TEMA 2. TRIÁNGULOS
1. Definiciones.
Un triángulo es un polígono cerrado y convexo constituido por tres ángulos (letras mayúsculas y sentido contrario a las agujas del reloj) y tres lado (letras minúsculas).
Según sus lados y ángulos pueden ser:
- Equilátero: sus tres ángulos y lados son iguales.
- Isósceles: tiene dos lados y ángulos iguales y uno desigual. - Escaleno: tiene tres lados y ángulos son distintos.
Según sus ángulos se clasifican en:
- Rectángulo: uno de sus ángulos es recto (=90º). - Obtusángulo: uno de sus ángulos es obtuso (< 90º). - Acutángulo: sus tres ángulos son agudos (> 90º).
1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º sexagesimales.
2. El ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.
* Recordamos que: - Ángulos suplementarios: suman 180º. - Ángulos complementarios: suman 90º.
Al trazar una paralela desde C al lado BA y prolongamos el lado BC se demuestra que el ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes:
3. Puntos y rectas notables de los triángulos
Las rectas y puntos notables de un triángulo son:
- las mediatrices, , que se cortan en un punto llamado circuncentro ,
centro de la circunferencia circunscrita (1) al triángulo;
1. Una propiedad de la circunferencia circunscrita a un triángulo consiste en que ésta pasa por los puntos medios del triángulo de exincentros,y por los puntos medios de los segmentos definidos por los exincentros y del incentro del triángulo de partida.
- las medianas, , que se cortan en el baricentro , centro de gravedad del triángulo;
- las bisectrices, , que se cortan en el incentro , centro de la circunferencia inscrita del triángulo;
Las mediatrices
Las mediatrices de un triángulo acutángulo se cortarán siempre en un punto interior del triángulo, luego su circuncentro será interior al triángulo.
En el caso del triángulo rectángulo vemos que el circuncentro coincide con el punto medio de la hipotenusa.
Las medianas
La mediana es el segmento definido por un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto.
Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triángulo.
El baricentro tiene una propiedad física importante: es el centro de gravedad del triángulo.
Propiedad:
Si unimos los puntos medios de los lados del triángulo obtenemos el triángulo que
tiene el mismo baricentro que y sus medianas miden la mitad que las de .
Además los lados de miden la mitad que los lados de y la superficie de es
la cuarta parte de la superficie de , pues podemos comprobar que al trazar se han
Consideramos una mediana . Si es el baricentro se cumple que .
Las alturas
La altura es el segmento obtenido al trazar desde cada vértice una perpendicular al lado opuesto.
Las alturas de un triángulo acutángulo se cortan siempre en un punto interior del triángulo, luego su ortocentro es interior al triángulo.
En el caso del triángulo rectángulo vemos que el ortocentro coincide con el vértice del ángulo recto.
Las bisectrices
Las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo se cortan en un punto llamado
incentro que siempre es interior al triángulo. Como el incentro pertenece a las tres bisectrices equidista de los tres lados y es el centro de la circunferencia inscrita a . Para dibujar dicha circunferencia debemos hallar los puntos de tangencia sobre los lados. Basta con trazar una perpendicular desde a uno de ellos, por ejemplo al lado , obteniendo y, a continuación trasladar el resultado a cada uno de los lados del triángulo, como se ve en la
figura, ya que y .
Las bisectrices exteriores de los ángulos del triángulo se cortan en tres puntos llamados
Por otro lado, las bisectrices interiores de un triángulo son las alturas del triángulo definido por sus exincentros, se cumple así, que un triángulo cualquiera es el órtico del triángulo formado por sus exincentros.
El teorema de la bisectriz dice que “la bisectriz de un ángulo interno corta al lado opuesto en partes proporcionales a los otros lados”.
El triángulo órtico tiene como vértices los pies de las alturas de un triángulo ABC.
3. Propiedades relativas a las rectas y puntos notables de los triángulos Teorema de la altura.
Dado el triángulo rectángulo, recto en A, e inscrito en una circunferencia de diámetro igual a la hipotenusa BC, se demuestra, basándose en la semejanza de los triángulos ABH y AHC, que el cuadrado de la altura correspondiente al lado de la hipotenusa es igual al producto de los segmentos BH y HC. AH² = BH · CH
Ejemplo:
La raíz cuadrada de un número es igual al producto de dos números (BH ·HC). Para obtener la raíz cuadrada de 7, multiplicamos 7·1 ó 3,5 · 2. Siendo h² = 7 · 1; h =√7 ó h² = 3,5 · 2; h =√7. Teorema del cateto.
