Ayudantía 9

(1)

Pontificia Universidad Cat´olica de Chile Facultad de F´ısica

FIS1533 - Electricidad y Magnetismo // 1-2018 Profesor: Giuseppe De Nittis - [email protected]

Ayudant´ıa 9

Dipolo El´ectrico, Potencial El´ectrico y Energ´ıa Potencial

05 de Abril de 2018

Ayudante: Mat´ıas Henr´ıquez - [email protected]

1. F´

ormulas y constantes

1.1. Potencial El´

ectrico

El potencial electroest´atico de una distribuci´on de cargas se define como:

φ(x) = 1 4π0

˚

V

ρ(x0) dV

||x−x0||

(1.1)

en donde x es la ubicación en donde se calcula el potencial electroestático y x0 es la ubicación de las distribuciones de carga que generan el potencial.

Por lo tanto el campo el´ectrico est´a dado por:

E(x) = −∇φ(x) (1.2)

1.2. Interpretaci´

on f´ısica del potencial

Supongamos que se tiene una distribución de carga en el espacio, esta generará un campo eléctricoE(x). Consideremos el trabajo efectuado contra las fuerzas del campo al trasladar cuasiestáticamente una carga puntualqdesde un puntox1hasta el puntox2, siguiendo una trayectoria cualquiera . Por cuasiestáticamente, se entiende que no se altera la energ´ıa cinética al mover a la carga. Esto se puede lograr exclusivamente si la fuerza neta sobre la carga es cero (recordar Teorema del Trabajo). De esta forma, debemos ejercer una fuerza de igual magnitud y contraria a la fuerza electrostática que actúa sobre la carga. Es decir:

W = −q x2

ˆ

x1

E(x)·dx

(2)

W = −q x2

ˆ

x1

E(x)·dx=q x2

ˆ

x1

∇φ(x)·dx (1.3)

= q(φ(x2)−φ(x1)) (1.4)

Esto implica que la diferencia de potencial entre los puntos x2 y x1 la podemos calcular como:

∆φ = φ(x2)−φ(x1) (1.5)

= −

x2

ˆ

x1

E(x)·dx (1.6)

1.3. Energ´ıa potencial electroest´

atica de un sistema

Corresponde al trabajo necesario para poder formar una distribuci´on de cargas (ya sea discreta o con-tinua). Para el caso discreto se calcula como:

U = 1 2

N

X

i=1

qiφ(xi) (1.7)

en donde φ(xi) no es más que el potencial en la posición de la carga qi debido a las demás cargas. Para el caso continuo se define como:

U = 1 2

˚

V

φ(x0)dq(x0) (1.8)

1.4. Energ´ıa almacenada en un campo el´

ectrico

W = 0 2

˚

V

E2dV (1.9)

1.5. Momento Dipolar

Sea una distribuci´on de cargas ρ(x) en un volumen V. El momento dipolar es el vector dado por:

p(V) =

˚

(3)

2. Problemas

Problema 1: Dipolo el´

ectrico

Considere el dipolo el´ectrico de la siguiente figura en donde q1 =−q2, |q1|=|q2|=q y |r12|= 2d.

(a) Calcule el potencial el´ectricoφ(r) en un punto r en el espacio, considerando que ||r||>> d. Hint: La espansi´on de Taylor para (1 +x)n es (1 +x)n≈1 +nx+n(n−1)

2 x

2

+... cuandox <<1.

Respuesta:

Ubiquemos el origen O en el punto medio de r12. Sea P el punto que representa a r (donde queremos calcular el potencial el´ectrico) con respecto al origenO. EntoncesOP =||r||=r. Sean A1 y A2 los puntos que indican las posiciones de q1 y q2 respectivamente con respecto al origen O, se tiene que|OA1|=|OA2|=d. Seaθ el ´angulo formado por OA2 y OP, y sear2 la distancia entreP y q2, es decir, |P A2|. Entonces por teorema del coseno se tiene:

r₂2 = r2+d2−2rdcosθ de manera an´aloga, la distancia |P A1|=r1, est´a dada por:

(4)

1 r2

= (r2+d2−2rdcosθ)−1/2

= 1

r 1 +

d r 2 −2 d r cosθ !−1/2 1 r1 = 1

r 1 +

d r 2 + 2 d r cosθ !−1/2

Utilizando la aproximaci´on de Taylor de primer orden para (1 +x)n ≈ 1 +nx, con n =−1/2 y x= d r 2 + 2 d r

cosθ, (ya que r >> d, lo que implica quex << 1) se obtienen las siguientes aproximaciones:

1 r2

≈ 1

r 1− 1 2 d r 2 + d r cosθ ! 1 r1 ≈ 1

r 1− 1 2 d r 2 − d r cosθ !

Por lo tanto, el potencial el´ectrico en el punto P, est´a dado por:

φ(P) = 1 4π0 q r2 − q r1

≈ 2qdcosθ

4π0

· 1

r2

Notemos que el momento dipolar est´a dado por p = 2qd rˆ12 y que 2qdcosθ es simplemente el producto punto p·r. Por lo tanto podemos reescribir el potencial como:ˆ

φ(r) = p·rˆ 4π0

· 1 ||r||2

(b) Calcule el campo eléctrico E(r) para ||r|| >> d. Hint: utilice coordenadas esféricas. El gradiente en coordenadas esféricas está dado por:

∇F = ∂F ∂rrˆ+

1 r

∂F ∂θ

ˆ θ+ 1

rsinθ ∂F

∂ϕϕˆ

(5)

Respuesta:

Utilizando coordenadas esféricas (también pueden ser cill´ındricas, ya que el potencial depende solamente de r y θ, es decir, no depende de ϕ si utilizamos coordenadas esféricas y tampoco depende de z si utilizamos coordenadas cil´ındricas). Por lo tanto, derivando el potencial se tiene que:

Er = − ∂φ ∂r =

2qdcosθ 2π0r3 Eθ = −

1 r

∂φ ∂r =

2qdsinθ 4π0r3

el campo el´ectrico solamente tiene componente radial y polar, por lo tanto:

E(r) = 2qd

4π0||r||3

h

2 cosθ ˆr+ sinθ θˆi

El campo eléctrico es en realidad no nulo, aunque la carga neta sea 0 ya que existe una deformación eléctrica en el espacio lo que crea una componente del campo eléctrico que es función del momento dipolar p.

(c) Calcule la energ´ıa potencial del dipolo.

Respuesta:

El dipolo se ubicar´a en el eje z. Sean x1 y x2 las posiciones de las cargas q1 = −q y q2 = q respectivamente, con respecto al origen del sistema (punto medio entre las dos cargas). Entonces

x1 =d (−ˆk) y x2 =d (ˆk), por lo tanto la energ´ıa potencial el´ectrica del sistema es:

U = q1φ(x1) +q2φ(x2) = −qφ(x1) +qφ(x1+ 2dˆk)

Notemos que la función escalar multivariable φ(x1+ 2dˆk) la podemos aproximar por su plano tangente (aproximación de primer orden, recordar cálculo III):

(6)

U = −qφ(x1) +qφ(x1) +q∇φ(x1)·2dˆk = 2qdkˆ

| {z }

=p

·∇φ(x1)

= p· ∇φ(x1) =−p·E(x1) en donde p es el momento dipolar del dipolo.

(d) Demuestre que el campo eléctrico es conservativo. Hint: el rotacional en coordenadas esféricas está dado por:

∇ ×F= 1 r2_sin_θ

ˆ

r rθˆ rsinθϕˆ ∂

∂r ∂ ∂θ

∂ ∂ϕ

Fr rFθ rsinθFϕ

Respuesta:

Se calculará el rotacional del campo eléctrico en coordenadas esféricas. Notemos que el rotacional tiene componentes nulas en las componentes ˆr y ˆθ (compruebe derivando). Por lo tanto:

∇ ×E(r) = 1 r2_sin_θ ·

rsinθ

∂

∂r(rEθ)− ∂ ∂θEr

ˆ ϕ

Sin embargo, notemos que:

∂

∂r(rEθ)− ∂

∂θEr = −

2||p||sinθ 4π0

1 r3 +

2||p||sinθ 4π0

1 r3

(7)

Problema 2: Esfera maciza y cascarones esf´

ericos

Se tiene una esfera maciza no metálica de radioay con cargaQ, un cascarón esférico conductor de radio interno b y externo c, descargado, y un cascarón esférico de radio dcon carga −Q y grosor despreciable.

(a) Calcule el campo el´ectrico en las cincos regiones. Asumaa < b < c < d.

Respuesta:

Se tiene 5 regiones, en las cuales se calculará el campo eléctrico empleando la Ley de Gauss. RegiónI: r < a

Si la esfera maciza de radio a tiene una carga Q distribuida uniformemente, entonces su densidad est´a dada por:

ρ = 3Q 4πa3

Ahora utlizando de superficie gaussiana el manto de una esfera de radio r < a, por ley de Gauss se obtiene:

‹

S

EI·dS = Qenc

0

||EI|| ·4πr2 = 1 0

ρ·4

3πr

3 ₌ ρr 30

EI =

Qr 4π0a3

(ˆr)

Regi´onII:a < r < b

En esta regi´on la carga encerrada es Q, por lo tanto:

EII = Q 4π0

1 r2 (ˆr) Regi´onIII:b < r < c

Dado que en esta región estamos dentro de un conductor, el potencial electroestático es constante, lo que implica que el campo eléctrico es nulo, por ende:

EIII = 0

Regi´onIV:c < r < d

(8)

EIV = Q 4π0

1 r2 (ˆr) Regi´onV: r > d

La carga encerrada es Q+ (−Q) = 0, por lo tanto el campo el´ectrico es nulo:

EV = 0

(b) Encuentre expresiones para las densidades de carga interna y externa del cascar´on conductor.

Respuesta:

Dado que el campo eléctrico dentro del conductor es nulo, entonces la carga neta encerrada por la superficie gaussiana en esta región es 0. Sea Qint la carga distribuida en el manto interior del cascarón conductor, entonces:

Q+Qint = 0 Q+ 4πb2·σint = 0

σint = − Q

4πb2

Sea Qext la carga distribuida en el manto exterior del cascarón conductor, dado que el cascarón conductor es eléctricamente neutro, entonces:

Qint+Qext = 0

−Q+ 4πc2·σext = 0 σext = Q

4πc2

(c) Halle las diferencias de potencial entre los tres pares de superficies.

Respuesta:

(9)

V(a)−V(b) = −

a

ˆ

b

EII·dr =− a

ˆ

b Q 4π0r2

dr

= Q

4π0

b−a ab

>0

Potencial entre cy d:

V(c)−V(d) = −

c

ˆ

d

EIV ·dr

= Q

4π0

d−c cd

>0

Potencial entre a y d:

V(a)−V(d) = [V(a)−V(b)] + [V(b)−V(c)] + [V(c)−V(d)]

sin embargo V(b) = V(c) ya que dentro de un conductor el potencial es constante, entonces en sus bordes es el mismo potencial para mantener la continuidad de la funci´on. Por lo tanto:

V(a)−V(d) = [V(a)−V(b)] + [V(c)−V(d)]

= Q

4π0

b−a ab +

d−c cd

>0

(d) Calcule la energ´ıa almacenada en cada campo el´ectrico.

Respuesta:

(10)

WI = 0 2 π ˆ 0 2π ˆ 0 a ˆ 0

||EI||2r2sinϕdrdθdϕ

= 0 2 π ˆ 0 2π ˆ 0 sinϕdθdϕ

| {z }

=4π a ˆ 0 Qr 4π0a3

2

r2dr

= 4π0 2 ·

Q2 (4π0a3)2

a

ˆ

0 r4dr

= Q

2

8π0a6 · a5

5 = Q2 40π0a Regi´onII:a < r < b

WII = 0 2 π ˆ 0 2π ˆ 0 b ˆ a

||EII||2r2sinϕdrdθdϕ

= 4π0 2 · b ˆ a Q 4π0r2

2

r2dr

= Q 2 8π0 1 a − 1 b

Regi´onIV:c < r < d

An´alogamente a la regi´onII, se obtiene:

(11)

Problema 3: Potencial en una esfera

Encuentre el potencial dentro y fuera de una esfera s´olida cargada uniformemente cuyo radio es R y su carga total esQ. Use infinito como punto de referencia. Calcule la energ´ıa del sistema. Analice qu´e sucede cuando la carga Q se concentra en una carga puntual, es decir,R →0.

Respuesta:

Dado que la carga Q está distribuida de manera uniforme en la esfera sólida de rafio R, entonces su densidad está dada por:

ρ = Q V =

3Q 4πR3

Primero calcularemos los campos el´ectricos dentro y fuera de la esfera. Campo dentro de la esfera: r≤R

Si se toma un manto de esfera gaussiano de radio r≤R, la carga encerrada est´a dada por:

Qenc = ρ 4 3πr

3 ₌_Qr R

3

Por lo tanto el campo el´ectrico dentro de la esfera se calcula con Ley de Gauss:

‹

S1

EI·dS = Qenc

0

||EI|| ·4πr2 = Q 0

r

R

3

EI =

Qr 4π0R3

(ˆr)

Campo fuera de la esferar > R

Aqu´ı la esfera se puede considerar como una carga puntual, por lo tanto:

EII = Q 4π0

· 1

(12)

E(r) =



    

    

Q||r||

4π0R3

(ˆr) , si||r|| ≤R

Q 4π0

· 1

||r||2 (ˆr) , si||r||> R

Luego, el potencial eléctrico lo podemos calcular simplemente integrando el campo eléctrico. El potencial eléctrico fuera de la esfera está dado por:

φII(r) = − r

ˆ

∞

EII ·dr=− r

ˆ

∞

Q 4π0r2

dr

= Q

4π0 1

||r||

el potencial el´ectrico dentro de la esfera est´a dado por:

φI(r) = − R

ˆ

∞

EII ·dr− r

ˆ

R

EI·dr

= Q(3R

2_{− ||}_r_||2₎ 8π0R3

Por lo tanto el potencial electroest´atico lo podemos definir como:

φ(r) =



    

    

Q(3R2₋_r2₎ 8π0R3

, si||r|| ≤R

Q 4π0

1

r , si||r||> R

(13)

W = 0 2 π ˆ 0 2π ˆ 0 R ˆ 0

||EI||2r2sinϕdrdθdϕ+ 0 2 π ˆ 0 2π ˆ 0 ∞ ˆ R

||EII||2r2sinϕdrdθdϕ

= 4π0 2 R ˆ 0 Qr 4π0R3

2

r2dr+ 4π0 2 ∞ ˆ R Q 4π0r2

2

r2dr

= Q 2 8π0 1 5R + Q2 8π0 1 R = 3Q 2 4π0 1 5R

Ahora calculamos con la f´ormula (1.8):

U = 1 2

˚

V

φ(r)ρdV = ρ 2 π ˆ 0 2π ˆ 0 R ˆ 0

φI(r)r2sinϕdrdθdϕ

= ρ 2 π ˆ 0 2π ˆ 0 R ˆ 0

Q(3R2₋_r2₎ 8π0R3

r2sinϕdrdθdϕ

= 3Q

2

16π0R6 R

ˆ

0

(3R2−r2)r2dr

= 3Q

2

4π0 1 5R

Notemos que aqu´ı solamente utilizamos el potencial dentro de la esfera,φI(I), ya que este se calcula integrando, desde el infinito hasta dentro de la esfera, el campo el´ectrico. Si integramos el potencial fuera de la espera, la energ´ıa ser´ıa infinita ya que es un espacio infinita (integral divergente).

(14)

Problema 4: Energ´ıa de un sistema discreto de cargas

Considere un cubo de arista aen donde en cada v´ertice hay una carga−q y en su centro hay una carga +2q.

(a) Calcule el momento dipolarp del sistema.

Respuesta:

Ubicaremos el origen del sistema cartesiano en el centro del cubo de arista a, por lo tanto la ubicaciones de todas las cargas qi (i indica el número de vértice) en los vértices son:

x1 = a

2(1,1,1)

x2 = a

2(−1,1,1)

x3 = a

2(−1,−1,1)

x4 = a

2(1,−1,1)

x5 = a

2(1,1,−1)

x6 = a

2(−1,1,−1)

x7 = a

2(−1,−1,−1)

x8 = a

2(1,−1,−1)

designaremos como x0 = (0,0,0) la ubicaci´on de la carga q0 = 2q en el centro del cubo. El momento dipolar viene dado por:

p = x0q0+ 8

X

i=1

xiqi

= (0,0,0)−q 8

X

i=1

xi

| {z }

=(0,0,0)

= (0,0,0)

(15)

Respuesta:

Notemos que para cada v´erticei, se tienen:

3 cargas (−q) ubicadas a una distancia a del v´ertice. 3 cargas (−q) ubicadas a una distancia a√2 del v´ertice.

1 carga (−q) ubicada a una distancia a√3 del v´ertice (carga ubicada en el v´ertice opuesto o contrario).

1 carga (+2q) ubicada en el origen a una distanciaa√3/2 del vértice. Por lo tanto el potencial en un vértice xi con i∈[1,8] está dado por:

φ(xi) = − q 4π0 3 a + 3 a√2+

1 a√3

+ 2q 4π0

· 1

a√3/2

= − q

4π0

3 a +

3 a√2+

1 a√3−

4 a√3

= − 3q

4π0a

1 + √1

2− 1

√

3

el potencial en el origen φ(x0) est´a dado por 8 cargas (cargas en los v´ertices) ubicadas a una distancia de a√3/2 por lo tanto:

φ(x0) = − q

4π0 8

a√3/2 =− 16q 4π0a

1

√

3 Por lo tanto la energ´ıa total del sistema est´a dada por:

U = 1 2

8

X

i=0

qiφ(xi) = 1 2

"

2qφ(x0)−q 8

X

i=1 φ(xi)

#

= − 16q

2

4π0a 1

√

3− q

2 ·8φ(xi) = − 16q2 4π0a

1

√

3+ 12q2 4π0a

1 + √1

2− 1 √ 3 = q 2

4π0a

−√16

3+ 12 + 12 √ 2 − 12 √ 3 = q 2

4π0a

12 + √12

2 − 28

√

3

(16)

Problema 5: Trabajo

Se tiene dos anillos coaxiales de radio R cargados uniformemente (cargas totalesq1 y q2 desconocidas) y separados una distancia 2a. El trabajo necesario para traer una carga q desde el infinito hasta el centro de cada uno de los anillos es W1 y W2 respectivamente. Calcule las cargas totalesq1 y q2.

Respuesta:

Primero, encontraremos el potencial el´ectrico de un solo anillo de radio R en su eje que pasa por el centro del anillo, a una distanciaz del centro. Ubicando, conveniente, el anillo en el planoXY con su centro en el origen, se tiene que:

φ(x) = 1 4π0

˛

λdx0

||x−x0||

en donde x=zˆk es donde calculamos el potencial eléctrico,x0 =Rcosθî+Rsinθˆj es la ubicación de los diferenciales de carga que contribuyen al potencial eléctrico y el diferencial dx0 =Rdθ. Por lo tanto el potencial está dado por:

φ(z) = 1 4π0

2π

ˆ

0

λR

√

z2₊_R2dθ

Dado que λ= Q

2πR, entonces:

φ(z) = q

4π0

√

z2₊_R2

Ahora trabamos con ambos anillamos. Ubicamos el anillo 2 de cargaq2 en el plano XY, con el eje Z pasando por su centro y el anillo 1 con cargaq1 a una distancia 2a, también con el eje Z pasando por su centro, del anillo 2. El potencial electroestático a una distancia z2 =z está dado por la superposición de ambos potenciales, por lo tanto:

φ(z) = q1

4π0

p

(z−2a)2₊_R2 +

q2

4π0

√

z2₊_R2

(17)

W1 = qφ(2a) =q

q1 4π0R

+ q2

4π0

√

4a2₊_R2

W2 = qφ(0) =q

q1

4π0

√

4a2₊_R2 + q2 4π0R

Resolvemos el sistema de ecuaciones para despejar q1 y q2, obteniendo:

q1 =

π0R

√

4a2₊_R2 _W 1

√

4a2₊_R2₋_W 2R

qa2

q2 =

π0R

√

4a2₊_R2 _W 2

√

4a2₊_R2₋_W 1R