Teoría Avanzada en Polinomios Ortogonales Multivariados

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Minicurso

Teoría Avanzada en

Polinomios Ortogonales Multivariados

(Quinta sesión)

Teresa E. Pérez

Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada (España)

e–mail: [email protected]

V EIBPOA – Encuentro Iberoamericano de polinomios ortogonales y sus aplicaciones

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Problemas abiertos

1 _Aplicaciones

2 Problemas abiertos

Polinomios ortogonales clásicos bivariados/multivariados Análogos a los clásicos de T. Koornwinder

Polinomios de Krall en dos variables Modificación de Uvarov

Polinomios ortogonales de Sobolev en varias variables Relaciones lineales entre OPS

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Problemas abiertos

1 _Aplicaciones

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Aplicaciones

Construcción de fórmulas de cubatura

Aproximación de funciones multivariadas:series de Fourier

Aproximación simultánea de funciones multivariadas y sus derivadas:

productos escalares de Sobolev

Resolución numérica de EDP:métodos espectrales o de Galerkin Problemas relacionados consistemas cuánticos descritos por medio de Hamiltonianos cuadráticos(en teoría cinética de gases, sistemas ópticos, . . . )

Teoría de la señal

Descripción defrentes de onda y pantallas pixeladas

Reconstrucción de la forma de la córnea. Detección de aberraciones

Problemas relacionados con el pulido de superficies ópticas

Transformada de Radon atenuada: Tomografía computerizada (TC) y tomografía de emisión (PET)

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Problemas abiertos

1 _Aplicaciones

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Clásicos de Krall y Sheffer en dos variables (1967)

Estudio y clasificación de los polinomios ortogonales en dos variables solución de la EDP

awxx+2 bwxy+cwyy+dwx+ewy =λnw

a,b,cde grado ≤ 2, d,ede grado ≤ 1,

λn∈ R depende delgrado total del polinomio solución

Generalización de la ecuación diferencial de Bochner en una variable

σ(x)y00+ρ(x)y0 =λny

con gradoσ≤ 2, gradoρ≤ 1,λn∈ R

Generalización de la EDP de los polinomios de Hermite, Appell, bola en dos variables,...

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Clásicos de Krall y Sheffer en dos variables (1967)

Deducennueve clases de polinomios ortogonales clásicos en dos variables:

Productos de Hermite y/o Laguerrepor Hermite y/o Laguerre Polinomios de Appell

Polinomios sobre la bola

Tresmásasociadas a funcionales no definidos positivos Las clases adicionales de P. K. Suetin (1999)

Obtieneseis clases más.

Algunas sonafínmente equivalentesa otras, pero sus propiedades sonconsiderablementedistintas.

NOincluyen los productos de polinomios de Jacobi, puesλdepende de los grados parciales

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Suetin, pág. 130

Por otra parte, el problema de la clasificación en detalle de todas las ecuaciones admisibles de segundo orden asociadas con polinomios ortogonales en dos variables continua esperando su solución.

Problema abierto

Análisis de las seis clases adicionales de Suetin. Investigar en qué forma afectan los cambios de variable afín a las propiedades de los polinomios ortogonales en dos variables.

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Clásicos bivariados (Fernández, Pérez, Piñar, 2005)

Un OPS{Pn}nesclásicosii existen matricesΛntales que

L[Ptn]=PtnΛtn donde L[Ptn]≡ div(Φ∇Ptn) +Ψ˜t∇Ptn con Φ=a b c d , gr(Φ) ≤ 2, Ψ=d e , gr(Ψ) ≤ 1, Ψ˜ =Ψ− divΦ L[Ptn]=a∂xxPtn+ 2b∂xyPtn+c∂yyPtn+d∂xPtn+e∂yPtn

Caso Krall y Sheffer:Λn=λnIn+1

Incluye todos los productos tensores

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Caracterizaciones

Son equivalentes EDP matricial

div(Φ∇_Pt_n) +Ψ˜t∇_Pt_n=PtnΛtn

Ecuación matricial de tipo Pearson div(Φu) =Ψtu Relación de estructura

Φ∇_Pt_n= (I2⊗Ptn+1) Fn+1n + (I2⊗Ptn) Fnn+ (I2⊗Ptn−1) Fn−1n

Ortogonalidad de los gradientes

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Problemas abiertos

Problema abierto

Clasificar, salvo cambio de variable, todos los OPS clásicos en dos variables, esto es, todos los OPS solución de una ecuación diferencial en derivadas parciales matricial de la forma anterior.

2a _{rel. de estructura}_{(Marcellán, Branquinho, Petronilho, 1994)}

Una SPOM univariada es clásica si y sólo si

Pn(x) = P_n+10 (x) n + 1 + bn P_n0(x) n + cn P_n−10 (x) n − 1 , n ≥ 2, cn6= 0 Problema abierto

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Semiclásicos en dos variables (Álvarez de Morales,

Fernández, Pérez, Piñar, 2007)

uessemiclásicosi div(Φu) =Ψtu donde Φ=a b c d , Ψ=d e gradoΦ= p ≥ 0, gradoΨ= q ≥ 1 Caracterizaciones Relación de estructura

Cuasi–ortogonalidad de los gradientes Relación difero–diferencial

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Problema abierto

upuede satisfacer más de una ecuación de tipo Pearson:

div(Φu) =Ψtu, Φ=a b c d , Ψ=d e Problema abierto

Determinar si una ecuación de tipo Pearson esminimal, en el sentido de cuándo los grados de las matrices coeficientes son mínimos.

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Análogos a los clásicos (Koornwinder 1975)

Class V 1 1 x 1 1 y Class V 1 1 x 1 1 y Class VI 1 1 u 1 1 v Class VI 1 1 u 1 1 v Class VII x y Class I & II 1 1 x 1 1 y Class I & II 1 1 x 1 1 y Class III 0 1 x 1 1 y Class III 0 1 x 1 1 y Class IV 0 1 x 1 y Class IV 0 1 x 1 y

Clases I & II: Polinomios sobre la bola Clase IV Polinomios de Appell

Clase V Producto tensor de polinomios de Jacobi Clases II, III, IV y V generadas por una técnica especial

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Técnica de Koornwinder (1975)

ω1(x)función peso en(a1, b1),

ω2(y)función peso en(a2, b2),

ρ(x)función positiva en(a1, b1)tal que

ρ(x)es un polinomio de grado ≤ 1, o

ρ2_(x)_{es un polinomio de grado ≤ 2, y}_ω

2(x)es simétrica.

{p(k)n (x)}n≥0 OPS asociada aρ2k+1(x)ω1(x), k ≥ 0.

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Técnica de Koornwinder (1975)

Para 0 ≤ k ≤ n Pn−k,k(x, y)=p(k)_n−k(x)ρk(x)qk y ρ(x)

son polinomios de grado (total) n, ortogonales con respecto a hPn−k,k,Pm−h,hi = Z Ω Pn−k,k(x, y) Pm−h,h(x, y)W (x, y)dx dy, donde W (x, y)=ω1(x) ω2 y ρ(x) en Ω= {(x, y) : a1 < x <b1,a2ρ(x)< y <b2ρ(x)}.

Siρ(x) = 1, obtenemos elproducto tensorde polinomios en una variable.

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Problemas abiertos

Determinar una expresión explícita para elnúcleo en dos variablesen términos de los núcleos de los polinomios en una variable.

Relacionar el comportamiento asintótico de los núcleos

Estudiar laexistencia y localización de los cerosdel OPS en dos variables en términos de los ceros de los polinomios univariados que lo define

(18)

Problemas abiertos

Relaciones entre lasimetría en una variabley lasimetría centralo cuasi–centralde los pesos construidos por la técnica de

Koornwinder.

Determinar condiciones bajo las cuales los polinomios

ortogonales bivariados construidos con latécnica de Koornwinder a partir de funciones peso clásicas en una variable son clásicos en dos variables

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Polinomios de Krall en dos variables (Fernández,

Pérez, Piñar, 2011)

{Pn}n≥0un OPS asociado auregular. Se diceBochner–Krallsi existe

LN[·] ≡ N X h=1 h X i=0 ah−i,i(x, y) ∂h ∂xh−i_∂yi,

y matricesΛn∈ Mn+1(R), n ≥ 0, tales que HnΛtn=ΛnHn, y

LN[Ptn] =PtnΛtn

Teorema

hLN[p]u, qi = hLN[q]u, pi,

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Problemas abiertos

Para N = 2 y matriz escalar, recuperamos el caso de Krall & Sheffer

Problemas abiertos

Clasificarlos OPS que son funciones propias deun operador de cuarto orden asociado a una matriz escalar(operadores tipo Krall y Sheffer) (Martínez, Piñar, 2015)

Estudiarlos OPS en dos variables que son funciones propias de operadores en derivadas parciales decuarto orden asociados a matrices Λnen general

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Modificación de Uvarov

ξ1, ξ2, . . . , ξN ∈ Rd, N ≥ 1

Λmatriz N × N semidefinida positiva

vperturbación de un funcional de momentos regularu

hv, f gi = hu, f gi + (p(ξ1), p(ξ2), . . . , p(ξN))Λ      q(ξ1) q(ξ2) .. . q(ξN)      Resultados:

Condiciónnecesaria y suficiente para laregularidad dev

Relaciones explícitas entre los respectivos OPSs y los respectivos núcleos

Asintóticaen casos particulares

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Modificación de Uvarov

2010Fernández, Pérez, Piñar, Xu:Bola con masa en el origen 2010Delgado, Fernández, Pérez, Piñar, Xu:Appell con masas en los vértices

2012Delgado, Fernández, Pérez, Piñar:Bolaen R2 _{con masas}

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Modificación de Uvarov

Problemas abiertos

Siuessemiclásico, demostrar quev lo es y relacionar las ecuaciones de tipo Pearson.

Encontrar un OPS asociado a unamodificación de Uvarov de un funcional clásicoque seasolución de una EDP de cuarto orden con matriz escalar (tipo Krall).

Conexionesentre las matrices–coeficientes de lasrelaciones a tres términos

Relaciones entre los ceros

Modificacionesañadiendo masas a lo largo dearistas, fronteras, etc.de las regiones de ortogonalidad

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Polinomios ortogonales de Sobolev en varias variables

Productos escalares que involucran operadores de derivación

Año Bd EDP 2 orden Td Type en general

2006 Xu Lee, Littlejohn 2008 Xu 2009 Piñar, Xu 2010 Bracciali, Delgado, Fernández, Peréz, Piñar 2011 Mello, Paschoa, Pérez, Piñar 2013 Delgado, Akta¸s, Xu Pérez, Piñar Pérez, Piñar, Xu Li, Xu(arXiv) 2015 Dueñas, Garza, Piñar

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Problemas abiertos

OPS, ceros, núcleos, asintótica, series de Fourier, EDPs, etc., Productos de Sobolev continuos:

hf, giS = hu, f gi + hv, (∇f )t

θ0 θ1

θ1 θ2

∇gi

Productos de tipo Sobolev

hf, giS = hu, f gi+∇f (ξ)tΛ∇g(ξ) = hu, f gi+ d

X

i,j=1

λi,j∂if (ξ) ∂jg(ξ)

Productos de Sobolev discreto–continuos

hf, giS= f (ξ) g(ξ) + λ hu, (∇f )t∇gi

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Relaciones lineales entre OPS

{Pn}n≥0y{Qn}n≥0PS verificandoQ0=P0 y Qn=Pn+ MnPn−1, n ≥ 1, donde Mn∈ Mrd n×rn−1d Resultados

Si ambas sonortogonales=⇒u= λ(x)v, con gr(λ(x)) ≤ 1. Además

o bienQn ≡Pn, n ≥ 0

o bien el rango de Mnes máximo n ≥ 0

Si sólo una es ortogonal, determinar cuándo lo es la otra Relaciones entrefamilias adyacentes: Polinomios de Appell, producto de Jacobi, producto de Laguerre

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Problemas abiertos

Extensión de la definición de pares coherentes a varias variables Relación con productos escalares de Sobolev

Estudiar lasrelaciones lineales para PS centralmente simétricos. Los polinomios sobre la bola unidad son centralmente simétricos, y satisfacen una relación lineal simétrica. ¿Qué relación existe entre ambos conceptos?

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Problemas abiertos

1 _Aplicaciones

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