EJERCICIOS RESUELTOS HIDRO- ESTATICA-
EJERCICIOS RESUELTOS HIDRO- ESTATICA- DINAMICA
DINAMICA
PROBLEMA 1 PROBLEMA 1
Determinar la presión en un punto sumergido a 6 m de
Determinar la presión en un punto sumergido a 6 m de profundidad en una masa de agua.profundidad en una masa de agua. En el sistema MKS tenemos:
En el sistema MKS tenemos:
PROBLEMA 2 PROBLEMA 2
Determinar la presión ejercida sobre un punto sumergido a 9 mtrs en un aceite de Determinar la presión ejercida sobre un punto sumergido a 9 mtrs en un aceite de densidad relativa:
densidad relativa:
En el Sistema Técnico tenemos: En el Sistema Técnico tenemos:
PROBLEMA 3 PROBLEMA 3
A
A qué qué profuprofundidndidad ad de de un un aceitaceite e de de densdensidad idad relatrelativa iva , , se se produproducirá cirá unauna presión
presión de de 2.80 2.80 . A . A cual cual sí sí el el líquido líquido es es agua?agua? En el Sistema Técnico tenemos:
En el Sistema Técnico tenemos:
Si fuera agua
PROBLEMA 4 PROBLEMA 4
Convertir una altura de presión de 5 m de agua en altura de aceite de densidad relativa Convertir una altura de presión de 5 m de agua en altura de aceite de densidad relativa
Trabajando con unidades del Sistema
Trabajando con unidades del Sistema Técnico tenemos:Técnico tenemos:
PROBLEMA 5 PROBLEMA 5
Con referencia a la f
Con referencia a la figura 1, las áreas del pistón igura 1, las áreas del pistón A y del A y del cilindro B son respectivamente decilindro B son respectivamente de 40 cm² y 4000 cm²; B pesa 4000 Kgr.
40 cm² y 4000 cm²; B pesa 4000 Kgr. Los depósitos y las coLos depósitos y las conducciones estánducciones están llenos den llenos de aceite
aceite de de densidad densidad relativa relativa . . Cuál Cuál es es la la fuerza fuerza F F necesaria necesaria para para mantener mantener elel equilibrio si se desprecia el peso de A?
equilibrio si se desprecia el peso de A?
Figura 1 Figura 1
En el
En el Sistema TécnicSistema Técnico de unidado de unidades tenemos:es tenemos:
acac 0 7500 750,,
acac 0 7500 750,,
Como los puntos a y b están al mismo nivel (igual Como los puntos a y b están al mismo nivel (igual profundidad) dentro de
profundidad) dentro de un misun mismo mo líquido, entonceslíquido, entonces están a la misma presión
están a la misma presión
6,67 mts de aceite de 6,67 mts de aceite de 750750 33 m m Kgr Kgr ac ac 3 3 2 2 750 750 5000 5000 m m Kgr Kgr m m Kgr Kgr p p h h ac ac ac ac = = 22 m m Kgr Kgr 3 3 m m Kgr Kgr = 1000 = 1000 w w w whh p p w w ac ac ac ac 10001000 33 00,,750750 750750 33 m m Kgr Kgr m m Kgr Kgr ac ac w w ac ac
PROBLEMA 6
Determinar la presión manométrica en la tubería de agua A en Kgr/cm2 debida a la columna de mercurio (densidad relativa Hg= 13,6) en el manómetro en U mostrado en la figura 2.
Figura 2
por ser puntos que están a un mismo nivel dentro de un mismo líquido en reposo.
En el Sistema Técnico tenemos:
Otra forma de resolverlo es empleando las alturas de presión en metros de agua. Como:
y
En este problema se sumaron alturas de un mismo líquido, como debe ser, en éste caso metros de agua.
p B pC
PROBLEMA 7
Un manómetro (Tubo en U) que contiene mercurio (densidad relativa Hg= 13.6), tiene su brazo derecho abierto a la presión atmosférica y su brazo izquierdo conectado a una tubería que transporta agua a presión. La diferencia de niveles de mercurio en los dos brazos es de 200 mm. Si el nivel del mercurio en el brazo izquierdo está a 400 mm por debajo de la línea central de la tubería, encontrar la presión absoluta en la tubería. También encontrar la nueva diferencia de niveles del mercurio en el manómetro, si la presión en la tubería cae en 2 x 103 N/m2 .
Figura 3
Comenzando por el brazo izquierdo y haciéndolo por alturas de presión tenemos: a)
La presión absoluta correspondiente será:
b)
Figura 4
Si la presión baja en 2 103 , los niveles del mercurio se modificarán tal como aparecen en la figura 4 N m2 2 m N Abs
p
2 m N = 124,05 103 (22,76 103+ 101,396 103)Reemplazando los valores de P/ρg
Por lo tanto
2,116 m = 2,32 m – 26,2 X
. La nueva diferencia de niveles será:
200 mm - 2X = 200 mm – 15,57 mm = 184,43 mm
Otra manera de resolver la segunda parte de este problema sería:
De la figura 5 se observa que cuando el manómetro no está conectado al sistema, los niveles de mercurio en ambos brazos se igualarían a 300 mm debajo de la línea central de la tubería.
Figura 5
Escribiendo la ecuación manométrica para las nuevas condiciones tenemos
m seg m m Kgr m N 116 , 2 81 , 9 10 10 76 , 20 2 3 3 2 3 = 7,79 m.m m m m m X 7,786 10 3 2 , 26 204 , 0 2 , 26 116 , 2 32 , 2
PROBLEMA 8
Determinar la fuerza resultante F debida a la acción del agua sobre la superficie plana rectangular AB de medidas 1 m 2 m que se muestra en la figura 6
Figura 6
Ubicación
Por prisma de presiones:
Figura 7 m m m Sen m m m m h 2,35 4 , 4 12 8 2 , 2 90 2 , 2 1 2 2 1 12 1 2 , 2 2 2 0 4 3 0 2 0 Sen Ah Ig h h cg cg
m m
m m Kgr F 1000 3 2,2 2 1 A h F cg En el Sistema Técnico Kgr F 4.400Ubicación
Figura 8
Volumen Rectángulo = 1,2m 2m 1m = 2400 Kgr con aplicación de este empuje en el centro de gravedad del Rectángulo.
Empuje que estaría aplicado a 2/3 de la altura del triángulo, a partir del vértice del mismo. Tomando sumatoria ( de Momentos con respecto al punto O en el vértice del triángulo
4400 Kgr X(m)= 2400 Kgr 2,2 m + 2000 Kgr (2/3(2)+1,2) m
PROBLEMA 9
Determinar la fuerza resultante debida a la acción del agua sobre el área triangular CD de 1,2 m 1,8 m mostrada en la figura 9, C es el vértice del triángulo.
Figura 9 F = hcg A
Como es un triángulo, su centro de gravedad estará a 2/3 de C o sea 2/3 1,8 m = 1,2 m de C X cg= 1,414 m + 1,2m = 2,614 m y el hcgserá: 2 0 Sen Ah Ig h h cg cg Kgr m m angulo VolumenTri 2000 2 1 2 ) 2 , 1 1 , 3 ( m Kgr Kgr Kgr X m m m 2,35 400 . 4 66 , 5066 5280 ( ) ( ) ) ( CF m Sen450 1 m Sen m CF 1,414 45 1 0
Ubicación del Empuje Xcp= 2,683 m de F Figura 10 Ig = 1/36 bh3 = 1,848 m + 0,0974 Sen² 45 = 1,897 m Kgr m m m m Kgr A h F m Sen m h m h Sen cg cg cg 84 , 1995 2 8 , 1 2 , 1 848 , 1 1000 848 , 1 45 614 , 2 614 , 2 45 3 m m m m m m AX Ig X X cg cg cp 614 , 2 2 8 , 1 2 , 1 8 , 1 2 , 1 36 1 614 , 2 3 3 0 2 3 3 0 2 45 848 , 1 2 8 , 1 2 , 1 8 , 1 2 , 1 36 1 848 , 1 45 Sen m m m m m m Sen h A Ig h h cg cg cp
EJERCICIOS RESUELTOS HIDRODINAMICA
PROBLEMA 1
Por una tubería de 30 cms de diámetro circulan 1800 l/min, reduciéndose después el diámetro de la tubería a 15 cms. Calcular las velocidades medias en ambas secciones de la tubería.
PROBLEMA 2
Si la velocidad en una tubería de 30 cms es de 0,5 m/seg, cuál será la velocidad en el chorro de 7,5 cms de diámetro que sale por una boquilla unida al extremo de la tubería?
PROBLEMA 3
Una tubería de 300 mm de diámetro que transporta agua a una velocidad promedio de 4,5 m/seg, se divide en 2 ramales de 150 mm y 200 mm respectivamente. Si la velocidad promedia en la tubería de 150 mm es 5/8 de la velocidad en la tubería principal; determinar la velocidad media en la tubería de 200 mm y el flujo total en el sistema en l/seg. (Ver figura 3.21).
PROBLEMA 4
Figura 3.22
El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 20 cms en A; a 40 Cms en B, Figura 3.22 A está 4,5 mts abajo de B, si la presión relativa en A es de 0,7 Kgr/cm2 y en B de 0,6 Kgr/cm2cuando hay 105 lts/seg de gasto.
Determinar:
a) El sentido del flujo
b) La pérdida de frotamiento entre los dos puntos.
a) El sentido del flujo quedará determinado por la suma de las energías en A y en B; la corriente irá del punto de mayor energía al de menor energía.
Suma de energías en B:
Suma de energías en A:
Como 10,536 > 7,568 m, entonces la circulación del flujo es de B hacia A. b) Tomando la diferencia entre la suma de las cargas, tenemos:
Este resultado indica que por cada kilogramo de agua que pasa de B a A se pierden 2,968 kilográmetros de energía; o lo que es lo mismo las pérdidas de energía entre A y B son de 2,968 kilográmetros por cada kilogramo de agua.
PROBLEMA 5
El diámetro en el tubo de la figura 3.22 cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B; A está 4,5 mts abajo de B. Si la presión en A es 0,7 kgm/cm2, y en B de 0,6 kg/cm2, determínese el gasto en lts/seg despreciando el rozamiento.
PROBLEMA 6
El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B, Figura 3.22. A está 4,5 m abajo de B. Cuál debe ser la diferencia de presiones registradas por 2 manómetros colocados en A y B cuando hay un gasto de 200 lts/seg, despreciando el rozamiento?
Por el Teorema de Bernoulli:
PROBLEMA 7
El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B, Figura 3.22. A está 4,5 m abajo de B. Determínese el gasto en lts/seg cuando hay la misma presión en los dos puntos. Depréciese el rozamiento.
2 126 , 0 m A B 2 3 m A seg m Q V A A
Aplicando el Teorema de Bernoulli entre A y B
PROBLEMA 8
El diámetro de un tubo cambia gradualmente de 0,20 m en A, a 0,40 m en B. Si la presión en A es de 0,20 Kgr/cm2 mayor que en B, cuál es la diferencia de nivel entre esos dos puntos si fluye un caudal de 200 lts/seg? Despréciense las pérdidas.
Aplicando el Teorema de Bernoulli entre A y B:
PROBLEMA 9
Figura 3.23
En la figura 3.23 se muestra un sifón que descarga agua de un tanque. La diferencia de nivel entre un punto A en la superficie libre y el vértice del sifón es: a = 1,5 mts y la
diferencia de nivel entre el vértice y un punto B en la salida es de: b = 6,4 mts; el
diámetro de la tubería es de 0,15 mts.
Si hay una pérdida por rozamiento de 0,90 mts entre Ay el vértice del sifón, y de 1,10 mts
entre el vértice yB; ¿Cuál es la presión absoluta en el vértice expresada en Kgr/cm2?
Determínese también el gasto en lts/seg. La presión atmosférica del lugar es de 58,6 cm de Hg.
p A = pB en este caso, presión atmosférica en ambos puntos; También hB = 0, sí nuestro nivel de referencia pasa por el punto B.
Como se considera flujo permanente, 7,54 m/seg es la velocidad corriente en todo el sifón.
Bernoulli entre A y C
Como la presión en el punto C es superior a cero, entonces si es posible el flujo por el sifón de las condiciones anteriores; ya que se estaba trabajando con presión absoluta:
PROBLEMA 10
Figura 3.24
En la figura 3.24, a = 1,8 mts; b = 6,0 mts; el diámetro en el vértice es de 12,7 cms y en B es de 15,2 cms.
Determínese el gasto en lts/seg, así como la presión absoluta en el vértice, despreciando el rozamiento. La presión atmosférica en el lugar es de 58,6 cms de Hg. (También conservando el diámetro de 15,2 cm pero con b = 8,0 mts)
Bernoulli entre A y B:
p A = pB = Presión atmosférica
Bernoulli entre C y B:
El flujo no es posible con estás condiciones del sifón, ya que en el punto Cse tendría
una presión negativa, lo cual no es posible cuando trabajamos con presiones absolutas
Hidrostática
1. La figura muestra un cilindro invertido cerrado herméticamente por un pist ón con una
superficie de y un peso de que se desliza sin fricción. El peso y el
volumen del cilindro pueden ser despreciados. Inicialmente, el cili ndro y el pistón son
sostenidos por la barra en el aire a una presión de y la longitud
cuando el pistón está en estado de equilibrio. Luego el cilindro y el pistón s on
introducidos en el líquido hasta una posición en la que no hay tracción ni compresión en
la barra. En dicha posición . Asumiendo que el gas en el cilindro permanece a
una temperatura constante y que su peso es despreciable:
1. Calcular la tensión inicial en la barra en .
3. Calcular el peso específico del líquido (relativo al agua).
4. Determinar si la posición final es de equilibrio estable, inestable o neutro.
3. Respuesta
1. Si consideramos despreciable el peso del aire, la tensión inicial de la barra es
igual al peso del pistón: . Si deseamos tener en cuenta la densidad finita
del aire, se puede calcular la masa de aire contenida en el interior del cilindro
utilizando la aproximación de gas ideal: . La presión interna debe
ser tal que su diferencia con la presión atmosférica multiplicada por el área del
pist'on se iguale al peso del mismo: , de donde:
. Calculamos el número de moles de aire:
y tomando la masa molecular del aire en , llegamos a de
aire en el interior del cilindro. A la misma temperatura, pero a presión
atmosférica, habría una cierta cantidad de aire ocupando el espacio del cilindro con el pistón:
En gramos: . La tensión de la barra será igual al peso del pistón más el peso del aire en el interior del cilndro, menos el empuje del aire desplazado:
Como se ve, despreciar el peso del aire conduce a un error menor al .
2. Siguiendo con la aproximación de gas ideal y considerando que la temperatura no
cambiará, el producto se mantiene:
(1)
3. 4. donde es la longitud indicada en la figura, en el estado de equilibrio. Además
sabemos que en equilibrio, la diferencia de presiones entre las caras del pistón es igual a su peso:
(2)
5. 6. y que las presiones en la cara inferior del pistón y en la cara superior del cilindro
pueden calcularse como:
(3) (4)
7.
8. y finalmente que en la condición de equilibrio:
(5) 9. 10. Estamos en condiciones de calcular, usando las ecuaciones 1 a 5, las 5 incógnitas:
(6) 11.
12. Despejando de (4), reemplazando en (6) y operando se llega a:
(7)
13.
14. reemplazando por lo indicado en (5):
15. 16.
17. De la ecuación (1) se puede despejar :
de (6) y (5):
O sea, un peso específico de .
18. Dado que el único grado de libertad es la posición vertical del cilindro,
analizaremos la estabilidad ante una perturbación en la posición de equilibrio: . Si se sumerge el sistema un poco más allá de la posición de equilibrio, la presión en su interior aumentará, y, aplicando la ecuación de estado del gas en su interior, su volumen decrecerá. Este menor volumen hará que el empuje ejercido por el fluido sobre el sistema cilindro-pistón se haga menor, y el sistema tenderá a bajar aún más por efecto del peso que no cambió. Por lo tanto el equilibrio del
sistema es inestable. (También se puede plantear la hipótesis opuesta: una menor profundidad conduce a menor presión en el interior del cilindro, que conduce a
mayor volumen y por lo tanto mayor empuje que supera al peso del sistema y tiende a hacer flotar aún más al dispositivo)
4. Un manómetro de tres fluidos como el que se muestra en la figura se utiliza para medir
diferencias de presión muy pequeñas. Sabiendo que se utiliza la misma
cantidad de líquido en ambos reservorios obtenga:
1. La ecuación que relaciona la diferencia de altura medida en las ramas con la diferencia de presión como función de las densidades de los
fluidos utilizados ( , , ) y las áreas de los
reservorios y las ramas ( y respectivamente).
2. ¿Cómo elegiría estos parámetros para aumentar la sensibilidad del instrumento?
6. Respuesta:
1. Dadas las distancias marcadas en la figura, la presión se puede
calcular de dos maneras, integrando en cada una de las ramas:
Simplificando, se eliminan :
2. La sensibilidad será mayor cuanto menor sea la expresión:
Suponiendo que no se puede cambiar la densidad del líquido donde queremos
medir la diferencia de presión, se puede hacer mínima la relación de áreas y
la diferencia de densidades entre los líquidos del manómetro.
7.
8. Considere la compuerta en forma de L que se muestra en la figura. Dicha compuerta tiene
un ancho (B-C) y puede rotar libremente (sin fricción) alrededor de un eje
(perpendicular a la hoja) que pasa por el punto . Despreciando el peso de la puerta, ¿Cuál
es el valor de la altura para el cual la compuerta se abre automáticamente?
10. Respuesta: Planteamos equilibrio de momentos con respecto al punto de giro de la
compuerta. Las fuerzas actuantes son las de presión actuando en la parte horizontal de la compuerta ( porque actúa en dirección vertical) y la integral de la presión actuando en
la parte vertical, que llamaremos . La línea de acción de estará centrada en la
parte horizontal de la compuerta, con un brazo de palanca , porque en esa sección
la presión es uniforme. Para hallar la línea de acción de podemos integrar el momento
producido por las presiones, o podemos recurrir a la fórmula para calcular el ``centro de
presiones'': , donde es el ángulo de inclinación, en este caso . A es
el área de la superficie, en nuestro caso (suponiendo profundidad unitaria). es la
presión en el centro geométrico de la superficie, en este caso . El
momento de inercia de un segmento es . Resultando:
11. 12.
13. El brazo de palanca de será . Las magnitudes de y se calculan
como el producto de la presión en los centros geométricos de la s superficies respectivas por sus áreas:
14. 15.
16. Sólo resta tener en cuenta las fuerzas de presión en el exterior de la compuerta, que estará dada por la presión atmosférica (aproximadamente constante):
17. 18.
19. Reemplazando y operando: 20.
21.
22. Observación: Nótese que si bien algunos valores intermedios (por ejemplo la ubicación del centro de presiones) dependen de la presión atmosférica, el resultado final no. Esto es porque sumar una constante a la presión - a ambos lados de la compuerta- no altera el
equilibrio de fuerzas. Teniendo esto en cuenta se podría haber considerado para simplificar los cálculos
