … ,𝒄_𝒊, … , 𝑐_𝑁∗) toda 𝑐_𝑖, todo 𝑖 = 1, … , 𝑁

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Ejemplo [Manrique et. al. (1999:185)]

En el juego a continuación hay un único Equilibrio de Nash en estrategias puras constituido por el par (m,t) con pagos 𝑢_𝑖 = (5,5) en el cual ningún jugador tiene incentivos para desviarse de dicha estrategia:

II

t s

I k 3, 1 1, 3

m 5, 5 4, 2

i. En efecto, si II piensa que el I jugará m su mejor respuesta es jugar t. Si II juega t, no tiene incentivo para desviarse a la estrategia s, caso en el cual recibiría un pago menor e igual a $4.

ii. Si, el Jugador I piensa que el Jugador II ha de jugar t su mejor respuesta es jugar m que implica un pago de $5 respecto de la alternativa (k), que le reportaría un pago de $3: en este caso, el Jugador I no ve atractivo elegir otra estrategia, dadas los menores retornos asociados.

iii. Considere sin embargo el par (s, m) que supone los pagos (4,2). Si el Jugador I piensa que II jugará s estará bien quedarse en m; sin embargo si el Jugador II piensa que I jugará m, entonces su mejor respuesta sería moverse a t, caso en el cual recibiría $3 más. No es un Equilibrio de Nash

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Ejemplo [Manrique et. al. (1999: 185)]:

En el juego a continuación hay dos (2) Equilibrios de Nash en estrategias puras: (𝐴, 𝐶) y (𝐵, 𝐷)

II

C D

I A 10, 10 0, 0

B 0, 0 1, 1

Observaciones:

 Note que si bien 𝑂₁ = (𝐴, 𝐶) y 𝑂₂ = (𝐵, 𝐷) son Equilibrios de Nash estos observan una relación de dominancia específica: 𝑂₁ ≻_𝑖 𝑂₂, es decir, 𝑂₁ es Pareto Superior a 𝑂₂ ∀𝑖 = {𝐼, 𝐼𝐼} y cabría esperarse (en el mundo real) alguna suerte de cooperación entre los dos jugadores, para alcanzar dicho resultado.

 Se dice entonces que 𝑂₁ = (𝐴, 𝐶) es un “Equilibrio Focal” pues resulta naturalmente preferido a los demás equilibrios.

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Ejemplo

Peatón y Conductor

[Manrique et. al. (1999: 177)]

Conductor

sc ac Cc

Peatón

sc 50, -3 -99, -2 -100, -3 ac -2, -99 -51, -51 -101, -3 c -50, -100 -3, -101 -3, -3

 El Peatón no presenta estrategias estricta (o aún débilmente) dominantes. Para el Conductor “cc” domina [ débilmente ] “sc”. Su eliminación deja al juego de la siguiente forma:

ac cc

sc -99, -2 -100, -3 ac -51, -51 -101, -3 cc -3, -101 -3, -3

 En la siguiente ronda, la estrategia “cc” del peatón domina estrictamente a las demás. Eliminando las estrategias restantes, el único resultado viable es (cc,cc), que es un equilibrio de Nash (por qué?)

ac cc

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Ejemplo:

Caza del Ciervo

[

Pérez, Jimeno, Cerdá (2004: 66, 93)

]

Dos cazadores acuerdan salir a buscar presa. Cada individuo enfrenta la disyuntiva de permanecer en el puesto de observación asignado (convenido) con el objetivo de cazar un ciervo (𝑉), o bien intentar cazar el ciervo pero estar atento a las liebres que ocasionalmente salen (𝑊). Los dos cazadores serán capaces de cazar un ciervo si permanecen en el puesto asignado, ignorando las liebres. Si uno de los cazadores no coopera en el objetivo de cazar el ciervo, no podrá por sí mismo cazarlo. Los dos cazadores prefieren el ciervo a las liebres y las liebres a nada. La matriz de pagos es:

Cazador II

Cooperar Buscar Liebre

Cazador I Cooperar V, V 0, 2W Buscar Liebre 2W, 0 W, W

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Ejemplo:

El Juego de la Gallina

Dos jóvenes de los años de 1950 arrancan sus carros, acelerando cada uno en dirección del otro. Las alternativas que cada conductor tiene son “Continuar” (𝐶) o “Quitarse” (𝑄). Si los dos continúan, reciben un pago negativo dado el choque que se suscita en este caso. Si uno de ellos elige quitarse del camino mientras el otro continúa, es un “gallina” y recibe un pago de cero en tanto que el otro recibe un pago positivo. Si los dos se retiran, los dos son considerados gallinas. 𝑁 = {1,2}, 𝑆_𝑖 = {𝐶, 𝑄} ∀𝑖

II

C Q

I C -1, -1 1, 0

Q 0, 1 0, 0

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Ejemplo:

Una Matriz no Cuadrada de Pagos

Considere la siguiente matriz de pagos:

No hay estrategias estrictamente dominadas para ningún jugador y hay dos (2) equilibrios de Nash: (𝑆, 𝐻) y (𝐷, 𝐹).

H F

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Correspondencia de Respuesta Óptima (Correspondencias de Reacción)

[

Ver

Pérez, Jimeno & Cerdá, (JCP) (2004: 95~) ]

Es siempre útil definir en forma sistemática el conjunto de acciones disponibles para un jugador que le garantizan el mejor pago posible, dada la acción conjunta de los demás individuos en el juego (Monsalve, Arévalo, 2006: 72), i.e., calcular las estrategias óptimas que el jugador podría elegir como respuesta a cualquier combinación de estrategias por parte de los otros jugadores.

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Correspondencia de Respuesta Óptima

Definición [Correspondencia de Respuesta Óptima ]: Considere el juego finito en forma normal

Γ = [𝑁, (𝑠_𝑖)_𝑖=1𝑁 , (𝑢_𝑖)_𝑖=1𝑁 ]

Entonces, para cada uno de los 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 jugadores, se llama Correspondencia de Respuesta Óptima o Correspondencia de Mejor Respuesta o Correspondencia de Reacción a la regla que a cada combinación de estrategias

𝑠_−𝑖 = (𝑠₁, 𝑠₂, … , 𝑠_𝑖−1, 𝑠_𝑖+1, … , 𝑠_𝑁)

asigna el conjunto 𝑅_𝑖(𝑠_−𝑖), siempre que y si y sólo si resulta que:

𝑢_𝑖(𝑠₁, 𝑠₂, … , 𝑠_𝑖−1, 𝑠_𝑖′, 𝑠_𝑖+1, … , 𝑠_𝑁) ≥ 𝑢_𝑖(𝑠₁, 𝑠₂, … , 𝑠_𝑖−1, 𝑠_𝑖, 𝑠_𝑖+1, … , 𝑠_𝑁)

(22)

Correspondencia de Respuesta Óptima

Teorema

[Correspondencia de Respuesta Óptima y Equilibrio de Nash]: Considere el juego finito en forma estratégica:

Γ = [𝑁, (𝑠_𝑖)_𝑖=1𝑁 , (𝑢_𝑖)_𝑖=1𝑁 ]

Entonces el perfil de estrategias:

𝑠∗ = (𝑠₁∗, 𝑠₂∗, … , 𝑠_𝑖−1∗ ,𝑠_𝑖∗, 𝑠_𝑖+1∗ , … , 𝑠_𝑖∗)

Es un equilibrio de Nash si y sólo si:

𝑠_𝑖∗ ∈ 𝑅_𝑖(𝑠_−𝑖∗ )

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Ejemplo:

Juego de la Mayor Diferencia

Sea 𝑁 ≔ 2. El juego consiste en que los dos jugadores escriben al mismo tiempo un número 𝑥_𝑖 ∈ [0,1]

y los pagos están constituidos por la diferencia entre cada uno de los números escritos de acuerdo con la siguiente regla:

𝑢₁(𝑠₁, 𝑠₂) = 𝑢₂(𝑠₁, 𝑠₂) = (𝑠₁ − 𝑠₂)2

Si 𝑠₂ = 3

4 entonces la respuesta óptima de 𝑠1 = 0

Si 𝑠₁ = 1₄ entonces la respuesta óptima de 𝑠₂ = 1, etc.

Las correspondencias de respuesta óptimas de cada jugador, 𝑅_𝑖(𝑠_−𝑖) en este caso son:

Jugador 1 Jugador 2

𝑅₁(𝑠₂) =

{

0 ⟷ 𝑠2 >

1 2

1 ⟷ 𝑠₂ < 1

2

0 ó 1 ⟷ 𝑠₂ = 1

2

𝑅₂(𝑠₁) =

{

0 ⟷ 𝑠1 >

1 2

1 ⟷ 𝑠₁ < 1

2

0 ó 1 ⟷ 𝑠₁ = 1

(24)

(25)

Ejemplo:

Juego del Reparto

(Nash Calls)

El juego consiste en repartirse un valor. El reparto se hace con las siguientes reglas. Cada jugador escribe un número entre 0 y 1 que representa la fracción del activo que desean que se les entregue. Si la suma de los dos números es menor o igual que 1, a cada jugador se le entrega lo que pidió. Si la suma de los dos números es mayor que 1, ninguno de los jugadores recibe nada. En forma normal, el juego adquiere la siguiente forma.

𝑖 = {1,2}, 𝑠_𝑖 = [0, 1] ∀𝑖 = 1,2

Pagos (Juego Infinito)

Jugador 1 Jugador 2

𝑢₁(𝑠₁, 𝑠₂) {𝑠1 ⟷ (𝑠1 + 𝑠2) ≤ 1

0 ⟷ 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑢2(𝑠1, 𝑠2) {𝑠

2 ⟷ (𝑠1 + 𝑠2) ≤ 1

0 ⟷ 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜

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Por lo tanto, las correspondencias de respuesta óptima para cada uno de los jugadores son:

Jugador 1 Jugador 2

𝑅₁(𝑠₂) = {1 − 𝑠2 ⟷ 𝑠2 < 1

[0, 1] ⟷ 𝑠₂ = 1 𝑅2(𝑠1) = {

1 − 𝑠₁ ⟷ 𝑠₁ < 1

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Ejemplo: Juego Simple de Cournot

[Pérez, Jimeno & Cerdá, (2004:98) ]

Dos jugadores escriben al mismo tiempo un número 𝑞_𝑖 ∈ [0,1]. Los pagos correspondientes a cada uno de los jugadores son los siguientes:

𝜋_𝑖 = {𝜋1 = 𝑞1(1 − 𝑞1 − 𝑞2) 𝜋₂ = 𝑞₂(1 − 𝑞₁ − 𝑞₂)

Para el Jugador 1, la correspondencia de respuesta óptima se obtiene resolviendo para todo 𝑞₂ ∈ [0,1]:

max

𝑞₁ 𝜋1 = 𝑞1(1 − 𝑞1 − 𝑞2) 𝑠. 𝑎. ∶ 0 ≤ 𝑞1 ≤ 1

Las CPO son:

𝜕𝜋₁

𝑞₁ = (1 − 𝑞1 − 𝑞2) − 𝑞1 = 1 − 2𝑞1 − 𝑞2 = 0

∴ 𝑞₁0 = 𝑅₁(𝑞₂) = 1 − 𝑞2

(28)

Para el Jugador 1, la correspondencia de respuesta óptima se obtiene resolviendo:

max

𝑞₂ 𝜋1 = 𝑞2(1 − 𝑞1 − 𝑞2) 𝑠. 𝑎. ∶ 0 ≤ 𝑞2 ≤ 1

Las CPO son:

𝜕𝜋₂

𝑞₂ = 1 − 𝑞1 − 2𝑞2 = 0

∴ 𝑞₂0 = 𝑅₂(𝑞₁) = 1 − 𝑞1

2 ∈ [0,1]

El(los) equilibrio(s) de Nash se encuentra en el lugar en el cual cada estrategia es una respuesta óptima a la(s) otra(s). Esto es, el(los) equilibrio(s) de Nash se encuentran en el punto en el cual

𝑞₁0 = 𝑅₁(𝑞₂) = 1 − 𝑞2

2 =

1 − 𝑞₁

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Es decir, debe resolverse el sistema:

𝑠𝑦𝑠𝑒𝑞(𝑞₁, 𝑞₂) == {

𝑞₁ = 1 − 𝑞2

2 [1]

𝑞₂ = 1 − 𝑞1

2 [2]

De la ecuación [1]:

2𝑞₁ = 1 − 𝑞₂ → 𝑞₂ = 1 − 2𝑞₁

Reemplazando en [2]:

1 − 2𝑞₁ = 1 − 𝑞1 2

2 − 4𝑞₁ = 1 − 𝑞₁

(30)

Reemplazando de nuevo en [2]

2𝑞₂ = 2 3 =

2 6 =

1

3 = 𝑞2 ∗

Es decir, el conjunto de los Equilibrios de Nash es el perfil de estrategias: (𝑞₁∗, 𝑞₂∗) = (1 3,

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Equilibrios de Nash (Estrategias Puras):

 El concepto de Equilibrio de Nash es ampliamente atractivo por la versatilidad relativa que ofrece al en la búsqueda de equilibrio para una amplísima variedad de juegos.

 Es conveniente notar que, en general los conjuntos de equilibrios estudiados bajo los distintos conceptos-solución al momento son tales que: ED ⊆ EID ⊆ EN

 En general, los equilibrios de Nash dan lugar a pagos que son al menos tan preferibles como los pagos mínimos garantizados (MinMax) aun cuando en general las estrategias de seguridad no son Equilibrios de Nash.

 La conducta de seguridad y el comportamiento no cooperativo solo coinciden en juegos estrictamente competitivos [ Montet & Serra, 2008:66 ]. No obstante, debe esperarse que no siempre existan equilibrios de Nash en estrategias puras.

 Para probar que un juego tiene al menos un Equilibrio de Nash buscaremos mostrar que el perfil de estrategias 𝑠∗ = (𝑠₁∗, 𝑠₂∗, … , 𝑠_𝑖−1∗ ,𝑠_𝑖∗, 𝑠_𝑖+1∗ , … , 𝑠_𝑖∗) es un equilibrio de Nash si y sólo si 𝑠_𝑖∗ ∈ 𝑅_𝑖(𝑠_−𝑖∗ ), es decir, probar que existe al menos un equilibrio de Nash equivale a probar que existe un

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Existencia de Equilibrios de Nash (

Estrategias Puras

)

Considere la correspondencia 𝑅: 𝑆 ⇉ 𝑆 definida por el producto cartesiano de los espacios de estrategias de los 𝑁 jugadores (Cfr. Fundenberg & Tirole, (1992: 6)]

𝑅(𝑠) = ∏ 𝑅_𝑖(𝑠_−𝑖∗ )

𝑁

𝑖=1

Siendo 𝑆 = ∏𝑁_𝑖=1𝑆_𝑖. En términos vectoriales, esto equivale a poner:

𝑠∗ ∈ 𝑅(𝑠∗)

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Teorema

[Existencia de un Equilibrio de Nash ]: Considere el juego en forma estratégica,

Γ = [𝑁, (𝑠_𝑖)_𝑖=1𝑁 , (𝑢_𝑖)_𝑖=1𝑁 ]

Se dice que el juego Γ tiene al menos un Equilibrio de Nash si, para todos y cada uno de los 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑁

jugadores en el juego:

 El conjunto 𝑆_𝑖 de estrategias es un subconjunto compacto y convexo de un Espacio Euclidiano;

 La función de retorno 𝑢_𝑖 es continua y estrictamente cuasi-concava en 𝑠_𝑖

Demostración: Para todo 𝑖 ∈ 𝑁

 El conjunto 𝑅_𝑖(𝑠_−𝑖∗ ) es no vacío puesto que 𝑢_𝑖 es continua y 𝑆_𝑖 es compacto;

 Al mismo tiempo, se puede garantizar que 𝑅_𝑖(𝑠_−𝑖∗ ) es convexo puesto que 𝑢_𝑖 es cuasi cóncava en 𝑆_𝑖;

 𝑅 = ∏_𝑖𝑅_𝑖 es hemi-continua superior puesto que 𝑢_𝑖 es continua, ∀𝑖 = 1, … , 𝑁

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Ejemplo: El Duopolio de Cournot

El mercado de una mercancía homogénea está habitado por 𝑛 = 2 firmas que compiten en cantidades. Sea 𝑞_𝑗 la cantidad de mercancía que produce la j-ésima firma. Considere los siguientes supuestos:

 La función inversa de demanda3_{correspondiente a la}_j-_{ésima firma es decreciente y lineal para todo} 𝑞_𝑗 ∈ [0, 𝑎 𝑏⁄ ]

 El coste marginal de la firma 𝑗 es constante y tal que 𝐶𝑀𝑔_𝑗 < 𝑎 ∀𝑗 = 1, … , 𝑛

 No hay costos fijos;

 El mercado absorbe cualquier oferta de las firmas.  En general, el precio de mercado, es tal que

𝑃(𝑄) = {𝑎 − 𝑏𝑄 ⟷ 𝑎 > 𝑏𝑄

0 ⟷ 𝑎 ≤ 𝑏𝑄

Donde 𝑏 > 0 y ∑ 𝑞_𝑗 _𝑗 = 𝑞₁ + 𝑞₂ = 𝑄

3_{La función inversa de demanda no es el recíproco de la función de demanda; el termino “inversa” alude al concepto analítico de función inversa. Por consiguiente, dada}_{𝑞 =}

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Las funciones de costes relevantes son:

𝐶_𝑗(𝑞_𝑗) = 𝑐𝑞_𝑗, 𝑐 < 𝑎

Mientras que la función de beneficio correspondiente a la firma j viene dada por:

𝜋_𝑗(𝑞_𝑗, 𝑞_−𝑗) = 𝑞_𝑗(𝑎 − 𝑏𝑄) − 𝑐𝑞_𝑗

Esto es:

{𝜋1(𝑞1, 𝑞2) = 𝑞1(𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2) − 𝑐𝑞1 = 𝑞1(𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐) 𝜋₂(𝑞₁, 𝑞₂) = 𝑞₂(𝑎 − 𝑏𝑞₁ − 𝑏𝑞₂) − 𝑐𝑞₂ = 𝑞₂(𝑎 − 𝑏𝑞₁ − 𝑏𝑞₂ − 𝑐)

En forma normal, el juego de Cournot cuenta con 𝑁 = 2 jugadores con espacios de estrategias 𝑆₁ = 𝑆₂ = [0, 𝑎 𝑏⁄ ] y con funciones de pago:

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Para computar el(los) equilibrio(s) de Nash, téngase en cuenta que la respuesta óptima de cada actor a una acción del otro actor, 𝑅_𝑗(𝑠_−𝑗), se obtiene de la solución del problema:

max

𝑞_𝑗 𝑢𝑗(𝑞𝑗, 𝑞−𝑗) = 𝑞𝑗[𝑎 − (𝑏 ∑ 𝑞𝑗 𝑁

𝑗=1 ) − 𝑐] sujeta a: 0 ≤ 𝑞𝑗 ≤ 𝑎 𝑏⁄

En el caso de la firma 1:

max

𝑞₁ 𝑢1(𝑞1, 𝑞2) = 𝑞1[𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐] sujeta a: 0 ≤ 𝑞1 ≤ 𝑎 𝑏⁄

CPO:

𝜕𝑢₁(𝑞₁, 𝑞₂)

𝜕𝑞₁ = [𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐] + 𝑞1(−𝑏) = 0

Esto es,

𝑞₁∗ = 𝑎 − 𝑐 − 𝑏𝑞2 2𝑏

Note que para este problema las C2O: 𝜕2𝑢₁(∙) 𝜕𝑞⁄ ₁2 = −2𝑏 < 0 por lo que 𝑞₁∗ corresponde a un

máximo, y por tanto, para la firma 1,

(37)

En lo que respecta a la firma 2, el problema es:

max

𝑞₂ 𝑢2(𝑞1, 𝑞2) = 𝑞2[𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐] sujeta a: 0 ≤ 𝑞2 ≤ 𝑎 𝑏⁄

CPO:

𝜕𝑢₂(𝑞₁, 𝑞₂)

𝜕𝑞₂ = [𝑎 − 𝑏𝑞1 − 𝑏𝑞2 − 𝑐] + 𝑞2(−𝑏) = 0

Esto es,

𝑞₂∗ ≡ 𝑅₂(𝑞₁) = 𝑎 − 𝑐 − 𝑏𝑞1 2𝑏

Suponga que el par (𝑞₁∗, 𝑞₂∗) es un Equilibrio de Nash. Entonces, por el teorema de existencia presentado supra, 𝑞₁∗ ≡ 𝑅₁(𝑞₂) y 𝑞₂∗ ≡ 𝑅₂(𝑞₁). Es decir, es la solución del sistema de ecuaciones:

{

𝑞₁∗ = 𝑎 − 𝑐 − 𝑏𝑞2 2𝑏

(38)

Reemplazando la expresión para 𝑞₂∗ en 𝑞₁∗:

𝑞₁∗ = 𝑎 − 𝑐 − 𝑏 (

𝑎 − 𝑐 − 𝑏𝑞₁

2𝑏 )

2𝑏

De donde,

𝑞₁∗ = 𝑎 − 𝑐 3𝑏

Bajo el mismo razonamiento,

𝑞₂∗ = 𝑎 − 𝑐 3𝑏

Y, el conjunto de puntos de equilibrio (de Nash) vendrá dado por:

𝑆𝐸𝑁 ≡ [𝑞₁∗ = 𝑎 − 𝑐 3𝑏 , 𝑞2

(39)

Teoría de los Juegos – Equilibrio de Nash // @JackFlash Dado que la cantidad total de equilibrio ∑ 𝑞_𝑗 _𝑗 = 𝑞₁ + 𝑞₂ = 𝑄

𝑄∗ = 𝑞₁∗ + 𝑞₂∗ = 2 ∙ 𝑎 − 𝑐 3𝑏

En tanto que el precio de equilibrio viene dado por:

𝑃(𝑄∗) = 𝑎 − 𝑏𝑄∗ = 𝑎 − 𝑏 (2 ∙ 𝑎 − 𝑐 3𝑏 ) =

𝑎 + 2𝑐 3

Recuerde que la función de beneficio de la firma j está dada por 𝜋_𝑗 = 𝑞_𝑗[𝑎 − (𝑏 ∑𝑁_𝑗=1𝑞_𝑗) − 𝑐]. Luego en el óptimo, fijando j=1 (el mismo procedimiento aplica a la otra empresa),

𝜋₁∗ = 𝑢₁∗(𝑞₁∗, 𝑞₂∗) = 𝑞₁∗[𝑎 − 𝑏 (𝑎 − 𝑐

3𝑏 ) − 𝑏 (

𝑎 − 𝑐

3𝑏 ) − 𝑐] = 𝑞1

∗_{[𝑎 −} 𝑎 − 𝑐

3 −

𝑎 − 𝑐 3 − 𝑐]

∴ 𝜋₁∗ = (𝑎 − 𝑐)

2

9𝑏 = 𝜋2

∗

Y el beneficio total en la industria,

Π∗ = 𝜋₁∗ + 𝜋₂∗ = (𝑎 − 𝑐)

2

9𝑏 +

(𝑎 − 𝑐)2

9𝑏 = 2 [

(𝑎 − 𝑐)2 9𝑏 ]

En resumen, el equilibrio en esta industria viene dado por una tupla:

[𝑃∗(𝑄∗_{); 𝑄}∗_(𝑞

𝑗∗); Π∗(𝜋𝑗∗)]_𝑗=1 𝑁=2

= [(𝑎 + 2𝑐 3 ) ; (

2(𝑎 − 𝑐) 3𝑏 ) ; (

2(𝑎 − 𝑐)2

(40)

(41)

Ejemplo: El Oligopolio de Cournot

Extendamos el resultado de Cournot a un número 𝑗 = 1, … , 𝑛 de firmas cada una con un nivel de producción, 𝑞_𝑗. La función inversa de demanda es, como en el caso anterior,

𝑃(𝑄) = {𝑎 − 𝑏𝑄 ⟷ 𝑎 > 𝑏𝑄

0 ⟷ 𝑎 ≤ 𝑏𝑄

Con 𝑏 > 0 y ∑ 𝑞_𝑗 _𝑗 = 𝑞₁ + 𝑞₂+, … , +𝑞_𝑛−1 + 𝑞_𝑛 = 𝑄

La función de costos de la firma j viene dada por:

𝐶_𝑗(𝑞_𝑗) = 𝑐𝑞_𝑗 𝑐 < 𝑎 ∀𝑗

El beneficio de la firma j es:

𝜋_𝑗 = 𝑞_𝑗𝑃(𝑄) − 𝐶_𝑗(𝑞_𝑗) = 𝑞_𝑗𝑃(𝑞_𝑗 + 𝑄_−𝑗) − 𝐶_𝑗(𝑞_𝑗) = 𝑞_𝑗[𝑎 − 𝑏(𝑞_𝑗 + 𝑄_−𝑗)] − 𝑐𝑞_𝑗

(42)

La respuesta óptima de la firma j a una combinación de acciones 𝑞_−𝑗 = (𝑞₁, … , 𝑞_𝑗−1, 𝑞_𝑗+1, … , 𝑞_𝑛) es la solución de

max

𝑞_𝑗 𝜋𝑗 = 𝑞𝑗[𝑎 − 𝑏(𝑞𝑗 + 𝑄−𝑗) − 𝑐] sujeta a: 𝑞𝑗 ∈ [0, 𝑎 𝑏]

Las condiciones relevantes para óptimo son:

𝜕𝜋_𝑗(𝑞_𝑗, 𝑞_−𝑗)

𝜕𝑞_𝑗 = [𝑎 − 𝑏(𝑞𝑗 + 𝑄−𝑗) − 𝑐] − 𝑏𝑞𝑗 = 0

∴ 𝑎 − 2𝑏𝑞_𝑗 − 𝑏𝑄_−𝑗 − 𝑐 = 0

La C2O permite verificar la cuasi concavidad (estricta) de 𝜋_𝑗 por lo que CPO supone un máximo.

El vector 𝑞∗ = (𝑞₁∗, 𝑞₂∗, … , 𝑞_𝑗−1∗ , 𝑞_𝑗∗, 𝑞_𝑗+1∗ , … , 𝑞_𝑛∗) caracteriza a un Equilibrio de Nash si se verifican:

(43)

Es claro (simetría) que 𝑞_𝑗∗ = 𝑞_𝑖∗, 𝑖 ≠ 𝑗. Además se notará que 𝑏𝑄_−𝑗∗ = 𝑏(𝑛 − 1)𝑞_𝑗∗. Ergo,

𝑎 − 2𝑏𝑞_𝑗∗ − 𝑏𝑄_−𝑗∗ − 𝑐 =

𝑎 − 2𝑏𝑞_𝑗∗ − 𝑏(𝑛 − 1)𝑞_𝑗∗ − 𝑐 = 0

2𝑏𝑞_𝑗∗ + 𝑏(𝑛 − 1)𝑞_𝑗∗ = 𝑎 − 𝑐

𝑞_𝑗∗(2𝑏 + 𝑏(𝑛 − 1)) = 𝑎 − 𝑐

∴ 𝑞_𝑗∗ = 𝑎 − 𝑐

𝑏(𝑛 + 1) ∀𝑗

El equilibrio de Nash es el n-vector:

[𝑞₁∗ = 𝑎 − 𝑐

𝑏(𝑛 + 1), … , 𝑞𝑗

∗ ₌ 𝑎 − 𝑐

𝑏(𝑛 + 1), … , 𝑞𝑛

(44)

La cantidad total de mercancía en el equilibrio, es:

𝑄∗ = ∑ ( 𝑎 − 𝑐 𝑏(𝑛 + 1)) 𝑛

𝑗=1

= 𝑛 ( 𝑎 − 𝑐 𝑏(𝑛 + 1))

Los precios de equilibrio,

𝑃(𝑄∗) = 𝑎 − 𝑏 [𝑛 ( 𝑎 − 𝑐

𝑏(𝑛 + 1))] =

𝑎 + 𝑛𝑐 𝑛 + 1

El beneficio individual de equilibrio:

𝜋_𝑗∗ ≡ 𝑢_𝑗∗ = 𝑞_𝑗∗(𝑎 − 𝑏(𝑞_𝑗∗ + 𝑄_−𝑗∗ ) − 𝑐)

= 𝑞_𝑗∗ (𝑎 − 𝑏 (𝑛 ( 𝑎 − 𝑐

𝑏(𝑛 + 1))) − 𝑐) = 𝑞𝑗

∗ _{(𝑎 − 𝑛}𝑎 − 𝑐

𝑛 + 1 − 𝑐)

∴ 𝜋_𝑗∗ = (𝑎 − 𝑐) 2

𝑏(𝑛 + 1)2 ∀= 1, … , 𝑛

Y el beneficio de equilibrio agregado,

Π∗ = ∑ 𝜋_𝑗∗ 𝑛

𝑗=1

= ∑ (𝑎 − 𝑐) 2

𝑏(𝑛 + 1)2 = 𝑛 [

(𝑎 − 𝑐)2 𝑏(𝑛 + 1)2] 𝑛

𝑗=1

(45)

Ejemplo: El Modelo de Bertrand - Productos Homogéneos4

Contrario a la opinión de Agustín Cournot, el matemático francés Joseph Louis François Bertrand (1822-1900) creía que las firmas utilizaban precios (en lugar de cantidades) para ajustar a la demanda de mercado.

En el modelo de Bertrand las firmas compiten en precios y venden toda la producción que puedan poner en el mercado y que los demandantes quieran comprar a ese precio.

Considere una economía con j = {1, 2} firmas que producen un cierto bien y cuya estrategia de competencia es la modificación de los precios a los que participan en el mercado relevante.

Sea 𝑞(𝑝) la función de demanda de mercado del producto. Entonces:

 El consumidor compra al precio más bajo siendo indiferente entre quienes venden el producto si las firmas tienen el mismo precio;

 𝑞(𝑝) es monótona decreciente en 𝑝 ∈ [0, 𝑝_𝑐)

 𝑞(𝑝) = 0 si 𝑝 ≥ 𝑝_𝑐

 El proceso fabril de las dos firmas se caracteriza por funciones de costes idénticas (sin coste fijo) y con costes marginales constantes 𝑐

 Sea 𝑝_𝑀 el precio de monopolio de la mercancía. Entonces vale 0 < 𝑐 < 𝑝_𝑀 < 𝑝_𝑐

(46)

La demanda que enfrenta la j-ésima firma está segmentada en función de la relación que mantiene el precio ofrecido por ella con el precio de la firma rival.

𝑞_𝑗(𝑝_𝑗, 𝑝_𝑖) =

{

0 ⟷ 𝑝_𝑗 > 𝑝_𝑖

𝑞(𝑝_𝑗) ⟷ 𝑝_𝑗 < 𝑝_𝑖

𝑞(𝑝_𝑗) 2⁄ ⟷ 𝑝_𝑗 = 𝑝_𝑖

Las funciones de costes son:

𝐶_𝑗(𝑞_𝑗) = 𝑐𝑞_𝑗 ∀𝑗

Y los beneficios:

𝜋_𝑗(𝑝_𝑗, 𝑝_𝑖) =

{

0 ⟷ 𝑝_𝑗 > 𝑝_𝑖

(𝑝_𝑗 − 𝑐) ∙ 𝑞(𝑝_𝑗) ⟷ 𝑝_𝑗 > 𝑝_𝑖

(47)

En el modelo de Bertrand, un Equilibrio de Nash es un vector de precios 𝑝∗ = (𝑝_𝑗∗, 𝑝_𝑖∗) al cual el precio fijado por la j-ésima firma es la reporta el mayor beneficio, dado el precio de la firma rival, i.e.,

𝑢_𝑗(𝑝_𝑗∗, 𝑝_𝑖∗) ≥ 𝑢_𝑗(𝑝_𝑗, 𝑝_𝑖∗) ∀𝑗 = 1,2; ∀𝑝_𝑗 ∈ 𝑆_𝑗

La discontinuidad de la demanda de mercado es heredada por la función de beneficio de cada una de las firmas razón por la cual, las funciones de respuesta óptima 𝑅_𝑗(𝑠_−𝑗) no pueden ser derivadas usando el

cálculo.

A la sazón una caracterización del equilibrio para este juego consiste en estudiar diferentes puntos candidatos a equilibrio y estudiar su estabilidad relativa, i.e., “considerar todas las situaciones (de equilibrio) posibles y descartar aquellas que no cumplan con nuestra definición(es decir descartar aquellas situaciones en las que alguna empresa pudiera conseguir un beneficio mayor alterando la situación mediante el cambio de su precio)” (Pérez, Jimeno & Cerdá, 2008: 120). Las situaciones a las que las firmas involucradas se enfrentan, son las siguientes:

i. 𝑝_𝑗∗ > 𝑝_𝑖∗ = 𝑐. El precio de las firmas es diferente; el precio de la firma rival se fija al coste marginal; ii. 𝑝_𝑗∗ > 𝑝_𝑖∗ > 𝑐. El precio de las firma es distinto y mayor que el coste marginal;

(48)

(49)

De acuerdo con estas posibilidades, valórense los beneficios de las firmas, según el caso:

Caso i: 𝑝_𝑗∗ > 𝑝_𝑖∗ = 𝑐. En este caso, los beneficios son:

𝑢_𝑖(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗) = {𝑢𝑖(𝑝𝑖 ∗_{, 𝑝}

𝑗∗) = 𝑞(𝑝𝑖∗)(𝑝𝑖∗ − 𝑐) = 𝑞(𝑐)(𝑐 − 𝑐) = 0 𝑢_𝑖(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗) = 0

Suponga, sin embargo, que la firma i elige un precio distinto y superior al costo marginal 𝑐 pero aún

inferior al precio de la otra firma, e.g. 𝑝_𝑖′ = 𝑝_𝑗∗ − 𝜖 > 𝑐. En este caso, los beneficios de la firma i son:

𝑢_𝑖(𝑝_𝑖′, 𝑝_𝑗∗) = 𝑞(𝑝_𝑖′)(𝑝_𝑖′ − 𝑐) > 0

(50)

Caso ii: 𝑝_𝑗∗ > 𝑝_𝑖∗ > 𝑐. El precio de las firmas es distinto y mayor que el coste marginal. En este escenario los beneficios de las firmas son

𝑢_𝑖(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗) = {𝑢𝑖(𝑝𝑖 ∗_{, 𝑝}

𝑗∗) = 𝑞(𝑝𝑖∗)(𝑝𝑖∗ − 𝑐) = 𝑞(𝑝𝑖∗)(𝑝𝑖∗ − 𝑐) > 0 𝑢_𝑖(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗) = 0

Puesto que 𝑝_𝑗∗ > 𝑝_𝑖∗, el beneficio para la firma j es cero. No obstante suponga que esta firma reduce su precio en una cantidad 𝜖 de modo que el nuevo precio sea igual al precio de la otra firma, menos una

cantidad determinada 𝑝_𝑗′ = (𝑝_𝑖∗ − 𝜖) > 𝑐, entonces, el beneficio para esta firma es:

𝑢_𝑗(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗) = 𝑞(𝑝_𝑗′)(𝑝_𝑗′ − 𝑐) = 𝑞(𝑝_𝑗′) (𝑝_⏟_𝑖∗ − 𝜖 >𝑐

− 𝑐) > 0

(51)

Caso iii: Los precios de las dos firmas son iguales y mayores que el coste marginal, i.e. 𝑝_𝑗∗ = 𝑝_𝑖∗ > 𝑐. Los

beneficios de las firmas, en esta situación, son:

𝑢_𝑖(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗) = {𝑢𝑖(𝑝𝑖 ∗_{, 𝑝}

𝑗∗) = 𝑞(𝑝𝑖∗)(𝑝𝑖∗ − 𝑐) 2⁄ > 0 𝑢_𝑗(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗) = 𝑞(𝑝_𝑗∗)(𝑝_𝑗∗ − 𝑐) 2⁄ > 0

En este caso, las firmas obtienen un beneficio estrictamente positivo si bien se reparten el mercado entre los dos. Note además que si cualquier firma reduce su precio por debajo del de la otra firma, se queda con todo el mercado duplicando prácticamente su beneficio. En efecto, suponga que:

𝑝_𝑖′ = 𝑝_𝑖∗ − 𝜖 < 𝑝_𝑗∗ con 𝑝_𝑖′ > 𝑐

En este caso,

𝑢_𝑖(𝑝_𝑖′, 𝑝_𝑗∗) = 𝑞(𝑝_𝑖∗ − 𝜖)(𝑝_𝑖∗ − 𝜖 − 𝑐) ≈ 2𝑢_𝑖(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗) > 𝑢_𝑖(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗)

(52)

Caso iv: 𝑝_𝑗∗ = 𝑝_𝑖∗ = 𝑐. Los precios de las dos firmas son iguales entre si e iguales al coste marginal. En este caso, los beneficios de las firmas son:

𝑢_𝑖(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗) = {𝑢𝑖(𝑝𝑖 ∗_{, 𝑝}

𝑗∗) = 𝑞(𝑝𝑖∗)(𝑝𝑖∗ − 𝑐) = 𝑞(𝑐)(𝑐 − 𝑐) = 0 𝑢_𝑗(𝑝_𝑖∗, 𝑝_𝑗∗) = 𝑞(𝑝_𝑗∗)(𝑝_𝑗∗ − 𝑐) = 𝑞(𝑐)(𝑐 − 𝑐) = 0

(53)

En términos de funciones de reacción (correspondencias de respuesta óptima):

 Si el precio fijado por la firma i, 𝑝_𝑖 es menor que el costo marginal, 𝑐 cualquier respuesta 𝑝_𝑗 > 𝑝_𝑖

es óptima pues implica beneficios nulos, en contraste con respuestas 𝑝_𝑗 ≤ 𝑝_𝑖, que implican

beneficio negativo (pérdida).

 Si el precio fijado por la firma i, 𝑝_𝑖 es igual al costo marginal, 𝑐 cualquier respuesta 𝑝_𝑗 ≥ 𝑝_𝑖 es óptima pues implica beneficios nulos, en contraste con respuestas 𝑝_𝑗 < 𝑐, que implican beneficio negativo (pérdida).

 Si el precio fijado por la firma i, 𝑝_𝑖 es igual al costo marginal, 𝑐 pero menor o igual al precio de

monopolio 𝑝_𝑀 no existe una respuesta 𝑝_𝑗 óptima a la estrategia 𝑝_𝑖:

o Mientras 𝑝_𝑗 se aproxima desde abajo a 𝑝_𝑖, el beneficio de la firma j se aproxima a la que supone el precio de monopolio 𝑝_𝑀.

o Sin embargo, cuando 𝑝_𝑗=𝑝_𝑖, el beneficio salta a la mitad (los dos individuos se reparten el mercado),

o Si, 𝑝_𝑗 sigue aumentando por encima de 𝑝_𝑖, el beneficio salta a cero.

Claramente, dado el precio de la otra firma, siempre es mejor fijar un precio ligeramente inferior, pero nunca óptimo.

 Si el precio fijado por la firma i, 𝑝_𝑖 es mayor que el precio de monopolio, 𝑝_𝑀, la respuesta 𝑝_𝑗 = 𝑝_𝑀

(54)

(55)

Final Remark (Bertrand)

La solución para el juego de Bertrand es un equilibrio de Nash que coincide con un equilibrio en estrategias débilmente dominadas.

Para la firma j-ésima la estrategia 𝑝_𝑗∗ = 𝑐 está débilmente dominada por cualquier otra estrategia 𝑝_𝑗∗ > 𝑐

tal que 𝑞(𝑝_𝑗∗) > 0 pues:

(56)

Equilibrios de Nash (Estrategias Mixtas):

No todo juego finito tiene un Equilibrio de Nash por Solución. Considere, por ejemplo, el Juego del Lanzamiento de las Monedas:

Jugador 2

Cara Sello

Jugador 1 Cara 1, -1 -1, 1

Sello -1, 1 1, -1

Considerando correspondencias de respuesta óptima, al Jugador 1 le resulta conveniente responder a cualquier estrategia del Jugador 2 con la misma estrategia en tanto que al Jugador 2, le resulta más rentable, dada cualquier estrategia del Jugador 1, elegir la estrategia opuesta. Las correspondencias de respuesta óptima son,

 Jugador 1: 𝑅₁(𝑠₂) = 𝑠₂, i.e., 𝑅₁(𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝐶𝑎𝑟𝑎 ; 𝑅₂(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜

 Jugador 2: 𝑅₂(𝑠₁) = −𝑠₁, i.e., 𝑅₂(𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜 ; 𝑅₂(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝐶𝑎𝑟𝑎

(57)

Equilibrios de Nash (Estrategias Mixtas):

El juego de las monedas, se sabe que tiene una solución MaxiMin (Von Neumann-Morgenstern) en estrategias mixtas, dada una aleatorización de la conducta del jugador que ahora se representa como un individuo que no elige únicamente estrategias puras, sino loterías sobre los conjuntos de estrategias (puras) que pueden generar para él un perfil dado de estrategias: En el juego de las monedas el Jugador 1 puede Jugar Cara con probabilidad 0.25 y Jugar Sello con probabilidad 0.75.

Definición.

Estrategias Mixtas

(PJCerdá [2006]: 146)

Volvamos sobre la definición de Estrategias Mixtas presentada en la p.4 supra:

(58)

Al conjunto de las estrategias mixtas del i-ésimo jugador se notará con Δ(𝑆_𝑖) que se define como:

Δ(𝑆_𝑖) = {𝜎_𝑖 = (𝜎_𝑖1, 𝜎_𝑖2, ⋯ , 𝜎_𝑖𝑘): 𝜎_𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2,3, … , 𝑘 𝑦 ∑ 𝜎_𝑖𝑗 = 1

𝑘

𝑗=1

}

 Toda estrategia pura es una estrategia mixta: Bajo este tipo de definición una estrategia mixta da probabilidad 1 a una única estrategia y cero a las demás. La estrategia pura 𝑠_𝑖𝑗 es entonces susceptible de ser identificada con la estrategia mixta 𝜎_𝑖 = (0, 0, ⋯ ,1, ⋯ ,0,0) siendo 1 la j-ésima estrategia pura.

(59)

Definición.—

Soporte de una Estrategia Mixta

Sea 𝑆_𝑖 = {𝑠_𝑖1, 𝑠_𝑖2, ⋯ , 𝑠_𝑖𝑘 } el conjunto de estrategias puras del i-ésimo jugador. Entonces, el soporte de

una estrategia mixta 𝜎_𝑖 es el subconjunto de estrategias puras, al cual 𝜎_𝑖 asigna probabilidades positivas, i.e.

𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜎_𝑖 ) = {𝑠_𝑖𝑘 ∈ 𝑆_𝑖 ∶ 𝜎_𝑖(𝑠_𝑖𝑘) > 0 }

 El soporte de una estrategia mixta 𝜎_𝑖, 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜎_𝑖 ) ⊆ 𝑆_𝑖 tal que 𝑠_𝑖𝑗 ∈ 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜎_𝑖 ) ⟷ 𝜎_𝑖𝑗 > 0.

 Se dirá que la estrategia mixta 𝜎_𝑖 es una estrategia mixta completa si dicha estrategia coincide con el conjunto de estrategias puras del jugador, es decir, 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜎_𝑖 ) = 𝑆_𝑖.

 Una estrategia mixta es completa si asigna una probabilidad estrictamente positiva a cada estrategia pura de 𝑆_𝑖

 Toda estrategia pura es una estrategia mixta de soporte unitario, i.e., un soporte de un único elemento.

(60)

Ejemplo

( PJC: 147 )

Sea el siguiente juego

:

Jugador 2

Izquierda Derecha

Jugador 1 Arriba 3, 2 1, 4

Centro 1, 3 2, 1

Abajo 2, 2 2, 0

 Los conjuntos de estrategias puras son: {𝑆1 = [𝐴, 𝐶, 𝐵] 𝑆₂ = [𝐼, 𝐷]

 Una estrategia mixta para el Jugador 1 puede ser una distribución 𝜎₁ = {𝑝, 𝑞, 1 − 𝑝 − 𝑞} donde 𝑝

es la probabilidad de elegir Arriba, 𝑞 es la probabilidad de elegir C, y Abajo se elige con probabilidad

1 − 𝑝 − 𝑞.

(61)

 Para el Jugador 1, toda estrategia mixta en la que 𝑝 > 0, 𝑞 > 0, 1 − 𝑝 − 𝑞 > 0 tendrá un conjunto soporte 𝑠𝑢𝑝𝑝(𝜎₁ ) igual al número de estrategias puras siendo así una estrategia mixta completa.

 Una estrategia mixta completa para este jugador es (1₂,1₄,1

4), en donde jugar 𝐴 tiene probabilidad 1 2,

jugar 𝐶 tiene probabilidad 1

4, y jugar 𝐵 tiene probabilidad 1

4 tiene un conjunto soporte que coincide

con el conjunto de estrategias puras, 𝑆₁: 𝑠𝑢𝑝𝑝(1₂,1₄,1 4).

 En contraste, si una estrategia mixta para el jugador 1 es una lotería (0,1₃,2

3) esta no puede entenderse

como una estrategia mixta completa porque asigna probabilidad 0 a la estrategia pura 𝐴, y su

soporte es un subconjunto propio de 𝑆₁: 𝑠𝑢𝑝𝑝(0,1₃,2

3) = {𝐵, 𝐶};

 Las estrategias puras {𝐴, 𝐵, 𝐶} pueden entenderse como las estrategias mixtas:

(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

 Bajo estrategias mixtas las funciones de pago dejan de ser determinísticas para tornarse en aleatorias;

(62)

Ejemplo: Matching Pennies.— Suponga de nuevo el juego de las monedas. En este caso 𝑆₁ = 𝑆₂ = (𝐶𝑎𝑟𝑎 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) con pagos:

Jugador 2

Cara Sello

Jugador 1 Cara 1, -1 -1, 1

Sello -1, 1 1, -1

Sean 𝜎₁ = (𝑝, 1 − 𝑝) y 𝜎₂ = (𝑞, 1 − 𝑞). Entonces, los pagos esperados para cada jugador son:

 𝑈₁((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑝𝑢₁(𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝐶𝑎𝑟𝑎) + (1 − 𝑝)𝑢₁(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑝(1) + (1 −

𝑝)(−1) = 𝑝 − 1 + 𝑝 = 2𝑝 − 1

 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑝𝑢₂(𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝐶𝑎𝑟𝑎) + (1 − 𝑝)𝑢₂(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝐶𝑎𝑟𝑎) = 𝑝(−1) + (1 −

𝑝)(1) = −𝑝 + 1 − 𝑝 = 1 − 2𝑝

En tanto que:

 𝑈₁((𝑝, 1 − 𝑝), 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑝𝑢₁(𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) + (1 − 𝑝)𝑢₁(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑝(−1) + (1 −

𝑝)(1) = −𝑝 + 1 − 𝑝 = 1 − 2𝑝

 𝑈₂((𝑝, 1 − 𝑝), 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑝𝑢₂(𝐶𝑎𝑟𝑎, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) + (1 − 𝑝)𝑢₂(𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑝(1) + (1 −

(63)

Los pagos esperados al combinar las dos estrategias mixtas son:

𝑈₁[𝜎₁, 𝜎₂] = 𝑈₁[(𝑝, 1 − 𝑝) , (𝑞, 1 − 𝑞)] = 𝑞𝑈₁((𝑝, 1 − 𝑝), 𝐶𝑎𝑟𝑎) + (1 − 𝑞)𝑈₁((𝑝, 1 − 𝑝), 𝑆𝑒𝑙𝑙𝑜) = 𝑞(2𝑝 − 1) + (1 − 𝑞)(1 − 2𝑝) = 1 − 2𝑝 − 2𝑞 + 4𝑝𝑞

𝑈₂[𝜎₁, 𝜎₂] = 𝑈₂[(𝑝, 1 − 𝑝) , (𝑞, 1 − 𝑞)]

= 𝑝 ∙ 𝑞(−1) + (1 − 𝑝) ∙ 𝑞 ∙ (1) + 𝑝 ∙ (1 − 𝑞)(1) + (1 − 𝑝) ∙ (1 − 𝑞)(−1) = −1 + 2𝑝 + 2𝑞 − 4𝑝𝑞

Suponga ex post que se tienen los siguientes pares de estrategias: ((1 3⁄ , 2 3⁄ ), 𝐶𝑎𝑟𝑎) y

((1 3⁄ , 2 3⁄ ), (4 5⁄ , 1 5⁄ ))

(64)

Utilidad Esperada en Juegos Bi-persona

Sea Γ un juego con dos jugadores cuyos conjuntos de estrategias puras son:

𝑆₁ = {𝑠₁1, 𝑠₁2, … , 𝑠₁𝑚} y 𝑆₂ = {𝑠₂1, 𝑠₂2, … , 𝑠₂𝑛}

Sea además la estrategia mixta: 𝜎₂ = {𝜎₂1, 𝜎₂2, … , 𝜎₂𝑛}

Si el jugador 1 juega 𝑠₁𝑖 y el jugador 2 juega 𝜎₂ las ganancias esperadas para cada jugador serán:

𝑈₁(𝑠₁𝑖, 𝜎₂) = 𝜎₂1𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂1) + 𝜎₂2𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂2) + ⋯ + 𝜎₂𝑛𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑛) = ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1

𝑈₂(𝑠₁𝑖, 𝜎₂) = 𝜎₂1𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂1) + 𝜎₂2𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂2) + ⋯ + 𝜎₂𝑛𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑛) = ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗)

𝑛

(65)

Suponga que el jugador 1 ahora juega 𝜎₁ = {𝜎₁1, 𝜎₁2, … , 𝜎₁𝑚} y el jugador 2 juega 𝜎₂ = {𝜎₂1, 𝜎₂2, … , 𝜎₂𝑛}, las ganancias esperadas serán:

𝑈₁(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝜎₁1𝑈₁(𝑠₁1, 𝜎₂) + 𝜎₁2𝑈₁(𝑠₁2, 𝜎₂) + ⋯ + 𝜎₁𝑚𝑈₁(𝑠₁𝑚, 𝜎₂) =

= 𝜎₁1 ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁1, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1

+ 𝜎₁2 ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁2, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1

+ ⋯ + 𝜎₁𝑚 ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁𝑚, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1

= ∑ 𝜎₁𝑖 (∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1

)

𝑚

𝑖=1

= ∑ ∑ 𝜎₁𝑖𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1 𝑚

𝑖=1

En tanto que para el Jugador 2:

𝑈₂(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝜎₁1𝑈₂(𝑠₁1, 𝜎₂) + 𝜎₁2𝑈₂(𝑠₁2, 𝜎₂) + ⋯ + 𝜎₁𝑚𝑈₂(𝑠₁𝑚, 𝜎₂) =

= 𝜎₁1∑ 𝜎₂𝑗𝑢₁(𝑠₁1, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1

+ 𝜎₁2 ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₂(𝑠₁2, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1

+ ⋯ + 𝜎₁𝑚 ∑ 𝜎₂𝑗𝑢₂(𝑠₁𝑚, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1

= ∑ 𝜎₁𝑖 (∑ 𝜎₂𝑗𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1

)

𝑚

𝑖=1

= ∑ ∑ 𝜎₁𝑖𝜎₂𝑗𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗)

𝑛

𝑗=1 𝑚

(66)

Las Ganancias Esperadas en Forma Matricial:

Considere un juego Γ con estrategias puras 𝑆₁ = {𝑠₁1, 𝑠₁2, … , 𝑠₁𝑚} y 𝑆₂ = {𝑠₂1, 𝑠₂2, … , 𝑠₂𝑛}, y con estrategias mixtas 𝜎₁ = {𝜎₁1, 𝜎₁2, … , 𝜎₁𝑚} y 𝜎₂ = {𝜎₂1, 𝜎₂2, … , 𝜎₂𝑛}. En tonces, la representación en forma estratégicas es:

Jugador 2

𝑠₂1 𝑠₂1 … 𝑠₂𝑛

Jugador 1 𝑠₁1 𝑢₁(𝑠₁1_{, 𝑠}

21), 𝑢2(𝑠11, 𝑠21) 𝑢1(𝑠11, 𝑠22), 𝑢2(𝑠11, 𝑠22) … 𝑢1(𝑠11, 𝑠2𝑛), 𝑢2(𝑠11, 𝑠2𝑛)

𝑠₁2 𝑢₁(𝑠₁2_{, 𝑠}

21), 𝑢2(𝑠12, 𝑠21) 𝑢1(𝑠1´2, 𝑠22), 𝑢2(𝑠12, 𝑠22) … 𝑢1(𝑠12, 𝑠2𝑛), 𝑢2(𝑠12, 𝑠2𝑛)

… … … … …

𝑠₁𝑚 𝑢₁(𝑠₁𝑚, 𝑠₂1), 𝑢₂(𝑠₁𝑚, 𝑠₂1) 𝑢₁(𝑠₁𝑚_{, 𝑠}

22), 𝑢2(𝑠1𝑚, 𝑠22) … 𝑢1(𝑠1𝑚, 𝑠2𝑛), 𝑢2(𝑠1𝑚, 𝑠2𝑛)

Sean: 𝐴₁ = (𝑢₁(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗)) y 𝐴₂ = (𝑢₂(𝑠₁𝑖, 𝑠₂𝑗)), que corresponden respectivamente a las submatrices de

ganancias del Jugador 1 y del Jugador 2. Entonces, la ganancia esperada de cada jugador, dadas las estrategias mixtas 𝜎₁ y 𝜎₂, son:

𝑈₁ = 𝜎₁𝐴₁𝜎₂ y 𝑈₂=𝜎₁𝐴₂𝜎₂

(67)

Ejemplo (PJC, 2004: 150~): Considere de nuevo el juego,

Jugador 2

Izquierda Derecha

Jugador 1 Arriba 3, 2 1, 4

Centro 1, 3 2, 1

Abajo 2, 2 2, 0

i. Sean 𝜎₁ = {2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ } y 𝜎₂ = {1 3⁄ , 2 3⁄ }. Entonces, dadas:

𝐴₁ = (

3 1 1 2 2 2

) y 𝐴₂ = (

2 4 3 1 2 0

)

Las ganancias esperadas de jugar las estrategias mixtas propuestas para cada jugador son:

𝑈₁ = 𝜎₁𝐴₁𝜎₂𝑇 = (2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ ) (

3 1 1 2 2 2

) (1 3⁄

(68)

𝑈₂ = 𝜎₁𝐴₂𝜎₂𝑇 = (2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ ) (

2 4 3 1 2 0

) (1 3⁄

1 3⁄ ) = 47 18⁄

ii. Considere ahora el siguiente par de estrategias: 𝜎₁ = (2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ ) y 𝑠₂ = 𝐼𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎. ¿Cuáles son las utilidades esperadas de los Jugadores?

𝑈₁(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝜎₁𝐴₁𝜎₂𝑇 = (2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ ) (

3 1 1 2 2 2

) (1

0) = (5 2⁄ 4 3⁄ ) ( 1

0) = 5 2⁄

𝑈₂(𝜎₁, 𝜎₂) = 𝜎₁𝐴₂𝜎₂𝑇 = (2 3⁄ , 1 6⁄ , 1 6⁄ ) (

2 4 3 1 2 0

) (1

0) = (13 6⁄ 17 6⁄ ) ( 1

(69)

Definición: Equilibrio de Nash en Estrategias Mixtas:

Sea el Juego Γ = [𝑁; 𝑆₁, … , 𝑆_𝑁; 𝑢₁, … , 𝑢_𝑁]. Entonces, se dice que el perfil de estrategias mixtas 𝜎∗ = (𝜎₁∗, … , 𝜎_𝑖∗, … , 𝜎_𝑁∗) es un Equilibrio de Nash (en estrategias mixtas), si para todo 𝑖 = 1,2, … , 𝑁

𝑈_𝑖(𝜎₁∗, … , 𝜎_𝑖−1∗ , 𝜎_𝑖∗, 𝜎_𝑖+1∗ , … , 𝜎_𝑁∗) ≥ 𝑈_𝑖(𝜎₁∗, … , 𝜎_𝑖−1∗ , 𝜎_𝑖, 𝜎_𝑖+1∗ , … , 𝜎_𝑁∗)

Para todo 𝜎_𝑖 ∈ Δ(𝑆_𝑖) = {𝜎_𝑖 = (𝜎_𝑖1, 𝜎_𝑖2, ⋯ , 𝜎_𝑖𝑘): 𝜎_𝑖𝑗 ≥ 0, ∀𝑗 = 1,2,3, … , 𝑘 𝑦 ∑𝑘_𝑗=1𝜎_𝑖𝑗 = 1}

Esto es, si para todo 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 resulta que:

𝜎_𝑖∗ = argmax

𝜎_𝑖

{𝑈_𝑖(𝜎₁∗, … , 𝜎_𝑖−1∗ , 𝜎_𝑖, 𝜎_𝑖+1∗ , … , 𝜎_𝑁∗)}

O sea, cuando para cada uno de los 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 jugadores 𝜎_𝑖∗ es respuesta óptima a 𝜎_−𝑖∗

(70)

Teorema: Equilibrio de Nash (Ampliado)

Sea el Juego Γ = [𝑁; 𝑆₁, … , 𝑆_𝑁; 𝑢₁, … , 𝑢_𝑁] . Se dice que el perfil de estrategias mixtas 𝜎∗ = (𝜎₁∗, … , 𝜎_𝑖∗, … , 𝜎_𝑁∗) es un Equilibrio de Nash si y solo si para todo 𝑖 = 1,2, … , 𝑁 con estrategia mixta 𝜎_𝑖∗ = (𝜎_𝑖1∗, 𝜎_𝑖2∗, … , 𝜎_𝑖𝑗∗, … ) el hecho de que 𝜎_𝑖𝑗∗ > 0 implica que 𝑠_𝑖𝑗 es una respuesta óptima a 𝜎_−𝑖∗ = (𝜎_𝑖∗, … , 𝜎_𝑖−1∗ , 𝜎_𝑖+1∗ … , 𝜎_𝑛∗ ).

(71)

Ejemplo (PJC, 2004: 155~): Considere de nuevo el juego,

Jugador 2

Izquierda Derecha

Jugador 1 Arriba (A) 3, 2 1, 4

Centro (C) 1, 3 2, 1

Abajo (B) 2, 2 2, 0