1 Período: Tercero Fecha de entrega: 20/09/2021 Fecha de recibida: 12/11/2021 Objetivos de Aprendizaje:
- Conocer el teorema de Pitágoras e identificar al tipo de triángulos que se aplica - Crear estrategias de solución de problemas haciendo uso del teorema de Pitágoras - Encontrar los valores de las razones trigonométricas para ángulos construibles.
- Reconocer y utilizar las razones trigonométricas en contextos matemáticos y no matemáticos
INTRODUCCIÓN
Antes de hablar del teorema de Pitágoras es necesario en principio saber en sí que es un teorema, para entender por qué el enunciado establecido por Pitágoras recibe este título. La palabra Teorema proviene del latín theorêma, y se considera una verdad no obvia, pero si demostrable, que surgen a raíz de propiedades intuitivas y tiene carácter exclusivamente deductivo, por lo cual se requiere de un tipo de razonamiento lógico.
El teorema de Pitágoras es de gran importancia para hacer análisis geométrico de diferentes áreas del conocimiento. Por esto la comprensión y destreza en su manejo es de vital importancia, particularmente en los fenómenos físicos. Conocer tanto a Pitágoras como a sus teorías, es algo importante para la vida cotidiana.
El teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento recae sobre la escuela pitagórica. Sin embargo, en Mesopotamia y en el antiguo Egipto ya se conocían ternas de valores que correspondían con los lados de un triángulo rectángulo y se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos, tal como se indica en unas tablillas y papiros. Los egipcios conocían el hecho de que el triangulo de lados 3, 4 y 5, llamado “triángulo egipcio”, es rectángulo, y lo usaban como escuadra para delimitar las fronteras de los linderos de las tierras.
TEOREMA DE PITAGORAS
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¿QUÉ SABES DE TRIÁNGULOS?
Un triángulo es una figura geométrica plana formada por tres segmentos que se unen en tres puntos no colineales. Estos dividen el plano en tres subconjuntos: el interior del triángulo, el exterior del triángulo y el mismo triángulo.
En un triángulo se identifican los siguientes elementos
❖ Vértices: son los puntos de intersección. Se nombran con letras mayúsculas
❖ Lados: son los segmentos determinados por dos vértices. Se nombran con la misma letra del vértice opuesto, en minúscula.
❖ Ángulos interiores: son los que forman dos lados consecutivos del triángulo. Se ubican en la región interior.
❖ Ángulos exteriores: son los ángulos adyacentes a los ángulos interiores
En la siguiente figura ubica cada uno de los elementos del triangulo
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Clasificación de los triángulos
Los triángulos se pueden clasificar según la medida de sus lados y la medida de sus ángulos
❖ Según la medida de sus lados
Relaciona con una línea cada clase de triangulo con su definición y realiza un dibujo del mismo
Dibujo Clase de triangulo
Definición
Equilátero
Dos de sus lados tienen la misma medida
Isósceles
Todos sus lados tienen diferente medida
Escaleno
Todos sus lados tienen la misma medida
❖ Según la medida de sus ángulos
Relaciona con una línea cada clase de triangulo con su definición y realiza un dibujo del mismo
Dibujo Clase de triangulo Definición
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Acutángulo
Tiene un ángulo recto y dos agudos
Obtusángulo Tiene un ángulo obtuso y
dos agudos
Rectángulo Todos sus ángulos son
agudos
¡OBSERVO, LEO Y APRENDO!
Triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo es aquél en el que uno de sus tres ángulos mide 90°, es decir, es un ángulo recto. Está claro que, si uno de los ángulos es recto, ninguno de los otros dos puede serlo, pues deben sumar entre los tres 180°.
En los triángulos rectángulos se distinguen unos lados de otros. Así, al lado mayor de los tres y opuesto al ángulo de 90°
se le llama hipotenusa, y a los otros dos lados catetos.
Teorema de Pitágoras
El Teorema de Pitágoras dice que: <<En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos>>
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Si lo expresamos de forma geométrica, el Teorema de Pitágoras quiere decir que el área de un cuadrado de lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de otros dos cuadrados cuyos lados son cada uno de los catetos
respectivamente. Existen muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras, como ésta:
Si se conocen las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo rectángulo, se puede encontrar la longitud del tercer lado utilizando el teorema de Pitágoras.
Utilidad del Teorema de Pitágoras
❖ Para determinar medidas indirectamente:
Algunas longitudes no se pueden medir directamente con instrumentos; por ejemplo, alturas muy elevadas o lugares inaccesibles. Por eso se dice que son medidas indirectas. En esos casos, se pueden utilizar relaciones como el teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
En la Figura, la torre está situada formando un ángulo recto con los extremos del lago. En este caso, se puede utilizar el teorema de Pitágoras para hallar la medida a del largo del lago.
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Entonces, el largo del lago mide 50 m
❖ Reconocimiento de triángulos rectángulos:
Un triángulo de lados conocidos a, b, c es rectángulo si cumple el teorema de Pitágoras.
Para saber si un triángulo es rectángulo, se pueden hacer dos cosas:
1. Se miden sus ángulos con un transportador para comprobar si alguno de ellos es recto. Al medir los ángulos del triángulo de la Figura, se comprueba que ∢𝐴 mide 90° y, por tanto, el triángulo es rectángulo
2. Si se conoce la medida de sus lados, o se pueden medir, basta comprobar si cumplen o no con el teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
Observa cómo se justifica que el ΔABC de la Figura es rectángulo
c
7 En el triángulo ABC la hipotenusa mide 13 cm, y los catetos miden 5 cm y 12 cm, respectivamente. Se
comprueba si se cumple el teorema de Pitágoras así:
❖ Cálculo de distancias:
El teorema de Pitágoras permite calcular la distancia entre dos puntos que son vértices de un triángulo rectángulo o que tienen alguna relación con él.
Ejemplo:
El dormitorio de Pablo es rectangular, y sus lados miden 3 m y 4 m. Se decidió dividirlo en dos con una cortina que une dos esquinas opuestas (Figura). Para determinar cuánto mide la cortina, se procede así:
La diagonal y los lados del dormitorio forman un triángulo rectángulo en el que la diagonal es la hipotenusa.
Por el teorema de Pitágoras
𝑐2 = 32 + 42
𝑐2 = 9 + 16 = 24 ⟹ 𝑐 = √25 = 5
Por lo tanto, la cortina mide 5 m.
ACTIVIDADES DE APLICACIÓN Y DEMOSTRACIÓN
8 1. Marca con una equis (x) las medidas que corresponden a los lados de un triángulo rectángulo. a. ___ 18 𝑐𝑚, 24
𝑐𝑚 𝑦 30 𝑐𝑚
b. ___ 11 𝑐𝑚, 13 𝑐𝑚 𝑦 15 𝑐𝑚 c. ___ 1 𝑐𝑚, 1 𝑐𝑚 𝑦 √2 𝑐𝑚 d. ___ 2 𝑐𝑚, 2√3 𝑐𝑚 𝑦 4 𝑐𝑚
2. Desde un mismo aeropuerto salen dos aviones. El primero se dirige hacia el occidente y el segundo hacia el sur.
¿Qué distancia ha recorrido el primer avión, si el segundo se ha desplazado 800 km y se encuentra a una distancia de 1.580 km del primer avión?
3. Para extinguir un incendio forestal, los bomberos planean clarificar un cortafuegos rectangular alrededor del fuego, como se muestra en la siguiente figura. Las cuadrillas están equipadas con comunicaciones móviles que tienen un alcance de 3.000 yardas (yd). ¿Las cuadrillas en los puntos A y B permanecen en contacto por radio?
¿QUÉ SABES DE TRIGONOMETRÍA?
La trigonometría es vista por los estudiantes como una parte de las matemáticas creadas para mortificarles la vida y utilizar un montón de fórmulas que
supuestamente no se usan en la vida “real”, parte de esta creencia es debido a que no se entiende qué es lo que trabaja la trigonometría y a que se refiere con seno, coseno y demás razones. En este objeto de aprendizaje
trabajaremos esto para que por fin logremos ver que la trigonometría no es tan lejana ni difícil como la han hecho parecer.
Recordemos lo visto en la guía anterior:
Responde las siguientes preguntas:
1.000 yd
2 . 4 00 yd
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¡OBSERVO, LEO Y APRENDO!
Llamamos ángulos notables a los ángulos de 300, 450 y 600, o en su
equivalente en radianes , respectivamente.
Para obtener los valores exactos de las funciones trigonométricas de estos ángulos, se adoptan 2 triángulos que por conveniencia y facilidad tiene las siguientes dimensiones.
Razones trigonométricas para ángulos de 30° y 60°
Antes de encontrar el valor para las funciones trigonométricas de los ángulos notables de 30° y 60°, vamos a originar dichos ángulos a partir de un triángulo equilátero. El triángulo equilátero que requerimos es aquel cuyos tres lados tienen una longitud de 1 unidad; además, cada uno de sus ángulos mide 60° (como siempre es el caso en un triángulo equilátero).
Ya que se tiene el triángulo equilátero, de éste se formarán dos triángulos a partir de su altura. Estos nuevos triángulos estarán compuestos por un ángulo de 30° y 60°. Finalmente, para obtener el valor de una relación trigonométrica, ya sea para 30° o 60°, sólo hay que utilizar sus
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Razones trigonométricas del ángulo de 45°
Para encontrar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo notable de 45° utilizaremos un triángulo rectángulo isósceles. En dicho triángulo, se cumple que dos de sus lados tienen la misma longitud, digamos xx.
12 que los triángulos isósceles siempre tienen dos ángulos idénticos).
Por conveniencia asignaremos a la hipotenusa el valor de 11 unidad. A continuación, podemos utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud de sus catetos. Finalmente, para obtener el valor de las funciones trigonométricas solo hay que utilizar sus definiciones.
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ACTIVIDADES DE APLICACIÓN Y DEMOSTRACIÓN 1. Determina la medida de la altura del triángulo ABC de la siguiente figura.
2. Calcula el valor de cada expresión.
14 b. tan45° - (cos60° + sen30°)
c.
3. Una escalera situada a 4,33 m de altura formando un ángulo de 60° con el piso. ¿Cuál es la longitud de la escalera?
EVALÚO MI PROCESO
a. ¿Aprendiste el tema?
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b. ¿Comprendiste las explicaciones y conceptos?
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c. ¿Las actividades fueron fáciles de resolver?
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d. ¿Qué se puede mejorar para la siguiente guía?
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