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13 

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Texto completo

(1)

11.102 se vierte leche dentro de un vaso que tiene una altura de 140 mm y un

11.102 se vierte leche dentro de un vaso que tiene una altura de 140 mm y un

diámetro de 66mm interior. Si la velocidad inicial de la leche es de 1.2 m/s a un

diámetro de 66mm interior. Si la velocidad inicial de la leche es de 1.2 m/s a un

ángulo de 40º con la horizontal determine el rango de valores de la altura H

ángulo de 40º con la horizontal determine el rango de valores de la altura H

ara los cuales la leche entrará

ara los cuales la leche entrará en el vaso.

en el vaso.

40 40 cos cos

¿

¿

=

=

0.9190.919mm ss vv00 x x

=(

=(

1.21.2 m m ss

 ) ) ¿

¿

vv00 y y

=−

=−

((

1.21.2 m m ss

))

((

sensen4040

))

=−

=−

0.7710.771  m  m ss

Movimiento horizontal

Movimiento horizontal

 x  xf f 

=

=

 x x00

+

+

vv x x00

t t 

Movimiento vertical

Movimiento vertical

 y

 yf f 

=

=

 y y00

+

+

vv y y00

t t 

1 1 2 2 aa y yt t  2 2

Cuando la leche entra por B.

Cuando la leche entra por B.

 x  x

=

=

0.080.08mm

=

=

((

0.9190.919mm ss

))

t t  t t 

=

=

  0.08   0.08mm 0.919 0.919mm

//

ss  y  y

=

=

0.1400.140mm

=

=

hh b b

+

+

((

0.7710.771mm ss

))

((

0.0870.087ss

))

1 1 2 2

((

9.89.8  m  m ss22

))

((

0.0087 0.0087ss

))

22

B

B C

C

(2)

hb

=

0.140m

+

0.0670m

+

0.037m

hb

=¿

0.244m.

Cuando la leche entra por C.

 x

=

0.146m

=

(

0.919 m s

)

t  t 

=

0.146m 0.919m s

=

0.158s  y

=

0.140m

=

h c

+

(

0.771 m s

)

(

0.158s

)

1 2

(

9.8  m s2

)

(

0.158

)

2 hc

=

0.140m

+

0.121m

+

0.122m hc

=

0.383m

Entonces el rango donde la leche cae dentro del vaso es:

hb

<

h

<

hc

(3)

11.10! un gol"ista golea la elota con una velocidad inicial de 160"t/s# a un ángulo de 2$º con la horizontal. Si el terreno de %uego desciende con un ángulo de $º# determine la distancia d entre el gol"ista y el unto & donde la elota toca el terreno or rimera vez.

'omo rimera medida se ueden identi"icar los datos(

) *l lano cartesiano se u+ica con $º de decrecimiento ara oder tomar no solo los 2$º sino los $º restantes de "orma que ya el ángulo que se "orma al golear  la elota será de !0º

) ,o-160"t/s ) o-0

) Se uede o+servar que nuestra incgnita rincial es la distancia d recorrida or la elota en un tiemo determinado

) Se sa+e que el -!0º )

Se rocede a usar la siguiente "rmula(

 X 

=

 X 0

Vox

 X 

=

160ft 

s

cos

(

30

)

 X 

=

138.5ft 

(4)

Se rocede a usar la segunda ecuacin la cual nos va a ayudar ara hallar el tiemo# el cual es necesario ara llegar a la ".

 X 

=

 Xo

+

VoT 

1 2

G

T  2  X 

=

160ft  s T 

1 2

32.2ft  s

T  2  X 

=

160ft  s T 

16.1ft  s

T  2 138.5ft  s T 

=

160ft  s T 

16.1ft  s

T  2

Se reemlaza " de 31# se cancela 5

=

160ft  s

138.5ft  s 16.1ft  s

T = 1.331s

Se reemplaza en (1)

 X 

=

 X 0

Vox

t   X 

=

138.5ft  s

31

 X 

=

138.5ft  s

∗(

1.331s

)

 X 

=

184.34354ft 

*sta es la distancia d a la cual la elota toca el suelo en el unto &.

(5)

EJERCICIO 11.107

Una banda transportadora que forma un ángulo de 2! con la horizontal se

usa para cargar un avi"n. #i el traba$ador lanza el paquete con velocidad

inicial

v o

 a un ángulo de %&! de manera que su velocidad es paralela a la

banda cuando entren en contacto a ' ft sobre el punto de lanzamiento(

determine:

a)

)a magnitud de

v o

.

b)

)a distancia horizontal

d.

SOLUCION

*eterminamos las componentes horizontal + vertical de la velocidad + la

posici"n( + tenemos:

v x

=

vocos 45°

(6)

 x

=

vocos 45° t 

 y

=

vosin 45° t 

1 2 g t 

2

*el aterriza$e de los paquetes en la banda transportadora( podemos deducir

que:

)os paquetes al aterrizar en la banda transportadora forman un nuevo punto

de referencia para las velocidades de la banda por tanto igualamos las

ecuaciones de las componentes usando razones trigonom,tricas que

relacionen las componentes del nuevo punto de referencia

v y

v x

=

tan 45°

¿

vocos 45°

=

tan20°

*e la e-presi"n anterior( despe$amos el tiempo + tenemos:

20°

tan 45°−tan ¿ cos 45° vo

g t =¿

=

0.45vo

g

emplazamos

 en la ecuaci"n de la componente vertical de la posici"n:

 y

=

vosin 45°

(

0.45 vo g

 )−

1 2 g

(

0.45 vo g

 )

2  y

=

0.2168 vo 2 g

/ partir del resultado de la ecuaci"n anterior( despe$amos la velocidad

inicial + tenemos que:

vo2

=

gy

(7)

vo

=

(

32.2 ft  s2

)

(

3ft 

)

0.2168 vo

=

21.10 ft  s

Conociendo el valor de la velocidad inicial( + por medio de la formula

=

0.45vo

g

( podemos calcular el tiempo( + posteriormente hallar la

distancia

( que corresponde a la componente horizontal de la posici"n

remplazando en la formula

 x

=

vocos 45°t 

:

=

(

0.45

)

(

21.10 ft  s

)

32.2 ft  s2 t =0.29s  x

=(

21.10ft  s  cos 45°

)(

0.29s

)

 x

=¿

%.'2 ft

11.110 na %ugadora de +aloncesto lanza un tiro cuando se encuentra a $ m del ta+lero. Si la elota tiene velocidad inicial ,o a un angulo de !07 con la horizontal# determine el valor ,0 cuando 8 es igual

(8)

a 229mm + 4!0mm a X  F 

=

 X O

+

V OT  3$)0.229m - 0: ,o cos!07 5 5-4.77 Vocos 30° -5.50 Vo 31 Y 

=

 yO

+

O

+

1 2 aY T  2 3.04

=

2

+

Osin 30°

+

1 29.8T  2  32 Remplazamos T de la ec (1)

3!.04)2m- ,o sin !07 3$.$0/,o ; 4.< 3$.$0/,o2

1.04- 2.=$) 3149.22$/,o2

3149.22$/,o2- 2.=$)1)04-1.=1

,o2- 96.69 ra>z cuadrada

(9)

+ X  F 

=

 X O

+

V OT  3$)0.4$m - 0: ,o cos!07 5 5-4.55 Vocos 30° -5.25 Vo 31 Y 

=

 yO

+

O

+

1 2 aY T  2 3.04

=

2

+

Osin 30°

+

1 29.8T  2 ?emlazamos 5 de la ec 31

3!.04)2m- ,o sin !07 3$.2$/,o ; 4.< 3$.2$/,o2

1.04- 2.6$) 31!$.0$/,o2

31!$.0$/,o2- 2.6$)1)04-1.61

,o2- 9!.99 ra>z cuadrada

,o- <.1$ m/s 3+

Se uede concluir que los dos valores de las velocidades in>ciales son( 1. ,o- <.!1 m/s 3a

2. ,o- <.1$ m/s 3+

Se uede o+servar que el rimer valor o+tuvo más# de "orma que con una distancia más eque@a de 8 se o+tiene un valor mayor.

(10)

11.111 n cohete a escala se lanza desde el unto una velocidad inicial ,

0

 de

2$0 "t/s. si el araca>das de descenso del cohete no se a+re y este aterriza a

400 "t de A# determine a el Angulo B que ,

0

 "orma con la vertical# + la máCima

altura h que alcanza el cohete# c la duracin del vuelo.

El plano de referencia lo ubicaremos en el punto /.

*atos:

0

1 2& fts

* 1 % ft

3

 1 

(11)

4

*l e%e C y el e%e y son erendiculares.

4

Da suer"icie y la direccin de salida del cohete son erendiculares.

4

*l e%e C con resecto a la suer"icie "orman un angulo de !00.

4

8ado la ! remisas anteriores el angulo de salida del cohete y el e%e y de+en "orman un angulo igual al que "orman el e%e C con la suer"icie. B - !0 o.

4

*l angulo de !0o es ouesto or el vErtice con el angulo F or lo cual F - !0o.

Hallar la máCima altura(

8e+emos hallar la comonente vertical de la velocidad del cohete

0

5

 1 6cos'7 62& fts7 1 289.&8 fts

tilizaremos la siguiente ecuacin( 3,"y2 - 3,"o2 : 23ay3y" ) yo

4

8ado nuestro unto de re"erencia la gravedad es negativa

.

 1 6289.&8 fts7

2

  2 6'2 fts7 6h

ma-

  7

69% fts7 6h

ma-

7 1 %9;<9.&; ft

2

s

2

h

ma-

 1 <'2.%& ft

Hallar el tiemo emleado or el cohete en su recorrido. Gara esto hallaremos dos tiemos di"erentes(

*l rimero es el tiemo emleado or el cohete cuando arte de la osicin A 3y - 0 hasta cuando vuelve y regresa a la osicin y - 0.

(12)

*l segundo emieza cuando el cohete esta en la osicin y - 0 y sigue su recorrido descendente hasta el unto &.

5iemo 1.

4

Hallaremos el tiemo emleado or el cohete ara llegar a su altura máCima.

4

*l tiemo total es igual a 2 veces el tiemo emleado ara llegar a la altura

máCima.

saremos la siguiente ecuacin( ,"y- ,oy: ayt

 1 289.&8 fts  6'2 fts

2

7 6t7

t 1 6289.&8 fts7  6'2 fts

2

7 1 9.<<s

t

total

 1 2 69.<< s7 1 8'.&%s

5iemo 2.

4

Hallar a que distancia vertical se encuentra el unto & or de+a%o del unto A y"  -3sen !0o 3400"t - 200"t

4

Da distancia 200"t es negativa or que se encuentra or de+a%o de nuestro unto de re"erencia A.

4

*l vector velocidad es negativo or que va en ca>da li+re. saremos la siguiente ecuacin( y"  - yo : ,oy :  3ay 3t2

4 2 ft 1  4 6289.&8 fts7 6t7 4 = 6'2 fts

2

76t

2

7

 1 4 89 fts

2

 6t

2

7 4 6289.&8 fts7 6t7 >2 ft

/plicamos formula cuadrática:

 x

=−

b ±

√ 

b 2

4ac 2a

/ 1 4 89

B 1 4 289.&8

C 1 2

=

−(−

216.51

)

±

√ 

(−

216.51

)

2

4

(

16

)

(

200

)

2

(

16

)

=

216.51±

√ 

46876.58

+

12800 2

(

16

)

=

216.51±244.29

32

(13)

t

8

 1 .;<s

t

2

 1 48%.%s

4

8ado que el tiemo no uede ser negativo# el tiemo emleado desde el unto y- 0 hasta el unto & es de 0.9=s.

5iemo total emleado or el movimiento(

t

/B

1 8'.&%s > .;<s 1 8%.%8s

Figure

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