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GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 18

UNIDAD: GEOMETRÍA POLÍGONOS – CUADRILÁTEROS

POLÍGONOS

DEFINICIÓN:Un polígono es una figura plana, cerrada, limitada por trazos llamados lados y que se intersectan sólo en sus puntos extremos (no se cruzan).

POLIGONO CONVEXO:Es un polígono donde cada ángulo interior mide menos de 180º NOMBRE DE POLÍGONOS

PROPIEDADES DE POLÍGONOS DE n LADOS:

Suma de los ángulos interiores = 180º · (n – 2) Diagonales desde un vértice = n – 3 Suma de los ángulos exteriores = 360º Total de diagonales = n(n 3)

2

EJEMPLOS

1. ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un heptágono?

A) 1.080º B) 900º C) 720º D) 540º E) 360º

2. El número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice en un pentágono es

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

TRIÁNGULO 3 LADOS CUADRILÁTERO 4 LADOS PENTÁGONO 5 LADOS

HEXÁGONO 6 LADOS

HEPTÁGONO 7 LADOS

OCTÓGONO 8 LADOS

ENEÀGONO 9 LADOS

DECÁGONO 10 LADOS ENDECÁGONO 11 LADOS DODECÁGONO 12 LADOS

C u r s o :

Matemática

(2)

3. El número total de diagonales de un hexágono es

A) 6 B) 7 C) 9 D) 18 E) 27

4. La suma de los ángulos exteriores de un octágono es

A) 1.440º B) 1.080º C) 900º D) 540º

E) 360º

5. ¿En cuál de los siguientes polígonos, la suma de los ángulos interiores es igual a la suma de los ángulos exteriores?

A) Cuadrilátero B) Pentágono C) Hexágono D) Triángulo

E) Ninguno de los anteriores

6. ¿Qué polígono es tal que el número total de sus diagonales es igual al número de sus lados?

A) Octógono B) Hexágono C) Pentágono D) Cuadrado

E) No existe tal polígono

7. ¿Cuál es el número de lados de un polígono, si de cada uno de sus vértices se pueden trazar 12 diagonales?

(3)

POLÍGONO REGULAR

DEFINICIÓN: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos interiores respectivamente congruentes. En caso contrario se dice que es irregular.

EJEMPLOS

1. ¿Cuánto mide el suplemento de un ángulo interior de un hexágono regular?

A) 45º B) 60º C) 72º D) 108º E) 120º

2. ¿Cuál (es) de las siguientes afirmaciones, es (son) siempreverdadera(s)?

I) Si en un polígono sus ángulos exteriores suman 360º, entonces se sabe que el polígono es un cuadrilátero.

II) Si un polígono tiene todos sus lados iguales, entonces dicho polígono es regular.

III) Si en un polígono regular se trazan todas las diagonales posibles desde un vértice, los ángulos formados en dicho vértice son iguales entre sí.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

3. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular cuyos ángulos interiores miden 150º?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

a

a

a a

a

a a a

a a

a a

Hexágono regular =360°

n

 

 a

a

a a

a ’

Pentágono regular

180º (n 2) =

(4)

4. Si la suma de los ángulos interiores de un polígono regular es 1.800º, ¿cuánto mide su ángulo exterior?

A) 90º B) 60º

C) 45º D) 30º E) 20º

5. El hexágono de la figura 1, es regular. ¿Cuánto mide el ángulo x?

A) 22,5º B) 45º C) 67,5º D) 90º E) 112,5º

6. La razón entre las medidas de los ángulos interiores y exteriores de un cierto polígono regular es 3 : 1, entonces el número de lados de dicho polígono es

A) 10 B) 8 C) 7 D) 5 E) 3

7. En el pentágono regular de la figura 2, ¿cuál es la medida del ángulo ?

A) 36º B) 54º C) 60º D) 72º E) 75º

fig. 1

(5)

CUADRILÁTERO

DEFINICIÓN

Cuadrilátero es cualquier polígono de 4 lados.

CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS CONVEXOS

Los cuadriláteros convexos se clasifican en: PARALELOGRAMOS, TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES.

PROPIEDADES

La suma de los ángulos interiores es 360º.La suma de los ángulos exteriores es 360º.

EJEMPLOS

1. Si en la figura 1, L1, L2, L3 y L4 son rectas, entonces ¿cuánto mide el ángulox?

A) 30º B) 40º C) 50º D) 100º E) 150º

2. En el cuadrilátero PQRS de la figura 2,  = 60º y  = 100º. Entonces, la medida de 1

2(x + y) es

A) 120º B) 100º C) 90º D) 80º E) 60º

fig. 2

x 

y

 Q S

R

P

100º 60º

70º x

L1

L2

L3 L4

(6)

3. Los ángulos interiores de un cuadrilátero son entre sí como 4 : 9 : 11 : 12. Entonces, el mayor de ellos mide

A) 90º B) 100º C) 110º D) 120º E) 140º

4. En el cuadrilátero ABCD de la figura 3, DE CE , ABC = 100º y  +  = 160º (A, D y E son colineales), entoncesxmide

A) 10º B) 20º C) 30º D) 60º E) 80º

5. Si en el cuadrilátero de la figura 4,  + =, entonceses igual a

A) 80º B) 85º C) 90º D) 95º E) 105º

6. En el cuadrilátero ABCD de la figura 5, CM y AM son bisectrices de DCB y DAB, respectivamente. Entonces, el ángulo x mide

A) 80º B) 60º C) 45º D) 30º E) 20º

fig. 3 B

A

C D

E

x

170º

fig. 4

A

B C D

120º

80º

fig. 5 x

(7)

PARALELOGRAMO

DEFINICIÓN: Paralelogramo es aquel cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos paralelos.

CLASIFICACIÓN Y PROPIEDADES

OBSERVACION:

Si un cuadrilátero cumple con alguna de las siguientes propiedades, entonces es un paralelogramo.

- Ángulos opuestos congruentes - Diagonales se dimidian

- Sus lados opuestos congruentes - Ángulos contiguos suplementarios

CUADRADO ROMBO RECTÁNGULO ROMBOIDE

NOMBRE

PROPIEDADES

Lados opuestos

congruentes    

Ángulos opuestos

congruentes    

Las diagonales

se dimidian    

Ángulos contiguos

suplementarios    

Diagonales

perpendiculares  

Diagonales

bisectrices  

Diagonales

congruentes  

45º 45º

a 45º

45º

45º 45º

45º 45º a

a a 

 

 

a a

a a

a

b

a b

  

a

b b

(8)

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de los siguientes cuadriláteros es un paralelogramo?

A) B) C) D) E)

2. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Todo paralelogramo tiene sus lados opuestos congruentes. II) Todo paralelogramo tiene sus ángulos opuestos congruentes. III) Dos ángulos contiguos de un paralelogramo son complementarios. A) Sólo I

B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III

3. En la figura 1, L1 // L2. ¿Cuál (es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ACDF es un paralelogramo

II) Si = 90º entonces BCDE es un rectángulo

III) Si AB = BE y  = 90º, entonces ABEF es un cuadrado. A) Sólo I

B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

4. Para que un cuadrilátero convexo sea un paralelogramo, se debe cumplir necesariamente que

A) sus diagonales sean congruentes.

B) sus ángulos opuestos sean suplementarios. 50º

130º

130º 50º 130º

50º

130º 130º

50º 130º

130º 50º

130º

50º 50º

fig. 1

 F E  D

A B C

L1

(9)

TRAPECIO

DEFINICIÓN: Trapecio es aquel cuadrilátero que tiene sólo un par de lados paralelos, llamados bases.

PROPIEDADES:

En todos los trapecios, los ángulos interiores colaterales a los lados no paralelos son suplementarios.

EJEMPLOS

1. En el trapecio de la figura 1, AB // CD y BC = CD . Si el BDC = 35º, entonces elABC mide A) 118º B) 70º C) 55º D) 45º E) 35º

2. Si en el trapecio isósceles ABCD de la figura 2, AB // CD y DAB = 40º, entonces la mitad del ángulo BCD mide

A) 140º B) 70º C) 65º D) 60º E) 40º D C A B fig. 1 fig. 2 D C Trapecio Rectángulo AB // CD AB // CD

Trapecio Escaleno Trapecio Isósceles

+ = 180º

+ = 180º + = 180º - Ángulos basales congruentes+ = 180º - Diagonales congruentes

- Ángulos opuestos suplementarios Mediana: Es el segmento que une los

puntos medios de los lados no paralelos y su medida es igual a la semisuma de las bases

  B A C D

(10)

3. En la figura 3, ABCD es un cuadrado y EG // AB , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)siempreverdadera(s)?

I) BFC isósceles.

II) FG es altura delBFC.

III) Los trapecios ABFE y DCFE son congruentes.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III

4. La mediana de un trapecio mide 60 cm. Si una de las bases es el doble de la otra, entonces la base mayor mide

A) 30 cm B) 40 cm C) 60 cm D) 80 cm E) 100cm

5. En el trapecio de la figura 4, AD  DC  BC y AB // DC . Entonces, siemprese cumple que

A) AC  BD B) AD  AB C) AC  AB D) A  C E) D  B

6. En la figura 5, DC // AB . Si AD BC DC  , ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) BDC es isósceles. II) AC es bisectriz DAB. III) CAD DBC

A) Sólo II

D C

A B

fig. 4

D C

fig. 5 E

fig. 3

A B

D C

(11)

TRAPEZOIDE

DEFINICIÓN: Trapezoide es aquel cuadrilátero que notiene pares de lados paralelos. CLASIFICACIÓN: Los trapezoides se clasifican ensimétricos yasimétricos.

(AD DC )

PROPIEDADES DEL DELTOIDE

Diagonales perpendiculares.Una diagonal es bisectriz.

La diagonal que es bisectriz, es a su vez, simetral

de la otra diagonal.

EJEMPLOS

1. En la figura 1, DEFG es un deltoide con GD = DE. Si DGF = 109º y FDE = 14º, entonces el ángulo GFE mide

A) 33º B) 57º C) 76º D) 109º E) 114º

2. En el deltoide ABCD de la figura 2, DC = BC. Si ABC = 135º y DCB = 70º, entonces CDB + CAD =

A) 45º B) 55º C) 65º D) 90º E) 125º

D

C A

B TRAPEZOIDE ASIMÉTRICO D

A C

B

TRAPEZOIDE

SIMÉTRICO (DELTOIDE)

AB AD y CD CB 

a a

b b

ab

G

D F

E fig. 1

D

C

B

(12)

3. En el deltoide ABCD de la figura 3, AB = AD. Si BAD = 50º y ADC = 150º, entonces la medida del ángulo xes

A) 95º B) 85º C) 75º D) 65º E) 55º

4. En el trapezoide ABCD de la figura 4, DCB = 120º, DAB = 60º y CDB = 40º, entonces la medida del DBA es

A) 20º B) 40º C) 60º D) 80º E) 120º

RESPUESTAS

DMCAMA18 Ejemplos

Págs. 1 2 3 4 5 6 7

1 y 2 B A C E A C E

3 y 4 B C D D D B A

5 y 6 A D D A D E

8 A D D C

9 y 10 B B B D A E

11 y 12 E C B C

A

B

C D

x fig. 3

fig. 4

A

B D

C

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