Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias
Robinson Vásquez Olano
Clases de
Física II
Rector Dr. Aurelio Padilla Ríos
Primer Vicerrector Geol. José S. M artínez Talledo Segundo Vicerrector MSc. Ing. W alter Zaldívar Álvarez Decano FC: Dr. W alter Estrada López
Primera edición Lima, junio de 2014 CLASES DE FÍSICA II
Impreso en el Perú / Printed in Perú © Robinson Vásquez Olano
Derechos reservados © Derechos de edición
Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias
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Editorial Universitaria
Av. Túpac Amaru 210, Rímac - Lima Telfs. 4814196 / 4811070 anexo 215 Correo-e: [email protected]
Impreso por la Imprenta de la Editorial Universitaria de la Universidad Nacional de Ingeniería ISBN 978-612-4072-62-8
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2014-07879
Prohibida la reproducción de este libro por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso del autor.
PRESENTACIÓN
Clases de Física II comprende el desarrollo del sílabo de un segundo curso semestral de física general, que forma parte del currículo de una carrera de ciencias o de ingeniería. El sílabo de referencia para la estructuración de este libro, es el correspondiente al curso Física II de la Escuela Profesional de Física (E.P.F.) de la Universidad Nacional de Ingeniería (Lima, Perú)
En primer lugar se aborda el tema de la deformación elástica de los cuerpos, como resultado del esfuerzo (i.e. presión) al que son sometidos; seguidamente se estudia la estática y dinámica de los fluidos, destacando cómo es que la mecánica de Newton da cuenta, exitosamente, de las observaciones empíricas de Pascal y Arquímedes, entre otros.
El tema del movimiento oscilatorio es desarrollado en una amplitud mayor que lo exigido por la E.P.F. pues, en mi opinión, fenómenos como la superposición, por ejemplo, deben ser cabalmente entendidos por un estudiante de manera que se le facilite el estudio del movimiento ondulatorio.
En el capítulo 5 se estudian algunos fenómenos térmicos y se presenta al calor como una nueva forma de energía (i.e. distinta a la energía mecánica), así como las diversas maneras en que puede transferirse calor entre los cuerpos.
El capítulo 6 comprende el comportamiento térmico de los gases, describiéndose los resultados experimentales de Boyle, Charles, Gay-Lussac, entre otros, que condujeron a la formulación de la ley de los gases ideales; así mismo, se presenta la aplicación de la teoría cinético-molecular en la explicación del comportamiento de los gases. Los dos capítulos finales de este libro desarrollan, de manera básica, las dos primeras leyes de la termodinámica. La segunda ley se presenta desde la perspectiva de las máquinas térmicas así como haciendo uso del concepto de entropía.
Al poner este libro a consideración de alumnos y profesores, estoy cumpliendo con una promesa, largamente desatendida, de dejar testimonio escrito de mi trabajo como docente, durante 35 años, en la E.P.F.
ÍNDICE
Capítulo 1. Elasticidad
1.1 Esfuerzo y deformación unitaria ... ... 1.2 Deformación Lineal: Estiramiento y contracción ... 1.3 La deformación lateral y el módulo de Poisson ... 1.4 Deformación Volumétrica ... ... 1.5 Deformación de corte o cizalla ... 1.6 Energía Elástica ... Capítulo 2. Fluidos
2.1 Densidad de fluidos ... ... 2.2 Presión ... 2.3 Unidades de presión ... 2.4 Presión en los fluidos ... 2.5 Variación de la presión en un fluido ... . 2.6 Presión atmosférica ... .. 2.7 Variación de la presión en los líquidos ... 2.8 Vasos comunicantes ... 2.9 Medida de la presión ... 2.10 Principio de Pascal ... 2.11 Las máquinas hidraúlicas y el P. de Pascal ... . 2.12 El empuje hidrostático ... 2.13 El Principio de Arquímedes ... ....«... 2.14 Dinámica de fluidos ... 2.15 Líneas de corriente o flujo ... 2.16 La ecuación de continuidad ... . 2.17 La ecuación de Be rnoulli ... 2.18 Tensión superficial ... — ... 2.19 Capilaridad ... Capítulo 3. Movimiento Periódico
3.1 Introducción ... 3.2 Movimiento Armónico Simple (MAS) ... 3.3- Cantidades cinemáticas del MAS ... ... 3.4 El movimiento circular uniforme y el MAS ---3.5 Superposición de movimientos armónicos simples
1
2 35
7 911
12 13 14 16 16 18 19 1921
23 24 25 29 30 31 33 36 39 43 44 46 47 48VI | Clase s de fís ica II
3.6 Dinámica del MAS ...******... " 3.7 MAS de un sistema masa - resorte horizontal ....****** 3.8 MAS de un sistema masa - resorte vertical —
3 9 MAS de un péndulo simple ... ... ...
3.10 Cantidades cinemáticas angulares para el MAS de un péndulo simple 3.11 Movimiento armónico amortiguado
3.12 Oscilaciones forzadas ... ... —*••*• 3.13 La energía en el MAS — *....**...*****”***....
Capítulo 4. Ondas
4.1 Ondas mecánicas y ondas electromagnéticas
4.2 La función de onda ... ***** 4.3 La ecuación diferencial de onda ... 4.4 Ondas armónicas ...—•*« 4.5 Expresión general de la función de onda armónica ... 4.6 La onda armónica esférica ...—— 4.7 El principio de superposición de las ondas ... 4.8 Ondas transversales en una cuerda ... 4.9 Reflexión y refracción de ondas ...—.... 4.10 Energía y momentum en el movimiento ondulatorio 4.11 Ondas estacionarias en una cuerda ____
4.12 Ondas sonoras ... ... 4.13 Ondas sónicas armónicas ... 4.14 Intensidad de una onda sonora ... 4.15 Nivel de intensidad del sonido ___ ____________________ 4.16 Efecto Doppler ... ... ... Capítulo 5. Temperatura y calor
5.1 Definición de temperatura ... . 5.2 La ley cero de la termodinámica y los termómetros 5.3 La dilatación térmica ... ..._r mii[ 5.4 El calor ____...
5.5 De la calorimetría ... ... 5.6 Capacidad térmica _ ,..., ltliJ)J_
Calor específico ... u_______ _ Cambio de fase y calor latente
5.7 Transferencia de calor ...m Convección térmica ... Conducción térmica ...rm Radiación térmica ...__________ ____ 55 55 56 60 61
66
67 68 75 76 77 79 82 86 86 88 89 91 93 97102
103 105 106 109 110112
118 120 120 120 123 126 126 126 129R o b i n s o n V á s q u e z O . | VII
Capítulo 6. Com portam iento térm ico de los gases
6.1 Ley de Boyle - Mariotte _____________________________ .... 133
6.2 Ley de Charles y Gay Lussac ___ ________________________ 134
6.3 Segunda ley de Gay - Lussac ______________________ 134 6.4 Ley de Avogadro _______ 135 6.5 Ecuación general de los gases ideales _______ „ 135 6.6 Teoría cinética de los gases ...____ ... 137
6.7 Distribución de velocidades moleculares ... ... ... „ ... 141
6.8 El principio de la equipartición de la energía ________________________ 143 Capítulo 7. Term odinám ica 7.1 Terminología termodinámica ... 145
7.2 Trabajo y calor en termodinámica ___________________... _________ 146 7.3 Procesos termodinámicos ____________ __________... ... 148
7.4 Primera ley de la termodinámica ______ _____________...___ ________ ... 148
7.5 Trabajo termodinàmico en los cambios de volumen ____ ...___ ... 150
7.6 El calor específico de los gases ideales ... 151
7.7 Calor y trabajo en los procesos termodinámicos de un gas ideal ... 153
Proceso ¡socoro ... ... ... 153
Proceso isotérmico ________________________________ ________ ____________ 153 Proceso adiabático ..._______________________________________________....— 154
Proceso isobàrico .1__________ ....--- --- --- --- --- - 155
7.8 Proceso reversible e irreversible ---— ....--- 155
7.9 Proceso cuasiestático --- — --- ...» 156
Capítulo 8. La segunda ley de la termodinámica 8.1 Las máquinas térmicas y la 2* Ley de la termodinámica ..— 158
8.2 La máquina de Carnot --- 16°
8.3 La escala de temperatura absoluta --- 161
8.4 El refrigerador _______________ __________ _________—•— ••— •**— ... 162
Capitulo 1.
Elasticidad
En ausencia de fuerzas externas un cuerpo sólido mantiene su forma, pero puede ser deformado mediante la acción de fuerzas. Un sólido experimenta una deformación cuando se modifica la separación entre volúmenes elementales constituyentes del cuerpo.
Se dice que el material es elástico si retorna a su forma original cuando cesan las fuerzas; los materiales plásticos permanecen deformados al cesar las fuerzas deformantes. En general, puede decirse que todos los sólidos se comportan elásticamente cuando son sometidos a deformaciones pequeñas, hasta un límite; y el comportamiento es plástico cuando se excede el límite de elasticidad.
Entre las deformaciones elementales que puede experimentar un cuerpo, se encuentran el estiram iento, la contracción y el deslizamiento cortante, que se manifiestan según cuál sea la manera en que actúen las fuerzas sobre el material.
1.1
Esfuerzo v deformación unitariaPara describir la relación entre la fuerza aplicada sobre el material y la deformación que produce, se definen las cantidades esfuerzo ("stress") y deformación unitaria ("strain").
El esfuerzo (S) mide la fuerza por unidad de área, causante de la deformación
donde F es la fuerza que actúa sobre el área A del cuerpo. Se mide en unidades de N/m2 o pascal (Pa).
La deformación unitaria ( e ) mide el cambio fraccionario que experimenta la dimensión ^ del cuerpo, e. g. la longitud o el volumen.
Bajo condiciones elásticas, i.e. de pequeñas deformaciones, el experimento demuestra que la deformación unitaria y el esfuerzo son proporcionales entre sí (ley de Hooke)
2 i Cl ases de f ísi ca II
1.2 Deformación lineal: Estiram iento v contracción
Por estiramiento o alargamiento se entiende un incremento en la longitud de un cuerpo, por contracción se entiende una disminución en la longitud.
Sea una barra
homogénea de longitud l y de sección recta A sometida a fuerzas de tracción F perpendi culares y uniformemente distribuidas sobre A.
Esta misma condición se obtiene si se fija uno de los extremos de la barra y se aplica F en el extremo libre.
La tracción sobre la barra se caracteriza mediante el esfuerzo norm al S =F/A y el estiramiento Δ
l
mediante la deformación unitaria linealEl esfuerzo normal y la deformación unitaria se relacionan mediante la ley de Hooke
donde la constante elástica Y se conoce como el módulo de Young.
Si en lugar de tracción se aplicara compresión sobre la barra (i.e. si la F tuviese un sentido opuesto al ilustrado en la figura), ésta experimentaría una contracción Δ
l
en su longitud.La ley de Hooke es aplicable en ambos casos, solo que Δ
l
> 0 para el estiramiento y Δl
< 0 para la contracción de la barra. De alguna manera el módulo de Young mide la " rigidez" que ofrece el cuerpo a su estiramiento o contracción, en analogía con la constante k en el caso de un resorte.Rob in son V á sq u ez O. |3
Algunos valores típicos del módulo de Young
E jemplo 1.1. D eform ación lineal de un sólido
Una varilla de acero de 2 m de longitud y 2 cm de diámetro es sometida a una fuerza de tracción de 95 kN. Si el módulo de elasticidad del acero es de 2 x1 o11 N/m2, a) ¿Cuál es su estiramiento unitario?, b) ¿Cuál es el estiramiento que sufre la varilla?
Esfuerzo sobre la varilla:
1.3 La deform ación lateral v el módulo de Poisson
Cuando la barra es sometida a un esfuerzo normal su longitud l varia en A i , y como consecuencia de ello también varían sus dimensiones transversales. Estas deformaciones en dirección perpendicular al esfuerzo (normal) aplicado se caracterizan mediante una deformación lateral unitaria.
Normal: Δ
l / l
( = Δ y / y ) Lateral: Δ x / x ; Δ z / zLa deformación lateral unitaria en la dirección 1 ( ) se relaciona con la deformación normal unitaria (e¿) mediante el coeficiente o módulo de Poisson ( a ):
4 I Clases de f ísica II
que, para la mayoría de los materiales, tiene un valor que varía entre 0,25 y 0,50. El valor a- 0 es asignado a los materiales porosos (e.g. corcho) que no varían sus dimensiones transversales cuando son sujetos a esfuerzos normales.
La elasticidad de un sólido isotrópico se caracteriza mediante dos constantes: la de Young (Y) y la de Poisson (<j ).
Ejemplo 1 .2 . Deformación la teral y deform ación to ta l
Sea un paralelepípedo rectangular de aristas x, y, z sometido a un esfuerzo normal S sobre cada superficie (p.ej. sumergiendo al cuerpo en un líquido). Demostrar que la deformación lineal neta de cada uno de los lados es
Sz t t t t t t © S x
TTTTTT
e = —( l -2<j) YDebido a la tracción a lo largo de una ---+. de las direcciones, el cuerpo se estirará | en esa dirección pero se comprimirá en
las direcciones transversales.
Así, debido a Sx se tendrán las deformaciones unitarias normal: ex lateral: ey = ez = - a e K
Análogamente, debido a los esfuerzos Sy y Sz se tendrán las deformaciones unitarias. p»-< a ex = ez =-<yey S y 1 Y m X N 0■< II 1 q |pj ni i Q -c |>
En consecuencia, la deformación neta a lo largo de cada una de las direcciones será igual a la suma algebraica de los estiramientos y contracciones en esa dirección; así:
R ob i n s on V á s q u e z O.
|5
■7 [ s , - » ( s , + s , ) ]
“ v [ s < - ° ( s « + s * ) ]
y para el caso considerado, i.e. Sx = Sy = Sz = S , se tendrá que la deformación unitaria neta será e f= e = e = e \
\ & ty ti f
1.4 Deformación volumétrica
Si un cuerpo es sometido a esfuerzos sobre toda su superficie, su volumen experimentará una variación: se incrementará si los esfuerzos son de tracción y disminuirá bajo la acción de esfuerzos de compresión, como es el caso de un cuerpo sumergido en un fluido.
Si un sólido se sumerge en un fluido y ambos están en reposo, las fuerzas que el fluido ejerce sobre el sólido son perpendiculares a su superficie. La fuerza F± por unidad de área A del sólido constituye la presión p que el fluido ejerce sobre el sólido.
de manera que la presión sobre el sólido es el esfuerzo de volumen.
Un incremento ( A p ) en la presión dará lugar a una deformación de volumen
y, para deformaciones pequeñas, el esfuerzo (p) y la deformación (e v ) están relacionadas mediante el módulo de volumen ("bulk modulus") B:
e = —( i -2o ) Y
A V
o
donde se ha incluido un signo (-) en la ecuación porque un incremento de presión da lugar a una reducción de volumen.
f
Si p es la densidad del cuerpo (i.e. m = p V ), como la deformación de volumen no implica una variación de la masa (i.e. dm = 0), se tiene que
dV dp ’ V " p
de manera que, en términos de la densidad del cuerpo, el módulo de volumen se expresa.
6 | Clases de f ísica II
El módulo de volumen (B) permite la descripción de la disminución así como el incremento de volumen; sin embargo, es más frecuente describir la disminución de volumen de un sólido, debido a presiones compresivas, mediante el módulo de compresibilidad.
(/Pa)
De esta definición se deduce que el módulo de compresibilidad «c mide la disminución fraccionaria (o porcentual) del volumen del cuerpo cuando la presión sobre este se incrementa en A p .
Algunos valores típicos del módulo de volumen
Material b(i010 Pa) Material b(io10 Pa)
Aluminio 7,5 Acero 16,0
Cobre 14,0 Plomo 17,0
1 1 A V |£ — _ —
B V Ap
E jemplo 1.3. Relación entre el módulo de Young y el módulo de volumen Considere el paralelepípedo del ejemplo 2, de aristas x, y, z, esto es, de volumen V = x.y.z.
Como ¿nV = ¿nx + ¿ny + ¿nz, diferenciando a ambos lados de esta igualdad se obtiene
dV dx dy dz V x y z
Robi nson V ás qu ez O. | 7
o, sinónimamente, vale decir: la variación unitaria del volumen de la barra es igual a la suma de los alargamientos unitarios totales a lo largo de las tres direcciones x, y, i.
Utilizando el resultado obtenido en el ejemplo 2 para el caso en que el paralelepípedo se encuentra sometido a un mismo esfuerzo en todas las direcciones, y haciendo la correspondencia S s p , se tiene que:
£v = 3 e , = 3 - ( l - 2 a ) v r Y
esto es, el módulo de volumen B ( = p / e v ) y el módulo de Young para la barra se relacionan mediante
Y = 3 B ( l- 2 c r )
Nótese que como Y, B son cantidades positivas, entonces debe cumplirse que
0 < ct < 0,5
1.5 Deformación de corte, o de deslizamiento o de cizalla
La compresión uniforme de un cuerpo da lugar a una variación en su volumen pero la forma del cuerpo no varía. Por otro lado, un esfuerzo cortante ("shear stress") resulta en un cambio en la forma de un cuerpo sin alterarse el volumen de éste
Una fuerza F tangente a una superficie de área A le produce un esfuerzo cortante
F/A
el cual da lugar a una deformación de corte que se define como
Y
que, para los casos usuales en que Ax « y , se reduce a
8 | Cl a se s de f í si ca II
En el caso de una deformación elástica, el esfuerzo y deformación de corte se relacionan mediante el módulo de corte G.
A
El deslizamiento A x (en la dirección de la fuerza tangencial F) que experimenta la barra ilustrada, es una deformación homogénea.
Al aplicar torsión sobre una barra ésta experimentará un deslizam iento no homogéneo:
h
Una manera de ejercer torsión sobre la barra de la figura es fijando la base inferior y torciendo (i.e. aplicando torque re del eje) el otro extremo.
Como resultado de la torsión distintas secciones de la barra girarán ángulos diferentes respecto de la base fija, pero no varían ni la altura (h) ni el área de la sección de la barra y por lo tanto tampoco variará el volumen.
Para la barra ilustrada, de sección circular de radio R, supongamos que la base superior gira un ángulo t respecto de la base inferior. Cada una de las generatrices ab de la superficie cilindrica se transformará en una línea inclinada a b '.
De la figura, se obtiene bb' = R<|>, de manera que la deformación de torsión para la superficie cilindrica de radio R, será
0 = -<|>
Bajo el mismo razonamiento, se deduce que los elementos de una superficie (de la barra) de radio r < R experimentará un ángulo de deslizamiento
menor que el ángulo 6 de deslizamiento en la superficie de la barra.
Entonces, en la torsión se tiene que distintos elementos de la barra sufren diferente deslizamiento: los puntos más próximos al eje de la barra se deslizan menos que los puntos más lejanos.
Robí nson V ásq uez O. |9
1.6 Energía elástica
El trabajo realizado para deformar un sólido elástico se convierte en energía potencial (elástica), que el sólido libera cuando se le deja de deformar.
Sea una barra (elástica) sometida a tracción mediante la fuerza F. De la ley de
Y A Hooke, se tiene que f = — A£
í
esto es, la fuerza de tracción es proporcional al incremento de longitud de la barra. De esta proporcionalidad se deduce que al deformarse la barra su energía (potencial) elástica se incrementa en
- i l l - Ü
donde V es el volumen de la barra y e = A ¿ ¿ su deformación unitaria.
De manera que, al estirarse o comprimirse, la densidad de energíaacum ulada en la barra deformada, es
u = ± Y e2(j/m 3)
Ejemplo 1 .4 . A m ortiguadores e lá stico s
Un amortiguador convencional convierte la energía cinética del cuerpo que se quiere proteger en energía potencial elástica del amortiguador.
Supongamos un objeto de masa M moviéndose con rapidez v que, de manera segura, se desea detener usando un amortiguador elástico.
Si M » m se puede ignorar la energía cinética adquirida por el amortiguador, y la conversión de la energía cinética de M en energía elástica de m exige que
10 | Clases de física II
que, usando m s p V , conduce a
v = í ™ í ) i n * í
Im p) e
Entonces, para un frenado seguro del objeto se requiere que la deformación unitaria del amortiguador elástico y la rapidez del objeto sean directamente proporcionales.
La máxima rapidez con la cual se puede mover el objeto para que aún pueda ser frenado (sin daño), puede estimarse haciendo A l / t igual a la deformación unitaria de ruptura.
Pop ejemplo: Para un gran número de materiales Y / p = 107 m2/s2 y
M j ¿ = -0 ,0 2 (= -2 % ). Asumiendo un amortiguador de m = 2 kg usado para frenar un cuerpo de M = 100 kg, se tendrá que
í 1 A1/2
Vmáx= l ~ x l 0 7j (2 x 10-2) = 9m /s(= 32km /h)
Si el cuerpo se mueve a velocidades mayores que 32 km/h traerá como consecuencia una deformación plástica o fractura del amortiguador.
Capítulo 2.
Fluidos
Se denomina fluido a los líquidos y los gases, sustancias que no pueden soportar esfuerzos cortantes. Bajo la acción de un esfuerzo cortante, las capas del fluido se deslizan entre sí (i.e. fluyen); y esta es la razón por la cual un fluido adopta fácilmente la forma del recipiente que lo contiene.
El conocimiento inicial del comportamiento de un fluido tiene origen empírico, esto es, experimental. Sin embargo, puede demostrarse que las leyes empíricas son "deducibles* tratando a los fluidos con arreglo a las leyes de la mecánica de Newton, expresando las leyes de Newton en términos de propiedades mesurables del fluido, tales como densidad, presión y rapidez de flujo.
De manera que la mecánica de los fluidos describe el comportamiento de líquidos y gases a nivel macroscópico. En lo que sigue, cuando se haga mención de una partícula de fluido o elemento de fluido no se hace referencia a una sola molécula de fluido; se trata, mas bien, de un volumen de fluido que es pequeño según los estándares macroscópicos pero que, sin embargo, contiene muchas moléculas.
En consecuencia, la hidrostática (i.e. fluidos en reposo) se refiere a los fluidos en los cuales el centro de masa de cada elemento de volumen tiene aceleración y velocidad cero. Se dice que un fluido estático se encuentra en reposo, aunque las moléculas individuales se encuentran en incesante movimiento,^rowniano.
La hidrodinámica, por otro lado, estudia el comportamiento de los fluidos cuando se encuentran en movimiento.
2.1. Densidad de los fluidos
Una característica importante de los materiales es su densidad ( p ) , definida como la cantidad de masa (m) del material contenido en la unidad de volumen
En el caso de los líquidos, la densidad varía muy poco en amplios rangos de presión y temperatura; de manera que la densidad de los líquidos puede considerarse constante. Por ejemplo, el agua presenta las siguientes densidades:
12 | Cl a s e s de f í s i c a 11
p ( l03 kg/m3) T (°C) p(atm)
1,000 0 1
1,002 0 50
0,958 100 1
La densidad de los gases varía significativamente con los cambios de presión y temperatura. Por ejemplo, el aire presenta las siguientes densidades:
p ( l03 kg/m3) T (*C) p(atm)
1,3 0 1
6,5 0 50
0,95 100 1
La marcada dependencia de la densidad con la presión, en el caso de los gases, se debe a que estos son fácilmente compresibles, i.e. una misma masa de gas puede contenerse en recipientes pequeños. Los líquidos, son prácticamente incompresibles.
La densidad expresada en unidades de masa por volumen (i.e. kg/m3) se denomina densidad absoluta, para diferenciarla de la densidad relativa (inapropiadamente también llamada peso específico relativo) la cual se define como la razón entre la densidad del material y la densidad del agua (103 kg/m3).
2.2. Presión
Sea Ffy la componente perpendicular a una superficie A, de una fuerza F uniformemente distribuida sobre esta superficie. Por ejemplo, F representa la fuerza con la cual se comprime A apretándola con la palma de la mano.
Se define la presión p sobre la superficie A, como el esfuerzo normal
De esta definición se concluye que:
a) La presión es una cantidad escalar y por lo tanto no tiene dirección; aunque con frecuencia se le atribuye una orientación teniendo en consideración la dirección de la fuerza que produce la presión.
Rob in son V á sq u ez O. | 13
b) No toda la fuerza (distribuida) aplicada sobre una superficie le produce una presión; solamente la componente normal ejerce presión.
c) La presión no solo depende de la fuerza sino también depende del área de la superficie sobre la que actúa la fuerza. Una fuerza pequeña ocasiona una gran presión si actúa sobre una superficie muy pequeña, como así mismo una fuerza grande produce una presión pequeña al actuar sobre una superficie muy grande.
Esto explica porqué se deben afilar los cuchillos o porqué se usan raquetas para caminar sobre la nieve o porqué los cimientos son más anchos que las paredes.
Ejem plo 2 .1 .
La yema del dedo pulgar de una mano tiene una superficie de 1 cm2. Si se usa el pulgar para ejercer una fuerza de 100 N perpendicularmente a una mesa de 1 m2, ¿cuál es la presión que se ejerce sobre la mesa?
P _1 0 0 N _ ^q6 N/m2 l c m2
2.3. Unidades de presión
En el sistema internacional de unidades la presión se mide en pascal (Pa).
1 Pa = 1 N/m2
Otras unidades de uso frecuente para medir la presión, son:
a) El milímetro de mercurio (mmHg) o torr, que se define como la presión que ejerce sobre su base el peso de una columna de mercurio de 1 mm de altura. Esta presión es muy pequeña y la unidad mmHg se usa en mediciones científicas de gran precisión.
1 mmHg = 133 Pa
b) La atmósfera (atm ), que se utiliza para medir presiones elevadas como la presión en un caldero.
14 | Clases de física II
c) El bar, unidad cuyo submúltiplo, el milibar ( = 10 3 bar) es de uso común para presiones cuando se hace vacío.
1 bar * 10s Pa
Ejemplo 2 .2 .
Hallar la presión que ejerce una columna de mercurio de 1 mm de altura sobre la base del recipiente que lo contiene.
—
I I I I h
mg
La presión en el fondo del recipiente, ejercida por el mercurio, se debe al peso del mercurio contenido en el recipiente. Si p es la densidad del mercurio, A la base del recipiente y h la altura del mercurio, la presión será:
mg p(Ah)g . p= A a aA =pgh
Esto es, la presión debida al líquido solo depende de su densidad y de la altura; no depende del área de la base. Para el mercurio se tiene que
p = 1 3 ,6xl03 kg/m3, y usando h = 1 mm se obtiene
lmmHg = ( l3 ,6 x l0 3)( 9 ,8 )(l0 -3) d 133 Pa
2.4. Presión en los fluidos
Hay una notoria diferencia en la forma como puede actuar una fuerza sobre la superficie de un sólido y cómo sobre la superficie de un fluido en reposo. En un sólido la fuerza puede actuar en cualquier dirección pero sobre un fluido en reposo la fuerza superficial está orientada perpendicularmente a la superficie.
En un fluido en reposo no pueden existir fuerzas tangenciales (i.e. esfuerzos cortantes) pues este tipo de fuerzas darían lugar a un deslizamiento del fluido (y ya no se encontraría en reposol)
Se denomina presión hidrostática a la presión ejercida por un fluido en reposo, y la denominación "hidrostática" incluye tanto a los líquidos como los gases. Ocasionalmente se usa el prefijo "neumo" para referirse a los gases reservándose el prefijo "hidro" para los líquidos.
Robi nson V ásq uez O. | 15
Sea un fluido, como por ejemplo agua, en reposo en el interior de un recipiente y considérese un elemento de fluido en forma de cufia, de peso insignificante.
la cuña se encuentra en reposo debido a las fuerzas aplicadas por el resto del fluido, fuerzas que son perpendiculares a las superficies de la cuña. De la I a ley de Newton:
Fx = F s e n 0 y Fy = Fcos0
Por otro lado, de la geometría del elemento de fluido: Ax = A s e n 0 y Ay =Fcos0
De manera que para el elemento de fluido en reposo, se tiene que
De este resultado se deduce que:
i) La presión en un punto en el interior de un fluido en reposo, es la misma a lo largo de todas las direcciones.
ii) Sobre todo punto de la superficie de un cuerpo sólido, inmerso totalmente en un fluido en reposo, actúa una fuerza perpendicular de naturaleza compresiva.
Un fluido ejerce una fuerza perpendicular sobre cualquier superficie en contacto con éste, e.g. sobre el recipiente que lo contiene.
16 | Clases de física II
2.5. Variación de la presión en un fluido
La presión que ejerce un fluido sobre el fondo del recipiente que lo contiene, se debe ai peso del fluido. En general, la presión en un mismo plano horizontal (i.e. mismo nivel gravitacional), dentro de un fluido, se debe al peso del fluido por encima de este nivel.
P — ►<! A
) « — P
B
De manera que todos los puntos de un fluido que se encuentra en el mismo nivel gravitacional, e.g. A y B, manifiestan la misma presión. Si no fuera así, habría una diferencia de presión sobre un elemento de fluido que lo haría desplazarse horizontalmente ... y no estaría en reposol No importa la cantidad de fluido que se encuentra sobre A y sobre B, estos puntos registran la misma presión.
Sin embargo, la experiencia muestra que la presión aumenta con la profundidad en el fluido.
PA
(p+dp)A
Sea un elemento de fluido en forma de cilindro de sección recta A y altura dz, en reposo. Este elemento de volumen, de masa dm = pdV = pAdZ, se encuentra en reposo debido a las fuerzas que se muestran en el diagrama de cuerpo libre. Y, aplicando la 1* ley de Newton, se tiene que:
pA + gdm = (p + dp) A
de donde se deduce la ecuación que relaciona la variación dp de la presión con la profundidad:
dp = pgdz
2.6. Presión atmosférica
La atmósfera terrestre está constituida por la masa de aire, de varios kilómetros de altura, que envuelve al planeta.
El 50% de la atmósfera se encuentra aproximadamente hasta 6 km s.n.m ., el 75% a menos de 11 km de altura, y casi el 100% hasta los 30 km.
Rob in son V á sq u ez O. |
17Esta distribución no uniforme se debe a que el aire está más comprimido a nivel del mar que en las capas más elevadas, de manera que el aire se va enrareciendo a medida que uno asciende sobre el nivel del m ar; esto es, la densidad del aire no es uniform e sino que varía con la altura.
Puede estimarse cuál es la presión que ejerce la atmósfera sobre la superficie terrestre considerando una columna de aire de 10 km de altura, 1 cm2 de área de la base, y asumiendo una densidad promedio del aire de p = lk g /m 3.
Esta columna de 1 m3 de volumen tiene una masa de aire de 1 kg, cuyo peso de 10 N produce sobre la base de 1 cm2 una presión.
10 N
Patm= — — = 100 kPa l O m
Mediciones precisas establecen que, al nivel del mar
Patm =101,3 kPa
y empíricamente se encuentra que la presión atmosférica varía con la altura h sobre el nivel del mar, según la ley
P = Po e ' h/h°
donde P0 es la presión a nivel del mar y h0 = 8,4km (altura aproximada del Monte Everest)
Atención: El hecho de que se haya calculado la presión atmosférica sobre la Tierra considerando el peso del aire, no debe llevar a la conclusión que la presión atmosférica solo se ejerce de "arriba" hacia "abajo". Un cuerpo inmerso en la atmósfera experimenta presión en todas las direcciones, al igual como ocurre con un cuerpo inmerso en cualquier fluido.
Ejem plo 2 ,3 .
¿A qué altura sobre el nivel del mar la presión atmosférica es igual al 50% de la presión a nivel del mar?
p = p0 e 'h/h° , con p = —p0 y h0 = 8,4 km, se obtiene h = h0 ¿n2 = 8 , 4 x 0 , 7 = 6 km
18
| Clases de física it
resultado que era de esperarse pues la presión a 6 km de altura se debe al peso del aire sobre este nivel, y la cantidad de aire sobre las 6 km es aproximadamente el 50% del total de aire que ejerce presión sobre la superficie terrestre.
2.7. Variación de la presión en los líquidos
Como la densidad de los líquidos es prácticamente constante, para hallar la P l diferencia de presión (p2 ~ P i) entre dos ^ niveles gravitacionales separados una — --- distancia h, puede integrarse fácilmente la
ecuación dp I pgdZ, obteniéndose
P2=Pi + P8h
que se conoce como la ecuación general de la hidrostática.
Patm
h
m
-r-r*
Si la superficie libre del líquido se encuentra a la patm, a una profundidad h la presión estará dada por
P = Patm+Pgh
Patm
Esto es, la presión en un nivel gravitacional dentro de un líquido se debe a 2 contribuciones:
a) a la presión que actúa sobre su superficie libre, y
— h b) a la presión ejercida por el peso del líquido (= p gh) que se encuentra sobre ese nivel.
Debe remarcarse que la presión en un líquido es independiente del recipiente que lo contiene.
■
V A
I
Por ejemplo, si un tubo en forma de U contiene un líquido homogéneo de densidad p, entonces
R o b i n s on V á s q u e z O. | 19
Si el tubo en U contiene líquidos no miscibles de densidades p1 y p2 , la presión es diferente al mismo nivel gravitacional en cada una de las ram as:
Pa* Pb
Pero pB = pc - p 2gh , pA = P c - - P ig h y P c = P c*
PB - P A = ( P i - P2)gh
2.8. Vasos com unicantes
El hecho que la presión que ejerce un líquido solamente depende de la profundidad, se pone en evidencia mediante los vasos comunicantes.
Cada uno de los vasos de la figura contiene diferente volumen de agua, pero el nivel del agua es el mismo en todos los vasos ya que, estando las superficies libres en todos los vasos a la presión atmosférica, la presión a la misma profundidad, dentro del líquido, debe ser la misma.
2.9. M edida de la presión
a) M anóm etro de tubo abierto
De la ecuación general de la hii
Esta característica de los líquidos permite, por ejemplo, usar un tanque elevado para proporcionar agua a los pisos elevados de un edificio sin necesidad de usar una bomba de agua.
Dispositivo empleado para medir la presión que ejerce un gas. Consiste de un tubo en U que contiene un líquido (e.g. m ercurio); un extrem o del tubo se encuentra a la presión p del gas y el otro extremo está libre, i.e ., a la presión atm osférica.
ostática: p = pa + pg h
p se denomina presión absoluta del gas y (p - pa) se denomina presión m anom ètrica.
20 | Cl a se s de f í s i c a il
En el caso del manómetro de tubo abierto, la presión manomètrica p - p a = pgh no es otra que la presión hidrostática. Pero, si sobre el fluido se ejerce otra presión además de pa, entonces la presión manomètrica es diferente a la presión hidrostática.
Por ejemplo, si sobre el pistón (de masa insignificante) se coloca un bloque, éste ejercerá una presión (= pm) sobre el fluido; por lo tanto, la presión absoluta a la profundidad h, será
P = Pa+Pm + Pgh
y la presión manomètrica p - p a =pm +p gh es ciertam ente diferente a la presión hidrostática.
b) Barómetro de M ercurio (de Torricelli)
Usado por Evangelista Torricelli para demostrar que la atmósfera ejerce presión, consiste de un tubo cerrado inicialm ente lleno de mercurio.
Al invertir el tubo dentro de un recipiente que también contiene m ercurio, la columna desciende hasta que el peso de la columna de altura h ejerce sobre su base una presión que es igual a la que ejerce la atmósfera.
De la ecuación general de la hidrostática, asumiendo que la presión ejercida por el vapor de mercurio es insignificante, se tiene que
Pa=Pgh
Usando mercurio, se encuentra que h - 7 6 c m ; de allí que una form a de expresar la presión atmosférica es
Robi nson Vásq uez O . | 21
Ejem plo 2 .4 .
Si se usa agua en lugar de mercurio, en el barómetro de Torricelli, ¿qué altura alcanzará la columna de agua en el tubo?
Sea p la densidad del mercurio y h la altura alcanzada; p' la densidad del agua y h1 la altura alcanzada. Entonces
Patm=P8h Y Patm=P,gh'
de manera que h' = — 11 = 1 3 ,6 x0 ,7 6 = 10,3m P'
2.10. Principio de Pascal
El cilindro de la figura tiene dos pistones, de áreas diferentes, unidos mediante una varilla.
Si sobre el pistón pequeño se aplica una fuerza de 100 N para mantener en equilibrio a la varilla debe aplicarse 100 N sobre el pistón grande: la varilla ha transm itido la fuerza.
Si se retira la varilla que une los pistones y se llena el cilindro con un fluido (e.g. agua), se observa que al aplicar 100 N al pistón pequeño esta vez se requiere aplicar 1000 N sobre el pistón grande para mantenerlo en equilibrio: los líquidos no transm iten fuerzas.
£
Sobre el émbolo pequeño se ejerció una presión
1 0 0 N C M / 2 p = ---7 = 5 N/cm
20 cm
y sobre el émbolo grande tuvo que ejercerse una presión
P ' - 1000 N 200 cm2
= 5 N/cm2 e p
22 | Clases de física II
Al ejercer una presión adicional sobre el líquido contenido en la esfera, saltan todos los tapones y no solamente aquél que está en la dirección de la fuerza aplicada.
Principio de Pascal: Una variación de presión que se ejerza sobre un fluido (i.e. líquido o gas) confinado, se transmite uniformemente a todas partes del fluido.
El principio de Pascal guarda perfecta armonía con la ecuación general de la hidrostática:
Si mediante el pistón se ejerce una presión p0 sobre el líquido confinado en el recipiente, todos los puntos del líquido a una profundidad h experimentan una presión
p = pa +p0 +pgh
Si la presión ejercida por el pistón se incrementa hasta pQ, en el equilibrio la nueva presión a la profundidad h, será:
P' = Pa+ Po+P8h
De manera que p'-p = p0 - p 0, esto es Ap = A p 0 : El incremento de presión ejercido sobre el fluido se transmite a través de todo el fluido.
¿Cuál es el mecanismo mediante el cual se transmite la variación de presión en los fluidos confinados?
Las variaciones de presión se transmiten de manera ondulatoria, con una velocidad que depende de las características del fluido. Así, a temperatura ambiente, la velocidad de propagación en el agua es de aproximadamente
v = 1400 m/s.
Robinson Vásquez O. | 23
2.11. Las Máquinas Hidráulicas y el Principio de Pascal
La propiedad de los fluidos de transmitir variaciones de presión, se traduce en que éstos pueden multiplicar o reducir fuerzas, característica de los fluidos en que se sustenta el diseño de las denominadas máquinas hidráulicas.
a) El gato (y prensa) hidráulico
i
M m - W f
-~ ry
[-Si se ejerce una fuerza F2 sobre el pistón de área A1# la presión en el líquido aumentará en
Esta variación en la presión se transmite a todo el líquido, y al actuar sobre el pistón de área A2 dará lugar a que sobre este pistón actúe una fuerza F* tal que
De manera que:
Luego, si A2 » Aj se tendrá que F2 » Fx : Con una fuerza relativamente pequeña se logra producir una fuerza muy grande que permitiría levantar un gran peso.
Al bajar el émbolo A ! una distancia h2, desplaza un volumen de líquido: V ^ A ^ . Este líquido desplazado pasa hacia el cilindro grande, el cual se eleva una distancia h2 ______________
lo cual significa que para multiplicar la fuerza en, por ejemplo, un factor 20, el émbolo pequeño debe desplazarse una distancia 20 veces la que se desplaza el émbolo grande: lo que se gana en fuerza se pierde en desplazamiento.
24 | Clases de física II
En efecto: El trabajo que se realiza para hacer descender el émbolo pequeño
W** = l\. hj
es igual al trabajo para que ascienda el émbolo grande
b) Otras máquinas hidráulicas
El mismo principio de Pascal se aplica en los frenos hidráulicos, elevadores de automóviles, sillones de los dentistas, etc.
A la inversa, si la fuerza se ejerce sobre el émbolo grande, aparece disminuida en el émbolo pequeño: los amortiguadores de automóviles se basan en este hecho.
Ejemplo 2 .5 .
En una factoría se tiene un gato hidráulico que trabaja con un tornillo de 5 cm de paso. Si por cada vuelta del tornillo el gato sube 1 cm, en equilibrio, un auto de 2 000 kg; determinar la fuerza aplicada sobre el tornillo y el trabajo realizado. | 2x104N
tí tí
2
x104N
cm Como , entonces F(5 cm) = 2 x 104 ( l cm)v.
F = 4kN
Además: v / = (4 k N )(sx 10 '2m) = 2 J * (2 x 104n) (i x l0 "2m) 2.12. El Empuje HidrostáticoCuando un cuerpo se sumerge en un líquido se encuentra que pesa menos que cuando se encuentra en el aire: Se dice que el cuerpo tiene (dentro del agua) un peso aparente.
Robinson Vásquez O. | 25
Esto se debe a que el agua ejerce una fuerza hacia arriba, en sentido opuesto a la gravedad. A esta fuerza se le denomina fuerza de flotación o empuje hidrostático (E).
Cuando un cuerpo se sumerge en un líquido experimenta una presión, la cual aumenta con la profundidad: las partes más profundas del cuerpo experimentan mayor fuerza que las más próximas a la superficie.
El empuje E es la resultante de las fuerzas compresivas sobre el cuerpo.
Cuando un cuerpo se introduce en el líquido, el nivel del líquido se eleva. Se dice que el cuerpo desplaza al líquido.
Un cuerpo completamente sumergido desplaza un volumen de líquido igual a su propio volumen.
Este hecho proporciona un método para establecer el volumen de un cuerpo de geometría irregular: Basta sumergirlo en agua y medir el incremento de volumen que experimenta el líquido.
2.13. El principio de Arquímedes
La relación entre el empuje y el volumen de líquido desplazado fue establecida experimentalmente por Arquímedes (Siglo III, A.C.):
Un cuerpo parcial o completamente sumergido en un fluido experimenta un empuje (fuerza de flotación) igual al peso del fluido que desplaza.
26 | Clases de física II
Si un bloque de 3 N, con un volumen de 0, 2 x l 0“3m3 (=0,2 litros), se sumerge en un depósito totalmente lleno de agua, se observa que el peso aparente del bloque es de 1 N y que el peso del agua derramada es de 2 N.
Si en lugar de este bloque se introdujera otro de 30 N pero del mismo volumen, registrará un peso aparente de 28 N.
El empuje es independiente del peso del cuerpo, solo depende del volumen de fluido desplazado.
Un cuerpo completamente sumergido experimenta mayor presión a mayor profundidad. Pero, aunque la presión se hace mayor, la diferencia entre las presiones sobre la parte inferior y superior del cuerpo, es la misma a cualquier profundidad.
£1 empuje sobre un cuerpo completamente sumergido en un fluido, es el mismo cualquiera sea la profundidad a la que se encuentre el cuerpo.
W
-Y
Rob in son V ás qu ez O. | 27
^=7/=//=//=//^//=//=//=//=//=//=//
¿De qué depende que un cuerpo, inicialmente completamente sumergido, flote o se hunda?
Según cuál sea la relación entre el peso (P) del cuerpo y el empuje (E) ejercido por el líquido, se tiene que
a) E * P : cuerpo permanece en la misma posición, ni sube ni baja b) E > P : cuerpo flota, como lo hace un tronco de madera c) E < P : cuerpo se hunde, como ocurre con las piedras
¿Los cuerpos pesados se hunden y los livianos flotan?
P = mg
Sean: p - densidad del cuerpo V - volumen del cuerpo p0 - densidad del líquido
V0 - volumen del líquido desplazado
Entonces P = (p V )g y E = (p0V0 )g , y para un cuerpo completamente sumergido (V0 s V ) se tendrá que
) Si el cuerpo es más denso que el fluido, se hundirá i) Si el cuerpo es menos denso que el fluido, flotará
ii) Si la densidad del cuerpo es igual a la del fluido, ni se hunde ni flota en la superficie
• La densidad de un submarino se controla llenando de agua o vaciando los tanques de lastre; de esta manera se modifica su peso para lograr la densidad deseada.
• Un pez regula su densidad expandiendo o contrayendo una bolsa de aire que altera su volumen: Si aumenta el volumen su densidad disminuye y el pez sube.
28 | Clases de física II
• la flotación: El peso y el empuje
rmg
Cuando un cuerpo flota el empuje (E) es igual a su peso (mg), y como el empuje es igual al peso del líquido desalojado, se concluye que:
Un cuerpo que flota desplaza un peso de fluido igual a su propio peso.
V
Los barcos están proyectados de tal manera que desplacen un peso de agua igual a su propio peso.
Ni se hunde, ni flota
Si se introdujera un pez vivo en un recipiente parcialm ente lleno de agua, la balanza aum entaría su lectura en una cantidad igual al peso del pez.
La balanza aum entaría en la misma cantidad si en lugar del pez se introdujera una cantidad de agua igual al volum en del pez, pues la densidad del pez es igual a la del agua ya que ni flota ni se hunde.
Si el recipiente hubiese estado inicialm ente lleno, la balanza no m odificará su lectu ra, ya que el peso del agua que se d erram a es igual al peso del pez.
Ejemplo 2 .6
La piedra de 1 kg, suspendida encima del agua pesa 10 N y
cuando está suspendida
completamente inmersa en el agua, su peso aparente es de 8 N.
R ob i n s o n
V ásq uez O. | 29
a) ¿Cuál es la fuerza de flotación que se ejerce sobre la piedra?La fuerza de flotación, a cualquier profundidad, es
E = 1 0 - 8 = 2N
b) Si el recipiente con agua pesa 5 N, ¿cuál será la indicación de la balanza cuando la piedra está suspendida bajo la superficie del agua?
La balanza incrementará su lectura en 2 N, . 2N la misma cantidad que si se añadieran
2 N de agua al recipiente, pues la piedra al sumergirse desplaza 2 N.
Alternativamente: El agua empuja a la piedra con 2 N, entonces por acción- reacción la piedra empuja hacia abajo el agua, con una fuerza de 2 N.
c) ¿Cuál será la indicación de la balanza cuando se deja caer la piedra y ésta reposa en el fondo?
Cuando la piedra reposa en el fondo del recipiente, la balanza incrementa su lectura en el peso de la piedra, esto es, registra 15 N. El incremento registrado es igual al peso aparente de la piedra ( = 8 N) mas el peso del agua desplazada.
Alternativamente: Además del peso del agua el fondo del recipiente experimenta (peso aparente de piedra) + (reacción a empuje) = (peso de la piedra)
2.14. Dinámica de fluidos
El movimiento de un sistema de partículas está determinado por la fuerza externa resultante actuante sobre el sistema. Esta misma consideración es aplicable a una partícula (o elemento) de fluido ya que ésta, compuesta de muchas moléculas, es en sí misma un sistema de partículas.
El movimiento macroscópico de un fluido pueden describirse en términos del movimiento de una de sus partículas; en particular, la velocidad V del fluido se corresponde con la velocidad del centro de masa de una partícula de fluido.
30
| C l ase s de f í s i ca II
La dinámica de los fluidos ordinarios puede ser muy compleja, de manera que es conveniente iniciar el estudio considerando a los fluidos ideales: irrotacionales, no viscosos, incompresibles y estacionarios.
Un fluido es irrotacional cuando un cuerpo pequeño, en el fluido, solo se traslada pero no rota. En un fluido rotacional este pequeño cuerpo ejecuta un movimiento de rotación.
La viscosidad de un líquido es no otra cosa que una forma de fricción entre capas adyacentes de fluido y entre el fluido y el recipiente que lo contiene. En muchas situaciones puede ignorarse la viscosidad del fluido, de la misma manera que puede ignorarse la fricción de deslizamiento y de rodadura al estudiarse el movimiento de los cuerpos rígidos.
Un fluido es compresible cuando una misma masa de fluido puede hacerse que ocupe un volumen menor. Los líquidos son prácticamente incompresibles mientras que los gases son altamente compresibles; sin embargo, un gas puede considerarse incompresible cuando no está sometido a grandes variaciones de presión. Entonces, un fluido es incompresible cuando su densidad no varía.
La velocidad de un flujo de fluido puede variar de punto a punto y a medida que transcurre el tiempo. Se dice que el fluido es estacionario cuando la velocidad en un punto del fluido permanece la misma todo el tiempo, aunque sea distinta en diferentes puntos de fluido.
2.15. lineas de corriente o flujo
Una manera conveniente de representar a un fluido en movimiento es mediante líneas de corriente o flujo.
Una línea de corriente es una curva continua orientada cuya tangente en un punto dado (e.g. A, B, C) es paralela a la velocidad del fluido en ese punto. Un cuerpo pequeño en un fluido ideal se mueve a lo largo de una línea de corriente.
Robi nson V ásq uez O. | 31
Dos líneas de corriente no pueden interceptarse. Si dos líneas S2 y S2 se interceptaran, resultaría que la velocidad del fluido no sería única en el punto de intersección, lo cual es imposible.
Esta particularidad de las líneas de corriente permite el seguimiento de una porción de fluido.
Para ello basta con dibujar algunas líneas de corriente sobre la periferia del volumen de fluido en observación, las cuales describen una superficie.
La región delimitada por esta superficie se denomina tubo de flujo. Las partículas de fluido dentro de un tubo de flujo, permanecen dentro; las partículas fuera del tubo nunca ingresan a éste.
2.16. La ecuación de continuidad v xdt i—M
f
dmj v 2dt t .... »1 a2 V dm2La masa de un fluido no cambia con su movimiento, de manera que la masa de fluido que entra por la sección A ! del tubo de flujo debe ser la misma que sale por la sección A2 , en el mismo intervalo de tiempo. Entonces, como dm x = p A1v 1dt dm2 = pA2v 2dt igualando dmx = dm2, se obtiene AjVj = A2v2 = cte
que constituye la ecuación de continuidad para el flujo del fluido ideal, y que es una consecuencia de la conservación de la masa de éste.
32 | Clases de fí si ca il
De esta ecuación se deduce que si se reduce la sección recta del flujo, entonces se incrementa su velocidad: En una hipodérmica, el pistón tiene una sección recta relativamente grande y el líquido se mueve lentamente; en el agujero de salida de la aguja el fluido emerge con una rapidez mucho mayor: v2 > v 1
La cantidad Av se denomina rapidez de descarga (Q) y representa la rapidez con la cual un volumen de fluido atraviesa la sección recta A.
_ « dV Q = Av = —
dt
Si se multiplica la rapidez de descarga por la densidad de masa se obtiene la rapidez de flujo de masa del fluido.
dm ^
— = pQ = pAv = p dt
dV dt
Esta ecuación de continuidad es aplicable en el caso de un fluido compresible si se toma en cuenta la variación en la densidad del fluido:
P iA v i = p2A2v 2 = cte
Ejemplo 2 .7 .
Una tubería de gas natural tiene una sección recta de 5 x l0 ~2m2. Si el gas fluye a razón de 1,4 kg/s y su densidad es p=0,9kg/m 3, ¿cuál es la velocidad de flujo?
De = pAv, se obtiene At
v =
_________ 1,4 kg/s_________ (o,9 kg/m3)(5 x l0 ~ 2m2)r
í\ A
Robi nson V ásquez O. | 33
t yigmmff*/ - '
W M
O
2.17. La Ecuación de Bemoullí
Como las partículas de fluido obedecen la mecánica de Newton, se les puede aplicar el teorema del trabajo y la energía.
dS2 = v2dt
El fluido contenido en el tubo de flujo entre las secciones 1 y 2 se mueve debido a la acción de las fuerzas p1A1,p 2A2 y la fuerza gravitacional.
Todas las partículas de fluido en el sistema se mueven a lo largo del tubo pero el trabajo neto y la transferencia de energía involucran solamente a los elementos de masa m en los extremos.
La variación en la energía cinética del sistema es igual a la variación en la energía cinética de esta masa m; entonces
dK = - m v2 — m v| =1 - p v 2 - - p v j dV
El trabajo realizado por las fuerzas compresivas p2A2 y p2A2 durante el intervalo de tiempo dt es
dWf, =p1A1dS1 - p 2A2dS2 = (P l - p 2)dV
y trabajo realizado por la fuerza gravitacional
dWg = -m g (h2 - h 1) = -pg(h2 - H jd V
Aplicando el teorema del trabajo y la energía, i.e. dK = dW, se tiene i p v l - i p v ^ í p j - p j j - p g ^ - h j )
1 2 1 2
í.e. P j + - p v 2 + pghj = p2 + - p v 2 + pgh2
34 | Cl ases de f ísi ca II
Cada uno de los términos de la ecuación de Bernoulli tiene dimensiones de energía por unidad de volumen:
i) l pV2 es la energía cinética asociada con el movimiento macroscópico del fluido. En el caso de condiciones hidrostáticas (i.e. v = 0 ) la energía cinética macroscópica es cero; sin embargo, aún se tiene una considerable cantidad de energía cinética microscópica asociada con los movimientos moleculares.
ii) pgh es la energía potencial gravitacional
i¡i) La presión p representa a la energía asociada con el trabajo realizado sobre el elemento de volumen de fluido por su vecindad.
En resumen, la Ecuación (o Teorema) de Bernoulli es una manifestación de que la energía disponible, por unidad de volumen, permanece constante a lo largo de cualquier tubo de fluido.
Ejem plo 2 .8 , Lím ite h id ro stó tico de la ecuación d e Bernoulli
Para un fluido estático (i.e. v = 0 ) , la ecuación de Bernoulli se expresa como
P i + p g h i= p2 +pgh2 p2 i.e. P2 = P i+ p g (h i- h 2)
que es no otra que la Ecuación General de la Hidrostática.
Ejem plo 2 .9 . Rapidez de flu jo en un re se rv o rio
Sea un reservorio que contiene agua y se desea establecer la rapidez con que escapa el agua a través de un orificio en la base del reservorio.
En el entendido que las superficies superior y de salida se encuentran a la presión atmosférica, aplicando la ecuación de Bernoulli a las superficies 1 y 2 del fluido:
1 2 , 1 2
Pa + “ Pvl + P6h = Pa + “ Pv2 + 0
V¡ = V j+ 2 g h esto es
Robi nson Vásquez O. | 35
De la ecuación de continuidad A1v 1 = A 2v 2, reemplazando en la ecuación precedente se obtiene
y para A2 « A 1 se tendría que v2 - ^ 2 g h ; esto es, la rapidez del fluido en el orificio de salida es la misma rapidez que tendría una partícula en caída libre desde la superficie libre del reservorio.
Ejem plo 2 .1 0 . E l tubo V enturl
El tubo Venturi es un dispositivo que permite medir la rapidez de flujo en un tubo.
Aplicando la ecuación de Bernoulli en la parte ancha (punto 1) y en la garganta (punto 2) del tubo, a un mismo nivel gravitacional, se tiene 1 2 1 2 P i+ j p V i = P2 + - pV2 y como v2 = ' A i ' VA2 y/ v 1# entonces 1 2 Pl=P2+JP Vl
4
-V A 2 J
de donde se deduce que la presión en la garganta (= p 2) es menor que la presión en la parte ancha ( = P i) del tubo, ya que Ax > A2.
36 | Clases de física II
2.18. Tensión superficial
Las moléculas en la superficie de un líquido en reposo se encuentran en condiciones diferentes a las moléculas en el interior del líquido: En general,
las moléculas del líquido se ejercen fuerzas de atracción entre sí, pero la fuerza resultante sobre una molécula dentro del líquido promedia a cero, mientras que una molécula en la superficie experimenta una fuerza resultante que la atrae hacia el volumen.
El efecto neto de la atracción de las moléculas superficiales es la contracción, i.e. disminución, de la superficie del líquido, hasta reducir el mínimo el área de esta superficie. Por esta razón las gotas de agua adoptan una forma esférica, pues la esfera tiene la mínima área superficial para un volumen dado.
En lo que se refiere a la energía, esta atracción hacia el interior de las moléculas superficiales trae como consecuencia que su energía sea diferente a la energía de las moléculas en el interior del líquido.
La energía superficial U es proporcional al área A de la superficie U = yA
donde el coeficiente y se denomina coeficiente de tensión superficial.
La tensión superficial se manifiesta como una fuerza sobre un cuerpo en contacto con la superficie del líquido. Como ejemplo considérese una aguja en reposo sobre agua:
F F
Observando con detenimiento, se encuentra que la aguja reposa en una depresión de la superficie del líquido. El peso de la aguja produce el hundimiento del agua, con lo cual aumenta el área de la superficie. Las fuerzas moleculares actúan en todos los puntos, a lo largo de la depresión, tendiendo a retornar a la superficie a su posición horizontal original.
Las componentes verticales de estas fuerzas moleculares equilibran al peso y las componentes horizontales actúan como fuerzas de tracción sobre la aguja.
Robi nson Vásquez O. |37
x
Sea una película de líquido extendida en un cuadro de alambre, uno de cuyos lados (de longitud i ) puede desplazarse. Debido a la tendencia de la superficie a reducirse, sobre el alambre actuará una fuerzar _ dU _ dA dx ^ Y dx
y como el área de la superficie de la película es A = t. x , entonces
Esta es la fuerza que actúa sobre el segmento t del cuadro debido a la tensión superficial en uno de los lados de la película y como la película tiene dos lados, sobre el segmento ( actuará una fuerza dos veces mayor.
El signo ( - ) en la expresión para la fuerza indica que ésta está dirigida hacia el interior de la superficie de la película. Sobre la línea que delimita la superficie del líquido (i.e., el perímetro) o sobre cualquier sector de esta superficie, actúan fuerzas de tracciónjperpendicular a la tangente a la superficie.]
Por ejemplo,
un bucle de hilo sujeto a un marco, luego de sumergirse en agua con jabón, flota en la película según la figura a. El bucle está sometido a fuerzas de tracción en ambos lados.
Fig. a Fig. b
Si se pincha el interior del bucle rompiendo la película de jabón, adopta una forma circular (fig. b) debido a la tracción ejercida por la película en contacto con el exterior del bucle.
38 | Clases de fí si ca II
Ejem plo 2 .1 1 . Medida de la tensión su p e rficial de un líquido Una manera simple de medir la tensión superficial de un líquido es mediante un cuadro de alambre en forma de U, uno de cuyos lados puede deslizarse, que encierra una película delgada del líquido.
Al suspender verticalmente el cuadro, el lado deslizable se encontrará en equilibrio debido a su peso (mg) y a la fuerza de tensión superficial (F) ejercida por la película. Como la película tiene dos caras, cada una de ellas ejerce una fuerza y l sobre la varilla deslizable, de manera que
F = 2yf
y S 4 I
21 21
Ejemplo 2 .1 2 . Tensión su perficial sobre las p atas de un insecto La base de la pata de un insecto tiene forma aproximadamente esférica, con un radio de 20 pm ; y el insecto de 3 mg de masa se sustenta en sus seis patas. Calcule el ángulo 0 para un insecto sobre la superficie del agua (y = 72 m N /m ).
Considerando insignificante el empuje hidrostático, el insecto se encuentra en equilibrio debido a la fuerza de tensión superficial y a su peso
Para una de sus patas: t = nr y p = i m g ; de manera que 6 2Fcos(0) = P 2y7crcos(0 ) = — mg 6 co s(8 ) = - ^ s . (3xl0~6kg)(l0 m/s2) 12y7tr 72x io- 3~ ](3,14)(20xl0~€m) • = 0,55 0= 57
Robi nson Vás qu ez O. | 39 2.19. Capilaridad
| | ■ H20
En el caso del agua, esta sube ligeramente donde toca el vidrio; en el caso del mercurio éste baja donde toca el vidrio. Se dice que el agua "moja" al vidrio y que el mercurio no moja al vidrio.
Que un líquido moje o no una superficie sólida depende de la intensidad relativa de las fuerzas de cohesión entre las moléculas del líquido, en comparación con las fuerzas de adhesión entre las moléculas del vidrio y el recipiente.
El agua moja el vidrio porque las moléculas del agua son atraídas con más fuerza hacia las moléculas de vidrio que hacia otras moléculas de agua; en el caso del mercurio las fuerzas de cohesión son más intensas que las de adhesión.
El ángulo <)> entre la tangente a la superficie del líquido y la pared sólida, se denomina ángulo de contacto. Este ángulo de contacto depende solamente de las tensiones superficiales en los límites de los medios en contacto (i.e. líquido y recipiente) y no depende de la forma del recipiente ni del peso del líquido.
De las fuerzas capilares:
Se acostumbra afirmar que, en estado de equilibrio, las presiones de los cuerpos en contacto deben ser iguales. Esta aseveración es correcta cuando se ignoran los efectos capilares, pero si se tiene en cuenta la tensión superficial, las presiones de los medios en contacto son diferentes.
Como ejemplo, considérese una gota de líquido que se halla en el aire. La tendencia a disminuir la superficie conduce a la compresión de la gota y con ello al incremento de la presión interna. La presión del líquido de la gota resulta mayor que la del aire circundante. La diferencia p^if entre las presiones se denomina diferencia (o variación) de presión.
Cuando un líquido entra en contacto con una superficie sólida, como en el caso de un líquido en un recipiente de vidrio, la superficie del líquido se curva hacia arriba o hacia abajo.
40 | Cl ases de f í s ic a II
El trabajo realizado por las fuerzas superficiales, al disminuir la superficie de la gota en la magnitud dS, es igual a la disminución de la energía superficial: ydS
Por otro lado, este mismo trabajo se expresa como pd¡fdV, donde dV es la variación del volumen de la gota; de manera que
YdS = pdifdV
( 2 4 a'j 2y Para una gota esférica I S = 4nr y V = —rcr J : p dif = —
Para una masa cilindrica (s = 2nrh y V = 7tr2h ): pdjf =
-En general, siempre habrá diferencia de presión en la interfaz de los medios en contacto cuando la superficie divisoria sea cóncava o convexa. Cuando la superficie divisoria es plana (i.e. r —► x ) la diferencia de presión se reduce a cero, lo cual se halla en concordancia con el hecho de que cuando la superficie divisoria es plana las presiones de los medios en contacto deben ser iguales.
Ejem plo 2 .1 3 . F u e rz a de compresión so b re dos lám inas que
Sean dos láminas paralelas cuya sección transversal se muestra en la figura, y entre ellas una capa delgada de líquido. Por las superficies laterales, el líquido se encuentra en contacto con el aire.
Si el ángulo <|> de contacto es agudo (i.e. el menisco es cóncavo), la presión en el interior del líquido es menor que la del aire; por ello es que la presión atmosférica, que actúa sobre las láminas, tenderá a aproximarlas, razón por la cual parecerá que las láminas se atraen.
Por otro lado, si el ángulo de contacto es obtuso (i.e. el menisco es convexo), la capa de líquido repelerá a las láminas.
e ncierran un líquido
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