P (x,y,z)
Un vector tiene:
Un vector en el espacio se construye trazando un eje z
perpendicular en el origen de coordenadas X y Y.
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Vamos a indicar la siguiente notación para la recta, el plano y el espacio tridimensional
R1 a la recta real
R2 al conjunto de pares
ordena dos (x, y) de números reales
R3 conjunto de las ternas ordenadas (x, y, z) de
números reales
Colectivamente Rn donde n= 1, 2 o 3; o Rm, m= (1, 2, 3) El elemento (0, 0, 0) se llama elemento de cero de R3 El elemento (-x, -y, -z) se llama inverso aditivo de (x, y, z).
2
OPERACIONES
PRODUCTO INTERNO
*SUMA
La suma se define debida a que son ternas ordenadas de números reales. Es decir:
(x, y, z) +(x1; y1, z1) = (x+x1, y+y1, z+z1)
Es la operación que asocia un número real a cada par de elementos de R3, a lo que también se llama producto escalar, este producto combina escalares (número real) y elementos de R3 (ternas ordenadas)
De forma general
Geométricamente los vectores se pueden considerar como flechas que salen del origen
Ejemplo: (2,2,2) + (-3,2,-4)=(-1,4,-2)
Ejemplo: 3(-1,4,-2) = (-3,12,-6)
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La suma vectorial se
puede representar con los vectores V1, V2 formando el paralelogramo que tenga a V1 como un lado y a V2 como su lado adyacente. Entonces la
suma de V1+ V2 es el segmento de recta dirigido según la
diagonal del paralelogramo.
Suma vectorial geométricamente De forma general se denota
entonces
V= X(1, 0, 0)+y(0, 1, 0)+z(0, 0, 1)=Xi+Yj+Zk i al vector que termina (1, 0, 0) j al vector que termina (0, 1, 0) k al vector de extremo (0, 0, 1)
4
X Ejemplo el vector (2, 3, 2) es (2i, 3j, 2k)
Representación del vector:
Los tres planos coordenados se representan como
Los planos y los vectores son
objetos geométricos que pueden
representarse por ecuaciones.
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Producto interno
Al tener dos vectores a y b se puede hallar el ángulo entre ellos.
son dos vectores definidos en R3 el producto interno se representa como a.b a.b= a1b1+a2b2+a3b3 el producto interno de dos vectores es una cantidad escalar.
si el vector a= a₁i + a₂j + a₃k b= b₁i + b₂j + b₃k
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Propiedades del producto interno
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i + j + k i + j – k
Ejemplo: encontrar el digito entre los vectores
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Si a y b son ortogonales (vector perpendicular) a. b=0
Producto cruz
Dados dos vectores a y b, a. b se llama producto cruz de a y b nuevo vector con la propiedad geométrica de ser perpendicular al plano generado por a y b.
Inicialmente, definimos una matriz 2x2
Ejemplo:
Recordando algebra lineal
0-8=-8
En una matriz 3x3
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Ejemplo:
Sean los vectores.
Dos vectores en R3 el producto cruz axb se denota como
O simbólicamente
Tenemos.
Ejemplo (2i-j+k)(i+2j-k)
El producto cruz de dos vectores
es otro vector; llamado producto
vectorial.
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