Primer parcial. 3/10/2011
1. (3 puntos) La siguiente matriz representa un juego estático entre el Jugador 1 y el Jugador 2. Los números entre paréntesis representan las utilidades de los jugadores. El número a la izquierda de la coma es la utilidad del jugador 1 y el de la derecha, la utilidad del jugador 2.
Jugador 2
x1 x2 x3 x4
Jugador 1
y1 (1,-2) (2,1) (2,-2) (-1,-1)
y2 (0,0) (-1,1) (1,2) (-2,-1)
y3 (2,-1) (0,0) (2,1) (1,2)
1.1 Determine si los jugadores tienen estrategias dominadas y reduzca la matriz eliminándolas.
1.2 Determine si la matriz reducida tiene equilibrios de Nash y diga cuáles son.
1.3 Represente el juego de forma extensiva y determine el resultado por retroinducción para el caso en el que el jugador 2 juega en primer término.
2. (3 puntos) Dos ganaderos comparten un campo de pastoreo. Cada ganadero puede llevar una o dos cabezas de ganado al campo de pastoreo común. El valor que alcanza cada animal depende de cuántos animales estén pastoreando:
Número de animales Valor de cada animal
2 13
3 7
4 6
No tiene costo para el ganadero llevar el ganado al campo común.
2.1. Muestre que los ganaderos enfrentan un dilema del prisionero.
2.2. Determine la cantidad de animales que llevará al campo común cada ganadero.
2.3. Determine el óptimo social y compare con los resultados que obtuvo en el equilibrio descentralizado.
3. (4 puntos) Un inversor puede optar entre realizar una inversión de 10 o 1.000 millones de dólares. El gobierno decide qué tasa de impuestos aplicar a la inversión y puede optar entre dos niveles, 10 y 20 por ciento. La matriz de pagos es la siguiente:
Gobierno
10% 20%
Inversor 10 1,1 2,2
1.000 2,100 1,200
(Como siempre, seguimos la convención de indicar el pago o utilidad del jugador fila –
Suponga que el gobierno juega primero, es decir que el gobierno elige la tasa impositiva antes que el inversor decida el nivel de inversión.
3.1. Represente el árbol del juego.
3.2. ¿Cuál es el resultado del juego por inducción retrospectiva?
Suponga ahora que el inversor juega primero, es decir que el inversor elige la inversión antes de que el gobierno elija la tasa impositiva.
3.3. Represente el árbol del juego.
3.4. ¿Cuál es el resultado del juego por inducción retrospectiva?
Pauta de respuesta
1.1. x1 está dominada por x2. Una vez eliminada x1, analizo dominancia en lo que queda.
En principio, el jugador 2 no tiene más estrategias dominadas, pero la estrategia y2 del jugador 1 está dominada. La elimino. Ahora, la estrategia x3 está dominada por x4 . La elimino y me estoy quedando con x2, x4 y y1, y3.
1.2. Considero la matriz reducida. Si el jugador 2 elige x2, la mejor respuesta del jugador 1 es y1. Si el jugador 1 elige y1, la mejor respuesta del jugador 2 es x2. Por lo tanto, el par (y1,x2) es un equilibrio de Nash. Si el jugador 2 elige x4, la mejor respuesta del jugador 1 es y3. Si el jugador 1 elige x4, la mejor respuesta del jugador 2 es x4. Por lo tanto, el par (y3,x4) es un equilibrio de Nash.
1.3. Si J2 elige x1 la mejor respuesta de J1 es y3. Si J2 elige x2 la mejor respuesta de J1 es y1. Si J2 elige x3 la mejor respuesta de J1 es y1 o y3. Si J2 elige x4 la mejor respuesta de J1 es y3. Entre los cinco perfiles de estrategia a los que puede llevar el juego J1, J2 maximiza su utilidad jugando x4 porque obtiene 2>1>-1>-2 (2 es mayor que las utilidades que obtendría jugando las otras opciones). La solución es (x4, y3)
Jugador 2
x1 Jugador 1
y1 (1,-2)
y2 (0,0)
y3 (2,-1)
x2 Jugador 1
y1 (2,1)
y2 (-1,1)
y3 (0,0)
x3 Jugador 1
y1 (2,-2)
y2 (1,2)
y3 (2,1)
x4 Jugador 1
y1 (-1,-1)
y2 (-2,-1)
y3 (1,2)
2.1. Cada ganadero debe resolver si llevar una o dos cabezas de ganado al campo de pastoreo compartido. Esas son entonces las estrategias posibles. Falta determinar la matriz de pagos. El beneficio que obtiene el ganadero i cuando lleva una cantidad de ganado y el valor de cada animal es , es = − . Pero el valor que alcanza cada animal depende de cuántos animales estén pastando, de acuerdo al cuadro presentado en la letra del ejercicio: = + . Tenemos entonces las siguientes situaciones posibles:
+
1 1 13 13 13
1 2 7 7 14
2 1 7 14 7
2 2 6 12 12
La matriz de pagos es entonces:
Ganadero 2
1 animal 2 animales
Ganadero 1 1 animal 13,13 7,14
2 animales 14,7 12,12
Este juego tiene entonces las características de un dilema del prisionero. El pastoreo
“moderado”, es decir llevar un animal cada ganadero, equivale a no confesar y el sobrepastoreo, es decir llevar dos animales cada ganadero, equivale a confesar.
2.2. Podemos usar dos criterios para determinar las acciones preferidas:
a) Eliminación de estrategias dominadas. Cada ganadero prefiere 2 animales, haga lo que haga el otro: (i) si el ganadero 2 elige llevar un animal, el ganadero 1 gana 14 si lleva dos y gana 13 si lleva uno; (ii) si el ganadero 2 elige llevar dos animales, el ganadero 1 gana 12 si lleva dos animales y gana 7 si lleva uno.
b) Equilibrio de Nash. Mejor respuesta del ganadero 1 si el ganadero 2 decide lelvar dos animales: llevar dos animales. Mejor respuesta del ganadero 2 si el ganadero 1 decide llevar dos animales: llevar dos animales. Entonces, llevar dos animales es la mejor respuesta a la mejor respuesta del otro jugador.
2.3. El óptimo social se obtiene maximizando los beneficios conjuntamente.
Supongamos que hay un planificador central que elige la cantidad de animales que debe llevarse al campo de pastoreo común para maximizar los beneficios. Resuelve:
max ×
G V
Beneficio agregado
Ben por ganadero
2 13 26 13
3 7 21 10,5
4 6 24 12
En el óptimo social hay dos animales pastando en el campo común, el beneficio agregado es 26 y cada ganadero obtiene 13. En el equilibrio descentralizado hay cuatro animales pastando y cada ganadero obtiene 12. Por lo tanto, en el equilibrio
descentralizado hay una sobreexplotación del recurso común, es decir que hay sobrepastoreo.
3.1.
3.2. Para resolver por inducción retrospectiva, empezamos por la segunda etapa del juego. El inversor es el último en actuar en este caso. A esta altura, las tasas impositivas ya han sido fijadas. Si el gobierno hubiera elegido una tasa impositiva de 10%, entonces el inversor obtendría 1 si eligiera invertir 10 y obtendría 2 si eligiera invertir 1.000.
Entonces, esperamos que el inversor elija invertir 1.000 si el gobierno fijó la tasa de impuestos en 10%. Si en cambio el gobierno hubiera elegido una tasa impositiva de 20%, entonces el inversor obtendría 2 si eligiera invertir 10 y 1 si eligiera invertir 1.000.
Entonces, esperamos que el inversor elija invertir 10 si el gobierno fijó la tasa
impositiva en 20%. Vamos ahora a la primera etapa del juego. El gobierno sabe que si fija la tasa de impuestos en 10% el inversor va a invertir 1.000 y que si fija la tasa de impuestos en 20% el inversor va a invertir 10. En el primer caso, el gobierno obtiene un pago de 100 y en el segundo obtiene un pago de 2. Esperamos entonces que el gobierno elija una tasa impositiva de 10%. En resumen, el resultado del juego por inducción hacia atrás implica que el gobierno fija la tasa de impuestos en 10% y el inversor invierte 1.000 millones de dólares.
10
10 1.000
1.000 20%
10%
(1,1)
(2,100) (2,2)
(1,200) G
I I
3.3.
3.4. El gobierno es el último en actuar en este caso. En la segunda etapa del juego, la inversión ya se ha realizado. Si el inversor hubiera elegido una inversión de 10,
entonces el gobierno obtendría 1 si eligiera una tasa impositiva de 10% y obtendría 2 si eligiera una tasa impositiva de 20%. Entonces, esperamos que el gobierno elija una tasa de 20%, si el inversor eligió invertir 10. Si en cambio el inversor hubiera elegido una inversión de 1.000, entonces el gobierno obtendría 100 si eligiera una tasa impositiva del 10% y 200 si eligiera una tasa impositiva de 20%. Entonces, esperamos que el gobierno elija una tasa de 20%, si el inversor invirtió 1.000. Vamos ahora a la primera etapa del juego. Haciendo el razonamiento que acabamos de hacer, el inversor anticipa que el gobierno va a fijar una tasa impositiva de 20%, cualquiera sea el nivel de inversión. Dado esto, anticipa que si invierte 10, obtendrá un pago de 2 y si invierte 1.000 obtendrá un pago de 1. Por lo tanto, el inversor invierte 10 y luego el gobierno elige una tasa impositiva de 20%.
10%
10%
20%
20%
1.000 10
(1,1)
(2,2) (2,100)
(1,200) I
G G
