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TEMA 0: TRIGONOMETRÍA

0.1 MEDIDA DE ÁNGULOS:

GRADOS (DEG): El grado es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo, intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de

longitud º 360

r 2π

. Se simboliza por º. Así, la circunferencia completa mide 360º

RADIANES (RAD): El radian es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta sobre la circunferencia de este círculo un arco de longitud igual al radio. Se simboliza por Rad. Así, la circunferencia completa mide 2π Rad.

Equivalencia entre grados y radianes

Como un ángulo llano mide 180º o π radianes, un radian equivale a

π

º

180 y un grado

es equivalente a º 180

π

. Así para pasar de radianes a grados o viceversa

multiplicaremos por un factor de paso de estos.

Ejemplo 1:

Convertir a grados 4 3π

. Solo tendemos que multiplicar por el primer factor

de paso y nos queda:

4 3π

·

π

º

180 =135º

Convertir a radianes 270º. Multiplicaremos por el otro factor de paso y nos queda:

2 3 18 27 180 270 º

180 · º

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0.2 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Dado un triángulo rectángulo, podemos estudiar las razones o proporciones entre sus lados.

Seno del ángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. El coseno del ángulo es la razón entre el cateto contiguo y la hipotenusa y la tangente del ángulo es la razón entre el cateto opuesto y el cateto contiguo

hipotenusa opuesto cateto

senα=

hipotenusa contiguo cateto

cosα=

contiguo cateto

opuesto cateto

tgα=

También se pueden definir las razones inversas del seno, coseno y tangente, que se llaman , respectivamente, cosecante, secante y cotangente y son

opuesto cateto

hipotenusa ec

cos α=

contiguo cateto

hipotenusa

secα=

contiguo cateto

opuesto cateto

g cot α=

Es bastante fácil deducir las relaciones siguientes:

α = α

cos 1

sec

α = α

sen 1 ec

cos

α = α

tg 1 g

cot

α α = α

cos sen

tg

α α = α

sen cos g

cot

Ejemplo 2: En el triángulo de la figura determinar las razones trigonométricas del ángulo señalado

5 3 senα=

3 5 ec cos α=

5 4 cosα=

4 5 secα=

4 3 tgα=

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0.3 RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

La mas conocida es sen2α+cos2α =1 (Fórmula fundamental de la trigonometría)

y equivalente a esta están también 1+cotg2α =cosec2α y 1+tg2α=sec2α

Veamos de donde se deducen estas fórmulas:

Al estar trabajando con triángulos rectángulos, del teorema de Pitágoras sabemos que: (hipotenusa)2 =

(

catetoopuesto

) (

2 + catetocontiguo

)

2 Por comodidad podemos

expresar así: h2 =a2 +b2

Entonces si dividimos la expresión anterior por h2:

2 2 2 2 2

2 2 2 2

h b h a 1 h

b a h

h + = +

= Es decir: 1=sen2α+cos2α

Las otras fórmulas se deducen al dividir ésta entre sena o cosa.

0.3.1 Ángulos mayores de 360º. Ángulos negativos

Dado un ángulo α mayor que 360º, siempre es posible reducirlo a uno entre 0 y 360; para esto basta con dividir el ángulo dado entre 360 y obtendremos entonces que :

β + =

α 360º·k , donde k indica un número de vueltas y β un ángulo entre 0 y 360º.

Por ejemplo si tenemos el ángulo 2140º, dividimos entre 360º y nos queda: º

340 º 360 · 5 º

2140 = + , es decir 2140º son 5 vueltas a la circunferencia mas un

ángulo de 340º.

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0.3.2 Reducción de las razones trigonométricas al primer cuadrante

Si el ángulo es del segundo cuadrante, siempre se puede expresar como 180º - α siendo α un ángulo del primer cuadrante

Si el ángulo es del tercer

cuadrante, siempre se puede expresar como 180 + α, siendo α un ángulo del primer cuadrante.

En el caso de los ángulos del cuarto cuadrante, siempre podrán expresarse como 360 – α o también como -α.

Ejemplo3: Determinar las razones trigonométricas de -945º

En primer lugar hemos de expresarlo como un número de vueltas mas un ángulo entre 0 y -360, para ello dividimos entre 360, y queda:

) º 225 ( º 360 · 2 º

945 =− + −

− Es decir esta situado en el mismo sitio que el ángulo de

-225º, si lo pasamos a positivo nos queda: 360º-225º=135º que resulta ser del segundo cuadrante.

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2 2 º 45 sen ) º 135 ( sen ) º 945 (

sen − = = = 2

2 2 2 2 2 ) º 945 ( ec

cos − = = =

→  2 2 ) º 45 cos( ) º 135 cos( ) º 945

cos(− = =− = − → sec(−945º)=− 2

1 ) º 45 ( tg ) º 135 ( tg ) º 945 (

tg − = =− =− → cotg(−945º)=−1

Ejemplo 4: Si α es un ángulo del cuarto cuadrante y sabemos que cosα = 0'6, determinar las restantes razones trigonométricas

A partir de la fórmula fundamental, sen2α =1(0'6)2 =0'64; es decir que

entonces senα= 0'64 =±0'8. Como el ángulo está en el cuarto cuadrante tenemos que tomar la solución negativa puesto que el seno es negativo allí. Entonces:

80 ' 0

senα=− cosα=0'60 1'33

6 ' 0 8 ' 0 tgα = − =−

25 ' 1 8 ' 0 1 ec

cos =−

− =

α 1'66

6 ' 0

1

secα= = 0'75

33 ' 1

1 g

cot =−

− = α

0.4 TABLA DE RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS MÁS IMPORTANTES:

0 30º 45º 60º 90º

Sen 0 21

22 23 1

Cos 1

23 22 21 0

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0.4.1. Deducción de las razones del ángulo de 45º

Partimos de un triángulo rectángulo isósceles, es decir uno de sus ángulos es recto y dos de sus lados son iguales; evidentemente son iguales los catetos. Además la medida de los lados no es importante (es decir, si suponemos otra distinta como 2 ó 57m el problema no variará), podemos suponer que los catetos valen 1

Del teorema de Pitágoras deducimos que la hipotenusa tiene que ser 2 . h2 =12 +12 h= 2

Entonces de la definición de seno coseno y tangente y analizando el dibujo de la izquierda tenemos que:

2 1 º 45

sen =

2 2 2 2

2 =

= . Análogamente se deduce el coseno y la tangente

0.4.2. Deducción de las razones del ángulo de 30º y 60º.

Partimos de un triángulo equilátero que al tener todos los lados iguales, evidentemente, todos los ángulos también lo serán; y lo dividimos por la mitad, obteniendo así al ángulo de 30 º. Como no es importante la medida exacta de los lados,

podemos suponer que el lado vale 1 y tendremos que calcular cuanto es el valor de h. Al igual que antes, del teorema de

Pitágoras: 2 h2 12 2

1 + =

    

Despejando h se tiene que:

2 3 4 3

h= =

Aplicando ahora la definición de seno, coseno y tangente a los ángulos de este triángulo, podemos obtener sus valores, así, por ejemplo:

2 1 1 2 1 º 30

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EJERCICIOS

1.- Cambio de unidades:

a) Expresa en radianes los ángulos siguientes: 60º, 135º, 270º, 300º

b) Expresa en grados los ángulos: 4

π ,

6

π,

3 5π,

12 7π

2.- Demuestra las siguientes igualdades:

a) cotgα·secα =cosecα

b) secα−cosα=tgα·senα

c) = α

α α +

α sec

cos g cot 1 ·

sen2 2

d)

α −

α =

α α +

sen 1

cos cos

sen 1

3.- Cálculo de razones trigonométricas:

a) Calcula las razones trigonométricas de 120º, 225º, 330º, 1590º, -1230º, b) Si tgx = 2 y es del segundo cuadrante, hallar las razones trigonométricas de x. 4.- Calculadora:

a) Expresa en la forma compleja 24,22º

b) Expresa en la forma incompleja 8º54’ 6’’

c) Si senx = 0.1254 ¿cuánto puede valer al ángulo x?

d) sen(25º15')=

e) =

     π

3 5 tg

5.- Problemas:

a) El ángulo de elevación del punto más alto de una antena observado desde un punto del suelo situado a 50m de su pie, es de 30º ¿cuánto mide la antena?

b) El ángulo de elevación del punto más alto de una montaña, observado desde un punto situado en tierra es de 32º. Al aproximarnos 1000m en dirección a la montaña el nuevo ángulo de elevación es de 41º. ¿Cuál es su altura ¿

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