Lección 17:
Polígonos básicos
Un polígono es una figura cerrada formada por segmentos
de recta que no se cruzan entre sí. Los segmentos se llaman
lados del polígono. Los polígonos pueden ser convexos, como
los primeros cinco de la siguiente figura, o no convexos,
como los últimos dos, (observe que en estos últimos se pueden encontrar puntos que si se unen con un segmento, éste no queda totalmente en el interior del polígono, cosa que no sucede en los convexos). En este libro, cuando hablemos de polígonos nos referiremos exclusivamente a los polígonos convexos.
Triángulos
Los triángulos tienen tres lados y, como su nombre lo indica, tres ángulos. En un triángulo, todos los lados pueden ser congruentes (es decir, tener la misma medida), en cuyo caso decimos que el triángulo es equilátero. Si dos de los lados
son congruentes y el tercero es diferente, decimos que el triángulo es isósceles. Si los tres lados son diferentes entre
sí, decimos que el triángulo es escaleno.
Consideremos ahora los ángulos que forman los tres lados de un triángulo. Si el triángulo es equilátero, también los tres ángulos miden lo mismo: todos miden 60º. Si el triángulo es isósceles, dos de los ángulos miden lo mismo y el tercero es diferente: los que miden lo mismo son los que se forman con cada uno de los lados congruentes y el tercer lado. Si el triángulo es escaleno, los tres ángulos tienen distinta medida. Sea como fuere el triángulo, siempre es cierto lo siguiente: la suma de los ángulos de un triángulo es igual a 180º.
Un tipo particular de triángulo es el triángulo rectángulo,
que se caracteriza porque uno de sus ángulos es recto. Los lados de un triángulo así reciben nombres específicos: los dos que forman el ángulo recto se denominan catetos y
el tercero, que es siempre el más grande, se denomina
hipotenusa. Un triángulo rectángulo puede
ser isósceles o escaleno.
triángulo equilatero triángulo isósceles triángulo escaleno
catetos
triángulo se puede trazar con regla y compás de la siguiente manera:
1. Se traza un segmento de la longitud de uno de los lados. 2. Con la apertura del compás del tamaño de otro lado,
se coloca la punta de metal en un extremo del segmento trazado y se traza un arco.
3. Con la apertura del compás del tamaño del tercer lado, se coloca la punta de metal en el otro extremo del segmento y se traza un arco, que se cruce con el otro. 4. Se traza con la regla un segmento desde cada uno de
los extremos del segmento inicial hasta el cruce de los dos arcos.
a) Trace triángulos con las siguientes medidas:
• 10 cm., 8 cm. y 6 cm. • 7 cm., 12 cm. y 7 cm. • 9 cm., 5 cm. y 10 cm. • 12 cm., 7 cm. y 7 cm. b) ¿Cómo es el primer triángulo trazado?
c) ¿Cómo son los últimos dos triángulos trazados?
a) Realice la siguiente construcción:
1. Trace un círculo y marque un punto cualquiera sobre la circunferencia; llámelo A.
2. Con la misma apertura de compás, coloque la punta de metal sobre el punto A y marque otro punto sobre la circunferencia; llámelo B.
3. Repita el paso 2 cuatro veces más, poniendo cada vez la punta de metal sobre el punto anterior; llame a los nuevos puntos C, D, E y F.
4. Trace el triángulo ACE y el triángulo BDF. b) ¿Cómo son los triángulos trazados?
a) ¿Puede haber un triángulo con dos ángulos rectos? ¿Por qué? b) ¿Puede haber un triángulo rectángulo equilátero? ¿Por qué? c) ¿Cuánto miden los ángulos de un triángulo rectángulo
isósceles?
Cuadriláteros
Un c u a d r i l á t e r o es un polígono formado por cuatro segmentos
podemos hablar de las diagonales de un cuadrilátero: son
los segmentos que unen vértices opuestos. Algunos de los cuadriláteros más notables y sus propiedades son los siguientes: Un rectángulo es un cuadrilátero
cuyos ángulos miden 90º. Los lados opuestos de un rectángulo son congruentes. Sus diagonales son congruentes y se cruzan en su punto medio.
Un rombo es un cuadrilátero cuyos
cuatro lados son congruentes. Los ángulos opuestos de un rombo miden lo mismo. Sus diagonales se cruzan en su punto medio y además son perpendiculares.
Un cuadrado es un cuadrilátero cuyos
cuatro lados son congruentes y
cuyos ángulos miden 90º. Observe que esto quiere decir que el cuadrado es un rectángulo que además es rombo (o un rombo que además es rectángulo). Por esta razón, sus diagonales son
congruentes, se cruzan en su punto medio y son perpendiculares.
Los tres cuadriláteros recién vistos poseen otra característica en común: los lados opuestos son paralelos. Por esta razón se llaman paralelogramos. Hay paralelogramos que no
son rectángulos ni rombos n i
a) ¿Qué clase de polígono es el “cuadrilátero” del box? b) ¿Qué clase de polígono es el
“diamante” de una cancha de beisbol? c) ¿Qué clase de polígono es una cancha
de volibol?
Para cada uno de los incisos de este ejercicio, recorte cuatro tiras de cartón delgado y perfórelas en ambas orillas. Únalas de dos en dos por las perforaciones utilizando una chinche de dos patas o un hilito amarrado, de tal modo que puedan girar libremente una sobre la otra. Al final una la primera con la cuarta del mismo modo. Mueva dos de las tiras y observe cómo se mueven las otras dos.
a) Utilice cuatro tiras del mismo tamaño. ¿Qué cuadriláteros se pueden formar?
b) Utilice dos tiras del mismo tamaño y otras dos, también iguales, pero distintas de las primeras. Únalas de este modo: una grande, una pequeña, una grande y una pequeña. ¿Qué cuadriláteros se pueden formar?
c) Utilice las mismas tiras del inciso anterior, pero ahora únalas así: una grande, una grande, una pequeña y una pequeña. ¿Se pueden formar los mismos cuadriláteros del inciso anterior?
Trace un rombo cuyas diagonales midan 8 cm. y 6 cm.
Polígonos de más lados
Algunos de los polígonos que tienen más de cuatro lados tienen nombres específicos, dependiendo del número de lados que tienen. Estos nombres se presentan en la siguiente tabla:
número de lados nombre del polígono
5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octágono 9 nonágono
Polígonos regulares
Un polígono regular es un polígono cuyos lados son todos
congruentes y cuyos ángulos tienen la misma medida. A continuación se muestran los primeros seis polígonos regulares.
triángulo
equilatero cuadrado pentágono
Todos los polígonos regulares pueden ser inscritos en un círculo; es decir, se puede trazar una circunferencia que
pase por todos sus vértices. Los lados del polígono forman cuerdas del círculo. Los radios de ese círculo a cada uno de los vértices forman, con los lados respectivos, triángulos isósceles, y se forman tantos triángulos de éstos como
lados tiene el polígono regular. Esto se puede ver en la siguiente figura.
Esta propiedad de los polígonos regulares permite dar una regla general para su construcción. Si queremos trazar un polígono regular de n lados, entonces:
ángulo al centro de cada triángulo.
3. Con ayuda del transportador, trazamos n ángulos con vértice en el centro del círculo y esa medida, de tal modo que los lados sean consecutivos. Llevamos cada lado (radio) hasta la circunferencia.
4. Unimos los puntos consecutivos en los que los lados d e los ángulos trazados se cruzan con la circunferencia.
¿En qué caso el triángulo que se forma con dos radios y un lado de un polígono regular es equilátero? ¿En qué caso es rectángulo?
Siga las instrucciones para la construcción de un polígono regular y construya:
a) Un cuadrado.
b) Un pentágono regular. c) Un hexágono regular.
