APRENDIZAJES ESPERADOS
1. Determina cifras desconocidas en un numeral aplicando criterios de divisibilidad.
2. Determina el residuo de dividir un número entre otro, sin efectuar la operación.
3. Resuelve una ecuación con más de dos variables donde todos los valores desconocidos son números enteros (Ecuación diofántica). 4. Obtiene los múltiplos de un determinado módulo y que reúnan
ciertas condiciones.
5. Aplica correctamente los principios de la divisibilidad en la solución de problemas concretos
COMENTARIO PREVIO
La aritmética es la disciplina matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de los números (etimológicamente, arithmos significa número en griego).
En realidad desde su nacimiento, su objeto primordial es el número natural, ello es lógico si se piensa que éste es el concepto matemático fundamental.
La aritmética fundamental (la que los griegos llamaban logística) se ocupa de los sistemas de numeración y de los algoritmos de cálculo. Por el contrario, la llamada aritmética superior o más frecuentemente; teoría de números, se dedica a problemas de aspecto inocente, a veces con apariencia de juegos infantiles, en torno a cuestiones de divisibilidad, descomposiciones de los números o ecuaciones con soluciones enteras, pero cuya dificultad es enorme y que, por otra parte, resultan insospechadamente conectados con las ramas más abstractas y sofisticadas de la matemática.
La belleza, la profundidad y el interés de esos problemas han atraído durante siglos, junto a grandes matemáticos a multitud de aficionados.
Gauss (1777-1855) quien ha sido llamado príncipe de los matemáticos” y cuya excelsa labor en teoría de números sólo admite comparación con sus realizaciones en geometría, análisis o física matemática, llegó a decir que “la matemática es la reina de las ciencias y la teoría de los números es la reina de la matemática”.
Pero, ¿de qué se ocupa la teoría de los números?, básicamente de las cuestiones que giran entorno a la divisibilidad y temas conexos (Números primos, máximo común divisor, mínimo común múltiplo).
La Divisibilidad de los números es conocida desde tiempos remotos. Así, los hindús ya conocían la divisibilidad por tres, siete y nueve y los egipcios conocían los números pares e impares. El matemático griego Euclides demostró los teoremas básicos de la divisibilidad de los números enteros. Ya posteriormente, el matemático Francés Pascal (1623 – 1662) propuso las reglas para conocer la divisibilidad de cualquier número.
CONTENIDO TEÓRICO
TEORÍA DE LA DIVISIBILIDAD
DEFINICIÓN: Es la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que debe tener un número para ser divisible entre otro. Estas condiciones se denominan caracteres o Criterios de Divisibilidad.
Se dice que un número entero “A” es divisible entre otro número entero positivo “B” cuando el residuo de dividir A entre B es CERO y el cociente es entero. Se dice entonces que A es múltiplo de B o que B es un divisor de A.
MULTIPLO: Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto y entero de veces.
Representación: Si N es múltiplo de n.; N =
n
0 ; N = m x n, si m es entero.El múltiplo de un número es el resultado de multiplicar dicho número por un número entero.
DIVISOR, FACTOR O SUBMÚLTIPLO: Se dice que un número es divisor de otro cuando está contenido en él un número exacto y entero de veces.
PRINCIPIOS DE LA DIVISIBILIDAD: 01. Operaciones entre múltiplos
a) o o o n n n Ejemplo: 0 0 0 9 9 9 81 45 36 b) o o o n n n Ejemplo: 0 0 0 8 8 8 56 16 72 c) o o n xk n Ejemplo: 0 0 6 5 x 6 240 5 48 d) o k o n n Ejemplo: 0 4 0 4 3 3 1296 6 02. División:
a) División por Defecto: b) División por exceso:
D d r q D = d.q + r D = d + r D d q + 1 re D = d(q + 1) - re D = d - re Ejemplo: Ejemplo: 61 9 7 6 61 = 9 + 7 61 9 2 7 61 = 9 -2
03. N = a N = b N = a + r N = b +r5 N = MCM(a, b) N = MCM(a, b) + r Ejemplos: N = 8 N = 12 N = 20 + 5 N = 32 + 5 N = MCM(8,12) = 24 N = MCM(20,30) + 5 = 60 + 5 04. PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES:
Dos números enteros cuyo producto es divisible por un cierto módulo, si uno de tales números no admite divisores comunes con el módulo, aparte de la unidad, entonces el otro número será divisible por dicho módulo.
Ejemplo: 8n = 90 n = 90 Ejemplo: 0 35 b . 21 (7x3) b =
7x5
xk 3 b = 50 b50 DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTONk 0 k 0 b a ) b a ( k 0 k 0 b a ) b a ( ; Si “K” es par k 0 k 0 b a ) b a ( ; Si “K” es impar.
Ejemplo: Hallar el residuo de dividir 4365 43 entre 8. Resolución 4365 43 = 0 8 + r (80 + 5 )43 = 0 8 + r 0 8 + 543 = 0 8 + r 0 8+ (52)21. 5 = 80 + r 0 8 + (80 + 1) 21.5 = 0 8 + r 0 8 + (80 + 1). 5 = 0 8 + r 0 8 + 5 = 80 + r r = 5; El residuo es 5 RESTOS POTENCIALES
Se llaman restos potenciales de un entero "E" respecto a un módulo "m" al residuo que deja cada una de las potencias naturales de "E" al ser divididos entre el módulo "m". Es decir:
RP
EmEjemplo: Calcular los restos potenciales de 3 respecto al módulo 5. Resolución 30 = 0 5 + 1 31 = 0 5 + 3 32 = 0 5 + 4 33 = 0 5 + 2 34 = 0 5 + 1 35= 0 5 + 3 36= 0 5 + 4 37= 0 5 + 2
"Observe que los restos potenciales empiezan a repetirse en forma ordenada y periódica. Al tomar una potencia cualquiera luego de 4 potencias sucesivas se obtendrá el mismo resto que deja la potencia tomada".
GAUSSIANO (g): Se llama así a la menor cantidad de restos diferentes posibles que forman el periodo.
En el ejemplo anterior: g = 4.
Se tiene en general: 3n:5Resto¿?
El resto se determina en los
RP
35
{
1
;
3
;
4
;
2
}
05
+ 1 n = 04
35RP
=5
0 + 3 n = 04
+ 1 05
+ 4 n = 04
+ 2 05
+ 2 n = 04
+ 3Ejemplo: Hallar el resto de dividir: 340001 entre 5. r 5 340001 0 ; 34 1 50 r 0 50 + 3 = 50 + r r = 3 30 = 0
5
+ 1 31 = 05
+ 3g = 4
g = 4 g = 432 = 0
5
+ 4 33 = 05
+ 2 34 = 05
+ 1 35 = 05
+ 3 36 = 05
+ 4 37 = 05
+ 2 ECUACIONES DIOFÁNTICASSon aquellas ecuaciones insuficientes en las cuales los coeficientes y las variables son números enteros.
Ejemplo:
Determine los valores de "x" e "y" sabiendo que son número enteros 4x + 7y = 225
Resolución Criterio: Divisibilidad por 4
4x + 7y = 225 0
4
+ (4 + 3) y =4
0 + 1 4
0 +4
0 + 3 y =4
0 + 1 3y =4
0 + 1 3y – 1 =4
0 3y – 1 – 8 =4
0 –4
0 3 ( y – 3 ) =4
0 y – 3 =4
0 y =4
0 + 3 Luego y = 3; y = 7; y = 11; y = 15: y = 19; y = 23; y = 27; y = 31 Reemplazando en la ecuación inicial: x = 51; x = 44; x = 37; x = 30; x = 23; x = 16; x = 9; x = 2CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
1. Divisibilidad por 2: Un número es divisible por 2si su última cifra es un número múltiplo de 2.
12 28 36 450 12345678 son divisibles por 2 pues su última cifra es un número múltiplo de 2.
2. Divisibilidad por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 3.
Ejemplos:
12 es divisible por 3 pues 1 + 2 = 3 . 234 es divisible por 3 pues 2 + 3 + 4 = 9 5775 es divisible por 3 pues 5 + 7 + 7 + 5 = 24. 3. Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4si el número
formado con sus dos últimas cifras es múltiplo de 4.
112 128 12300 456 24680 12345688 son divisibles por 4 pues las dos últimas cifras son múltiplos de 4.
4. Divisibilidad por 5: Un número es divisible por 5si su última cifra es 5 ó 0.
35 125 1230 455 12345 24680 son divisibles por 5, pues la última cifra es 5 ó 0.
5. Divisibilidad por 25: Un número es divisible por 25 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 25. Ejemplos:
325 125 475 123450 246825 son divisibles por 25 pues el número formado con sus 2 últimas cifras son múltiplos de 25 ó son ‘ceros”.
6. Divisibilidad por 7: Un número es divisible por 7 si de derecha a izquierda y cifra por cifra se multiplique por los factores: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, ... y así sucesivamente; luego efectuamos la suma algebraica debemos obtener cero o múltiplo de 7.
a b c d e f g h = 70 3 1 2 3 1 2 3 1 Entonces: (h + 3g + 2f) – (e + 3d + 2c) + (b + 3a) =
7
o OTRA FORMA:Un número es divisible por 7 si al número se le quita y resta la última cifra multiplicado por 2 así sucesivamente y al final se debe de obtener un múltiplo de 7.
Ejemplos:
1582 es divisible por 7 pues:
Separamos la última cifra 2 y le restamos el doble 158 - 2(2) = 154 hacemos lo mismo:
15 - 2(4) = 7 y como 7 es divisible por 7 entonces 1582 es divisible por 7.
7. Divisibilidad por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es un número múltiplo de 9.
72 es divisible por 9 pues 7 + 2 = 9. 234 es divisible por 9 pues 2 + 3 + 4 = 9. 5445 es divisible por 9 pues 5+ 4 + 4 + 5 = 18.
8. Divisibilidad por 11: Un número es múltiplo por 11 si la diferencia de la suma de las cifras de orden impar y la de orden par es múltiplo de 11.
Es decir: Sea N abcdef es divisible por 11 sí a b c d e f
Suma de cifras de orden par: a + c + e Suma de cifras de orden impar: b + d + f Luego se tiene: (a + c + e) – (b + d + f) =
11
0 123 464 es divisible por 11 pues:1 2 3 4 6 4 (1 + 3 + 6) – (2 + 4 + 4) = 0
72567 es divisible por 11 pues: (7 + 5 + 7) – (2 + 6) = 11. EJERCICIOS RESUELTOS
01. Hallar “x” si se cumple
513
x
(8)
13
x
5
(8)
8
ºA) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN º ) 8 ( ) 8 (
13
x
5
8
x
513
º º º 8 ) 5 8 ( ) x 8 ( º º 8 5 x 8
x58º
3 x Clave B 02. Sabiendo que 3A7º y 5A8º ¿Cuál es el menor
valor de “A” si es de 3 cifras
A) 108 B) 136 C) 134
D) 112 E) 142
RESOLUCIÓN Aplicando teorema de Arquímedes:
º º º º 8 A 8 A 5 7 A 7 A 3
Con lo cual se deduce que A mcmº(7;8) º
56
A
A 56º .K
Amin 112
Clave D 03. ¿Cuántos números enteros positivos no mayores que 1000 son
múltiplos de 3 y 5 a la vez, pero no de 4?
A) 55 B) 81 C) 64
D) 62 E) 50
RESOLUCIÓN
A partir del dato se tiene que: 1, 2, 3, ..., 1000 En un diagrama de Ven Euler:
Para calcular lo que nos piden (la región sombreada) se debe restar la cantidad de números divisibles entre 3, 5 y 4, es decir entre 60, de la cantidad de números divisibles entre 15
cantidad de números divisibles entre 15 será
666 , 66 15 1000 66 números
cantidad de números divisibles entre 60 será
6666 , 16 60 1000 16 números
Finalmente la cantidad de números solicitados será 66 16 = 50 números
Clave E 04. En una fiesta donde asistieron 280 personas entre damas, caballeros y niños, la cantidad de caballeros que no bailaban en un momento dado era igual a la cuarta parte del número de damas, la cantidad de niños asistentes era igual a la séptima parte del número de damas. Si la quinta parte de las damas están casadas ¿Cuántas damas no bailaban en dicho momento?
A) 55 B) 81 C) 64 D) 62 E) 50 RESOLUCIÓN Sean D = Número de damas C = Número de caballeros N = Número de niños
Por condición del problema se tiene que: D + C + N = 280 ...(1) Según Los datos:
Caballeros que no bailaban: D 4 4
D
Los niños son: D 7
7 D
N
Damas que están casadas: D 5
5 D
De lo cual deducimos que:
) 2 ...( 140 D 5 7 4 D De (1) y (2) deducimos que: D140 20 7 140 N En (1): C120
También: caballeros que no bailaban: 35 4 140
Entonces: caballeros que bailaban 120 35 = 85 Luego: damas que bailaban = 85
Damas que no bailaban. 140 85 = 55
Clave A 05. Si el número 8xyx5y es divisible entre 88, dar el valor
numérico de x.y A) 5 B) 8 C) 6 Divisibles por 3 Divisibles por 4 Divisibles por 60 Divisibles por 5 Divisibles por 15
g = 5
D) 2 E) 7
RESOLUCIÓN
Para que 8xyx5y sea divisible entre 88 debe ser divisible entre 11 y entre 8 2 y 8 y 15 8 y 5 xyx 8 1 x 11 13 x 2 11 y 5 x y x 8 11 y 5 xyx 8 Entonces x .y = 2 Clave D
06. Si: 577aba 11 4 ¿Cuántos valores puede tomar aba ?
A) 18 B) 20 C) 24
D) 32 E) 42
RESOLUCIÓN
De acuerdo con el dato se sabe que: 577aba 114
577
11
5
52
De la división se concluye:
RP
57711
RP
511 Analizando los restos potenciales de 5 respecto al módulo 11 se tendrá: 5 11 51 0 3 11 52 0 4 11 53 0 (*) 9 11 54 0 1 11 55 0 5 11 51 0 Como: 577aba 114 de (*) se deduce que:
3 5 aba (**)
De (**) podemos afirmar que “a” solo puede ser 3 u 8, mientras que “b” puede tomar cualquier valor. A continuación se muestran todos los posibles valores para generar el número
aba a b 3 0 8 1 2 3 9 2 x 10 = 20 números Clave B 07. Cuántos números de la forma 5x7y son divisibles por 36
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
RESOLUCIÓN El número debe ser múltiplo de 4 y 9
Por 4:
6
y
76
2
y
72
4
y
7
Por 9: Si y = 2 5x729 x4 El número: 5472 Si y = 6 5x769 x0 ó 9 El número: 5076 y 5976Los números serán: 5472 , 5076 , 5976
Clave A 08. El número de la forma aa0bbc al ser dividido entre 4 , 9 y 25
deja como residuo 2 , 4 y 7 respectivamente. Hallar “a”
A) 6 B) 4 C) 2 D) 0 E) 3 RESOLUCIÓN En el problema se tiene:
7
25
4
9
2
4
bbc
0
aa
º º º
Se suma números que son múltiplos del módulo
82
25
75
7
25
82
4
80
2
4
0
º º º ºbbc
aa
Ordenando se tiene: 82 ) 25 ; 4 ( MCM c b b 0 a a º 82 100 c b b 0 a a º 8 b c 2 Reemplazando aa0882 9º 4Criterio de divisibilidad por 9
aa08829º 4 4 9 18 a 2 º
4 9 9 a 2 º º a9º 2 a2 Clave C
09. Sabiendo que 32000 x(7) , hallar “x”
A) 1 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN Potencias de 3: 1 7 30 o 3 7 31 o 2 7 32 o 6 7 33 o 4 7 34 o 5 7 35 o RP
37 {1;3;2;6;4;5} 1 7 36 o Exponente de 3 Resto = 1 n6o Resto = 3 n6o1 Resto = 2 n6o2 Resto = 6 n6o3 Resto = 4 n6o4 Resto = 5 n6o5 32000 7ºx Como 20006º2 x 2 Clave C 10. ¿Cuántos valores puede tomar “a” 35366a 7º2A) 1 B) 4 C) 2 D) 5 E) 6 RESOLUCIÓN
RP
{
1
;
3
;
2
;
6
;
4
;
5
}
RP
37 7 353
,del ejercicio anterior Resto = 2 66a6º2 a6º 2 a = {2 ; 8 } 2 valores Clave C PRÁCTICA DE CLASE01. Responda a las siguientes preguntas:
a) ¿Qué es múltiplo de un número? b) ¿Cuántos múltiplos tiene un número? c) ¿Por qué se dice que 18 es múltiplo de 9?
d) ¿Cuál es el múltiplo más pequeño de cada número natural? e) ¿Qué nombre reciben los múltiplos de 2? ¿Y los que no lo
son?
f) ¿Qué es divisor de un número?
g) ¿Cuántos divisores tiene un número natural?
h) ¿Cuál es el mayor divisor de un número distinto de cero?
02. Halle usted todos los factores o divisores de:
a) 10 b) 18 c) 35 d) 17 e) 60
03. Clasifique usted como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones: a) 30 es múltiplo de 3. ( ) b) 28 es múltiplo de 6. ( ) c) 0 es múltiplo de 7. ( ) d) 308 es múltiplo de 4. ( ) e) 111 es divisible por 3. ( ) f) 1050 es divisible por 125. ( ) g) 4 + 6 es un número par. ( ) h) 15 – 11 es un número impar. ( ) 04. Halle usted:
a) El conjunto de todos los múltiplos de 7 menores de 100. b) El conjunto de todos los múltiplos de 14 menores que 125. c) El conjunto de todos los múltiplos de 2 elevada al
exponente 3.
d) Pruebe usted que la suma de tres números naturales consecutivos es siempre divisible por 3.
e) ¿Cuál es la intersección del conjunto de los números pares y el conjunto de los números impares?.
f) Pruebe usted que la suma de dos números impares es un número par.
05. Responda a las siguientes preguntas: a) ¿Qué es la divisibilidad?
b) ¿Qué entiende por criterios de divisibilidad?
c) ¿Puede un número ser divisible por 10 y no por 5?, ¿Por qué?
d) El producto de 6 x 30 x 5, es divisible por 4?, ¿Por qué?
06. Completa una tabla y además marca con una aspa los casilleros respectivos (la flecha se lee “es divisible por”)
Gaussiano = 6
2 3 4 5 6 7 8 9 11 18 21 33 25 17 125 485 521 127 130 333 07. Conteste lo siguiente:
a) ¿Cuál es el menor número de tres dígitos que es divisible por 2; 3 y 5?
b) ¿Cuál es el menor dígito que debe escribirse a la derecha de 752 para que resulte un número divisible por 3; 4 y 11? c) Cambia el orden de los dígitos del número 4370 a fin de
que resulte un número divisible por 2; 4; 5 y 11.
d) ¿Cuál es el menor número que debe restarse de 4370 a fin que resulte un número divisible por 9?
e) ¿Cuál es el menor número que debe aumentarse a 2573 para que el resultado sea divisible por 8?
08. Considerando los números siguientes: 116; 204; 380; 465; 720; 657; 1080; 453 y 2346. Indica lo siguiente:
a) ¿Cuáles son divisibles por 2? b) ¿Cuáles son divisibles por 7? c) ¿Cuáles son divisibles por 11? d) ¿Cuántos son divisibles por 5? e) ¿Cuántos son divisibles por 8?
09. Desarrolle los siguientes planteamientos:
a) Determinar una pareja (a; b) si: 2ab80 es múltiplo de 72.
b) Determinar una pareja (a; b) si: a96b4 es múltiplo de 12.
10. ¿Cuál es el residuo de dividir 260entre 7?
a) 1 b) 6 c) 5
d) 2 e) N.A
11 .¿Cuál es el residuo de dividir 250entre 17 ?
a) 4 b) 13 c) 8
d) 15 e) N.A
12. ¿Cuál es el residuo de dividir 370entre 7?
a) 4 b) 2 c) 5
d) 1 e) N.A
13. ¿Cuál es el resto que se obtiene al dividir: 2 3K+1+ 2 6K+4+ 23 entre 7?
14. Hallar el residuo que resulta de dividir 155 154entre 8.
15. ¿Cuántos numerales de dos cifras son múltiplos de 8 y terminan en 6?
16. ¿Cuántos numerales de 4 cifras múltiplos de 7 terminan en 3? 17. ¿Cuántos números de 5 cifras son tales que son 230 5y
terminan en la cifra tres .
a) 300 b) 400 c) 391
d) 541 e) NA
18. ¿Cuántos números 170 4de cinco cifras terminan en la cifra 2?
a) 529 b) 625 c) 534
d) 300 e) NA
19. Cuantos números de 3 cifras múltiplos de 9 existen de tal manera que la cifra central sea igual a la suma de las laterales.
a)7 b) 45 c)8
d)9 e) NA
20. Cual es el menor número de tres cifras, múltiplo de 7 que como resto la unidad al ser dividido por 3 u 11?
a) 130 b) 133 c) 150
d) 145 e) NA
21. Se compran panetones y tortas a $ 4 y $ 7 respectivamente. Si el gasto fue de $ 123 en total. Determinar la suma del número de panetones más el de tortas, si el producto de estos números es lo máximo posible.
a) 10 b) 35 c) 24
d) 26 e) NA
22. La suma: abba es siempre divisible por:
a) 1 y 9 b) 1 y 11 c) 2 y 8
d) 1 y 99 e) N.A.
23. La diferencia: abba es siempre divisible por: a) 1; 3 y 9 b) 3; 9 y 11 c) 9 y 11
d) sólo 9 e) N.A.
24. La diferencia: abccba es siempre divisible por:
I) 2 II) 3 III) 1
IV) 9 V) 11 VI) 7
Son ciertas:
a) Sólo I, II y III b) sólo II, IV, y VI c) sólo II, III y V
d) todas excepto I y VI e) Todas
a) 1; 2; 3 y 4 b) 2; 3; 4; 5 y 6 c) 1; 2; 3; y 6 d) 2 y 5 e) 1; 3; 7 y 11
26. El número de la forma a(3b)(2a) es siempre divisible por:
a) 1; 2; 3 y 4 b) 1; 2; 3 y 5 c) 1; 2; 3 y 6 d) 1; 2; 3; 4; 6 e) N.A.
27. La suma de: ab(2a) bbaba, siempre el divisible por:
a) 1 y 7 b) 1 y 5 c) 1 y 6
c) 1; 2 y 11 e) N.A.
28. En una tienda hay artículos A, B, C, D y F cuyos precios son: 2; 3; 5; 7 y 11 nuevos soles respectivamente. Si tengo S/. 231 y no me debe sobrar nuevos soles. ¿Qué artículos puedo comprar?
a) A, B y C b) A, B y D c) B, C y D
d) B, D y E e) N.A.
29. ¿Cuántos múltiplos de 13 hay entre 100 y 755?
a) 20 b) 13 c) 50
d) 51 e) 60
30. ¿Cuántos múltiplos de 19 hay entre 50 y 450?
a) 19 b) 21 c) 20
d) 32 e) 33
EJERCICIOS PROPUESTOS
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
01. Un ratoncito sale de su hueco, hacia el hueco de su ratoncita, dando saltos de 11 cm, luego regresa dando saltos de 7 cm, pero habiendo recorrido 1,23 m ; se detiene a descansar. ¿ Cuánto le falta para llegar a su punto de partida ?.
a) 0,58 m b) 0,53 m c) 0,63 m
d) 0,45 e) N.A.
02. Un comerciante vende el kilo de manzanas a 24 soles y el kilo de naranjas a 14 soles. Una persona compra algunos kilos de manzanas y naranjas teniendo como importe 366 soles. Calcular cuantas manzanas compró esta persona si es un número máximo.
a) 3 b) 9 c) 10
d) 17 e) 20
03. Un comerciante compró medias, camisetas y pantalones. Si cada par de medias costó 2 soles, cada camiseta 20 soles y cada pantalón 40 soles y además compró un total de 100 artículos gastando para ello 400 soles. ¿Cuántos pares de medias compró?
a) 45 b) 60 c) 70
d) 75 e) 90
04. Jaimito va a una librería con S/. 19,68 y compra cierta cantidad de folletos; cada folleto de Física le costó S/.0,555 y los de Aritmética
S/. 0,345. ¿Cuántos folletos de Aritmética adquirió, si el total de folletos es el mayor posible?
a) 40 b) 44 c) 49
d) 55 e) 63
05. Óscar comprando artículos en el mercado ha gastado S/. 8 156. Si ha pagado S/. 217 y S/. 125 por cada uno de los artículos diferentes que ha llevado, hallar cuántos artículos ha comprado.
a) 27 b) 38 c) 45
d) 52 e) 64
06. Raquel dispone de S/. 604, para adquirir artículos de diferentes cualidades, cuyos precios por unidad son S/. 13 y S/. 17. Hallar cuántos artículos ha comprado si estos tienen la misma preferencia.
a) 40 b) 46 c) 38
d) 42 e) 36
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
07. En un barco donde iban 100 personas ocurre un naufragio. De los sobrevivientes: la onceava parte son niños y la quinta parte de los muertos eran casados. ¿Cuántos murieron?
a) 60 b) 50 c) 45
d) 30 e)N.A.
08. Un depósito de licores recibió 6 barriles de vino, cuyos contenidos eran: 15, 16, 18, 19 y 31 litros; luego se presentaron dos clientes: uno compra dos barriles y el otro dos, con la particularidad de que el segundo compró la mitad de litros que compró el primero. Si no hubo que destapar ningún barril a l momento de venderlos. ¿Cuál era la capacidad del barril que no se vendió?
a) 15 b) 16 c) 18
d) 19 e) 20
09. En un viaje de excursión donde viajaban 100 alumnos ocurrió un accidente y se sabe que los 2/7 de los sobrevivientes son “Asmáticos” y los 5/9 de los sobrevivientes son “Alérgicos”. ¿Cuántas personas murieron?
a) 42 b) 37 c)58
d)21 e)32
10. Camilo tiene 83 amigos, los 3/4 del total de mujeres fuman y los 2/9 del total de hombres son “Aliancistas”. ¿Cuántas amigas tiene Camilo?
a) 65 b) 56 c) 63
d) 39 e) 52
11. En una academia hay 510 alumnos y en una encuesta se determina que de los hombres los 5/12 postulan a la UNS, los 2/5 postulan a la UPSP y los 4/9 a la ULADECH. Si el número de mujeres está comprendido entre 100 y 200. Hallar el número de alumnos que postulan a la UNS.
a)180 b) 140 c) 150
d) 90 e) N.A.
12. El número de alumnos que se encuentran en un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 de total usan
anteojos y los 5/13 usan reloj. ¿Cuál es la diferencia de los alumnos que usan reloj y Anteojos?
a) 6 b) 9 c) 15
d) 18 e) N.A.
BINOMIO DE NEWTON
13. Hallar el mayor valor posible de (a + b), sabiendo que
o 4 ab y además: abab b5ba 10o (ba) a) 18 b) 15 c) 13 d) 11 e) 14 14. Hallar el residuo en 436543 8 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15. Donde 62403 15 dar como respuesta el residuo
a) 6 b) 7 c) 5
d) 8 e) 9
16. Hallar el residuo que deja la siguiente división 167667 11
a) 6 b) 7 c) 5
d) 3 e) 2
17. Hallar el residuo de la siguiente división 3828 7
a) 4 b) 2 c) 3
d) 1 e) 5
18. Cuál es el residuo de dividir 68UNT98 entre 11
a) 2 b) 1 c) 8
d) 7 e) 3
19. Halla el residuo de dividir E 11 si: E = 32n + 2 + 26n + 1+ 3
a) 2 b) 3 c) 1
d) 4 e) 5
20. Calcula el resto de dividir 6500 13
a) 8 b) 2 c) 4
d) 3 e) 5
21. Cual es el residuo de dividir: 10888 7
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
TAREA DOMICILIARIA
01. Sabiendo que: abc 8o ; cba 5o ; ab17o Hallar el valor de: “a + b + c”
a) 5 b) 9 c) 11
d) 8 e) 10
02. Si a b y 7a5b6399o ¿Cuántos números cumplen la igualdad?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
03. Si ab 5o; ba 9o ; abc 8o . Hallar: “C”
a) 8 b) 6 c) 4
d) 2 e) 0
04. Sibabababab15o , donde a < b. Hallar a + b
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
05. Si MARELLO90 . Calcule El residuo al dividir: 2006 MARELLO 2005 MARELLO Entre 9. a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5
06. Calcule el residuo al dividir aaa entre 3.5
a) 2 b) 0 c) 1
d) 3 e) 4
07. Si a2a3aba450 . Halle b + a
a) 6 b) 10 c) 7
d) 8 e) 11
08. Si ab37 es múltiplo de 9, calcule el residuo de dividir 21
ab entre 9.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
09. El triple de la edad de Juan es múltiplo de 5, y el doble de dicha edad es múltiplo de 14. Halle dicha edad si es menor que 50.
a) 25 b) 28 c) 30
d) 35 e) 45
10. Si ab50 ; ba09; abc 40. Halle el mayor valor de a + b + c.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 15 e) 18
11. Al dividir un número entre 56 el residuo el residuo es 37. ¿Cuál es el residuo al dividir dicho número entre 14?
a) 10 b) 12 c) 8
d) 9 e) 2
12. En un salón de clases donde hay 61 alumnos, se observa que: La séptima parte de los hombres usan reloj
La décima parte de las mujeres usan lentes ¿Cuántas mujeres no usan lentes?
a) 12 b) 20 c) 40
d) 36 e) 30
13. Calcule el residuo al dividir:
E = 11 + 13 + 21 + 23 + 31 + 33 + … + 111 + 113 Entre 5
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
14. Calcule la suma de los valores enteros y positivos de x menores que 40, si x570.
a) 117 b) 81 c) 127
d) 116 e) N.A.
15. Sabiendo que 2a9a397. Hallar: “a”
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 16. Sabiendo que 56 a 58 ab 4 . Hallar: ab a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) N.A
17. ¿Cuál es el resto de dividir cifras 200 4 ... 444 entre 7? a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 18. Calcular
ab
si: 56 b 46 a 89 a) 1 b) 5 c) 6 d) 7 e) 919. ¿Cuántos de los números de 1 al 180 son múltiplos de 3 y 4 pero no de 7?
a) 12 b) 11 c) 10
d) 9 e) N.A.
20. Hallar a sabiendo que 4aa5a2 es divisible entre 7
a) 1 b) 6 c) 8 d) 4 e) 5 21. Hallar: a + b + c, si: o o o 9 c 6 c 14 11 82 b 19 7 26 a 3 a) 14 b) 16 c) 17 d) 18 e) Más de 19
22. Hallar (x + y), donde el numeral 51x7y es múltiplo de 77
a) 14 b) 12 c) 10
d) 11 e) 13
23. Si 4ab163o . Dar como respuesta ab(5) expresado en base decimal
a) 22 b) 21 c) 18
d) 12 e) 10
24. El número de alumnos que se encuentra en un aula es menor que 240 y mayor que 100; se observa que los 2/7 del total usan anteojos y los 5/13 son alumnos de la especialidad de ciencias. ¿Cuál es la suma de los alumnos de la especialidad de ciencias con los alumnos que usan anteojos?
a) 130 b) 125 c) 122
d) 182 e) 105
25. En un corral hay cierto número de gallinas que no pasan de 368 ni bajan de 354. Si las gallinas se acomodan en grupos de 2; 3; 4 ó 5 siempre sobra 1; pero si se acomodan en grupos de 7, sobran 4. ¿Cuántas gallinas hay en el corral si se añaden 6 más?
a) 361 b) 363 c) 365
d) 367 e) 369
26. A un congreso de informática asistieron personalidades Europeas y Americanas; entre los Europeos los 2/7 son médicos, los 5/14 son ingenieros y los 8/15 son abogados. ¿Cuántos americanos se presentaron si en total asistieron 348 personalidades?
a) 210 b) 140 c) 310
