Factorial
1. Definici´on del factorial de un n´umero entero positivo. Dado un n´umero entero positivo n, su factorial se define como el producto de los n´umeros enteros de 1 a n. Por ejemplo,
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.
En general, podemos escribir la definici´on de n! de la siguiente manera:
n! := 1 · 2 · . . . · n.
Con la notaci´on breve para productos, n! :=
n
Y
k=1
k.
2. Calcule los factoriales de los n´umeros de 1 a 4:
1! = 1 2! = 1 · 2 =
|{z}?
3! = 1 · 2 · 3 =
|{z}
?
4! =
| {z }
?
=
| {z }
?
3. F´ormula recursiva para n!. Notamos que
4! = 1 · 2 · 3 · 4 = (1 · 2 · 3) · 4 = 3! · 4.
De manera similar, 5! =
| {z }
?
=
| {z }
?
· 5 =
| {z }
?
· 5.
En general, n! se expresa a trav´es de (n − 1)! mediante la siguiente f´ormula:
n! = (n − 1)! n.
A veces es necesario escribir (n + 1)! en t´erminos de n!:
(n + 1)! =
| {z }
?
· (n + 1).
¿C´ omo definir el factorial del n´ umero cero?
4. Factorial de 1 (repaso). Recordemos que 1! =
|{z}
?
5. Motivaci´on para definir 0!. Ya vimos que la funci´on factorial satisface la f´ormula recursiva
(n + 1)! = (n + 1) · n!. (1)
Esta igualdad se cumple para cada n entero positivo: n = 1, 2, 3, . . ..
Vamos a definir el factorial del n´umero 0 de tal manera que la igualdad (1) se cumplir´a no solamente para n = 1, 2, 3, . . ., sino tambi´en para n = 0.
Ejercicio creativo: antes de resolver los siguientes ejercicios intente de determinar qu´e valor hay que asignar a 0! para que la igualdad (1) se cumpla para n = 0.
6. Definici´on de 0!, sugerencia m´as directa. En la f´ormula (n + 1)! = (n + 1) · n!
ponemos n = 0:
| {z }
?
=
| {z }
?
· 0!
Recordamos que 1! =
|{z}
?
y simplificamos la igualdad anterior:
| {z }
?
=
| {z }
?
· 0!.
Despeje 0!.
7. Definici´on de 0! (respuesta de los ejercicios anteriores).
0! := 1.
Definici´ on recursiva del factorial
8. Ahora podemos definir la funci´on factorial de manera m´as formal, mediante una con- dici´on inicial y una f´ormula recursiva:
0! = 1, (2)
n! = n · (n − 1)! (n = 1, 2, 3, . . .). (3) 9. Factoriales de los n´umeros de 0 a 7. Usando la definici´on anterior calcule los factoriales de los n´umeros enteros de 0 a 7:
0! =
|{z}?
1! = 1 · 0! = 1 · 1 =
|{z}?
2! = 2 · 1! = 2 · 1 =
|{z}?
3! = 3 · 2! = 3 ·
|{z}?
=
|{z}?
4! = 5! =
6! = 7! =
10. Practicamos la f´ormula recursiva con n´umeros. Aplicar la f´ormula (3) en los siguientes ejemplos, sin calcular la respuesta en la forma expl´ıcita:
67! = 67 · 66! 38! =
| {z }
?
2760! =
| {z }
?
3176! =
| {z }
?
11. Practicamos la f´ormula recursiva con variables.
Sea n ∈ Z, n ≥ 1. Recuerde c´omo se expresa n! a trav´es de (n − 1)!:
n! =
| {z }
?
(n − 1)!. (4)
Sea a ∈ Z, a ≥ 0. Aplicar la f´ormula (4) con n = a + 3, esto es, expresamos (a + 3)! a trav´es de (a + 2)!:
(a + 3)! = (a + 3) ·
| {z }
?
. Suponemos que b ∈ {5, 6, 7, . . .}. Aplicar (4) al n´umero n = b − 4:
(b − 4)! =
| {z }
?
.
Aplicar la f´ ormula recursiva dos veces o m´ as
12. Ejemplo. Expresar 13! a trav´es de 11!:
13! = 13 ·
| {z }
?
= 13 · 12 ·
| {z }
?
= 156 ·
| {z }
?
.
13. Ejercicio. Expresar 9! a trav´es de 7!:
9! = =
| {z }
?
· 7!.
14. Ejemplo. Expresar 20! a trav´es de 17!:
20! = 20 ·
| {z }
?
= 20 · 19 ·
| {z }
?
= 20 · 19 · 18 ·
| {z }
?
.
15. Ejercicio. Expresar 57! a trav´es de 53!:
57! =
16. Ejemplo. Sea a ∈ Z, a ≥ 0. Expresemos (a + 2)! a trav´es de a!:
(a + 2)! = (a + 2) ·
| {z }
?
= (a + 2)(a + 1) ·
| {z }
?
= (a2+ 3a + 2) ·
| {z }
?
.
Simplificaci´ on de algunos cocientes con factoriales
17. Calcular las siguientes expresiones:
9!
8! = 9 · 8!
8! =
| {z }
?
, 12!
11! = 7!
5! = 7 · 6 · 5!
5! = 7 · 6 =
| {z }
?
, 9!
6! =
18. Expresar los siguientes cocientes a trav´es de factoriales:
5!
5 = 5 · 4!
5 = 4!, 8!
8 = 15!
15 · 14 = 15 · 14 · 13!
15 · 14 =
| {z }
?
, 12!
12 · 11 =
Simplificaci´ on de algunos cocientes con factoriales (continuaci´ on)
19. Simplificar cocientes:
(n + 1)!
n! = n! ·
n! =
| {z }
?
n!
(n − 1)! = · n
(n − 1)! =
| {z }
?
n!
n = (n + 2)!
(n + 2) · (n + 1) =
Expresi´ on de productos de n´ umeros enteros consecutivos a trav´ es de factoriales
20. Ejemplo. Expresar el siguiente producto a trav´es de factoriales:
4 · 5 · 6 · 7.
Soluci´on. Notamos que los siguientes dos productos se escriben como ciertos factoriales:
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 =
| {z }
?
,
1 · 2 · 3 =
| {z }
?
.
Dividimos la primera igualdad entre la segunda y cancelamos los factores comunes en el lado izquierdo:
4 · 5 · 6 · 7 = 7!
3!.
Hemos logrado expresar el producto original a trav´es de factoriales.
Otra manera de escribir la misma soluci´on.
4 · 5 · 6 · 7 = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 1 · 2 · 3 = 7!
3!.
21. Ejemplo. Expresar el siguiente producto a trav´es de factoriales:
7 · 8 · 9 · 10.
Soluci´on. Primero expresamos a trav´es de factoriales los siguientes productos:
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 =
| {z }
?
,
1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 =
| {z }
?
.
Dividimos la primera igualdad entre la segunda:
7 · 8 · 9 · 10 = .
Razonando de otra manera, podemos completar el producto original hasta un factorial:
7 · 8 · 9 · 10 = · 7 · 8 · 9 · 10
= 10!
6!. Escriba los siguientes productos en forma breve usando factoriales:
22. 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 =
23. 1 · 2 · 3 · 4 =
24. 5 · 6 · 7 · 8 · 9 =
25. 6 · 7 · . . . · 13 =
26. 11 · 12 · . . . · 18 =
