Usamos el término proposición para referirnos al contenido de las oraciones. De este modo, dos o más oraciones diferentes que afirman lo mismo tienen el mismo significado, es decir, poseen la misma proposición.
Ejemplo 2.- Los siguientes enunciados contienen la misma proposición:
i. La suma de dos números impares es un número par.
ii. Un número par es igual a la suma de dos números impares.
Si una proposición la contrastamos con la realidad, encontraremos que su valor veritativo sólo puede ser verdadero o falso pero no ambos a la vez.
En adelante debe tenerse en cuenta que si un enunciado no es ni verdadero ni falso entonces no es una proposición.
Ejemplo 3.- Indicar la veracidad con V y falsedad con F de cada proposición:
i. El pisco es peruano. (V)
ii. Machu Picchu fue construido por los mayas. (F)
Las proposiciones, a diferencia de las oraciones, son independientes del lenguaje.
Ejemplo 4.- Las siguientes son oraciones en distintos lenguajes:
i. Yo estoy en la universidad.
ii. I am in the university.
Ambas oraciones o enunciados tienen el mismo significado y por lo tanto expresan una misma propo- sición.
11.1.2 Clases de proposiciones
11.1.2A. Proposición simple (P.S)
Es aquella proposición que contiene una sola afirmación.
Toda proposición simple, o proposición atómica, se puede representar mediante una letra en cuyo caso ésta se llama variable proposicional. Las letras que más se usan como variable proposicional son las últimas del abecedario: p, q, r, s, etc.
Ejemplo.- Las siguientes son proposiciones simples:
i. Daniel es un niño honesto: p ii. Rocío estudia con sus mejores amigas: q
iii. Marlon es ingeniero: r
iv.4 96: s
11.1.2B. Proposición compuesta
Una proposición compuesta, P.C, llamada también proposición molecular, es aquella que está for- mada por dos o más proposiciones simples o es la negación de una proposición simple.
En toda proposición compuesta las proposiciones simples están ligadas mediante algunas palabras conocidas como conectivos lógicos.
11.1.1 Definiciones fundamentales
11.1.1A. Enunciado
Llamamos enunciado a toda expresión del lenguaje en el que se transmite un sentimiento, una infor- mación o una orden, llamados enunciado expresivo, enunciado informativo o enunciado directivo, respectivamente.
Ejemplo.- Las siguientes oraciones son enunciados:
a) Te extraño. . . . (*) Enunciado expresivo b) Ximena viene de viaje. . . . (*) Enunciado informativo c) Cierre la puerta por favor. . . . (*) Enunciado directivo 11.1.1B. Proposición
Se llama proposición a todo enunciado de tipo informativo que puede ser calificada como verdadera o falsa.
La verdad (V) o falsedad (F) de una proposición se llama valor veritativo, o valor de verdad, que se obtiene al ser contrastada con la realidad. Las proposiciones se caracterizan porque pueden expresarse en forma de oraciones o de relaciones matemáticas.
Ejemplo 1.- Son proposiciones:
a) La semana tiene siete días.
b) 4 + 3 < 8
c) El cuadrado de todo número real es positivo.
La lógica es la ciencia que permite distinguir un buen razonamiento de uno malo.
Existe íntima relación entre la lógica y la informáti- ca debido al isomorfismo (igual forma) que se pre- senta entre los conectores lógicos y los circuitos eléctricos.
El estudio de estas relaciones ha permitido cons- truir el lenguaje de programación y los sistemas electrónicos digitales.
Obsérvese que al negar una proposición se cambia su valor de verdad. En adelante utilizaremos un esquema en el que se muestran los dos posibles valores de verdad de una proposición:
Ejemplo.- Neguemos las siguientes proposiciones:
a) Junior es cantante: p
Junior no es cantante: ~p b) A Rocío le gusta pintar: q
A Rocío no le gusta pintar: ~q c) Todos los insectos son invertebrados: r
Algún insecto es invertebrado: ~r 11.1.4B. Conjunción
Dos proposiciones « p» y « q» vinculadas por el conectivo , forman una proposición compuesta llamada conjunción, denotada por: p q.
La conjunción p q, se lee: « p y q»
Una conjunción sólo es verdadera si ambas proposiciones son verdaderas. Para poder establecer las diferentes combinaciones de verdad o falsedad de ambas proposiciones se recurre a un diagrama lla- mado « tabla de verdad» que describiremos más adelante.
Ejemplos.- Las siguientes proposiciones son conjunciones:
i. Tanto Newton como Gaüss fueron matemáticos.
Es una proposición verdadera porque:
Newton fue matemático y Gaüss fue matemático
: V : V
p q
Y según la tabla de verdad: V V = V ii.18 es múltiplo de 3 y 7:
Esta proposición es equivalente a:
18 es múltiplo de 3 y 18 es múltiplo de 7
: V : F
p q
Y según la tabla de verdad: V F = F
Por consiguiente la proposición original es falsa.
11.1.3 Conectivos lógicos
Un conectivo lógico, llamado también conector lógico, es una palabra que sirve para ligar dos propo- siciones o para negar una proposición.
Los conectivos pueden ser de dos tipos:
a) Monádicos: Si anteceden una proposición: «no...»
b) Diádicos: Si ligan dos proposiciones: «y», «o», «entonces», «si y sólo si», etc.
Símbolo
Es importante recordar el tipo de conectivo lógico y las traducciones verbales que suelen emplearse para ellas. Cuando convertimos una proposición compuesta en forma simbólica, la expresión obtenida se llama fórmula proposicional.
En una fórmula proposicional las proposiciones están representadas mediante variables proposionales mientras que las palabras de enlace o conectivos lógicos están representados por los símbolos de la lista anterior.
Ejemplo.- La siguiente es una fórmula proposicional:
pq
pq
rLa tarea que tenemos ahora es saber expresar una proposición compuesta mediante una fórmula propo- sicional.
11.1.4 Clases de proposiciones compuestas
11.1.4A. Negación
La negación es un tipo de proposición compuesta en la que se afirma que algo no existe, que no es verdad, o que no es como alguien cree o afirma.
Si «p» representa una proposición, entonces para negarla se le antecede el conector negador (~), quedando: ~p.
No, nunca, jamás, no es cierto que, es mentira que, no ocurre que, es falso que, es imposible que, ni, ... etc.
Y, sin embargo, además, pero, también, no obstante, así como, del mismo modo, de la misma manera, aún cuando, mas, y, etc O, o sino, o bien, o también, o de lo contrario, y/o, salvo que, a menos que, excepto que, a no ser que, ... etc.
O .., o ....; o (en sentido excluyente), o bien … o bien, solamente si, únicamente, excepto que solo, no es equivalente a.
Si ..., entonces ...; como, cuando … entonces ..., porque, o una simple «coma».
Si, y sólo si; cuando y sólo cuando, porque y solamente si, es equi- valente, es igual que, es condición necesaria y suficiente.
11.1.4E. Condicional
Dos proposiciones «p» y « q», vinculadas por el conectivo , forman una proposición compuesta llamada condicional, denotada por p q.
En la condicional p q, «p» se llama antecedente y « q» consecuente, y se lee: «Si p entonces q ».
Una proposición condicional es falsa sólo si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.
Ejemplos.- Las siguientes son proposiciones condicionales:
i. Si Lima está en Perú, entonces 3 – (-5) = -8.
Es una proposición falsa porque:
Si Lima está en Perú entonces 3 (-5) - 8
: V : F
p q
Y según la tabla: V F = F
ii. Si Madrid está en España, entonces 4 + 4 = 8.
Es una proposición verdadera porque:
Si Madrid está en España entonces 4 4 8
: V : V
p q
Según la tabla de verdad: V V = V 11.1.4F. Bicondicional
Dos proposiciones «p» y « q», vinculadas por el conectivo ,forman una proposición compuesta llamada bicondicional, denotada por p q.
Una bicondicional es verdadera sólo si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
La bicondicional p q, se lee: « p si, y sólo, q »
Ejemplo.- La siguiente es una proposición bicondicional:
Trujillo está en La Libertad si, y sólo si, 6 + 7 = 14.
Es una proposición falsa porque: Trujillo está en La Libertad : V
p
, si y sólo si 6713 : F q Según la tabla de verdad: V F = F
Obsérvese que el número de combinaciones posibles de «V» y «F» está dado por 2n, donde «n» es el nú- mero de proposiciones enlazadas. En este último ejemplo n = 2, luego se tiene: 22 = 4 combinaciones.
11.1.4C. Disyunción
Dos proposiciones «p» y « q» vinculadas por el conectivo ,forman una proposición compuesta llamada disyunción, denotada por: p q.
La disyunción p q, se lee « p o q».
Una disyunción sólo es falsa si ambas proposiciones son falsas. Todas las demás opciones se muestran en la siguiente tabla:
El disyuntor, o inclusor, es un término que sugiere quedarnos con una de las dos proposiciones o con ambas, por ello la disyunción es verdadera cuando al menos una de las proposiciones es verdadera.
Ejemplo.- La siguiente es una disyunción: 72 = 6 . 11 ó 72 > 50 Es un proposición falsa porque:
72 6 11 ó 7 > 502
: F : F
p q
Según la tabla de verdad: F F = F 11.1.4D. Disyunción fuerte
Dos proposiciones « p » y « q» vinculadas por el conectivo , forman una proposición compuesta llamada disyunción fuerte, denotada por: p q.
La disyunción fuerte p q, se lee: « O p o q»
Una disyunción fuerte sólo es verdadera si una de las proposiciones es verdadera. Todas las demás opciones se muestran en la siguiente tabla:
Al disyuntor fuerte, llamado también exclusor, se le reconoce porque el término sugiere que la verdad o falsedad de una proposición es incompatible con la verdad o falsedad de otro, respectivamente; es decir, o el uno o el otro, pero no los dos a la vez.
Ejemplo.- Determinemos el valor veritativo de la siguiente disyunción fuerte:
O Maradona es argentino o (-7)2 > 50
Es un proposición verdadera porque:
2
O Maradona es argentino o (-7) >50
: V : F
p q
Según la tabla de verdad: V F = V
Obsérvese que el análisis se ha realizado de arriba hacia abajo. Esto se hace, generalmente, cuando se conocen los valores de verdad de cada proposición.
Ejemplo 4.- Determinar el valor de verdad de « p» si el siguiente enunciado:
pq ( r s), es falso.
Siendo F, V y F los valores de verdad de q, r y s respectivamente.
Primero anotamos los valores de verdad conocidos. Luego se analiza desde la derecha y hacia abajo, por ser el sector conocido. Finalmente se sigue hacia la izquierda y hacia arriba:
( ) ( )
? F V F
F
p q r s
( ) ( )
? F V F
F F V V
F F
p q r s
Obsérvese, en el esquema de la izquierda, que los valores desconocidos para y
deben ser V y F respectivamente puesto que esa es la única forma como la implicación resulta falsa.Por lo tanto el valor de verdad que le corresponde a «p» es FALSO.
11.1.5B. Tablas de verdad
Una tabla de verdad es una forma concisa de mostrar la relación entre el valor de verdad de una proposición compuesta y los valores de verdad de sus variables.
Este método se aplica cuando no sabemos el valor de verdad de las proposiciones simples que están presentes en una proposición compuesta y se procede así:
1ro. Se elabora un recuadro dividido en filas y columnas.
2do. En la parte superior se anota la proposición molecular que se analizará asignándose una columna por cada variable.
3ro. El número de filas viene dado por 2n, siendo «n» el número de variables proposicionales diferentes.
4to. En la 1ra columna, y en 2n/2 filas, se anotan valores de verdad Verdadero y en las siguientes 2n/2 filas valores de verdad Falso.
5to. En la 2da y sucesivas columnas se anotan valores de verdad, por mitades alternadas de las inmedia- tamente anteriores, hasta que se logren alternar valores de verdad verdadero y falso consecutivamente en la columna de la última variable.
6to. En cada fila de valores se evalúan los grupos de proposiciones componentes.
El proceso se inicia desde los signos de colección más interiores y concluye en la columna correspon- diente al conectivo de mayor jerarquía.
La columna final de valores de verdad debajo del operador de mayor jerarquía se llama matriz principal o característica tabular.
11.1.5 Evaluación de proposiciones
Llamaremos evaluación de proposiciones al proceso que se sigue para establecer el valor veritativo de una proposición simple o de una proposición compuesta.
Existen dos procedimientos de evaluación de proposiciones lógicas que llamaremos: Método abrevia- do y Tablas de verdad.
11.1.5A. Método abreviado
Este método se aplica cuando conocemos el valor de verdad de las variables de una proposición compuesta y se procede así:
1ro. Se anota debajo de cada variable su correspondiente valor de verdad conocido.
2do. Se aplican las reglas de verdad establecidas para los conectores lógicos según sus respectivas tablas de verdad, y desde los signos de colección más interiores en estricto orden de jerarquía.
Los conectores vistos aquí verifican el siguiente orden de jerarquía descendente: , , , , , ~.
Ejemplo 1.- Determinar el valor de verdad del siguiente enunciado:
Si 83-274, entonces 5 + 8 = 12.
Luego de identificar las proposiciones simples aplicamos las reglas del método abreviado:
8 3-27 4 5 8 12
F F
Por lo tanto la proposición dada es VERDADERA.
Ejemplo 2.- Determinar el valor de verdad de: No es verdad que 9 + 72 = 58 o que 36 1 7. Luego de identificar las proposiciones simples aplicamos las reglas del método abreviado:
9 72 58 36 1 7
V V F
V Por lo tanto la proposición dada es VERDADERA.
Ejemplo 3.- Sabiendo que los valores de verdad para «p», « q » y « r » son F, V y F, respectivamente, determinar el valor de verdad de: (p q) ~(q r).
Trabajando con los valores de verdad dados empezamos desde el interior de los paréntesis y de arriba hacia abajo:
( ) ( )
F V V F
V F
V V
p q q r
Por lo tanto la proposición dada es VERDADERA.
11.1.6 Principales resultados
11.1.6A. Tautología
Si la matriz principal contiene sólo valores de verdad verdaderos. Esto significa que la proposición será siempre verdadera cualquiera que sean sus proposiciones componentes y cualquiera sea el valor de verdad que se le atribuya a sus variables.
11.1.6B. Contradicción
Si la matriz principal contiene sólo valores de verdad falsos. Esto significa que la proposición será siempre falsa cualquiera que sean sus proposiciones componentes y valores de verdad.
11.1.6C. Contingencia
Si la matriz principal contiene valores de verdad verdaderos y falsos.
Ejemplos.- Determinar el resultado de las siguientes proposiciones:
a) (p q) (~p q)
En este caso el conectivo de mayor jerarquía es el condicional:
Se trata de
una .
tautología
b) (p ~q) (~p q)
Como en el caso anterior el conectivo de mayor jerarquía es el condicional, luego procedemos así:
Es una .
contingencia
c) (p ~q) (~p q)
En este caso el conectivo de mayor jerarquía es el bicondicional, luego procedemos así:
Es una .
contradicción Ejemplo 1.- Mostrar la tabla de verdad de la proposición: ~(p ~q)
Por tratarse de sólo dos proposiciones diferentes elaboraremos una tabla con 22 = 4 filas. Veamos:
El proceso se inicia preparando los términos que contiene la proposición compuesta.
En el paso «1» se ha efectuado la negación de « q».
En el paso «2» se ha efectuado la condicional de p y ~q.
En el paso «3» se ha determinado la negación de (p ~q).
La operación se lleva a cabo con cada una de las filas y con cada uno de los conectivos lógicos.
Obsérvese que, en este ejemplo, el análisis se ha hecho de izquierda a derecha.
Ejemplo 2.- Mostrar la tabla de verdad de la proposición:
(p q) ~p
Como en el ejemplo anterior y, por tratarse de dos proposi- ciones, elaboramos la tabla con cuatro filas:
Descripción:
En «1» se ha efectuado la disyunción fuerte de p y q: p q.
En «2» se ha efectuado la negación de « p».
En «3» se ha determinado la implicación de (p q) ~p
Ejemplo 3.- Mostrar la tabla de verdad de la proposición: (p q) ~(p q)
Para este ejemplo procederemos de otro modo. Empezaremos determinando el resultado de cada paréntesis y terminaremos con el análisis de la bicondicional ubicada en la parte central. Veamos:
La matriz principal viene indicada por la columna de valores ubicada debajo del doble implicador.
d. ~V F ... ( ) e. F ~V ... ( ) Método abreviado
08.- Efectuar las siguientes expresiones anotando los resultados parciales y el valor de verdad de toda la expresión debajo de cada llave:
a.
V F V V
b.
V F V F
c.
V V F F
d.
F F V V
09.- Efectuando las expresiones indicadas, se pide ano- tar los resultados de cada paso y el resultado final:
a.
V F F F
( ) ( )
b.
F V V V
( ) ( )
c.
F F V V
( ) ( )
10.- Analizar la expresión dada y anotar el valor de verdad que debe tener la proposición «p» en cada caso, si:
q = V , r = F , s = F a. (p q) r , es verdadero
...
b. (r q) p , es falso
...
c. (p s) r , es verdadero
...
11.- Completar las siguientes tablas de verdad y anotar el resultado principal:
a. p q (p q) (p q)
b. p q (p q) (p q)
c. p q (~p q) (p q) 01.- Indica con E, D o I si el enunciado es expresivo,
directivo o informativo, respectivamente:
a. ¡Atención! ( )
b. ¿Qué hora es? ( )
c. Hoy es viernes ( )
d. Prohibido fumar ( )
02.- Indica con P o NP si la oración es o no, respectiva- mente, una proposición.
a. Sí se puede. ( )
b. Los insectos son ovíparos. ( )
c. La gioconda baila reague. ( )
d. El Perú es una monarquía. ( )
03.- Apelando a tu bagaje cultural anota el valor de ver- dad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
a. 2 + 32 = 11 ( )
b. Los mayas reinaron en México. ( )
c. Existen 3 800 variedades de papa. ( ) d. El Huáscar fue piloteado por Grau. ( ) 04.- Identifica las proposiciones simples y el conectivo lógico de cada proposición compuesta. A continuación expresa la proposición dada en forma simbólica según el ejemplo mostrado:
Si hoy llueve entonces mañana sale el sol . p q
a. Luis va al colegio o a la universidad.
...
b. 2x – 4 = 8 a menos que -x2 < -1.
...
c. Es falso que (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. ...
d. La bisectriz y la altura son líneas notables.
...
e. Claudia aprobará matemática siempre y cuando re- suelva sus ejercicios.
...
f. 32 = 9 del mismo modo que 3-2 = 9-1. ...
05.- Escribe al menos dos formas de negar cada una de las siguientes proposiciones:
a. Luis va al colegio.
...
...
b. 2x – 4 = 8
...
...
06.- Si V y F son los valores de verdad y falsedad, anota el valor de verdad resultante de cada expresión:
a. F F ( )
b. F V ( )
c. F F ( )
d. F F ( )
e. V F ( )
f. ~F ( )
07.- Efectúa los cambios necesarios y determina el valor de verdad resultante de cada expresión:
a. ~V ~F ... ( ) b. V ~F ... ( ) c. ~F V ... ( )
Las proposiciones simples son aquellas que no están ligadas por algún conector lógico ni afec- tados por él.
I. Falso, porque se trata de la negación de 2 = 4.
II. Falso porque no se conoce el valor
III. «Falso» porque no se precisan los valores de x.
IV. «Verdadero» porque la proposición se pue- de descomponer de la siguiente forma:
(2 4 5) o (2 4 5)
p q
FFFV
Prob. 05 (cepre uni 07 – II)
Si «r» y «s» son proposiciones falsa y verdadera respectivamente, indicar cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas:I. (r s) r II. ~s r III. ~r s IV. ~r (r s) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y IV E) Sólo II y III
Atendiendo las condiciones del problema se tiene:
r: F y s: V
Sustituyendo los valores de verdad de cada va- riable proposisional y reduciendo según cada conectivo, se tiene:
I.
( ) (Falso)
F V F
V F
r s r
II.
~ ( Verdadero)
F F
V
s r
III. ~rs ( Verdadero)
V V
V
IV.
~ ( ) (Falso)
V F V
F F
r r s
Sólo II y III
Prob. 06
Si la siguiente proposición: (p ~q) (p r) es falsa, entonces se tiene que:
I. p q es falsa II. r q es verdadera III. ~q p es verdadera son ciertas:
A) I B) Todas C) I y II
D) I y III E) II y III
En atención a la condición del problema com- pletamos los valores de verdad de abajo hacia arriba.
( ~ ) ( ) (Falsa)
V V V F
V F
F
p q pr
Luego los valores de verdad de las variables pro- posicionales son:
p: V , q: F , r: F
Sustituyendo los valores de verdad para cada variable proposicional y reduciendo según los conectivos lógicos, se tiene:
I. ( Verdadero)
V F
V p q
Prob. 01 (UNALM 04 – II)
Determinar si es proposición o no:I. ¿Qué hora es?
II. No fumar III. 3 + 2 = 5
IV. Un número par más un número par siempre te da par.
A) FVFV B) FFVV C) FFFV
D) VVVV E) FFFF
I. No es proposición porque es un enunciado de tipo expresivo.
II. No es una proposición; es un enunciado de tipo directivo.
III. Sí es una proposición dado que es un enun- ciado de tipo informativo cuyo valor de ver- dad es verdadero.
IV. Sí es una proposición dado que es un enun- ciado de tipo informativo cuyo valor de ver- dad es verdadero.
FFVV
Prob. 02 (UNALM 05 – I)
Indicar si es verdadero o falso:
I. Es falso que el número 3 no es par ( ) II. ¡Viva el Perú! es una proposición ( ) III. x = 4; es proposición ( )
A) VFF B) VVV C) FFF
D) FFV E) VVF
I. La proposición «p: 3 no es par» es verdade- ra por lo tanto «Es falso que el número 3 no es par» es falsa.
II. Es falso porque se trata de un enunciado expresivo.
III. No es una proposición porque lo que se afir- ma no puede constrastarse con la realidad.
FFF
Prob. 03 (UNPRG 02 – I)
De la falsedad de: (~p q) r, determinar el valor de verdad de: «p», «q» y «r», en ese orden.
A) FVF B) VVF C) FFV
D) VFV E) VVV
En atención a las condiciones del problema te- nemos que:
( ~ ) (Falso)
F V F
V V
F
p q r
Podemos observar que los valores de verdad son:
p: F q: V r: F
FVF
Prob. 04 (cepre uni 06 – II)
Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados:I. 2 4, es una proposición simple.
II. 2x + 4 = 5, es una proposición simple.
III. 2x + 4 5, es una proposición compuesta.
IV. 2 + 4 5, es una proposición compuesta.
A) FFVV B) FFFV C) VFVV
D) VFVF E) FFFF
Prob. 09
Si se sabe que s t es verdadera, r s es falsa, p q es falsa, ~p r es falsa, determinar los valores de «p», «q», «r», «s» y «t».
A) VFVFF B) FVFVV C) VFFVV
D) VFVFV E) VFVVF
Según el enunciado, del problema comple- tamos los valores de verdad de abajo hacia arriba:
i)
( Verdadera)
V V
V
s t
ii) (Falsa)
V F
F pq
iii) ~ (Falsa)
F F
F p r
Luego, el valor de verdad de las variables pro- posicionales son:
p: V , q: F , r: F , s: V y t: V
VFFVV
Prob. 10 (UNMSM 05 – I)
Identifique la fórmula proposicional que corres- ponde a la siguiente inferencia:
«Si Jorge estuvo en el lugar del asalto entonces es un asaltante; pero Jorge estuvo en la universidad, por lo tanto, Jorge no es un asaltante».
A)
( pq )q
p B)
( pq )q
qC)
( pq ) q
rD)
( pq )r
pE)
( pq )r
qIdentifiquemos las proposiciones simples y asignemos una variable proposicional a cada una.
p: Jorge estuvo en el lugar del asalto q: Jorge es un asaltante
r: Jorge estuvo en la universidad
Luego la fórmula proposicional de la expresión es:
Jorge estuvo en el lugar del asalto entonces
p
es un asaltante pero Jorge estuvo en la universidad
q r
por lo tanto Jorge no es un asaltante
~q
Finalmente hemos obtenido:
(pq)r
qProb. 11 (crepre uni 06 – I)
Determine la forma más simple de:T = p (p q) Si:
A) p q B) p q C) ~p q
D) p ~q E) ~p q II. ( Verdadero )
F F
V rq
III. ~ ( Verdadero )
V V
V
q p
Todas son verdaderas
Prob. 07 (UNFV 03)
De la falsedad de: (p q) (~r t), determine los valores de verdad de las siguientes proposi- ciones:
I. (r p) (~r t) II. (q r) (r t) III. p (r t)
A) FFF B) FVV C) VFF
D) FVF E) VVF
En atención a la condición del problema descu- brimos los valores de verdad completando de abajo hacia arriba.
( ) ( ~ ) (Falsa)
V V F F
V F F
p q r t
Luego los valores de verdad de las variables pro- posicionales son:
p: V , q: V , r: V , t: F
Ahora reemplazamos en cada proposición y re- ducimos de arriba hacia abajo:
I. ( ) ( ~ )
V V F F
F V
F
r p r t
II. ( ) ( )
V V V F
V F
F q r rt
III. ( )
V V F
F F
p r t
FFF
Prob. 08
(UNMSM 05 – I) Determinar la matriz principal de la siguiente fór- mula proposicional:
p q p r p r
A) VFFFVVVV B) VVVVVVVV C) FVFVVFVF D) VVVVVFVV E) FFFFFFFF
Como no conocemos los valores de verdad de cada proposición utilizamos una tabla de verdad.
Tratándose de 3 variables proposicionales, con- sideramos 23 = 8 filas.
Asimismo, identificamos, según los signos de colección dados, que la fórmula proposicional es implicativa (), por ello procedemos así:
VFFFVVVV
Prob. 15
Dadas las premisas:
- Ninguno de los locos toca piano.
- Ningún japonés deja de tocar piano.
- Todos los estudiantes son locos.
Elabora un diagrama de Venn - Euler y establece una conclusión lógica.
Teniendo en cuenta los cuantificadores univer- sales y existenciales, que se citan en las premisas, elaboramos el siguiente diagrama:
De donde se pueden deducir las siguiente con- clusiones lógicas:
i) Ningún estudiante toca piano.
ii) Ningún estudiante es japonés.
iii) Ningún loco es japonés.
Prob. 14
Dadas las siguientes funciones proposicionales:
p(x): x2 = 16 r(x): x2 - 5 > 2 q(x): x - 4 = 8 s( x ) : x 3 0 determina el valor de la verdad de:
a)
p( 4 )q( 3 )
s( 3 ) b) p( 3 )
r( 3 )s( 1 )
Nuestra estrategia consistirá en determinar el valor de verdad de las funciones proposicio- nales para los valores indicados. A continua- ción aplicamos las reglas de los conectivos en las proposiciones dadas.
a) p(4): 42 = 16 (V), q(3): 3 - 4 = 8 (F),
s(-3): ( 3) 3 0 (V)
(4) (3) ( 3)
V F V
F F
V
p q s
p( )4 q( )3
s(- )3 es verdadero b) p(3): 32 = 16 (F), r(3): 32 - 5 > 2 (V),s(-1): ( 1) 3 0 (V)
(3)F
(3)V ( 1)V
V V
p r s
p( )3
r( )3 s(- )1
es verdaderoProb. 16
Determinar una proposición reducida y equivale a:
E
pq
qp
rt rt
Procediendo como en el ejercicio anterior, se tiene:
Negación
E pq qp r t rt
Aplicando la ley de equivalencia en la negación disyuntiva, se tiene:
complementarios
E pq qp r t r t
Aplicando la ley del complemento, se tiene:
identidad
E pq qp V
Analizando las distintas combinaciones de va- lores de verdad en la tabla mostrada, se puede concluir que esta corresponde a la negación del disyuntor débil, luego:
~ pq p q
Reemplazamos esta equivalencia en «T»:
Tp p q
Tp~ p q
T~ p ~ pq Ahora aplicamos las leyes lógicas en:
~ p~p q
De Morgan: ~
p
~p ~q
Absorción: ~
~
~
p q
p q
De Morgan:
T = ~p q
Prob. 12 (crepre uni 05 – II)
Si es un operador lógico definido mediante la siguiente tabla de verdad:Entonces al simplificar la proposición:
p ~ pq q se obtiene:
A) F B) V C) p
D) q E) p q
Dado que no conocemos el valor de verdad de cada proposición, el proceso de simplificación lo obtendremos por medio de la matriz principal de la tabla de verdad de la proposición dada:
p
~pq
q VProb. 13 (UNI 01 – I)
Simbolizar lógicamente la expresión «Juan Pérez saldrá elegido y será congresista si, y sólo si, ob- tiene apoyo en su provincia».
A) p (q r) B) (p q) r C) (p q) r D) (p q) r E) p (q r s)
Identificamos a las proposiciones simples y le asignamos una variable proposicional:
p: Juan Pérez saldrá elegido q: Juan Pérez será congresista
r: Juan Pérez obtiene apoyo en su provincia Luego la fórmula proposicional de la expresión es:
Juan Pérez saldrá elegido y será congresista
p q
sí y sólo si obtiene apoyo en su provincia r
p q
rAplicando la ley de identidad, se tiene:
Condicional Condicional
E pq qp
Aplicando la ley del condicional, se tiene:
E p q qp
Aplicando la ley asociativa, se tiene:
V q
E p p q q V q
V
Prob. 17
Simplificar la siguiente proposición:
( pq )( qp )
(q )Nuestra estrategia consistirá en aplicar las leyes lógicas atendiendo la jerarquía de los signos de colección:
( ) ( ) ( )
Condicional
p q qp q
Aplicando la ley de equivalencia en la condi- cional, se tiene:
( ) ( ) ( )
Condicional
p q q p q
Aplicando otra vez la misma ley, se tiene:
( ) ( ) ( )
Negación
p q q p q
Aplicando la ley de negación, o ley De Morgan, en la disyunción se tiene:
cos
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Idénti
p q q p q p q q
Y aplicando la ley de absorción
(pq) ( q)(~ q)
Prob. 18
Sabiendo que:
x2 a a x a, a
Se plantea: si B
x| 3 x3
, se pide es- tablecer la negación de las siguientes proposicio- nes y sus correspondientes valores de verdad:a) x B, se cumple que: x216 b) x B, tal que: 2x 3 5
Se tiene que: B = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}
a) Aplicando la regla dada, se tiene:
x216 4 x4
C.S = {-4; -3;-2; -1; 0; 1; 2; 3; 4}
De aquí descubrimos que: BC.S
es decir, todos los valores posibles de x, que pertenecen al conjunto B, satisfacen la desigual- dad dada.
x B x 5 0 es verdadero b) Despejando: 2x + 3 = 5
2x = 5 – 3
x = 1
Inspeccionando los elementos del conjunto «B»
descubrimos que al menos un valor de «x», que pertenece a «B», satisface la desigualdad.
x B 2x3 5 es verdadero
01.- Determina el valor de verdad de p, de mane- ra que las proposiciones compuestas resulten verdaderas:
I. (23 1 7) p
II.
140, 25
p III. p ( 2 3)A) FFV B) FVF C) VFV
D) FVV E) VVF
02.- Sean las proposiciones:
p: Fujimori gobernó durante 5 años.
q: Asunción es la capital de Paraguay.
r : Cervantes es el autor de «La vida es sueño».
Determina el valor de verdad de las siguientes pro- posiciones:
I) (rq)p II) (p r )(qp) III) (pq)(rq)
A) VVV B) FVV C) VVF
D) FFV E) VFV
03.- Aplicando la técnica del contra ejemplo, demues- tra la verdad o falsedad de las siguientes proposi- ciones categóricas:
a. Todos los número múltiplos de 3 son múltiplos de 6.
b. Ninguna palabra, en inglés, se escribe sin consonante.
c. 103 no es el menor número primo de tres cifras.
d. 7 meses del año poseen 31 días.
A) VVVV B) FFVV C) VVFV
D) FFVF E) VFVV
04.- Descubre el conectivo lógico en cada caso:
A) B)
A) , B) ; C) ; D) ; E) ;
05.- El valor de verdad de los operadores & y se definen según las siguientes tablas:
A) B)
V V V F V F V F F F F V
F V V V V V F F F
V F V Elabora la tabla de verdad de:p& (p q ) e indica como respuesta la matriz principal.
A) FFVF B) FVVF C) VFFV
D) FVVV E) VVVV
SUFICIENCIA DE DATOS
En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas.
a. El dato I es suficiente y el dato II no lo es.
b. El dato II es suficiente y el dato I no lo es.
c. Es necesario utilizar I y II conjuntamente.
A) FFF B) VFF C) FFV
D) VFV E) VVF
14.- Si la proposición: (pq)(r es falsa.s) Determinar el valor de verdad de p, q, r y s respec- tivamente.
A) VFVV B) VFVV C) FVVF
D) FVFV E) FVVV
15.- Si
(pq) (qr
, es verdadera de- termina los valores de verdad de:I) (pq)(qq) II)
p(qr)
p III) rtA) VVV B) VVF C) VFF
D) VFV E) faltan datos
16.- ¿Cuáles de las siguientes proposiciones es una tautología?
I) (pq)(pq) II) (pq)(pq) III) (pq)pq
A) I B) II C) III
D) I y II E) I y III
17.- Se sabe que: «Si P clasifica al mundial, jugará con A o F. Se sabe, además que P ya clasifico al mundial. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones se con- cluye necesariamente de ellas?
A) P no jugará con A, pero sí con F B) P jugará con A
C) P no jugará con F D) P jugará con A o F
E) No es cierto que P clasificó al mundial
18.- Se sabe que: «Todos los gatos son invetebrados y algunos gatos son bilingües». Entonces, se dedu- ce que:
A) Todo bilingüe es invertebrado B) Algún gato es vertebrado C) Todo gato es bilingüe
D) Algún bilingüe es invertebrado E) Ningún bilingüe es gato
19.- Si se sabe que: «Todos los adolescentes son creativos, todos los creativos son ingeniosos. Nin- gún intransigente es ingenioso». ¿Qué se concluye?
A) Todos los ingeniosos son creativos.
B) Ningún adolescente es intransigente.
C) Todos los creativos son adolescentes.
D) Ningún adolescente es ingenioso.
E) Todos los ingeniosos son adolescentes.
20.- Cuatro amigos participaron en una carrera; cuan- do se les pregunta por el resultado, se obtuvieron las siguientes respuestas:
Eduardo: «Ganó Julio»
Julio: «Ganó Víctor»
Ricardo: «Yo no gané»
Víctor: «Julio mintió, cuando dije que yo gané».
Si se sabe que en la carrera no hubo empates, y que solo uno de ellos está diciendo la verdad. ¿Quién dice la verdad?
A) Ricardo B) Víctor C) Eduardo D) Julio E) No se puede saber
21.- Si la proposición: «Marco es feliz, si estudia mucho», es verdadera, entonces se afirma que:
A) No es cierto que estudie mucho o que no sea feliz.
B) No es cierto que estudie mucho y que sea feliz.
C) No es cierto que estudie mucho y que no sea feliz.
d. Cada uno de los datos por separados es suficiente.
e. Se necesitan más datos.
06.- Determine el valor de verdad de:
[p(qr)]p Datos:
I. p y q son verdaderos II. p es verdadero
A) e B) c C) b D) d E) a
07.- Establecer el valor de verdad de
[ ( )]
p p q r
Datos:
I. p es falso y q es verdadero.
II. r es falso.
A) a B) c C) e D) d E) b
08.- Rocío realizó preguntas a sus amigos Pedro, Luis y José, obteniendo las siguientes respuestas:
Rocío sabe que uno de ellos miente siempre, otro miente sólo una vez; y el último siempre responde con la verdad. Por otro lado, si todos respondieran con la verdad, todos darían la misma respuesta.
¿Quién es el que miente siempre?
A) Pedro B) Luis C) José
C) Ninguno D) Todos 09.- Identifica la negación de:
«No es mentira que nunca dejaré de jugar fútbol».
A) Dejaré de jugar fútbol B) Algún día jugaré fútbol C) Siempre jugaré fútbol D) No jugaré fútbol
E) Algunas veces no jugaré fútbol
* Para la información dada, se plantea una premisa y se establece una conclusión. Lee cuidadosamente e identifica el razonamiento lógico correcto de las pre- guntas 11 y 12.
10.- Información:
Si un número es múltiplo de 6, entonces dicho nú- mero es múltiplo de 2.
A) 36 es múltiplo de 6. Luego, 36 es múltiplo de 3.
B) 36 es múltiplo de 2. Luego, 36 es múltiplo de 3.
C) 36 es múltiplo de 3. Luego, 36 es múltiplo de 2.
D) 36 es múltiplo de 3. Luego, 36 no es múltiplo de 6.
E) 15 no es múltiplo de 2. Luego 15 no es múltiplo de 3.
11.- Información:
Todos los arquitectos son idealistas. Los poetas son ingeniosas. Ningún ingeniero es idealista.
A) Raúl es arquitecto. Entonces Raúl no es poeta.
B) Sandra no es arquitecta, entonces no es idealista.
C) Eva es poeta, luego, Eva no es ingeniosa.
D) Luis no es ingenioso entonces es arquitecto.
E) Kate es idealista, entonces es poeta.
12.- Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. Si 1 + 1 = 3, entonces 4 + 4 = 8 II. No es verdad que 3 + 3 = 5 III. 42 = (-4)2, sí y sólo si 4 = - 4
A) VFF B) FFF C) VVV
D) VFV E) VVF
13.- Establecer los valores de verdad de las siguien- tes proposiciones:
I. 1 + 1 = 3 ó Lima está en París II. 2 < 4y -2 < -4
III. Si (-3)2 < (-2)2, entonces - 3 > -2
D) No es cierto que no estudie mucho y que sea feliz.
E) No es cierto que no estudie mucho y que no sea feliz.
22.- Simboliza la siguiente expresión:
«No es el caso que Grau fuera chileno o Bolognesi ecuatoriano, y se comunique esto a los alumnos».
Se obtiene:
A) (pq)r B) (pq)r C) (pq)r D) (pq)r 23.- Formaliza la siguiente expresión y analiza si el razonamiento es válido: «Adriana nació en Lima o Huancayo si su papá trabaja ahí, si y solo si no na- ció en Huancayo, entonces no nació en Lima».
A) [(p(rq)](q p) B) [(p(rq)](qp) C) (p r )[q(qp)]
D) [(p(qr)](rq) E) [(pr)q)(pr)
24.- ¿Cuántos conectivos lógicos conjuntivos, disyuntivos y condicionales, en ese orden, se dis- tinguen en el siguiente texto?. César tiene éxito, o es inteligente y posee gran voluntad; Eva también es inteligente, pero le falta perseverancia; Luis es un poco apático y no muy inteligente, por ello no triun- fa; en cambio, Raquel es audaz, y no se obsesiona si no tiene las cualidades para algo.
A) 5; 1 y 2 B) 4; 1 y 2 C) 4; 2 y 1 D) 8; 1 y 2 E) 6; 1 y 2
25.- ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones es equivalente a: «Si hoy sale el sol, entonces maña- na no vamos a la playa»
I. No es el caso que, hoy salga el sol y mañana vamos a la playa
II. Hoy sale el sol y mañana vamos a la playa III. Hoy no sale el sol o mañana no vamos a la playa
A) I B) I y II C) II
D) III E) I y III
26.- Si r, p y q son proposiciones lógicas con r tau- tología ¿Cuáles de las proposiciones siguientes son tautología?
I.
[(pr)(qr)](pq)
p II.
[(pq)(pq)](pq)
rIII.
[(p q r)r)] [( pr)]r
r A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III27.- Se define las siguientes proposiciones «p: la selección peruana entrena», «r: la selección argen- tina entrena» «s: la selección argentina clasifica»,
«t : la selección brasileña siempre gana»
Representa simbólicamente el siguiente texto a par- tir de dichas proposiciones:
«La selección argentina no clasifica o la selección brasileña siempre gana, porque la selección perua- na entrena y la selección argentina no entrena».
¿Cuál de las alternativas representa a dicho texto?
A) (p r) ( st) B) ( s t)(p r) C) (pr)(st) D) (pr)(st) E) (pr)(st)
03 B
11 A
04 A
12 E
20 A
05 D
13 C
21 C
06 D
14 B
22 A
15 A
23 A
24 E 02
E 01
C
10 C
19 B 09
A
17 D
25 E
18 D
26 C
27 B 07
A 08
B 16
E
