Aplicar la f´ ormula recursiva dos veces o m´ as

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(1)

Factorial

1. Definici´on del factorial de un n´umero entero positivo. Dado un n´umero entero positivo n, su factorial se define como el producto de los n´umeros enteros de 1 a n. Por ejemplo,

4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

En general, podemos escribir la definici´on de n! de la siguiente manera:

n! := 1 · 2 · . . . · n.

Con la notaci´on breve para productos, n! :=

n

Y

k=1

k.

2. Calcule los factoriales de los n´umeros de 1 a 4:

1! = 1 2! = 1 · 2 =

|{z}?

3! = 1 · 2 · 3 =

|{z}

?

4! =

| {z }

?

=

| {z }

?

3. F´ormula recursiva para n!. Notamos que

4! = 1 · 2 · 3 · 4 = (1 · 2 · 3) · 4 = 3! · 4.

De manera similar, 5! =

| {z }

?

=

| {z }

?

 · 5 =

| {z }

?

· 5.

En general, n! se expresa a trav´es de (n − 1)! mediante la siguiente f´ormula:

n! = (n − 1)! n.

A veces es necesario escribir (n + 1)! en t´erminos de n!:

(n + 1)! =

| {z }

?

· (n + 1).

(2)

¿C´ omo definir el factorial del n´ umero cero?

4. Factorial de 1 (repaso). Recordemos que 1! =

|{z}

?

5. Motivaci´on para definir 0!. Ya vimos que la funci´on factorial satisface la f´ormula recursiva

(n + 1)! = (n + 1) · n!. (1)

Esta igualdad se cumple para cada n entero positivo: n = 1, 2, 3, . . ..

Vamos a definir el factorial del n´umero 0 de tal manera que la igualdad (1) se cumplir´a no solamente para n = 1, 2, 3, . . ., sino tambi´en para n = 0.

Ejercicio creativo: antes de resolver los siguientes ejercicios intente de determinar qu´e valor hay que asignar a 0! para que la igualdad (1) se cumpla para n = 0.

6. Definici´on de 0!, sugerencia m´as directa. En la f´ormula (n + 1)! = (n + 1) · n!

ponemos n = 0:

| {z }

?

=

| {z }

?

· 0!

Recordamos que 1! =

|{z}

?

y simplificamos la igualdad anterior:

| {z }

?

=

| {z }

?

· 0!.

Despeje 0!.

7. Definici´on de 0! (respuesta de los ejercicios anteriores).

0! := 1.

(3)

Definici´ on recursiva del factorial

8. Ahora podemos definir la funci´on factorial de manera m´as formal, mediante una con- dici´on inicial y una f´ormula recursiva:

0! = 1, (2)

n! = n · (n − 1)! (n = 1, 2, 3, . . .). (3) 9. Factoriales de los n´umeros de 0 a 7. Usando la definici´on anterior calcule los factoriales de los n´umeros enteros de 0 a 7:

0! =

|{z}?

1! = 1 · 0! = 1 · 1 =

|{z}?

2! = 2 · 1! = 2 · 1 =

|{z}?

3! = 3 · 2! = 3 ·

|{z}?

=

|{z}?

4! = 5! =

6! = 7! =

10. Practicamos la f´ormula recursiva con n´umeros. Aplicar la f´ormula (3) en los siguientes ejemplos, sin calcular la respuesta en la forma expl´ıcita:

67! = 67 · 66! 38! =

| {z }

?

2760! =

| {z }

?

3176! =

| {z }

?

11. Practicamos la f´ormula recursiva con variables.

Sea n ∈ Z, n ≥ 1. Recuerde c´omo se expresa n! a trav´es de (n − 1)!:

n! =

| {z }

?

(n − 1)!. (4)

Sea a ∈ Z, a ≥ 0. Aplicar la f´ormula (4) con n = a + 3, esto es, expresamos (a + 3)! a trav´es de (a + 2)!:

(a + 3)! = (a + 3) ·

| {z }

?

. Suponemos que b ∈ {5, 6, 7, . . .}. Aplicar (4) al n´umero n = b − 4:

(b − 4)! =

| {z }

?

.

(4)

Aplicar la f´ ormula recursiva dos veces o m´ as

12. Ejemplo. Expresar 13! a trav´es de 11!:

13! = 13 ·

| {z }

?

= 13 · 12 ·

| {z }

?

= 156 ·

| {z }

?

.

13. Ejercicio. Expresar 9! a trav´es de 7!:

9! = =

| {z }

?

· 7!.

14. Ejemplo. Expresar 20! a trav´es de 17!:

20! = 20 ·

| {z }

?

= 20 · 19 ·

| {z }

?

= 20 · 19 · 18 ·

| {z }

?

.

15. Ejercicio. Expresar 57! a trav´es de 53!:

57! =

16. Ejemplo. Sea a ∈ Z, a ≥ 0. Expresemos (a + 2)! a trav´es de a!:

(a + 2)! = (a + 2) ·

| {z }

?

= (a + 2)(a + 1) ·

| {z }

?

= (a2+ 3a + 2) ·

| {z }

?

.

Simplificaci´ on de algunos cocientes con factoriales

17. Calcular las siguientes expresiones:

9!

8! = 9 · 8!

8! =

| {z }

?

, 12!

11! = 7!

5! = 7 · 6 · 5!

5! = 7 · 6 =

| {z }

?

, 9!

6! =

18. Expresar los siguientes cocientes a trav´es de factoriales:

5!

5 = 5 · 4!

5 = 4!, 8!

8 = 15!

15 · 14 = 15 · 14 · 13!

15 · 14 =

| {z }

?

, 12!

12 · 11 =

(5)

Simplificaci´ on de algunos cocientes con factoriales (continuaci´ on)

19. Simplificar cocientes:

(n + 1)!

n! = n! ·

n! =

| {z }

?

n!

(n − 1)! = · n

(n − 1)! =

| {z }

?

n!

n = (n + 2)!

(n + 2) · (n + 1) =

Expresi´ on de productos de n´ umeros enteros consecutivos a trav´ es de factoriales

20. Ejemplo. Expresar el siguiente producto a trav´es de factoriales:

4 · 5 · 6 · 7.

Soluci´on. Notamos que los siguientes dos productos se escriben como ciertos factoriales:

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 =

| {z }

?

,

1 · 2 · 3 =

| {z }

?

.

Dividimos la primera igualdad entre la segunda y cancelamos los factores comunes en el lado izquierdo:

4 · 5 · 6 · 7 = 7!

3!.

Hemos logrado expresar el producto original a trav´es de factoriales.

Otra manera de escribir la misma soluci´on.

4 · 5 · 6 · 7 = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 1 · 2 · 3 = 7!

3!.

(6)

21. Ejemplo. Expresar el siguiente producto a trav´es de factoriales:

7 · 8 · 9 · 10.

Soluci´on. Primero expresamos a trav´es de factoriales los siguientes productos:

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 =

| {z }

?

,

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 =

| {z }

?

.

Dividimos la primera igualdad entre la segunda:

7 · 8 · 9 · 10 = .

Razonando de otra manera, podemos completar el producto original hasta un factorial:

7 · 8 · 9 · 10 = · 7 · 8 · 9 · 10

= 10!

6!. Escriba los siguientes productos en forma breve usando factoriales:

22. 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 =

23. 1 · 2 · 3 · 4 =

24. 5 · 6 · 7 · 8 · 9 =

25. 6 · 7 · . . . · 13 =

26. 11 · 12 · . . . · 18 =

Figure

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