E.T.S. DE INGENIERÍA INFORMÁTICA

(1)

E.T.S. DE INGENIER´

IA INFORM ´

ATICA

PROGRAMA Y BOLET´IN DE PROBLEMAS de

´

ALGEBRA NUM´

ERICA

para la titulaci´on de

(2)

(3)

Programa

Tema 1: Ecuaciones no lineales.

Errores y condicionamiento en problemas numéricos. Método y algoritmo de la bisección: análisis de errores. Punto fijo e iteración funcional: convergencia y error. Análisis del método de Newton-Raphson. Un ejemplo de problema mal condicionado: ceros de un polinomio. Sucesiones de Sturm. Algoritmo de Horner. Sistemas de ecuaciones no lineales.

Tema 2: Sistemas de ecuaciones lineales.

Normas vectoriales y matriciales. Sistemas de ecuaciones lineales: número de condición. Factorización LU. Factorización de Cholesky. Métodos iterados de resolución de sistemas de ecuaciones lineales: Jacobi, Gauss-Seidel y SOR. Métodos del descenso más rápido y del gradiente conjugado.

Tema 3: Sistemas inconsistentes y sistemas indeterminados. Factorizaciones ortogonales. Interpretación matricial del método de Gram-Schmidt: factorización QR. Rotaciones y reflexiones. Transformaciones de Householder. Sistemas superdeterminados: problema de los m´ınimos cuadra-dos. Descomposición en valores singulares y seudoinversa de Penrose. Aplica-ciones: seudoinversa, rango numérico de una matriz, compresión de datos.

Tema 4: Autovalores y autovectores.

Conceptos básicos. Método interpolatorio para la obtención del polinomio caracter´ıstico. Método de la potencia simple y variantes. Cociente de Rayleigh. Sensibilidad de los autovalores en las transformaciones de semejanza: matrices normales. Teorema de Schur. Teorema espectral para matrices herm´ıticas. Caracterización de las matrices normales. Métodos iterados para la obtención de autovalores y autovectores. Algoritmo QR de Francis. Método de Jacobi para matrices reales simétricas.

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Bibliograf´ıa

[1] Burden, R.L. y Faires, J.D. Análisis Numérico (Sexta edición). Interna-cional Thomson Ed. 1998.

[2] Cobos Gavala, F.J. Algebra Num´´ erica. Apuntes disponibles en la direcci´on:

http://ma1.eii.us.es/material/alg num ii ap.pdf

[3] Golub, G.H. y Van Loan, C.F. Matrix Computations (Third edition). Johns Hopkins University Press

[4] Hager, W. Applied Numerical Linear Algebra. Ed. Prentice-Hall Interna-tional. 1988.

[5] Kincaid, D. y Cheney, W. An´alisis Num´erico. Ed. Addison-Wesley Ibe-roamericana. 1994.

[6] Noble, D. y Daniel, J.W. Algebra Lineal Aplicada. Ed. Prentice-Hall. 1989.´ [7] Watkins, D.S. Fundamentals of MATRIX Computations. John Wiley &

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1. Ecuaciones no lineales

1.1 Ejercicios resueltos

Ejercicio 1.1 Dada la ecuaci´onxex−1 = 0, se pide:

a) Estudiar gr´aficamente sus ra´ıces reales y acotarlas.

b) Aplicar el método de la bisección y acotar el error después de ocho ite-raciones.

c) Aplicar el m´etodo de Newton, hasta obtener tres cifras decimales exactas.

Soluci´on:

a) La ecuaci´on puede escribirse de la forma:

ex = 1 x

Gráficamente, se observa que existe una única solución real (intersec-ción de las dos curvas) y que esta es positiva. La demostración anal´ıtica de este hecho es la siguiente:

Parax <0:

1

x <0 y e

x _>_{0 =}_⇒ _ex₆₌ 1

x y por tanto, no existen ra´ıces negativas.

Parax >0: f(x) = xex−1 =⇒ ( f(0) = −1<0 f(+∞) = +∞>0 3

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y existe, por tanto, un número impar de ra´ıces positivas (al menos una). La función derivada f0(x) = xex +ex = (x + 1)ex sólo se anula para x =−1. Dado que, si existiese más de una ra´ız positiva, el teorema de Rolle nos asegura que la función derivada debe anularse en algún punto intermedio y hemos visto quef0(x) no se anula para ningún valor positivo de la variable, podemos asegurar que sólo existe una ra´ız real α, que esta es positiva y simple, pues f0(α)6= 0.

Dado que f(1) =e−1> 0 y f(0) =−1 <0, podemos asegurar que la ´

unica ra´ız real de la ecuaci´on se encuentra en el intervalo (0,1).

b) M´etodo de la bisecci´on:

[a1, b1] = [a, b] = [0,1] con ( f(0) =−1<0 f(1) =e−1>0 f(0.5)<0 =⇒[a2, b2] = [0.5,1] f(0.75) >0 =⇒[a3, b3] = [0.5,0.75] f(0.625) >0 =⇒[a4, b4] = [0.5,0.625] f(0.5625)<0 =⇒[a5, b5] = [0.5625,0.625] f(0.59375)>0 =⇒[a6, b6] = [0.5625,0.59375] f(0.578125)>0 =⇒[a7, b7] = [0.5625,0.578125] f(0.5703125) >0 =⇒[a8, b8] = [0.5625,0.5703125]

Tomando como aproximaci´on a la ra´ız el punto medio del intervalo

x8 = 0.56640625 =⇒ ε8 ≤

1

28 = 0.00390625 =⇒ ε8 <10

−2

Si redondeamos a las dos primeras cifras decimales, es decir, si tomamos α= 0.57, el error acumulado verifica que

ε <|0.57−0.56640625|+ 0.00390625 = 0.0075<10−2

por lo que puede asegurarse que la soluci´on de la ecuaci´on es 0.57 con las dos cifras decimales exactas.

c) _M´_{etodo de Newton:}

La f´ormula de Newton-Raphson esxn+1 =xn−

f(xn)

f0₍_x

n)

Dado que, por el apartado anterior, se conoce que la ra´ız se encuentra en el intervalo [0.5625,0.5703125] y que

(7)

1.1. Ejercicios resueltos 5 f(x) =xex₋₁ ₌_⇒    f(0.5625)<0 f(0.5703125) >0 f0(x) = (x+ 1)ex ₌_⇒ _f0₍_x₎_>₀ _∀_x_∈_[0_.₅₆₂₅_,₀_._5703125] f00(x) = (x+ 2)ex =⇒ f00(x)>0 ∀x∈[0.5625,0.5703125] la regla de Fourier nos dice quex0 = 0.5703125

Al ser positiva la segunda derivada, la primera es creciente, por lo que m´in x∈[0.5625,0.5703125]|f 0 (x)|=f0(0.5703125) = 2.74227290150047. . . es decir εn ≤ |f(xn)| m´in x∈[0.5625,0.5703125]|f 0 (x)| < |f(xn)| 2.74

obteni´endose que

x0 = 0.5703125 con ε0 < |f(x0)| 2.74 = 0.00320437856505. . . x1 = 0.56715149835900. . .con ε1 < |f(x1)| 2.74 = 0.00000827757122. . . Si redondeamos a 0.567 el error acumulado es

ε <0.00015149835900. . .+ 0.00000827757122. . . <10−3

Por lo que la soluci´on de la ecuaci´on es 0.567 con sus tres cifras decimales exactas.

Ejercicio 1.2 Probar que la ecuaci´onx2_{+ ln}_x_{= 0 s´}_{olo tiene una ra´ız real y}

hallarla, por el m´etodo de Newton, con 6 cifras decimales exactas.

Soluci´on: Si representamos las gr´aficas de las funciones y = lnx e y =−x2

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Puede observarse que s´olo existe un punto de corte entre ellas, por lo que la ecuaci´onx2_{+ ln}_x_{= 0 s´}_{olo posee una ra´ız real.}

Anal´ıticamente hay que probar que las gráficas no vuelven a cortarse en ningún otro punto, sin embargo, dado que en su dominio de definición, que es (0,+∞), lnx es creciente y−x2 decreciente, no pueden volver a cortarse.

Partiendo dex0 = 0.1 y aplicando el m´etodo de Newton, en el intervalo (0.1,1)

(no tomamos (0,1) por no estar definido el logaritmo en 0), dado por la f´ormula

xn+1 =xn− f(xn) f0₍_x n) =xn− x2 n+ lnxn 2xn+_x1_n = x 3 n+xn−xnlnxn 2x2 n+ 1

con un error, a posteriori, dado por εn≤

|f(xn)| m´in x∈(0,1) |f0(x)| = |f(xn)| 2 , obtenemos: x1 = 0.32476324441118. . . con ε1 ≤0.509593. . . x2 = 0.59809970985991. . . con ε2 ≤0.078137. . . x3 = 0.65258567248750. . . con ε3 ≤4.7239. . .·10−4 x4 = 0.65291863363348. . . con ε4 ≤9.6269. . .·10−9

Por lo que la ra´ız buscada es 0.652919 con un error

ε≤0.00000036636642. . .+ 9.6269. . .·10−9 <10−6 es decir, con las seis cifras decimales exactas.

Ejercicio 1.3 Eliminar las ra´ıces m´ultiples en la ecuaci´on x6−2x5+ 3x4−4x3+ 3x2−2x+ 1 = 0

Resolver, exactamente, la ecuaci´on resultante y comprobar la multiplicidad de cada ra´ız en la ecuaci´on original.

Soluci´on: Aplicamos el Algoritmo de Euclides para calcular el m´aximo

co-m´un divisor entre el polinomioP(x) =f0(x) =x6−2x5+3x4−4x3+3x2−2x+1

y su derivada f1(x) = 6x5−10x4+ 12x3−12x2+ 6x−2. Para ello podemos

multiplicar, previamente, f0(x) por 3 y dividir f1(x) entre 2.

3x6−6x5+ 9x4−12x3+ 9x2− 6x+ 3 |3x5−5x4+ 6x3−6x2+ 3x−1 −3x6_{+ 5}_x5₋₆_x4_{+ 6}_x3₋ ₃_x2₊ _x _x_{k −}₁ −x5+ 3x4− 6x3+ 6x2− 5x+ 3 multiplicando por 3 −3x5+ 9x4−18x3+ 18x2−15x+ 9 3x5−5x4+ 6x3− 6x2+ 3x−1 4x4−12x3+ 12x2−12x+ 8

(9)

1.1. Ejercicios resueltos 7

Por lo que (dividiendo el resto entre 4)f2(x) = x4 −3x3+ 3x2−3x+ 2.

Dividimos ahora f1(x) (dividido, previamente entre 2) entre f2(x).

3x5₋₅_x4_{+ 6}_x3₋ ₆_x2_{+ 3}_x₋₁ _|_x4 ₋₃_x3_{+ 3}_x2₋₃_x_{+ 2} −3x5_{+ 9}_x4₋ ₉_x3_{+ 9}_x2 ₋ ₆_x ₃_x_{+ 4} 4x4 ₋ ₃_x3_{+ 3}_x2₋ ₃_x₋₁ −4x4_{+ 12}_x3₋₁₂_x2_{+ 12}_x₋₈ 9x3₋ ₉_x2_{+ 9}_x₋₉ ₌_⇒ _f 3(x) = x3−x2+x−1

Dividiendo, ahora,f2(x) entre f3(x) se obtiene:

x4−3x3+ 3x2 −3x+ 2 |x3−x2+x−1 −x4+ x3− x2+ x x−2

−2x3+ 2x2 −2x+ 2 2x3−2x2 + 2x−2

0

El m´aximo com´un divisor entreP(x) y su derivada es

D(x) = x3−x2+x−1

El polinomio cuyas ra´ıces son las mismas que las de P(x), pero simples, es

Q(x) = P(x) D(x) = x6−2x5+ 3x4−4x3+ 3x2 −2x+ 1 x3₋_x2₊_x₋₁ =x 3₋_x2₊_x₋₁ Como Q(x) =x3 −x2 +x−1 = (x−1)(x2 + 1) = (x−1)(x+i)(x−i) sus ra´ıces son 1,i y −i.

Veamos la multiplicidad de ellas en P(x).

Dado que P0(x) = 2(3x5₋₅_x4_{+ 6}_x3₋₆_x2_{+ 3}_x₋_{1) se tiene:}

         P0(1) = 2 (3−5 + 6−6 + 3−1) = 0 P0(−i) = 2 (−3i−5 + 6i+ 6−3i−1) = 0 P0(i) = 2 (3i−5−6i+ 6 + 3i−1) = 0

Luego las tres ra´ıces son dobles (no pueden tener mayor multiplicidad ya que el grado de P(x) es 6, es decir, 2+2+2).

(10)

Ejercicio 1.4 Dado el polinomioP(x) =x3_{+ 3}_x2_{+ 2 se pide:}

a) Acotar sus ra´ıces reales.

b) Probar, mediante una sucesi´on de Sturm, que P(x) s´olo posee una ra´ız real y determinar un intervalo de amplitud 1 que la contenga.

c) ¿Se verifican, en dicho intervalo, las hip´otesis del teorema de Fourier? En caso afirmativo, determinar el extremo que debe tomarse como valor inicial x0 para garantizar la convergencia del m´etodo de Newton.

d) Sabiendo que en un determinado momento del proceso de Newton se ha obtenido xn= −3.1958, calcular el valor de xn+1 as´ı como una cota del

error en dicha iteraci´on.

Soluci´on: a) |x|<1 + 3 1 = 4 =⇒ −4< x <4 b) f0(x) =P(x) =x3+ 3x2+ 2. P0(x) = 3x2_{+ 6}_x ₌_⇒ _f 1(x) = x2+ 2x x3+ 3x2+ 2 = (x2 + 2x)(x+ 1) + (−2x+ 2) =⇒ f2(x) = x−1 x2_{+ 2}_x_{= (}_x₋₁₎₍_x_{+ 3) + 3 =}_⇒ _f 3(x) =−1 −4 −3 4 x3_{+ 3}_x2_{+ 2} ₋ ₊ ₊ x2+ 2x + + + x−1 − − + −1 − − − Cambios de signo 2 1 1

por lo que s´olo posee una ra´ız real, la cual se encuentra en el intervalo (−4,−3). c) f(x) = x3 _{+ 3}_x2 _{+ 2} ₌_⇒    f(−4) =−14<0 f(−3) = 2>0 es decir, la funci´on

cambia de signo en los extremos del intervalo (−4,−3).

(11)

f00(x) = 6(x+ 1)<0 ∀x∈(−4,−3)

por lo que se verifican las hip´otesis del teorema de Fourier y, por tanto, tomando como valor inicialx0 =−4 (extremo en el que la funci´on tiene

el mismo signo que la segunda derivada) se tiene garantizada la conver-gencia del m´etodo de Newton.

d) Dado que xn+1 =xn− f(xn) f0₍_x n) =xn− x3_n+ 3x2_n+ 2 3x2 n+ 6xn se obtiene que xn+1 =−3.19582334575880.

El error “a posteriori” viene dado

εn+1 ≤ |f(xn+1)| m´in x∈(−4,−3)|f 0 (x)| = |f(xn+1)| f0₍₋₃₎ = |f(xn+1)| 9 <−3.989·10 −10 _<₁₀−9_.

Ejercicio 1.5 Aplicar el m´etodo de Sturm para separar las ra´ıces de la ecua-ci´on

2x6−6x5+x4+ 8x3−x2−4x−1 = 0

y obtener la mayor de ellas con seis cifras decimales exactas por el m´etodo de Newton.

Soluci´on: Comencemos por construir la sucesi´on de Sturm.

f0(x) = P(x) = 2x6 −6x5+x4+ 8x3 −x2 −4x−1

P0(x) = 12x5−30x4+ 4x3+ 24x2−2x−4, por lo que f1(x) = 6x5−15x4+ 2x3+ 12x2−x−2

Multiplicandof0(x) por tres y dividiendo el resultado entre f1(x) obtenemos:

6x6−18x5+ 3x4+ 24x3− 3x2− 2x−3 |6x5−15x4+ 2x3+ 12x2−x−2 −6x6+ 15x5− 2x4− 2x3+ x2+ 2x xk −1 −3x5+ x4+ 12x3− 2x2−10x−3 multiplicando por 2 −6x5_{+ 2}_x4_{+ 24}_x3₋ ₄_x2₋₂₀_x₋₆ 6x5−15x4+ 2x3+ 12x2− x−2 −13x4+ 26x3+ 8x2−21x−8 f2(x) = 13x4−26x3−8x2+ 21x+ 8

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Multiplicandof1(x) por trece y dividiendo el resultado entref2(x) obtenemos: 78x5₋₁₉₅_x4_{+ 26}_x3_{+ 156}_x2 ₋₁₃_x₋₂₆ _|13_x4₋₂₆_x3 ₋₈_x2_{+ 21}_x_{+ 8} −78x5_{+ 156}_x4_{+ 48}_x3₋₁₂₆_x2₋₄₈_x ₆_x₋₃ −39x4_{+ 74}_x3_{+ 30}_x2 ₋₆₁_x₋₂₆ 39x4₋₇₈_x3₋ ₂₄_x2_{+ 63}_x_{+ 24} −4x3₊ ₆_x2_{+ 2}_x₋ ₂ f3(x) = 2x3−3x2−x−1

Multiplicando f2(x) por dos y dividiendo el resultado entre f3(x) obtenemos:

26x4₋₅₂_x3₋₁₆_x2_{+ 42}_x_{+ 16} _|2_x3₋₃_x2₋_x_{+ 1} −26x4_{+ 39}_x3_{+ 13}_x2₋₁₃_x ₁₃_x_{k −}₁₃ −13x3₋ ₃_x2_{+ 29}_x_{+ 16} _{multiplicando por} ₂ −26x3₋ ₆_x2_{+ 58}_x_{+ 32} 26x3₋₃₉_x2₋₁₃_x_{+ 13} −45x2_{+ 45}_x_{+ 45} f4(x) = x2−x−1

Dividimos ahora f3(x) entre f4(x), obteniendo:

2x3−3x2− x+ 1 |x2−x−1 −2x3+ 2x2+ 2x 2x−1

−x2+ x+ 1 x2− x−1

0

Al haber llegado a un resto nulo sabemos que la ecuaci´on original tiene ra´ıces m´ultiples.

El m´aximo com´un divisor entre P(x) y su derivada es f4(x) = x2 −x− 1,

por lo que el polinomio cuyas ra´ıces son las mismas que las de P(x) solo que simples es

Q(x) = P(x)

x2₋_x₋₁ = 2x

4₋₄_x3₋_x2_{+ 3}_x_{+ 1}

Debemos, ahora, de construir una sucesi´on se Sturm para Q(x). g0(x) =Q(x) = 2x4−4x3−x2+ 3x+ 1

g1(x) =f1(x)/(x2−x−1) = 6x3−9x2−x+ 2 g2(x) =f2(x)/(x2−x−1) = 13x2−13x−8 g3(x) =f3(x)/(x2−x−1) = 2x−1

(13)

Dado que|x|<1 + A |a0|

, donde A= 4 y|a0|= 2, se tiene que|x|<3, o lo que

es lo mismo,−3< x <3. −3 −1 −0.5 0 1 1.5 2 3 2x4₋₄_x3₋_x2_{+ 3}_x_{+ 1} ₊ ₊ ₋ ₊ ₊ ₋ ₊ ₊ 6x3−9x2−x+ 2 − − − + − + + + g2(x) = 13x2 −13x−8 + + + − − + + + 2x−1 − − − − + + + + 1 + + + + + + + + Cambios de signo 4 4 3 2 2 1 0 0 Existen, por tanto, cuatro ra´ıces reales situadas en los intervalos:

[−1,−0.5] [−0.5,0] [1,1.5] [1.5,2]

La mayor de las ra´ıces se encuentra en el intervalo [1.5,2], pero dado que Q0(1.5) = 0 podemos tomar el intervalo [1.6,2] en el cual:

Q(x) = 2x4−4x3−x2+ 3x+ 1 ( Q(1.6)<0 Q(2)>0 Q0(x) = 8x3₋₁₂_x2₋₂_x_{+ 3}_>₀ _∀_x_∈_[1_.₆_,_2] Q00(x) = 24x2−24x−2>0 ∀x∈[1.6,2]

La regla de Fourier no dice que debemos comenzar a iterar enx0 = 2.

Teniendo en cuenta que xn+1 =xn−

Q(x)

Q0₍_x₎ se obtiene la sucesi´on: x0 = 2 x1 = 1.8 x2 = 1.684726867 x3 = 1.632243690 x4 = 1.618923782 =⇒ ε4 ≤0.01841 x5 = 1.618037855 =⇒ ε5 ≤0.0011 x6 = 1.618033989 =⇒ ε6 ≤0.0000047 x7 = 1.618033989 =⇒ ε7 ≤0.885·10−10

Es decir, la mayor de las soluciones, redondeando a seis cifras decimales es 1.618034 con un error acumulado

ε≤0.000000011 + 0.000000000885<10−6 por lo que sus seis cifras decimales son exactas.

(14)

Ejercicio 1.6 En este ejercicio se pretende calcular 10√

1 por el método de Newton. Consideramos, para ello, la funciónf(x) =x10−1 cuya gráfica se da en la Figura 1.

Fig. 1 Fig. 2

a) Probar, anal´ıticamente, que en el intervalo [0.5,1.5] posee una ´unica ra´ız real.

b) Si tomamosx0 = 0.5 obtenemos la ra´ız x= 1 en la iteraci´on n´umero 43,

mientras que si tomamos x0 = 1.5 se consigue el mismo resultado en la

iteración número 9. ¿Cómo podr´ıamos haber conocido a priori el valor que se debe elegir para x0?

c) ¿Sabr´ıas justificar el porqu´e de la extremada lentitud de la convergencia cuando iniciamos el proceso en x0 = 0.5? y ¿por qu´e sigue siendo lento

el proceso si comenzamos en x0 = 1.5? Justifica las respuestas.

d) Dado que en el intervalo [0.5,1.5] no se anula la funci´onx5, las ra´ıces de f(x) son las mismas que las de g(x) = f(x)/x5 ₌_x5₋_x−5 _{cuya gr´}_afica

se da en la Figura 2. ¿Se puede aplicar a g(x) la regla de Fourier en dicho intervalo?

e) Si resolvemos, por el método de Newton, la ecuación g(x) = 0, ¿ se obtendrá la ra´ız con mayor rapidez que cuando lo hicimos conf(x) = 0? Justifica la respuesta sin calcular las iteraciones.

Soluci´on:

a) Dado que la funci´onf(x) es continua y derivable enRverific´andose que 





f(0.5) = 0.510₋₁_<₀

f(1.5) = 1.510₋₁_>₀

por lo que admite un n´umero impar de ra´ıces en el intervalo [0.5,1.5]. Como f0(x) = 10x9 no se anula en [0.5,1.5], s´olo puede existir una ra´ız real en dicho intervalo.

(15)

1.2. Ejercicios propuestos 13

b) Dado que f0(x) = 10x9 _y _f00₍_x_{) = 90}_x8 _{son positivas (tienen signo}

cons-tante) en todo el intervalo, debe tomarse como valor inicial el extremo en que f(x) tiene el mismo signo que la segunda derivada (Regla de Fourier), es decir x0 = 1.5.

c) Basta observar que la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto de abscisax = 0.5 es casi horizontal, por lo que en la primera iteración nos distanciamos de la ra´ız de forma considerable. Además, en las pro-ximidades del 1, la curva es muy vertical, por lo que las tangentes son también muy verticales y las iteraciones se aproximan muy lentamente a x = 1. Por tanto, si partimos de x = 0.5 nos distanciamos mucho y nos acercamos muy lentamente, pero si partimos de 1.5 también nos acercamos muy lentamente.

d) g0(x) = 5x4_{+ 5}_x−6 _y _g00₍_x_{) = 20}_x3₋₃₀_x−7 _con    g00(0.5)<0 g00(1.5)>0 por lo que no puede aplicarse la regla de Fourier en dicho intervalo. (Si reducimos el intervalo a [0.5,1.01] si podemos aplicarla, obteniendo que debemos tomarx0 = 0.5).

e) El proceso convergerá más rápidamente debido a que hemos eliminado las tangencias casi horizontales y las casi verticales.

1.2 Ejercicios propuestos

Ejercicio 1.7 Dada la ecuaci´on 8x3₋₄_x2₋₁₈_x_{+ 9 = 0, acotar y separar sus}

ra´ıces reales.

Sol: |x| ≤3.25, x1 ∈(−2,−1), x2 ∈(0,1) yx3 ∈(1,2).

Ejercicio 1.8 Se considera el polinomio P(x) = x3₋₆_x2 ₋₃_x_{+ 7.}

a) Probar, mediante una sucesi´on de Sturm, que posee una ´unica ra´ız en el intervalo (6,7).

b) Si expresamos la ecuaci´onP(x) = 0 de la forma

x=F(x) = 1 3(x

3₋₆_x2_{+ 7)}_,

¿podemos asegurar su convergencia?

(16)

c) Probar, aplicando el criterio de Fourier, que tomando como valor inicial x0 = 7, el m´etodo de Newton es convergente.

d) Aplicando Newton con x0 = 7 se ha obtenido, en la segunda iteraci´on, x2 = 6.3039. ¿Qu´e error se comete al aproximar la ra´ız buscada por el

valor x3 que se obtiene en la siguiente iteraci´on? Sol: ε3 ≤6.62. . .·10−6 <10−5.

Ejercicio 1.9 Dada la ecuaci´on x7₋₁₄_x_{+ 7 = 0 se pide:}

a) Probar que s´olo tiene una ra´ız real negativa.

b) Encontrar un enteroa de tal forma que el intervalo [a, a+ 1] contenga a la menor de las ra´ıces positivas de la ecuaci´on.

Sol: a= 0.

c) ¿Cu´al de los extremos del intervalo [a, a+ 1] debe tomarse como valor inicial para asegurar la convergencia del m´etodo de Newton?

Sol: x0 =a= 0.

d) Aplicar el m´etodo de Newton para obtener la menor de las ra´ıces positivas de la ecuaci´on con seis cifras decimales exactas.

Sol: x= 0.500562.

Ejercicio 1.10 Sea el polinomio p(x) = x4₋_x2_{+ 1}_/_8.

a) Utilizar el m´etodo de Sturm para determinar el n´umero de ra´ıces reales positivas del polinomio p, as´ı como para separarlas.

Sol: x1 ∈(0,1/2) y x2 ∈(1/2,1).

b) Hallar los 2 primeros intervalos de la sucesi´on ([a1, b1],[a2, b2], . . .)

obte-nida de aplicar el m´etodo de dicotom´ıa para obtener la mayor ra´ız,r, del polinomiop. Elegir el intervalo [a1, b1] de amplitud 1/2 y tal que uno de

sus extremos sea un n´umero entero.

Sol: [a1, b1] = [1/2,1], [a2, b2] = [3/4,1].

c) Sea la sucesi´on definida por la recurrencia x0 = 1, xn+1 =F(xn), donde

la iteraci´on es la determinada por el m´etodo de Newton. Estudiar si la regla de Fourier aplicada al polinomio p en el intervalo [a1, b1] del

(17)

apartado anterior garantiza la convergencia de la sucesi´on a la ra´ız r. ¿Y en el intervalo [a2, b2]?

Sol: En el primero no, en el segundo s´ı con x0 = 1.

d) Hallar la aproximaci´onx1 del apartado anterior, determinando una cota

del error cometido.

Sol: x1 = 0.9375 con ε1 ≤0.0990. . .

e) ¿Cu´antas iteraciones se deben realizar para garantizar una aproximaci´on der con veinte cifras decimales exactas?

Indicación: En+1 = 1 k(kE1)2 n , con k = máx|f 00₍_x_)| 2 mín|f0₍_x_)| en un intervalo adecuado.

Sol: 5 iteraciones (utilizar el intervalo (0.8385,0.9375)).

Ejercicio 1.11 Dado el polinomio P(x) = x4+ 4x3−2x2+ 4x−3 se pide:

a) Acotar las ra´ıces y construir una sucesi´on de Sturm para probar que s´olo posee dos ra´ıces reales, una positiva y otra negativa, dando intervalos de amplitud 1 que las contengan.

Sol: x1 ∈(−5,−4) y x2 ∈(0,1).

b) Partiendo de que la ra´ız positiva se encuentra en el intervalo (0,1) y despejando la x del t´ermino lineal

x=−1 4x 4 ₋_x3 ₊1 2x 2₊3 4 ⇐⇒ x=ϕ(x)

¿se puede asegurar la convergencia de la sucesi´on x1, x2, . . . , xn, . . .

defi-nida de la forma x1 = 0, xn+1 =ϕ(xn) ?

Sol: No. La funci´onϕ(x) no es contractiva en [0,1].

c) Aplicar Fourier para determinar el valor inicial que debe tomarse para garantizar la convergencia del m´etodo de Newton en el c´alculo de la ra´ız negativa. ¿Tenemos las tres cifras exactas si tomamos como ra´ız -4.646 ?

(18)

Ejercicio 1.12 Sea el polinomio p(x) = −3−x+x3_.

a) Utilizar una sucesión de Sturm para probar que el polinomio p(x) sólo tiene una ra´ız α ∈Ry que ésta se encuentra en el intervalo I = [0,3]. b) Comprobar que la gráfica adjunta se corresponde con la de la función

y =ϕ(x) cuya iteraci´on, xn+1 = ϕ(xn) = xn−p(xn)/p0(xn), es la

obte-nida con el m´etodo de Newton para resolverp(x) = 0. Tomando x1 = 0,

estudiar geom´etricamente (sobre el dibujo) si se obtendr´ıa una sucesi´on (xn) convergente a α. ¿Y empezando enx1 = 3?

(19)

c) Tomar un subintervalo de I en el que la regla de Fourier garantice la convergencia del M´etodo de Newton y, con un valor inicial apropiado, obtener una aproximaci´on deαcon, al menos, tres cifras decimales exac-tas.

Sol: x∈[1,2], x0 = 2, x= 1.672.

Ejercicio 1.13 Dado el polinomio P(x) = x3 _{+ 6}_x2 _{+ 9}_x₊_k _con _k _∈ _R _se

pide:

a) ¿Puede carecer de ra´ıces reales? ¿y tener dos y s´olo dos ra´ıces reales?

Sol: No puede carecer de ra´ıces reales. S´ı si una de ellas es doble. b) Utilizar el m´etodo de Sturm para probar que tiene una ´unica ra´ız real

si, y sólo si, k < 0 o k > 4, y que sólo tiene ra´ıces múltiples si k = 0 o k= 4 no existiendo, en ningún caso, una ra´ız triple.

c) Parak =−4 admite una ´unica ra´ız real en el intervalo [0,1]. Si tomamos como valor aproximado de la ra´ızx= 0.3553 ¿de cu´antas cifras decimales exactas disponemos?

Sol: x= 0.35530 con las 5 cifras decimales exactas.

d) Si, en el caso anterior en que k = −4, aplicamos el m´etodo de Newton para hallar la ra´ız del polinomio, ¿cu´al de los extremos del intervalo [0,1] deber´ıamos tomar como valor inicialx0 para garantizar la convergencia?

y ¿qu´e valor obtendr´ıamos para x2? Sol: x0 = 1, x2 = 0.365079. . ..

Ejercicio 1.14 Dados los polinomios

P(x) = 2x3 −2x2−2αx+ 3α

Q(x) = x3₋₃_x2₋₃_αx_{+ 2}_α

a) Determinar el valor de α sabiendo que se trata de un entero par y que los valores de dichos polinomios s´olo coinciden, para valores positivos de x, en un punto del intervalo (1,2).

Sol: α=−2 (estudiar el polinomio diferenciaD(x) =P(x)−Q(x)). b) Probar (mediante una sucesi´on de Sturm) que, paraα=−2, el polinomio

(20)

amplitud 1 que la contenga.

Sol: x∈[1,2].

c) ¿Verifica el polinomioP(x) las condiciones de Fourier para la convergen-cia del m´etodo de Newton en el intervalo (1.2, 1.3)?

Sol: S´ı, x0 = 1.3.

d) Si tomamos como valor inicial x0 = 1.3, calcular el valor que se obtiene

para x1 dando una cota del error.

Sol: x1 = 1.27606263982103, ε1 ≤4.20·10−4 <10−3.

Ejercicio 1.15

“Cuando dos ra´ıces positivas de una ecuación polinómica están muy próximas, suele ser dif´ıcil separarlas mediante intervalos cerrados. Para alejarlas se puede proceder como sigue:

Paso 1: Sea la ecuaci´on polin´omica

P(x) = anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 =an(x−α1)· · ·(x−αn) = 0

Paso 2: Cambiar x por x2 en P(x) = 0

P(x2) =an(x2−α1)· · ·(x2 −αn) = 0

Paso 3: Cambiar x por −x2 en P(x) = 0

P(−x2) =an(−x2−α1)· · ·(−x2−αn) = (−1)nan(x2+α1)· · ·(x2+αn) = 0

Paso 4: Multiplicar las dos ecuaciones anteriores para obtener la nueva ecuaci´on

P(x2)P(−x2) = (−1)na2_n(x4−α2₁)· · ·(x4−α2_n) = 0

Paso 5: En el polinomio obtenido, cambiar x4 _{por una nueva variable} _t_,

obteniendo una ecuaci´on del tipo (t−α2₁)· · ·(t−α2_n) = 0.

Se obtiene as´ı una ecuación polinómica cuyas ra´ıces son los cuadrados de las ra´ıces de la ecuación P(x) = 0. La relación entre las ra´ıces de la nueva ecuación con las de P(x) = 0 es α2

i −α2j = (αi+αj)(αi−αj). As´ı, se observa

que las nuevas ra´ıces se alejan (o se acercan) αi+αj veces m´as que las ra´ıces

(21)

Si este procedimiento se aplica dos veces se obtiene una ecuaci´on de la forma (t−α4₁)· · ·(t−α4_n) = 0”

Sea la ecuaci´onP(x) = 2x2₋₉_x_{+ 10 = 0, y sea}_Q₍_x_{) = 0 la ecuaci´}_{on obtenida}

al aplicar dos veces el m´etodo anteriormente descrito. Se pide:

a) Mediante una sucesi´on de Sturm, demostrar que P(x) = 0 posee dos ra´ıces reales.

b) Comprobar que se obtiene el polinomio Q(x) = 16x2₋₈₈₁_x_{+ 10000}

c) Separando previamente las ra´ıces de Q(x) = 0, utilizar una fórmula de error a posteriori para calcular la mayor de ellas, con dos cifras decima-les exactas, aplicando el método de Newton. Denotemos por α la ra´ız obtenida tomando sólo dos cifras decimales.

Sol: x1 ∈[10,20], x2 ∈[30,40], α= 39.06.

d) Para resolver la ecuaci´on x4 −α = 0 por el m´etodo de Newton y as´ı calcular la ra´ız deP(x) = 0, hacer lo siguiente:

d.1) Encontrar un intervalo [a, b] que sólo contenga a la mayor ra´ız real de esta ecuación y en donde se verifiquen las hipótesis de la regla de Fourier.

Sol: [2,3].

d.2) ¿Cuántas iteraciones son necesarias para obtener 25 cifras decimales exactas? Indicación: En+1 ≤ 1 k(kE1)2 n , con k = máx|f 00₍_x₎_| 2 mín|f0(x)| en un intervalo adecuado.

Sol: 3 iteraciones (reducir el intervalo inicial al [2,2.5]).

d.3) Con una calculadora se ha obtenidoβ =√4_α _{= 2}_._{49995999903 como} mejor aproximaci´on.

¿Cu´antas de las cifras decimales se podr´ıan garantizar que coinciden con las de la verdadera ra´ız de P(x)?

Sol: A lo m´as de 2 que son las que ten´ıa el valor deα.

Ejercicio 1.16

a) Dado el polinomio P(x) = x3₋₇_x2_{+ 20}_x₋_{26, utilizar una sucesi´}_{on de}

Sturm para comprobar que P(x) = 0 s´olo tiene una ra´ız real positiva y que se encuentra en el intervalo [3,4].

(22)

b) Justificar la convergencia del método de Newton para aproximar la ra´ız real de la ecuación P(x) = 0 contenida en el intervalo [3,4]. Realizar dos iteraciones del método y dar una cota del error de la aproximación obtenida. ¿Se trata de un problema bien o mal condicionado? Razonar la respuesta.

Sol: x2 = 3.35483870967742, ε2 ≤ 0.01413849820416. La derivada de P(x) oscila de 5 a 12, por lo que est´a bien condicionado.

Ejercicio 1.17 Queremos aproximar las ra´ıces de la ecuaci´on (5−x)ex _{= 5.}

a) Probar, gr´aficamente, que existen dos soluciones, una es x= 0 y la otra x = α se encuentra en el intervalo [1,5]. Aproximarla realizando dos pasos del m´etodo de la Regula falsi.

Sol: x2 = 4.78799912600669

b) ¿Es posible aproximar α aplicando un método de iteración funcional sobre la funciónϕ1(x) = ln

5 +xex 5

partiendo de cualquier punto del intervalo I = [1,5]? Justifica tu respuesta.

Sol: No. S´olo en [1,ln 5]

c) ¿Y sobre la funci´on ϕ2(x) = 5−

5

ex partiendo de cualquier punto del

intervalo I = [1,5]? Justifica tu respuesta.

Sol: No. S´olo en [ln 5,5]

d) ¿Y sobreϕ2(x) en I = [2,5]? Justifica tu respuesta. Sol: S´ı.

(23)

2. Sistemas de ecuaciones

linea-les

2.1 Ejercicios resueltos

Ejercicio 2.1 Estudiar el n´umero de condici´on de Frobenius de la matriz

A= a −b

a+ε −b !

.

Soluci´on: El determinante de A es |A|=−ab+b(a+ε) = b ε.

Sib 6= 0 yε6= 0 es |A| 6= 0 y, por tanto, A es invertible, siendo su inversa:

A−1 = 1 b ε

−b b −a−ε a

!

El n´umero de condici´on de Frobenius viene dado por κF(A) = kAkFkA−1kF.

kAk2 F =a2+b2+ (a+ε)2+b2 = 2a2+ 2b2+ 2a ε+ε2 kA−1_k2 F = b2₊_b2_{+ (−}_a₋_ε₎2₊_a2 b2_ε2 = 2a2_{+ 2}_b2_{+ 2}_{a ε}₊_ε2 b2_ε2 Por lo que: κ2_F(A) = (2a 2_{+ 2}_b2_{+ 2}_{a ε}₊_ε2₎2 b2_ε2 =⇒ κF(A) = |2a2_{+ 2}_b2_{+ 2}_{a ε}₊_ε2_| |b ε| .

Obsérvese que cuando ε tiende a cero, el número de condición de Frobenius κF(A) lo hace a infinito, por lo que la matriz A está mal condicionada.

(24)

Por ejemplo: para a= 10 y b = 1 se tiene que κF(A) = 202 + 20ε+ε2 |ε| = 202 |ε| ±20 +|ε| Si ε= 10−8 _κ F(A)'2·1010.

Ejercicio 2.2 Dado el sistema: (

3x + 4y = 7 3x + 5y = 8

a) Calcular su n´umero de condici´on eucl´ıdeo.

b) Sustituir la segunda ecuación por una combinación lineal de ambas, de forma que el número de condición sea m´ınimo.

Soluci´on:

a) La matriz del sistema es A= 3 4 3 5 ! . A∗A= 3 3 4 5 ! 3 4 3 5 ! = 18 27 27 41 ! P(λ) = λ−18 −27 −27 λ−41 = (λ−18)(λ−41)−272 =λ2−59λ+ 9.

Las ra´ıces de P(λ) son: λ= 59± √ 3481−36 2 = 59±√3445 2 =⇒ σ1 = s 59−√3445 2 y σ2 = s 59 +√3445 2 κ2(A) = σ2 σ1 = s 59 +√3445 59−√3445 = s (59 +√3445)2 36 = 59 +√3445 6 =⇒ κ2(A) = 19.61568707. . .

b) La matriz resultante de la combinaci´on lineal es

B = 3 4

3a+ 3b 4a+ 5b !

(25)

Una matriz tiene número de condición eucl´ıdeo m´ınimo (y vale 1) si, y sólo si, es proporcional a una matriz unitaria. Por tanto, B debe tener las filas (o las columnas) ortogonales y de igual norma.

• (3 4) 3a+ 3b 4a+ 5b

!

= 0 ⇒3(3a+ 3b) + 4(4a+ 5b) = 0 =⇒

25a+ 29b = 0

• Ambas filas han de tener la misma norma, por lo que

(3 4) 3 4 ! = (3a+ 3b 4a+ 5b) 3a+ 3b 4a+ 5b ! =⇒ 25 = 25a2+ 34b2 + 58ab

Las condiciones que tenemos son:

25a+ 29b= 0 25a2_{+ 34}_b2 _{+ 58}_ab_{= 25}    =⇒        a=±29 3 b=∓25 3

Tomando, por ejemplo, a = 29

3 y b = − 25

3 (el otro caso es análogo), obtenemos: B = 3 4 4 −3 ! = 5U con U = 0.6 0.8 0.8 −0.6 ! unitaria. El sistema resultante es ( 3x + 4y = 7 4x − 3y = 1 y su número de condición eucl´ıdeo es κ2(B) = 1.

Ejercicio 2.3 Sea α ∈ {0.5,1.5,2.5}y consideremos el sistema iterado

xn+1 yn+1 ! =      1 α −1 1 −1 1 α + 1      xn yn ! +      1− 1 α 1− 1 α     

(26)

Se pide

a) Resolver el sistema resultante de tomar l´ımites para probar que, en caso de que converja, el l´ımite de la sucesi´on

x0 y0 ! , x1 y1 ! , x2 y2 ! . . . ! no depende de α.

b) ¿Para qu´e valores de α converge la sucesi´on?

c) Para los valores anteriores que hacen que la sucesión sea convergente, ¿con cuál lo hace más rápidamente?

d) Comenzando con el vector x0 y0 ! = 0.5 0.5 ! , aproximar iteradamente el l´ımite de la sucesi´on utilizando el valor de α que acelere m´as la con-vergencia.

Soluci´on:

a) En caso de que converja, tomando l´ımites obtenemos que

1 0 0 1 ! x y ! =    1 α −1 1 −1 1 α + 1    x y ! +    1− 1 α 1− 1 α    o lo que es lo mismo    2− 1 α −1 1 −1 α    x y ! =    1− 1 α 1− 1 α    =⇒    1− 1 α −1 + 1 α 1 −1 α    x y ! =   0 1− 1 α   por lo que      x=y 1− 1 α x= 1− 1 α =⇒ x=y= 1 ya que α 6= 1

(27)

b) El polinomio caracter´ıstico de la matriz    1 α −1 1 −1 1 α + 1   del m´etodo iterado es P(λ) =λ2− 2 αλ+ 1

α2 que admite la ra´ız doble

1 α.

Dado que el radio espectral de la matriz debe ser menor que 1, α ha de ser mayor que 1, por lo que converge para α= 1.5 y para α= 2.5, pero no lo hace para α= 0.5.

c) El método converge más rápidamente para el valor deα que hace menor el radio espectral de la matriz, es decir, para α= 2.5.

d) Partiendo de x0 y0 ! = 0.5 0.5 ! y tomando α= 2.5 se obtiene: x1 y1 ! = 4_/₅ 4_/₅ ! x2 y2 ! = 23_/₂₅ 23_/₂₅ ! x3 y3 ! = 121_/₁₂₅ 121_/₁₂₅ ! . . .

que podemos observar como converge a x y ! = 1 1 ! que era la soluci´on del sistema.

2.2 Ejercicios propuestos

Ejercicio 2.4 Dado el sistema (

x + y = 2

2x + y = 3

a) Calcular su n´umero de condici´on de Frobenius.

Sol: κF(A) = 7.

b) Calcular “a” para que el número de condición del sistema resultante de sumarle a la segunda ecuación la primera multiplicada por dicha cons-tante “a”, sea m´ınimo.

(28)

Ejercicio 2.5 Comprobar que la matriz: A=         1 2 0 0 0 1 4 3 0 0 0 4 9 4 0 0 0 9 16 5 0 0 0 16 25        

admite factorizaci´on LU y realizarla.

Sol: L=         1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 4 1         y U =         1 2 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 3 4 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 5        

. Todas sus matrices

fundamentales son regulares.

Ejercicio 2.6 Resolver, por el m´etodo de Cholesky, el sistema de ecuaciones:    6 −1 + 3i 1−2i −1−3i 3 −1 + i 1 + 2i −1−i 2       x1 x2 x3   =    −1−2i 1 + i 1−2i    Sol:x1 =−1−2i, x2 = 3−i, x3 = 1 + 2i.

Ejercicio 2.7 Dada la matrizA=    p −p 2p −p p+ 2 −1 2p −1 6p−1   se pide:

a) Determinar para qu´e valores de pes herm´ıtica y definida positiva.

Sol: p∈(1_/₂_,3_/₂_).

b) Para p = 1, efectuar la descomposici´on de Cholesky y utilizarla para resolver el sistema Ax=b siendo b= (1 0 3)t.

Sol: x1 =−1, x2 = 0, x3 = 1.

Ejercicio 2.8 Resolver, utilizando MatLab y comenzando con el vector nulo, el sistema:

10x1− x2+ 2x3 = 6

−x1+ 11x2− x3+ 3x4 = 25

2x1− x2+ 10x3− x4 =−11

(29)

por los m´etodos de Jacobi, Gauss-Seidel y SOR conω = 1.2.

Sol: (x1, x2, x3, x4) = (1,2,−1,1). Jacobi 42 iteraciones, Gauss-Seidel 16 y

SOR 24.

Ejercicio 2.9 Al resolver el sistema      x−3y+ 5z= 5 8x− y− z= 8 −2x+ 4y+ z= 4

por el método de Gauss-Seidel, utilizando MATLAB, observamos que el pro-grama se detiene en la iteración 138 dándonos el vector (inf inf -inf)T.

a) El m´etodo de Gauss-Seidel realiza el procesoxn+1 =L1xn+c. Determina

la matriz L1. Sol: L1 =    0 3 −5 0 24 −41 0 −90 154   

b) Utilizar los c´ırculos de Gerschgorin para estimar el m´odulo de los auto-valores deL1.

Sol: |λi| ≤244.

c) Justificar el porqu´e de la divergencia del m´etodo.

Sol: ρ(L1)>1.

d) ¿Existe alguna condici´on suficiente que deba cumplir la matriz de un sistema para garantizar la convergencia del m´etodo de Gauss-Seidel? Hacer uso de ella para modificar el sistema de forma que el proceso sea convergente?

Sol: Llevando la primera ecuación al último lugar, la matriz del sistema resultante es de diagonal dominante y por tanto converge el método.

Ejercicio 2.10 Sea el sistema Ax=b, donde

A= 1000 999 999 998 ! , x= x1 x2 ! y b = 1999 1997 ! .

(30)

a) Obtener la factorizaciónLU de la matriz A. ¿Se puede conseguir la fac-torización de Cholesky? Sol: L = 1 0 0.999 1 ! , U = 1000 999 0 −0.001 ! . No admite factori-zación de Cholesky.

b) Resolver el sistemaA_x=b utilizando la factorizaci´onA=LU obtenida en el apartado anterior.

Sol: (x1, x2) = (1,1).

c) CalcularkAk∞ ,kA−1_k∞ _{y el n´}_{umero de condici´}_{on de la matriz} _κ_∞(_A_).

¿Se puede decir que est´a bien condicionada?

Sol: kAk∞ = 1999, kA−1_k∞ _{= 1999,} _κ_∞(_A_{) = 1999}2 _≈ ₄_·₁₀6 _{es decir,}

la matriz est´a mal condicionada.

d) Comprueba quekAxk∞ =kAk∞para la soluci´onx= (1,1)T del sistema

Ax=b.

¿Cu´al es el m´aximo valor que puede tomarkAxk∞, cuandoxes un vector

unitario para la norma k k∞?

Sol: 1999.

e) Si se perturba b en b+δb= (1998.99,1997.01)T, calcular kδbk∞/kbk∞. Six+δx es la soluci´on obtenida para el nuevo sistemaAx=b+δb, ¿es

el error relativo kδ_xk∞/kxk∞ el m´aximo que se puede cometer? Indicaci´on: kδxk∞

kxk∞ ≤κ∞(A)

kδbk∞ kbk∞ .

Sol: Es el m´aximo posible.

Ejercicio 2.11

a) Dado un sistema Ax = b, el m´etodo de Gauss-Seidel consiste en

cons-truir la sucesi´on xn+1 = L1xn+c, a partir de un vector inicial x0. Si

conocemos el valor de _xn+1 ¿podr´ıamos determinar el de xn haciendo

xn =L−11(xn+1−c)?

Sol: No. L1 no tiene inversa. ¿Porqu´e?, justif´ıcalo.

b) Si la matriz A del sistema es de diagonal estrictamente dominante, ¿puede ser el radio espectral de L1 mayor que 1?

(31)

c) Si, para un determinado sistema y comenzando con un determinado vec-torx0, el m´etodo de Gauss-Seidel requiere 50 iteraciones para aproximar

la soluci´on con un error menor queε y en la iteraci´on 49 se pierde la pri-mera coordenada del vectorx49 y la sustituimos por un valor arbitrario,

¿se obtendrá en el paso siguiente la solución buscada con el mismo error que si no hubiésemos perdido el dato? ¿qué ocurrir´ıa si la coordenada que perdemos del vector x49 es la segunda en vez de la primera?

Sol: Si se pierde la primera: S´ı. Si se pierde la segunda: No.

d) Tomando como vector inicial _x0 = (2,−1,2)T, realizar dos pasos del

m´etodo de Gauss-Seidel para el sistema    4 2 1 0 2 1 −1 0 2       x y z   =    16 0 0   .

¿Podr´ıas decir cu´al es la soluci´on exacta del sistema?

Sol: (4,-1,2).

Ejercicio 2.12 Consid´erese el sistema Ax=b en el que

A= a b c d ! , x= x y ! y b = α β ! con α, β ∈R.

a) Determinar la matrizB1, para que el m´etodo iterativoxn+1 =B1xn+c1

sea el que se obtiene con el m´etodo de Jacobi aplicado al sistemaA_x=b.

Sol: B1 =

0 −b_/_a

−c_/_d ₀

! .

b) Hallar los autovalores de B1 y probar, en este caso particular, que si la

matriz A es sim´etrica y definida positiva, entonces el m´etodo de Jacobi converge.

Sol: λi =±

p

bc_/_ad ₌_⇒ _ρ₍_B₁_{) = +}pbc_/_ad_{. Si} _A _{es sim´}_{etrica y definida}

positivaρ(B1)<1 y converge.

c) Determinar la matrizB2, para que el m´etodo iterativoxn+1 =B2xn+c2

sea el que se obtiene con el m´etodo de Gauss-Seidel aplicado al sistema A_x=b. Sol: B2 = 0 −b_/_a 0 bc_/_ad ! .

(32)

d) Hallar los autovalores de B2 y dar un ejemplo de matriz A (con a 6= 1)

para la que el m´etodo de Gauss-Seidel no converja. ¿Puede, en tal caso, ser convergente el m´etodo de Jacobi?

Sol: λ1 = 0, λ2 = bc/ad. Uno de los infinitos ejemplos para A ser´ıa

A= 0 2

1 1 !

. Jacobi tambi´en diverge.

e) Comprobar la matrizA = 1 2 1 1

!

es otro ejemplo para la no conver-gencia del m´etodo de Gauss-Seidel.

Calcular, para dicha matriz y el vector b = 1 1

!

el término general de la sucesión _xk obtenida por el método de Gauss-Seidel a partir del

vector x0 = m

n !

y comprobar que dicha sucesi´on no converge para valores arbitrarios de m y n.

¿Existe alg´un vector inicial x0 para el que converja el m´etodo? y, en

caso de existir, ¿contradice dicho ejemplo el hecho de que el m´etodo no sea convergente?

Sol: _xk =

−2k_n_{+ 1}

2k_n

!

que diverge si n 6= 0. No existe contradicci´on ¿porqu´e?. Justif´ıcalo.

Ejercicio 2.13 Se quiere encontrar una funci´on de la formaf(x) =ax3+bx+c que pase por los puntos (1,4), (−2,−23) y (2,21).

a) Plantear un sistema de ecuaciones para calcular los coeficientes de f y resolverlo usando la descomposici´onLU de la matriz del sistema.

Sol: f(x) = 2x3_{+ 3}_x₋_1.

b) Usar una sucesión de Sturm para saber cuántas ra´ıces reales tiene la ecuaciónf(x) = 0.

Sol: S´olo una.

c) Separar dichas ra´ıces por intervalos adecuados para que se den las hip´ o-tesis de las condiciones de Fourier.

(33)

d) ¿Cuantas iteraciones son necesarias para obtener las ra´ıces reales con 6 cifras decimales exactas usando para su c´alculo el m´etodo de Newton?

Sol: Tres.

e) Aplicar dicho método para calcularlas con una precisión de 12 cifras decimales exactas asegurando en cada paso del método el número de cifras que se van obteniendo.

(34)

(35)

3. Sistemas inconsistentes y

sis-temas indeterminados

3.1 Ejercicios resueltos

Ejercicio 3.1 Dado el sistema:

4x + 5y = 13 3x + 5y = 11

a) Realizar la factorización QR de la matriz, y resolverlo basándose en ella a.1) Mediante el método de Gram-Schmidt,

a.2) Mediante transformaciones de Householder.

b) Calcular el n´umero de condici´on eucl´ıdeo del sistema inicial y del trans-formado, comprobando que son iguales.

Soluci´on: a) El sistema a resolver es Ax=b ⇐⇒ 4 5 3 5 ! x y ! = 13 11 !

a.1) Utilizando el m´etodo de Gram-Schmidt:

v1 = 4 3 ! v2 = 5 5 ! +λ 4 3 ! v1 ⊥v2 =⇒ hv1, v2i= 0 =⇒ 35 + 25λ= 0 =⇒ λ=−7/5 por tanto, v2 = 1 5 " 25 25 ! −7 4 3 !# = − 3_/₅ 4_/₅ ! ⇒ Q= 4_/₅ ₋3_/₅ 3_/₅ 4_/₅ ! 33

(36)

R=Q∗A= 4_/₅ 3_/₅ −3_/₅ 4_/₅ ! 4 5 3 5 ! = 5 7 0 1 !

Se obtiene, por tanto, queA=QR donde Q es unitaria y R trian-gular superior. El sistema se transforma en otro triantrian-gular de la manera siguiente: Ax=b ⇐⇒ QRx=b ⇐⇒ Rx=Q∗b En nuestro caso: Q∗b = 4_/₅ 3_/₅ −3_/₅ 4_/₅ ! 13 11 ! = 17 1 !

qued´andonos el sistema triangular

5 7 0 1 ! x y ! = 17 1 ! cuya soluci´on es x= 2 y= 1.

a.2) Utilizando transformaciones de Householder se obtiene:

x= 4 3 ! y = √ 42_{+ 3}2 0 ! = 5 0 ! v =x−y= −1 3 ! H =I− 2 v∗_vvv ∗ = 1 0 0 1 ! − 1 5 1 −3 −3 9 ! = 4_/₅ 3_/₅ 3_/₅ ₋4_/₅ !

Al s´olo ser necesaria una transformaci´on de Householder, se tiene que Q=H∗ =H = 4_/₅ 3_/₅ 3_/₅ ₋4_/₅ ! R=Q∗A=HA = 4_/₅ 3_/₅ 3_/₅ ₋4_/₅ ! 4 5 3 5 ! = 5 7 0 −1 !

Transformando el sistema obtenemos:

(37)

3.1. Ejercicios resueltos 35 Dado que Hb= 4_/₅ 3_/₅ 3_/₅ ₋4_/₅ ! 13 11 ! = 17 −1 !

nos queda el sistema triangular 5 7 0 −1 ! x y ! = 17 −1 ! cuya soluci´on x= 2 y= 1.

b) El n´umero de condici´on eucl´ıdeo viene dado porκ2(A) = σ2 σ1

dondeσ2 el

mayor y σ1 el menor de los valores singulares de la matriz A.

Los valores singulares son las ra´ıces cuadradas positivas de los autovalo-res de la matriz A∗A.

Cuando calculamos el n´umero de condici´on de la matriz R del sistema transformado, realizaremos el mismo proceso con esta nueva matriz, es decir, debemos calcular los autovalores de la matrizR∗R.

Dado que A∗A= 4 3 5 5 ! 4 5 3 5 ! = 25 35 35 50 ! R∗R= 5 0 7 1 ! 5 7 0 1 ! = 25 35 35 50 !

los valores singulares de las matrices A y R son los mismos, por lo que se obtiene el mismo n´umero de condici´on eucl´ıdeo.

El polinomio caracter´ıstico de A∗A es p(λ) = λ2 ₋₇₅_λ_{+ 25, por}

lo que sus autovalores son λ1 ' 74.665 y λ2 ' 0.335 y, por tanto,

los valores singulares de la matriz A son σ2 '

√ 74.665 ' 8.64 y σ1 ' √ 0.335 '0.58, de donde κ2(A) = κ2(R) = σ2 σ1 '14.9

Ejercicio 3.2 Resolver por el m´etodo de Householder el sistema:    1 −1 −1 2 0 1 −2 7 1       x y z   =    0 4 −7   

(38)

Soluci´on: x=    1 2 −2    y=    3 0 0    v1 =x−y =    −2 2 −2    H1 =I3− _v∗2 1v1v1v ∗ 1 =I3− 2 12    −2 2 −2    −2 2 −2 = =I3− 1 3    2 −2 2 −2 2 −2 2 −2 2   =    1_/₃ 2_/₃ ₋2_/₃ 2_/₃ 1_/₃ 2_/₃ −2_/₃ 2_/₃ 1_/₃   

Aplicando la transformaci´on al sistema se obtiene    3 −5 −1_/₃ 0 4 1_/₃ 0 3 5_/₃       x y z   =    22_/₃ −10_/₃ 1_/₃   

Dado que la segunda transformación no va a afectar ni a la primera ecuación ni a la primera columna de la matriz A, la calculamos sólo para el menor asociado al elemento a11. x= 4 3 ! y= 5 0 ! v2 =x−y= −1 3 ! H2 =I2− 2 v₂∗v2 v2v∗2 =I2− 1 5 −1 3 ! −1 3 = 4_/₅ 3_/₅ 3_/₅ ₋4_/₅ ! H2 4 1_/₃ 3 5_/₃ ! = 5 19_/₁₅ 0 −17_/₁₅ ! H2 −10_/₃ 1_/₃ ! = − 37_/₁₅ −34_/₁₅ !

Por lo que nuestro sistema ha quedado reducido a    3 −5 −1_/₃ 0 5 19_/₁₅ 0 0 −17_/₁₅       x y z   =    22_/₃ −37_/₁₅ −34_/₁₅    cuya soluci´on es x= 1, y=−1, z= 2.

(39)

Ejercicio 3.3 Buscar la soluci´on de m´ınimos cuadrados del sistema Ax =b, siendo: A=    3 −1 4 2 0 1    y b =    0 2 1   

a) A trav´es de sus ecuaciones normales. b) Por el m´etodo de Householder.

Soluci´on:

a) Las ecuaciones normales, dadas por A∗Ax=A∗b son

3 4 0 −1 2 1 !    3 −1 4 2 0 1    x y ! = 3 4 0 −1 2 1 !    0 2 1    Es decir: 25 5 5 6 ! x y ! = 8 5 !

sistema que es equivalente a 25 5 0 5 ! x y ! = 8 17_/₅ !

y cuya soluci´on (la soluci´on en m´ınimos cuadrados buscada) es

x= 23 125, y= 17 25. b) x1 =    3 4 0    =⇒ y1 =    kx1k 0 0   =    5 0 0    =⇒ v1 =x1−y1 =    −2 4 0    H1 =I3− _v∗2 1v12v1v ∗ 1 =I3− 2 20    −2 4 0    −2 4 0 = =    3_/₅ 4_/₅ ₀ 4_/₅ ₋3_/₅ ₀ 0 0 1   

(40)

Aplicando la transformaci´on al sistema, se obtiene    5 1 0 −2 0 1    x y ! =    8_/₅ −6_/₅ 1    Para quex(1)₂ = −2 1 ! se transforme eny₂(1) = kx (1) 2 k 0 ! = √ 5 0 !

construimos la transformaci´onH₂(2) de Householder asociada al vector

v2 =x (1) 2 −y (1) 2 = −2−√5 1 ! H₂(2) = − 2 √ 5_/₅ √5_/₅ √ 5_/₅ 2 √ 5_/₅ ! =⇒H2 =    1 0 0 0 −2 √ 5_/₅ √5_/₅ 0 √ 5_/₅ 2 √ 5_/₅   

que aplicada al sistema anterior nos da    5 1 0 √5 0 0    x y ! =    8_/₅ 17_/₅√₅ 4_/₅√₅   

porlo que la pseudosoluci´on del sistema es x = 23 125, y =

17

25 y el error viene dado por

4 5√5 '0.3578.

3.2 Ejercicios propuestos

Ejercicio 3.4 Se considera el sistema de ecuaciones Ax=b con

A=      1 2 1 0 1 1 1 1      y b =      3 2 0 1      . Se pide:

a) Calcular la pseudosolución, a través de las ecuaciones normales, utili-zando el método de Cholesky.

(41)

b) Sea v = (−1,1,1,1)T_{. Demostrar que la transformaci´}_{on de Householder}

asociada al vectorv transforma la primera columna de la matriz Aen el vector (2,0,0,0)T dejando invariante la segunda columna deA as´ı como al vector b.

c) Calcular la pseudosoluci´on del sistema utilizando transformaciones de Householder, as´ı como la norma del error.

Sol: x= 1, y= 1/2, E = 3√2/2.

d) Si la matrizAdel sistema fuese cuadrada y su número de condición fuese mayor que 1, ¿qué ventajas e inconvenientes tendr´ıa el resolver el sistema multiplicando por la traspuesta deAy el resolverlo por transformaciones de Householder?

Sol: Si κ(A) > 1, κ(AT_A₎ _>> _{1 mientras que Householder no altera el}

condicionamiento.

Ejercicio 3.5 Hallar la recta de regresi´on de los puntos:

(1.1,5), (1,5.1), (2,7.3), (1.8,6.9), (1.5,6.1), (3,8.8), (3.1,9) y (2.9,9.1)

Sol: y=mx+n= 1.959803x+ 3.1449029.

Ejercicio 3.6 Hallar la par´abola de regresi´on de los puntos:

(1,0), (0,0), (−1,0), (1,2) y (2,3)

Sol: y=ax2₊_bx₊_c₌ 1

2x

2₊ 1

2x.

Ejercicio 3.7 Dado el sistema superdeterminado:

     1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 2 1         x y z   =      1 2 0 −1     

calcular, mediante transformaciones de Householder, la soluci´on en m´ınimos cuadrados (pseudosoluci´on) as´ı como la norma del error.

(42)

Ejercicio 3.8 Resolver el sistema    2 1 2 0 −1 2    x y ! =    1 1 −5   

y obtener la norma del error:

a) Mediante sus ecuaciones normales.

b) Mediante transformaciones de Householder.

c) Hallando la inversa generalizada de la matriz del sistema.

Sol:x= 1, y =−9/5, kEk= 3√5/5, A+₌ 2/9 2/9 −1/9

1/5 0 2/5 !

Ejercicio 3.9 Se considera el sistema superdeterminadoAx=b con

A=      1 7 15 1 4 8 1 0 1 1 3 6      y b =      7 7 −5 −9     

a) Resolverlo mediante transformaciones de Householder, dando la norma del vector error.

Sol: x1 =−8, x2 =−2, x3 =−2, kEk= 10.

b) Hallar la inversa generalizadaA+ _{de la matriz} _A_.

Sol: A+ ₌ 1 100    −49 43 49 57 −86 102 −114 98 50 −50 50 −50   .

c) Utilizar la inversa generalizada para resolver el sistema y hallar la norma del vector error.

Ejercicio 3.10 Resolver el sistema superdeterminado      −3 1 1 1 −3 1 1 1 −3 1 1 1         x y z   =      8 4 0 4     

(43)

calculando la inversa generalizada de la matrizA.

Sol: x=−1, y = 0, z = 1, kEk= 8, A+₌    −1_/₄ ₀ ₀ 1_/₄ 0 −1_/₄ ₀ 1_/₄ 0 0 −1_/₄ ₋1_/₄   

Ejercicio 3.11 Dado sistema superdeterminado Ax =b con

A =      1 5 5 1 2 3 1 1 3 1 2 1      y b=      7 16 −3 10     

a) Resolverlo mediante transformaciones de Householder, dando la norma del vector error.

Sol: x= 9, y = 3, z =−3, kEk= 12.

b) Teniendo en cuenta el rango de la matriz A, hallar su inversa generali-zada. Sol: A+ = 1 36    −20 10 12 34 8 −4 −12 8 3 3 9 −15   .

c) Utilizar la inversa generalizada obtenida en el apartado anterior para calcular la pseudosoluci´on del sistema y hallar la norma del vector error.

Ejercicio 3.12 Consideremos el sistema de ecuaciones Ax=b, con

A=    2 −2 1 −1 −2 2   , x= x1 x2 ! y b =    6 3 3   ,

y un vector unitariou. Se pide:

a) Demostrar que siH =I−2uuT _{es la matriz de Householder, asociada al}

vector u, entonces: H es ortogonal,H2 =I y kHak2 =kak2 cualquiera

que sea el vector a.

b) Obtener la matriz de Householder que transforma el vector (2,1,−2)T

(44)

Sol: H =    2 1 −2 1 2 2 −2 2 −1   .

c) Aplicando el m´etodo de Householder, probar que el sistema Ax = b

posee infinitas soluciones en cuadrados m´ınimos y que el error cometido, al considerar cualquiera de ellas, es el mismo.

Sol: x= (1 +λ, λ)T ∀λ∈R, kEk= 3.

d) Obtener la pseudosoluci´on del sistema Ax=b.

Sol: (1_/₂_, ₋1_/₂₎T_.

Ejercicio 3.13 Sea el sistemaAx=b, donde

A=    0 3 −3 5 4 0   , x= x y ! y b =    −10 6 −8   .

a) Probar que la matriz ATA es definida positiva, obteniendo la factori-zaci´on de Cholesky. Sol: AT_A₌ 25 −15 −15 34 ! = 5 0 −3 5 ! 5 −3 0 5 ! .

b) Plantear la iteraci´on Xn+1 = L1 ·Xn+c que se obtiene de aplicar el

m´etodo de Gauss-Seidel a las ecuaciones normales del sistema Ax = b.

¿Ser´a convergente el proceso iterativo a la pseudosoluci´on?

Sol: xn+1 = 0 3_/₅ 0 9_/₃₄ ! xn yn ! + −2 −15_/₁₇ !

. Convergente por ser un sistema de diagonal dominante.

c) Hallar la matriz Hu =I−βuuT de la reflexi´on que transforma el vector

a= (0,−3,4)T _{en el vector} _r_{= (−5}_,₀_,_0). Sol: Hu = 1 25    0 15 −20 15 16 12 −20 12 9   .

d) Obtener la soluci´on en m´ınimos cuadrados del sistemaA_x=b, utilizando el m´etodo de Householder, y determinar la norma del error.

(45)

e) Sin haber resuelto el apartado anterior, ¿podr´ıan predecirse HuA y Hub

de las relaciones geom´etricas entreL=< u >,L⊥y los vectores columnas implicados?

Sol: S´ı. Si A= (a1 a2), Hua1 = (−5,0,0)T, Hua2 =a2, Hub =−b.

Ejercicio 3.14 Se considera el sistema superdeterminado Ax=b con

A=    3 2 4 5 12 0    y b=    3 1 13   

a) Calcular la pseudosoluci´on (soluci´on de m´ınimos cuadrados) as´ı como la norma del error utilizando transformaciones de Householder.

Sol: x= 71/65, y =−3/5, kEk= 1. b) SeaT =    1 0 0 0 1 0 0 0 1_/₁₂  

la matriz asociada a la transformaci´on elemen-tal que divide por 12 la tercera de las ecuaciones del sistema:

T Ax=T b ⇐⇒    3 2 4 5 1 0    x y ! =    3 1 13_/₁₂   

Calcular su pseudosoluci´on haciendo uso de las ecuaciones normales. De-terminar la norma del error.

Sol: x= 113/72, y =−37/36, kEk= 5√78/72.

c) ¿A qu´e se debe que no coincidan las pseudosoluciones obtenidas en los dos apartados anteriores? ¿Qu´e habr´ıa ocurrido si la matriz T hubiese sido unitaria?

Sol: T no es unitaria. Si T hubiese sido unitaria se hubiesen obtenido las mismas pseudosoluciones.

A=    3 −2 0 3 4 4   , x= x y ! y b =    2 0 1   .

(46)

a) Probar que la matriz B = AT_A _{es definida positiva, obteniendo la} fac-torizaci´on de Cholesky B =GTG. Sol: B = 25 10 10 29 ! , G= 5 2 0 5 ! .

b) Hacer uso de la factorización obtenida en el apartado anterior para hallar la pseudosolución mediante las ecuaciones normales del sistema. Calcular el número de condición, κ∞(B), de la matriz B para la norma k k∞. ¿Hasta que punto se podr´ıa considerar fiable la pseudosolución obtenida con aritmética de ordenador?

Sol: x= 58/125, y =−4/25, κ∞(B) = 1521/625'2.4336. Es fiable. c) Hallar la matriz de la reflexi´on (matriz de Householder) Hu que

trans-forma el vector a = (3,0,4)T en el vector r = (−5,0,0)T. Una vez de-terminado el vector u, justificar que se pueden conocer HuA y Hub sin

necesidad de efectuar los productos.

Sol: Hu =    −3_/₅ ₀ ₋4_/₅ 0 1 0 −4_/₅ ₀ 3_/₅   . Si A= (a1 a2), Hua2 =a2 H2b =−b.

d) Obtener la soluci´on en m´ınimos cuadrados del sistemaAx=b, utilizando

el m´etodo de Householder y determinar la norma del error. Operando con el ordenador, ¿puede obtenerse una pseudosoluci´on distinta de la obtenida en el apartado b? Si as´ı ocurriera, ¿puede ser mayor el error?

Sol: x = 58/125, y = −4/25, kEk = 3/5. Es posible obtener en el ordenador soluciones distintas. Nunca, ya que las transformaciones de Householder son unitarias.

Ejercicio 3.16 Sea el sistemaA_x=b, donde

A=    1 −1 2 0 3 −3 0 −4 4   , x=    x y z    y b=    0 1 2   .

a) Hallar kAk∞. ¿Qué se puede decir sobre el número de condición de la matrizA para la norma infinito? ¿Qué estimación dar´ıa MATLAB para el número de condición espectral obtenido con el comando cond(A)?

(47)

b) Utilizar la descomposici´onLU de la matrizAT_A_{para resolver el sistema}

ATAx=ATb. ¿Qu´e propiedad caracteriza a las soluciones en relaci´on al

sistemaAx=b? Interpreta geom´etricamente el resultado.

Sol: x=t−1/5, y = 3t−1/5, z =t.

c) Encontrar una matriz ortogonalQque transforme el vectora= (0,3,−4)T

en el vectorr= (0,5,0)T_{. Obtener la norma del error para las soluciones}

en m´ınimos cuadrados del sistemaQAx=Qb.

Sol: Q=    1 0 0 0 3_/₅ ₋4_/₅ 0 −4_/₅ ₋3_/₅   . kEk= 2.

d) ¿Qu´e relaci´on hay entre las soluciones obtenidas en los apartados ante-riores?

Si se obtienen las soluciones en m´ınimos cuadrados del sistemaAx =b,

escalonando previamente la matrizA, ¿se debe obtener mismo resultado que en alguno de los apartados anteriores?

Sol: Son las mismas. No, el escalonado no se hace mediante transforma-ciones unitarias.

e) Probar que la matriz P =      2 3 3 25 − 4 25 1 3 3 25 − 4 25 1 3 0 0      es la pseudoinversa de A,

verificando las propiedades de Penrose. (Hacer la comprobaci´on s´olo con dos de ellas).

De entre todas las soluciones en m´ınimos cuadrados del sistemaAx=b,

hallar la de menor norma eucl´ıdea.

Soluci´on: x=−1/5, y =−1/5, z = 0.

Ejercicio 3.17

a) En lo que sigue,Hv denota la transformaci´on de Householder asociada al

vectorv. Sean x, y, v, z vectores no nulos, con Hvx=y y z ⊥v. Probar

queHvv =−v yHvz =z. Determinar razonadamente todos los vectores

(48)

b) Se considera el sistema de ecuaciones dado por    −1 2 1 0 1 2 1 1 0 −1       x y z   =    2 −1 −1   

b.1) Estudiar el condicionamiento del sistema, utilizando la norma 1.

Sol: κ1(A) = 6.

b.2) Resolver el sistema por medio de transformaciones de Householder.

Sol: x=−2, y = 1, z =−1.

b.3) Desde un punto de vista num´erico, ¿ser´ıa razonable resolver el sis-tema escalonando por Gauss? Razonar la respuesta.

Sol: No.

c) Demostrar que el vector c= (−4 3, 1 2,− 4a 3 −1) T y la matriz L1 =    0 −2 3 0 0 0 −1 2 0 −2a 3 0   

son los propios del m´etodo de Gauss-Seidel asociado al sistema    3 2 1 0 0 2 1 a 0 −1       x y z   =    −2 1 1   

d) Estudiar, en función del parámetro a, el carácter diagonal dominante por filas de la matriz de coeficientes del sistema dado, as´ı como el radio espectral de L1. ¿Para qué valores de a es convergente el método

ante-rior?

Sol: Diagonal dominante si |a|<1,ρ(L1) =

p

a_/₃_{. Converge si} _|_a_|_<_3.

e) Paraa= 0 el m´etodo resulta convergente. Utilizando aritm´etica exacta, y tomando como vector inicial x0 = (0,0,0)T, realizar dos iteraciones,

acotando el error cometido. Razonar qu´e ocurre cuando se itera por tercera vez. ¿Hubiera ocurrido otro tanto al trabajar con aritm´etica de ordenador?

(49)

3.2. Ejercicios propuestos 47 Sol: x1 =    −4_/₃ 1_/₂ −1    y x2 =    −5_/₃ 1 −1   , kEk = 1/2. x3 es la solución exacta pero con aritmética de ordenador es sólo una buena aproximación.

A=    1 1 α 0 −2 2   , x= x y ! y b =    2 β γ    con α >0 y β, γ ∈R a) Hallar α sabiendo que que existe una matriz de Householder, Hv, que

transforma la primera columna de la matriz A en el vectorr = (3,0,0)T_.

¿Qui´en es Hv? Sol: α= 2, Hv =    1_/₃ 2_/₃ ₋2_/₃ 2_/₃ 1_/₃ 2_/₃ −2_/₃ 2_/₃ 1_/₃   .

b) Determinar el conjunto de vectores b para los que se verifica Hvb = b,

siendoHv la matriz del apartado anterior. Encontrar, entre ellos, el que

tiene menor norma eucl´ıdea.

Sol: b= (2, β, β−2)T con β ∈R. (2,1,−1)T_.

c) Hallar la pseudosoluci´on del sistema A_x = bm, para α = 2 y bm =

(2,1,−1)T_{, utilizando transformaciones ortogonales para determinar el}

error.

Sol: x= 5/6, y = 1/2, kEk= 1.

d) Probar que si una matriz real B tiene sus columnas linealmente inde-pendientes, entoncesBT_B _{es definida positiva.}

e) Sea el sistema AT_A

x=ATbm, con α y bm como en el apartado (c).

e.1) ¿Ser´ıa posible utilizar una descomposici´on ATA = GGT, con G triangular inferior, para resolver el sistema?

Sol: S´ı, AT_A _{admite factorizaci´}_{on de Cholesky.}

e.2) Utilizando la norma k k∞ para medir el condicionamiento, ¿es un sistema mal condicionado para utilizar aritm´etica de ordenador en su resoluci´on?