C u r s o :
Matemática
Material N° 38
GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 38
UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Y VOLÚMENES
ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA
Dado un vector posición p = (p1, p2) y otro vector dirección d = (d1, d2) la ecuación de la recta que contiene al punto p y tiene la dirección de d es:
r() = p + d
r() = (p1, p2) + (d1, d2)
r() = (p1+ d1, p2+d2) Ecuación vectorial de la recta
en donderepresenta un número real cualquiera, que varía entre ]-, +[.
OBSERVACIONES:
La ecuación vectorial de una recta en lR3, se trabaja de la misma forma, con tres
coordenadas para el vector posición y el vector dirección.
El vector dirección se puede determinar a través de la diferencia de dos vectores posición.
EJEMPLOS
1. La ecuación vectorial de una recta que tiene posición (1, 4) y dirección (-2, 4) es:
A) r() = (1 + 4, -2 + 4) B) r() = (1 + 2, 4 + 4) C) r() = (-2 + , 4 + 4) D) r() = (1 - 2, 4 + 4) E) r() = (-2 + 4, 1 + 4)
p1 Y
X p
d
p2
d1
d2
2. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones vectoriales representa(n) a la recta que pasa por los puntos (4, 6) y (3, 8)?
I) r() = (4 + 3, 6 + 8) II) m() = (4 + , 6 - 2) III) v() = (3 - , 8 + 2)
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo II y III
3. La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (3, 1, -3) con vector dirección (2, 4, 1), corresponde a
A) r(t) = (2+ 3t, 4 + t, 1 – 3t) B) r(t) = (5t, 5t, -2t)
C) r(t) = (3 + 2t, 1 + 4t, -3 + t) D) r(t) = (3 + t, 1 + 3t, -1 – 2t) E) r(t) = (2 + 4t, 1 + 3t, -3 + t)
4. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones vectoriales contiene al punto (2, -1, 3)?
A) m() = (5 -, -7 + 2, 12 - 3) B) p(t) = (6 – t, 5 + 2t, 8 – 2t) C) r() = (2 + , 2 + 2, 6 -) D) v() = (8 - , 1 + 3, 3 -) E) s() = (5 - , 3 + 2, 1 +)
5. ¿Cuál(es) de las siguientes ecuaciones vectoriales representa a una recta que pasa por los puntos (6, 2) y (-2, 3)?
I) m(t) = (6 – 2t, 2 +3t) II) s() = (6 + 8, 2 -) III) v(f) = (14 – 8f, 1 + f)
A) Solo I B) Solo III C) Solo II y III D) I, II y III
ECUACIÓN PRINCIPAL DE UNA RECTA A PARTIR DE LA ECUACIÓN VECTORIAL
Sea r() = (p1 +d1, p2 + d2), con vector posición p = (p1, p2) y vector dirección d = (d1, d2), entonces:
ecuaciones paramétricas
se despeja de cada una de las ecuaciones paramétricas y se igualan:
1 1 x p
d
; 2
2 y p
d
= ecuación continua
De la ecuación continua se puede obtener la ecuación principal de la recta, de la forma y = mx + n:
xd2– p1d2= yd1 – d1p2
xd2+ d1p2 – p1d2= yd1 ecuación principal
Donde m = 2
1 d d
OBSERVACIÓN:
Arreglando los términos de la ecuación principal, es posible obtener la forma general de la
recta: ax + by + c = 0.
EJEMPLOS
1. Las ecuaciones paramétricas de la recta de vector posición (5, 3) y vector dirección (2, -1) son
A) x = 5 + 3t y = 2 - t B) x = 5 – t y = 3 + 2t C) x = 5 – 2t y = 3 + t D) x = 3 – t y = 5 + 2t E) x = 5 + 2t y = 3 - t
2. Las ecuaciones paramétricas de una línea recta son x = 6 + 2; y = 3 - , entonces su ecuación continua es
A) x 6 = y + 3
2 -1
B) x 2 = y 3
6 -1
C) x 6 = y 3
2 -1
D) x 6 = y 3
2 1
E) x + 6 = y + 3
2 1
x = p1+d1 y = p2+d2
1 2
1 2
x p =y p
d d
2 1 2 1 2
1 1
3. Si la ecuación continua de una recta corresponde a x 2 = y + 2
5 3
, entonces ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) El vector dirección es (5, 3).
II) El vector posición corresponde a (2, -2).
III) La ecuación y = 3x 16
5 5 , corresponde a la ecuación principal de la recta.
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III
4. La ecuación principal de la recta que corresponde a la ecuación vectorial r(t) = (2 – t, 3 + 4t) es
A) y = -4x + 11 B) y = -4x + 5 C) y = 4x + 5 D) y = x + 1 E) y = 4x +1
5. ¿Cuál(es) puede(n) ser una expresión vectorial de la recta y = 2x – 6?
I) x 3 = y
1 2
II) x 1 = y + 4
1 2
III) x 3 = y 3
2 2
A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) I, II y III
6. La pendiente de la recta de ecuación vectorial r() = (1 +2, -1 + 3) es igual a
A) -1 B) 1
2 C) 2 D) 3 E) 3
RECTAS PARALELAS EN FORMA VECTORIAL
Si se tienen dos rectas, en su forma vectorial r1() = p + d y r2() = q + s, entonces
r1() es paralelo a r2(), si d = k · s, con kperteneciente a los reales.
RECTAS PERPENDICULARES EN FORMA VECTORIAL
Si se tienen dos rectas, en su forma vectorial r1() = p + d y r2() = q + s con
d = (d1, d2) y s = (s1, s2), entonces r1() es perpendicular a r2(), si d1· s1 + d2· s2= 0.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de las siguientes rectas representa una recta paralela a la recta r() = (3 – 3, 2 – 4)?
A) m() = (1 +, 2 + ) B) m() = (1 + 6, 3 + 4) C) m() = (2 + 3, 3 – 4) D) m() = (2 + 6, 3 + 8) E) m() = (5 – 3, 6 + 4)
2. ¿Cuál de las siguientes rectas es perpendicular a r() = (1 – 1, 4 + 2)?
I) m() = (4 + 2, 3 +) II) v() = (2 + 6, 3 + 3) III) p() = (5 – 4, 2 – 2)
A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III
3. Si r1() = (2 + 3, 3 – 2) y r2() = (1 + 2, 4 + k), entonces ¿cuál debe ser el valor de kpara que r1 sea perpendicular a r2?
A) -2 B) 1 C) 2 D) 3
DETERMINACIÓN DEL PLANO:
Un plano queda determinado básicamente por una recta y un punto no perteneciente a ella (fig. 1), como también en los siguientes casos:
Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 2).
Tres puntos no colineales (fig. 3).
Por dos rectas paralelas (fig. 4).
EJEMPLO
1. Señale cuál de las siguientes opciones es verdadera:
A) Un plano queda bien determinado por tres puntos colineales.
B) Un plano queda determinado por una recta y un punto perteneciente a ella. C) Por dos puntos pasa un único plano.
D) Un plano está determinado por los lados opuestos de un paralelogramo
E) Un plano se puede determinar por la recta de ecuación y = 3x + 2, y el punto (-1,-1).
L1
L2
P
fig. 2
L1
L2
P
fig. 4
L1
A P
fig. 1
A P
DEFINICIONES
POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristasy la intersección de las aristas se llamanvértices.
PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).
ÁNGULO DIEDRO:Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto.
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?
I) El cubo tiene 6 caras equivalentes.
II) El paralelepípedo rectangular posee seis caras equivalentes.
III) Un prisma trapezoidal tiene como caras laterales trapecios y en sus bases rectángulos paralelos.
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III
2. El ángulo diedro formado por dos de las caras laterales de un prisma, cuyas bases corresponden a un hexágono regular, es
A) 30°
B) 60°
C) 90°
D) 120° E) 150°
Prisma Pentagonal Prisma trapezoidal
Ángulo diedro
Arista
P1
Semiplanos P2
Arista
CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS CUERPOS DE REVOLUCIÓN O CUERPOS REDONDOS:
Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje, son los que están limitados por superficies curvas o por superficies curvas juntamente con superficies planas:
ESFERA CILINDRO CONO TRONCO DE CILINDRO CON
CONO DOS CONOS
TRASLACIÓN:Se generan por traslación de una superficie plana:
EJEMPLOS
1. Para formar el cuerpo de revolución de la figura 1, la superficie que lo puede generar es
I) II) III)
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y II
E) Solo II y III
2. Indique cuál de los siguientes cuerpos puede ser generado por rotación y traslación a la vez
I) El cubo II) La esfera III) El cilindro
A) Solo I
B) Solo II
C) Solo III
D) Solo I y III
E) Ninguna de ellas
eje de giro
Prisma pentagonal
Prisma trapezoidal Prisma hexagonal
Prisma triangular Cilindro circular recto
CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS
NOMBRE FORMA ÁREA VOLUMEN
PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR
2(ab +bh + ah) a · b · h
HEXAEDRO REGULAR (CUBO)
6a2 a3
PRISMA RECTO RECTANGULAR
h(a + b + c)+ 2B
B = área basal Bh
CILINDRO RECTO
BASE CIRCULAR 2rh + 2r
2 r2 · h
EJEMPLOS
1. Si la diagonal del hexaedro regular que muestra la figura 2, mide 2 6 cm, entonces el área de la figura sombreada es
A) 8 cm2 B) 8 2 cm2 C) 6 2 cm2 D) 4 2 cm2 E) 6 cm2
2. Cada una de las caras del hexaedro regular se han achurado como se muestra en la figura 3. Si la superficie total achurada es de 24 cm2, ¿cuál es el volumen de cubo? (considere = 3)
A) 8 cm3 B) 48 cm3 C) 96 cm3 D) 48 6 cm3 E) 64 cm3
h
b a
a a
a
Volumen
Área de la base por la altura
r h
c b
a
h B
fig. 2
3. La figura 4, muestra un tubo cilíndrico de 3 m de altura y de radio 0,5 m. ¿Cuál es el área del manto del cilindro?
A) 1,5 m2 B) 3 m2 C) 6m2 D) 3
2 m2
E) 2m2
4. La figura 5, muestra un paralelepípedo cuyas aristas miden 2 cm, 3 cm y 6 cm. De las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s):
I) El área total del cuerpo es 72 cm2. II) El volumen del cuerpo es 36 cm3.
III) La mayor longitud rectilínea entre dos vértices del paralelepípedo es 7 cm.
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, III y III
5. Al desplazar ncm un triangulo equilátero de altura 3 (fig. 6) y obtener un prisma recto de volumen 9 cm3el valor de ndebe ser
A) 81 cm B) 27 cm C) 9 3 cm D) 3 3 cm
E) 4
3 3
cm
6. En la figura 7, el cuadrilátero ABCD es un rectángulo. Si AD = 3DC = 6a, entonces el área del cilindro generado al rotar el rectángulo respecto del lado AD es
A) 20a3cm2 B) 24a3cm2 C) 28a3cm2 D) 30a3cm2 E) 32a3cm2
fig. 5
6 cm
3 cm 2 cm
fig. 6
ncm
A
C D
fig. 7 fig. 4
NOMBRE FORMA ÁREA VOLUMEN
PIRÁMIDE RECTA
BASE CUADRADA 2ag + a
2
g = apotema lateral
2 1a · h 3
CONO RECTO
BASE CIRCULAR rg + r 2
g= generatriz 1 r · h3 2
EJEMPLOS
1. En la figura 8, la pirámide EFGIP está inscrita en el hexaedro regular. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I) La diferencia entre el volumen del cubo y la pirámide es el doble del volumen de la pirámide.
II) El volumen del cubo es tres veces el volumen de la pirámide.
III) El área del cubo es tres veces el área de la pirámide.
A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III
2. Al girar en torno al lado AB del rectángulo ABCD de la figura 9, se obtiene un cilindro de volumen
A) 32 B) 32 C) 12 D) 16 E) 16
Volumen
Área de la base por la altura dividido por tres
a a
g
h
r h g
fig. 8
E F
I G
P
fig. 9
A B
D C
NOMBRE FORMA ÁREA VOLUMEN
ESFERA 4r2 4 r3
3
EJEMPLOS
1. Para que el volumen de una esfera sea igual a 288 cm3 es necesario que su diámetro mida
A) 3 cm
B) 6 cm
C) 9 cm
D) 12 cm E) 16 cm
2. ¿Cuál es el menor volumen del paralelepípedo rectangular de la figura 10, que contiene tres esferas congruentes de volumen 36cm3cada una?
A) 36 · 18 cm3 B) 27 · 9 cm3 C) 27 · 3 cm3 D) 36 · 27 cm3 E) 36 · 3 cm3
3. En la figura 11, ¿qué radio debe tener una esfera para que su volumen y área sean iguales numéricamente?
A) 1 3 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
r
r fig. 11
6 cm
6 cm
PUNTOS EN EL ESPACIO
En la figura 1 observamos tres ejes X, Y, Z mutuamente perpendiculares que generan también tres planos perpendicularesXY, XZ, y el YZ.
El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el punto K está en el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A está “suspendido” en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene coordenadas (a, b, c).
OBSERVACIONES:Dados los puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2)
Distancia entre dos puntos: 2 1 2 2 1 2 2 1 2
AB
d = (x x ) + (y y ) + (z z )
Coordenadas del punto medio: x + x1 2, y + y1 2, z + z1 2
2 2 2
Vector AB: (x2 – x1 , y2– y1, z2– z1)
EJEMPLOS
1. En la figura 12, ¿cuál es la distancia entre el punto A (0, 4, 0) y el punto (6, 4, 8)?
A) 5
B) 4 5
C) 10
D) 10
E) 2 13
Z
Y
X
M A
c K
L
b a
fig. 1
fig. 12
4 y
A
6
x
8
fig. 14
y
x
z
2. El triángulo EFG de la figura 13, tiene sus vértices ubicados en las coordenadas E = (4, 0, 0), F = (0,4, 0) y G = (0, 0, 4). ¿Cuánto mide el área de la pirámide de base triangular que se forma con los ejes coordenados?
A) 48 + 8 3 B) 96 + 8 3 C) 48
D) 24 + 8 3 E) 96
3. Un hexaedro regular tiene tres de sus vértices ubicados en las coordenadas (3, 1, 0), (3, 1, 3) y (3, 4, 0) de la figura 14. ¿Cuál de las siguientes alternativas podrían considerarse las coordenadas de los vértices faltantes?
A) (3,4 3), (0,1,3) y (0,0,3) B) (3,4 3), (0,4,3) y (3,1,3) C) (0,1, 3), (3,1,3) y (3,3,3) D) (3,4 3), (0,1,3) y (0,4,3) E) (0,4, 3), (0,0,3) y (3,3,3)
fig. 13
y F
x
G z
RESPUESTAS
DMCAMA38
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Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5 6
1 y 2 D E C A C
3 y 4 E C E A D E
5 D E D
6 D
7 A D
8 D C
9 y 10 D E B E D E
11 C E
12 D A B
