11.102 se vierte leche dentro de un vaso que tiene una altura de 140 mm y un
11.102 se vierte leche dentro de un vaso que tiene una altura de 140 mm y un
diámetro de 66mm interior. Si la velocidad inicial de la leche es de 1.2 m/s a un
diámetro de 66mm interior. Si la velocidad inicial de la leche es de 1.2 m/s a un
ángulo de 40º con la horizontal determine el rango de valores de la altura H
ángulo de 40º con la horizontal determine el rango de valores de la altura H
ara los cuales la leche entrará
ara los cuales la leche entrará en el vaso.
en el vaso.
40 40 cos cos
¿
¿
=
=
0.9190.919mm ss vv00 x x=(
=(
1.21.2 m m ss) ) ¿
¿
vv00 y y=−
=−
((
1.21.2 m m ss))
((
sensen4040))
=−
=−
0.7710.771 m m ssMovimiento horizontal
Movimiento horizontal
x xf f=
=
x x00+
+
vv x x00∗
∗
t tMovimiento vertical
Movimiento vertical
yyf f
=
=
y y00+
+
vv y y00∗
∗
t t−
−
1 1 2 2 aa y yt t 2 2
Cuando la leche entra por B.
Cuando la leche entra por B.
x x
=
=
0.080.08mm=
=
((
0.9190.919mm ss))
t t t t=
=
0.08 0.08mm 0.919 0.919mm//
ss y y=
=
0.1400.140mm=
=
hh b b+
+
((
−
−
0.7710.771mm ss))
((
0.0870.087ss))
−
−
1 1 2 2((
9.89.8 m m ss22))
((
0.0087 0.0087ss))
22B
B C
C
hb
=
0.140m+
0.0670m+
0.037mhb
=¿
0.244m.
Cuando la leche entra por C.
x
=
0.146m=
(
0.919 m s)
t t=
0.146m 0.919m s=
0.158s y=
0.140m=
h c+
(
−
0.771 m s)
(
0.158s)
−
1 2(
9.8 m s2)
(
0.158)
2 hc=
0.140m+
0.121m+
0.122m hc=
0.383mEntonces el rango donde la leche cae dentro del vaso es:
hb
<
h<
hc11.10! un gol"ista golea la elota con una velocidad inicial de 160"t/s# a un ángulo de 2$º con la horizontal. Si el terreno de %uego desciende con un ángulo de $º# determine la distancia d entre el gol"ista y el unto & donde la elota toca el terreno or rimera vez.
'omo rimera medida se ueden identi"icar los datos(
) *l lano cartesiano se u+ica con $º de decrecimiento ara oder tomar no solo los 2$º sino los $º restantes de "orma que ya el ángulo que se "orma al golear la elota será de !0º
) ,o-160"t/s ) o-0
) Se uede o+servar que nuestra incgnita rincial es la distancia d recorrida or la elota en un tiemo determinado
) Se sa+e que el -!0º )
Se rocede a usar la siguiente "rmula(
X f
=
X 0∗
Vox∗
tX f
=
160fts
∗
cos(
30)
∗
tX f
=
138.5ftSe rocede a usar la segunda ecuacin la cual nos va a ayudar ara hallar el tiemo# el cual es necesario ara llegar a la ".
X f
=
Xo+
VoT−
1 2∗
G∗
T 2 X f=
160ft s T−
1 2∗
32.2ft s∗
T 2 X f=
160ft s T−
16.1ft s∗
T 2 138.5ft s T=
160ft s T−
16.1ft s∗
T 2Se reemlaza " de 31# se cancela 5
T=
160ft s−
138.5ft s 16.1ft sT = 1.331s
Se reemplaza en (1)
X f=
X 0∗
Vox∗
t X f=
138.5ft s∗
t31
X f=
138.5ft s∗(
1.331s)
X f=
184.34354ft*sta es la distancia d a la cual la elota toca el suelo en el unto &.
EJERCICIO 11.107
Una banda transportadora que forma un ángulo de 2! con la horizontal se
usa para cargar un avi"n. #i el traba$ador lanza el paquete con velocidad
inicial
v oa un ángulo de %&! de manera que su velocidad es paralela a la
banda cuando entren en contacto a ' ft sobre el punto de lanzamiento(
determine:
a)
)a magnitud de
v o.
b)
)a distancia horizontal
d.SOLUCION
*eterminamos las componentes horizontal + vertical de la velocidad + la
posici"n( + tenemos:
v x
=
vocos 45°x
=
vocos 45° ty
=
vosin 45° t−
1 2 g t2
*el aterriza$e de los paquetes en la banda transportadora( podemos deducir
que:
)os paquetes al aterrizar en la banda transportadora forman un nuevo punto
de referencia para las velocidades de la banda por tanto igualamos las
ecuaciones de las componentes usando razones trigonom,tricas que
relacionen las componentes del nuevo punto de referencia
v y
v x
=
tan 45°−
¿
vocos 45°
=
tan20°*e la e-presi"n anterior( despe$amos el tiempo + tenemos:
20°tan 45°−tan ¿ cos 45° vo
g t =¿
t
=
0.45vog
emplazamos
ten la ecuaci"n de la componente vertical de la posici"n:
y
=
vosin 45°(
0.45 vo g)−
1 2 g(
0.45 vo g)
2 y=
0.2168 vo 2 g/ partir del resultado de la ecuaci"n anterior( despe$amos la velocidad
inicial + tenemos que:
vo2
=
gyvo
=
√
(
32.2 ft s2)
(
3ft)
0.2168 vo=
21.10 ft sConociendo el valor de la velocidad inicial( + por medio de la formula
t
=
0.45vog
( podemos calcular el tiempo( + posteriormente hallar la
distancia
d( que corresponde a la componente horizontal de la posici"n
remplazando en la formula
x=
vocos 45°t:
t
=
(
0.45)
(
21.10 ft s)
32.2 ft s2 t =0.29s x=(
21.10ft s cos 45°)(
0.29s)
x=¿
%.'2 ft
11.110 na %ugadora de +aloncesto lanza un tiro cuando se encuentra a $ m del ta+lero. Si la elota tiene velocidad inicial ,o a un angulo de !07 con la horizontal# determine el valor ,0 cuando 8 es igual
a 229mm + 4!0mm a X F
=
X O+
V OT 3$)0.229m - 0: ,o cos!07 5 5-4.77 Vocos 30° -5.50 Vo 31 Y f=
yO+
V OT+
1 2 aY T 2 3.04=
2+
V Osin 30°+
1 29.8T 2 32 Remplazamos T de la ec (1)3!.04)2m- ,o sin !07 3$.$0/,o ; 4.< 3$.$0/,o2
1.04- 2.=$) 3149.22$/,o2
3149.22$/,o2- 2.=$)1)04-1.=1
,o2- 96.69 ra>z cuadrada
+ X F
=
X O+
V OT 3$)0.4$m - 0: ,o cos!07 5 5-4.55 Vocos 30° -5.25 Vo 31 Y f=
yO+
V OT+
1 2 aY T 2 3.04=
2+
V Osin 30°+
1 29.8T 2 ?emlazamos 5 de la ec 313!.04)2m- ,o sin !07 3$.2$/,o ; 4.< 3$.2$/,o2
1.04- 2.6$) 31!$.0$/,o2
31!$.0$/,o2- 2.6$)1)04-1.61
,o2- 9!.99 ra>z cuadrada
,o- <.1$ m/s 3+
Se uede concluir que los dos valores de las velocidades in>ciales son( 1. ,o- <.!1 m/s 3a
2. ,o- <.1$ m/s 3+
Se uede o+servar que el rimer valor o+tuvo más# de "orma que con una distancia más eque@a de 8 se o+tiene un valor mayor.
11.111 n cohete a escala se lanza desde el unto una velocidad inicial ,
0de
2$0 "t/s. si el araca>das de descenso del cohete no se a+re y este aterriza a
400 "t de A# determine a el Angulo B que ,
0"orma con la vertical# + la máCima
altura h que alcanza el cohete# c la duracin del vuelo.
El plano de referencia lo ubicaremos en el punto /.
*atos:
0
1 2& fts
* 1 % ft
3
1
4
*l e%e C y el e%e y son erendiculares.4
Da suer"icie y la direccin de salida del cohete son erendiculares.4
*l e%e C con resecto a la suer"icie "orman un angulo de !00.4
8ado la ! remisas anteriores el angulo de salida del cohete y el e%e y de+en "orman un angulo igual al que "orman el e%e C con la suer"icie. B - !0 o.4
*l angulo de !0o es ouesto or el vErtice con el angulo F or lo cual F - !0o.Hallar la máCima altura(
8e+emos hallar la comonente vertical de la velocidad del cohete
0
51 6cos'7 62& fts7 1 289.&8 fts
tilizaremos la siguiente ecuacin( 3,"y2 - 3,"o2 : 23ay3y" ) yo
4
8ado nuestro unto de re"erencia la gravedad es negativa.
1 6289.&8 fts7
2 2 6'2 fts7 6h
ma-
7
69% fts7 6h
ma-7 1 %9;<9.&; ft
2s
2h
ma-1 <'2.%& ft
Hallar el tiemo emleado or el cohete en su recorrido. Gara esto hallaremos dos tiemos di"erentes(
*l rimero es el tiemo emleado or el cohete cuando arte de la osicin A 3y - 0 hasta cuando vuelve y regresa a la osicin y - 0.
*l segundo emieza cuando el cohete esta en la osicin y - 0 y sigue su recorrido descendente hasta el unto &.
5iemo 1.
4
Hallaremos el tiemo emleado or el cohete ara llegar a su altura máCima.4
*l tiemo total es igual a 2 veces el tiemo emleado ara llegar a la alturamáCima.
saremos la siguiente ecuacin( ,"y- ,oy: ayt
1 289.&8 fts 6'2 fts
27 6t7
t 1 6289.&8 fts7 6'2 fts
27 1 9.<<s
t
total1 2 69.<< s7 1 8'.&%s
5iemo 2.
4
Hallar a que distancia vertical se encuentra el unto & or de+a%o del unto A y" -3sen !0o 3400"t - 200"t4
Da distancia 200"t es negativa or que se encuentra or de+a%o de nuestro unto de re"erencia A.4
*l vector velocidad es negativo or que va en ca>da li+re. saremos la siguiente ecuacin( y" - yo : ,oy : 3ay 3t24 2 ft 1 4 6289.&8 fts7 6t7 4 = 6'2 fts
276t
27
1 4 89 fts
26t
27 4 6289.&8 fts7 6t7 >2 ft
/plicamos formula cuadrática:
x
=−
b ±√
b 2−
4ac 2a/ 1 4 89
B 1 4 289.&8
C 1 2
t=
−(−
216.51)
±√
(−
216.51)
2−
4(
−
16)
(
200)
2(
−
16)
t=
216.51±√
46876.58+
12800 2(
−
16)
t=
216.51±244.29−
32t
81 .;<s
t
21 48%.%s
4
8ado que el tiemo no uede ser negativo# el tiemo emleado desde el unto y- 0 hasta el unto & es de 0.9=s.5iemo total emleado or el movimiento(