5-ARITMÉTICA 4to (1 - 16).pdf

Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solución de uno de los

mayores problemas de nuestro país, la educación, brindando una enseñanza de alta calidad.

Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación

personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros

estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2013 se da tambien con el trabajo de

los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr

alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:

“Formar líderes con una auténtica

educación integral”

Didáctico

Presentación

Presentación

En ese sentido es pertinente definir públicamente la calidad asociándola a las distintas dimensiones de la formación de las personas: desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.

Nuestra Institución Mentor School’s propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formación personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes, impulsando sus capacidades para el éxito en la vida profesional.

Es por esta razón que nuestro trabajo para este año 2014 se da también con el esfuerzo de los docentes a través de Guías Didácticas que permitirán un mejor nivel académico y lograr alcanzar la práctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:

“Formar líderes con una auténtica

educación integral”

Capítulo 3. Numeración I ... 23

Capítulo 4. Numeración II ... 30

Capítulo 5. Conteo de Números en una P.A ... 37

Capítulo 6. Método Combinatorio ... 46

Capítulo 7. Suma o Adición ... 53

Capítulo 8. Sustracción - Complemento Aritmético ... 61

Capítulo 9. Multiplicación y Division ... 69

Capítulo 10. Cuatro Operaciones ... 79

Capítulo 11. Teoría de la Divisibilidad ... 86

Capítulo 12. Criterios de Divisibilidad ... 94

Capítulo 13. Números Primos ... 101

Capítulo 14. MCD-MCM ... 109

Capítulo 15. Números Racionales I: Fracciones ... 117

1

Conjuntos I

OBJETIVOS:

a Conocer los coneptos básicos de conjunto. a Conocer los diferentes tipos de conjunto.

Conj. Potencia Conj. Disjuntos Conj. Iguales Conj. Infinito Conj. Finito Conj. Universal Conj. Vacío Conj. Unitario CONJUNTOS Clases de Conjuntos

En matemática el concepto conjunto es aceptado como un "concepto primitivo", es decir, se acepta sin definición; nos da la idea de agrupación de objetos a los cuales llamaremos "elementos" del conjunto.

A los conjuntos generalmente se les denota por letras mayúsculas "A", "B", "C", .... etc. y a los elementos con letras minúsculas separadas por comas o por punto y coma, y encerrados entre llaves.

Notación:

A = {a , e, i, o, u}

Nombre del conjunto en mayúscula

Elementos del conjunto en minúsculas

I. Concepto

II. Notación

Ejemplos:

1. POR EXTENSIÓN O FORMA TABULAR:

III. Determinación de Conjuntos

Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto.

Existe dos formas de determinar un conjunto.

A = {a ; m ; o ; r} B = {2 ; 4 ; 6 ; 8}

Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.

A = {x/x es una letra de la palabra MENTOR} B = {x/x ∈ N; 0 < x < 10}

2. POR COMPRENSIÓN O FORMA CONSTRUC-TIVA:

Ejemplos:

Leonardo de Pisa fue el primero que utilizó la denominación de números quebrados al llamarle números ruptus (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar numerador y denominador. Y en el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio del M.C.M.

Ejemplo:

2. IGUALDAD DE CONJUNTOS:

Ejemplo: Ejemplos:

Ejemplos:

IV. Relación de Pertenencia ( )

Si un objeto es elemento de un conjunto, se dirá que pertenece (∈) a tal conjunto; en caso contrario se dirá que no pertenece (∉) a dicho conjunto.

A = {3 ; 8 ; 15 ; 24}

4 ∉ A 12 ∉ A

8 ∈ A 15 ∈ A

Es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota por φ o {}.

A = {x/x ∈ N; 3 < x < 4}

B = {x/x es un hombre vivo de 500 años} Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

A = {x/x∈N ∧ 6<x<8} → A={7} B = {2 ; 2 ; 2} → B = {2}

Es aquel conjunto que se toma como referencia para un determinado problema y en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Si: A = {1 ; 2 ; 3}

B = {0 ; 4 ; 5}

Entonces: U = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

V. Conjuntos Especiales

1. CONJUNTO VACÍO O NULO:

2. CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON:

3. CONJUNTO UNIVERSAL (U):

Ejemplo:

Es aquel cuyo número de elementos es limitado. A = {x/x ∈ N; 10 < x < 20}

Es aquel cuyo número de elementos es ilimitado. B = {x/x ∈ N}

A = {4 ; 9 ; 16 ; 25} → n(A) = 4

Diremos que "A" está incluido en "B" o es subconjunto de "B", si y sólo si todos los elementos de "A" son también elementos de "B". Se denota por A ⊂ B y su negación se denota A ⊄ B. A = {1 ; 2 ; 3 } B = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } ⇒ A ⊂ B I. A ⊂ A ; ∀ A II. A ⊂ B y B ⊂ C → A ⊂ C III. φ ⊂ A ; ∀ A ¡importante! 4. CONJUNTO FINITO: 5. CONJUNTO INFINITO: Ejemplo: Ejemplo:

Sea "A" un conjunto finito, el cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por n(A).

VI. Cardinal de un Conjunto

VII. Relación entre Conjuntos

1. INCLUSIÓN:

Ejemplo:

PROPIEDADES:

Dos conjuntos "A" y "B" son iguales, si y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por A = B. Se define:

A = B ↔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

A = {2 ; 3 ; 4 }

B = {x/x ∈ N ; 1< x < 5} ⇒ A = B

Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado. Halla la potencia del conjunto A, si:

A = {a ; i ; u }

⇒ P(a) ={{a}; {i}; {u}; {a,i}; {a,u}; {i,u}; {a, i, u}; φ}

Fórmula: n(P(A)) = 2n(A) Nota: 2n(A) _{- 1} Subconjuntos propios: Ejemplo:

VIII. Conjunto Potencia

Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ 3) Dado el conjunto: Q = { /x ∈ N ; 1 < x ≤ 5} indica su cardinal. x+1 x-1 1) Dado el conjunto: A = {1 ; 2 ; {3}; 4 ; {5}}

indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda. Da como respuesta el número de proposiciones verdaderas. 1 ∈ A φ ⊂ A 2 ⊂ A {3} ∈ Α {2} ∈ A {4} ⊄ Α {5} ∈ A {2 ; 4} ∉ A {4} ∈ A {2} ∉ A

2) Halla la suma de elementos de P:

P ={x2 _{+ 1 / x ∈ Z; -2 ≤ x ≤ 4}}

1) Dado el conjunto:

B = {1 ; 2 ; {3, 4, 5} ; {6,7}}

Indica el número de proposiciones verdaderas: 1 ∈ A φ ⊄ A

{3, 4, 5} ⊂ A {1} ∈ Α {1} ⊄ A {6, 7} ∈ Α {φ} ∈ A {{2}} ⊂ A φ ∈ A {1, 2} ⊂ A

3) Dados los conjuntos:

A={n2 _{/ n∈N ; 0 < n < 20}}

B = {2n / n∈Z; 4 < n2 _{< 500}}

¿Cuántos elementos tiene A x B? 2) Halla la suma de los elementos de "A" si

A={2x2 _{+ 1/ x∈Z ; -2 < x < 5}}

6) Si los conjuntos A y B son unitarios, calcula

"a + b".

A = {a + 5 ; 8} B = {6 ; b - 4}

4) Si se cumple que A y B son conjuntos unitarios,

halla "a - b".

A = {2a + 5 ; 13} B = {b + 2 ; 3a - b}

5) Si los conjuntos A y B son iguales.

A = {m2 _{- 1 ; 2}}

B = {18 - p2 _{; 8}}

halla "m + p", siendo m y p positivos. 6) Dados los conjuntos unitarios A y B:

A = {a + b ; 16} B = {a - b ; 4} Halla a . b

5) Si los conjuntos A y B son iguales, halla a x b si a

y b son naturales.

A={a2 _{+ 2a ; b}3 _{- b}}

B = {2a ; 15}

4) Dado el conjunto unitario:

A={a + b ; a + 2b - 3 ; 12} halla a2 _{+ b}2 Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________

PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Dados los conjuntos unitarios: P y Q: P = {x2 _{+ 3 ; 28}}

Q = {y + 5 ; 6} halla x - y

a) 6 b) 8 c) 5

d) 1 e) 4

Si los conjuntos M y N son iguales: M = {x2 _{+ 3 ; -6}}

N = {2 - y ; 12}

calcula el mínimo valor de (x+y).

a) 5 b) 8 c) 11

d) -5 e) -11

Si los conjuntos M y N son unitarios, calcula "x - y". M = {x2 _{- 1 ; 24}}

N = {y - 3 ; 2}

a) 5 b) 0 c) 2

d) 3 e) 7

Si los conjuntos A y B son iguales, halla el máximo valor de (m+n). A = {n2 _{+ 1; -6}} B = {2 - m ; 10} a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

Clave: Clave: Clave: Clave: 3 4 3 4 Dado el conjunto "B": B = {x2_{+1/ x ∈ Z ∧ -3 ≤ x ≤ 4}}

indica el número de subconjuntos propios del con-junto "A":

a) 1 b) 3 c) 15

d) 31 e) 255

Sea:

A={ /x, y, ∈N∧ x<4; y<4} ¿cuántos subconjuntos propios tiene A?

a) 31 b) 63 c) 127 d) 255 e) 511 x-y x+y Si: n[P(A)] = 128 ∧ n[P(B)] = 32 calcula n(A) + n(B) a) 5 b) 7 c) 12 d) 15 e) 16

Si A es un conjunto con dos elementos y B un con-junto con tres elementos, el número de elementos de P(A) × P(B) es: a) 12 b) 24 c) 48 d) 32 e) 64 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

5 6 5 6 Clave: Clave: Clave: Clave:

Dados los conjuntos: U={x/x ∈ N ; 5< x < 16} A = {x/x ∈ Z ; x < 6} B = {x/x ∈ N ; 3 < x < 26 } C = {x/x ∈ N ; x > 10} hallar: n(A) + n(B) + n(C) a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

Dado el conjunto: P={5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} y los con-juntos: M = {x∈P / x2 _{> 50 ∧ x < 9}} N = {x∈P / x es impar ∧ 6 < x} Determina n(M) + n (N) a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5 Si: A={x/x=(4m-1)2_{;m∈N;2≤ m≤5}}

entonces el conjunto A escrito por extensión es: a) {7 ; 11; 15; 19}

b) {49 ; 121; 225; 361} c) {3 ; 4; 7; 9}

d) {4 ; 6; 16; 25} e) {2 ; 3; 4; 5}

Halla n(A) + n(B) si se tiene: A= {2x / x ∈ N ; x < 9} B = { / x ∈ A } a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14 x + 4 3 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

Clave: Clave:

Clave: Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Calcula el número de elementos del conjunto "E" E={x/x ∈ Z ; 4 < < 12} a) 18 b) 13 c) 15 d) 12 e) 16 x + 3 2 Dado el conjunto: B= {x2 _{+ 4 / x ∈ N ; 2 ≤ x ≤ 6}} y las proposiciones: I. "B" tiene 32 subconjuntos II. La suma de elementos es 110. III. 10 y 13 son elementos de B ¿qué proposiciones son verdaderas? a) Sólo I b) Sólo II c) I y II

d) I y III e) Todas

Los conjuntos "A" y "B" son tales que: n(A∪B) = 30 n (A-B) = 12 n(B - A) = 10 Halla n(A) + n(B) a) 22 b) 38 c) 36 d) 25 e) 37

Los conjuntos "A" y "B" son tales que: n(A∩B) = 2 n(A∪B) = 14 Halla n(A) + n(B) a) 3 b) 2 c) 8 d) 12 e) 16 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

2

Conjuntos II

OBJETIVOS:

a Aplicar los conceptos de conjunto para resolver problemas.

a Conocer las operaciones con conjuntos y sus aplicaciones con diagramas.

Dados dos conjuntos "A" y "B"; se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A" y a "B" a la vez, es decir, es el conjunto formado por los elementos comunes a "A" y "B".

Notación:

A ∩ B = {x/x ∈ A ∧ x ∈ B} Gráficamente:

Dados los conjuntos "A" y "B"; se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A", a "B" o a ambos a la vez.

Notación: A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B} Gráficamente:

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

INTERSECCIÓN (∩) OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS Unión Intersección Complementación Diferencia Simétrica Diferencia A B A B A B A ∪ B UNIÓN O REUNIÓN (∪) A ∩ B A B A _B A B DIFERENCIA (–)

Dados dos conjuntos "A" y "B"; se llama diferencia de "A" y "B" al conjunto formado por todos los elementos de "A" que no pertenecen a "B".

Notación:

COMPLEMENTO DE UN CONJUTO (A′; AC₎ PROPIEDADES: A − B A B _A B A B Nota: A − B ≠ B − A Propiedades: A − A = φ A − φ = A φ − A = φ

Dado un conjunto "A" que está incluido en el conjunto universal "U", se denomina complemento del conjunto "A"; a todos los elementos que están fuera de "A" pero dentro del conjunto universal.

Notación: A′ = AC _{= {x/x ∈ U ∧ x ∉ A}} Gráficamente: A U A′ = AC (A′)′ = A A ∩ A′ = φ U′ = φ A ∪ A′ = U φ′ = U

Dados dos conjuntos "A" y "B"; se llama diferencia simétrica al conjunto formado por los elementos que pertenecen a (A − B) o a (B − A). Notación: A∆B = {x/x∈(A−B) ∨ x∈(B−A} A ∆ B = (A − B) ∪ (B − A) A ∆ B = (A ∪ B) − (A ∩ B) A ∆ B DIFERENCIA SIMÉTRICA (∆) A B A B A B Gráficamente: Gráficamente: 1. Si A∪B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} A∩B = {3; 5; 7} Halla n (A ∆ B). Se sabe:

A∆B = (A∪B) − (A∩B)

A∆B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} − {3; 5; 7} A∆B = {1; 2; 4; 6; 8}

Luego: n (A∆B) = 5

Resolución

Resolución

2. En el mes de enero Jorge come 20 días pan con

jamonada y 15 días pan con queso. ¿Cuántos días en el mes de enero, Jorge come pan con queso y jamonada?

Luego:

x + y + z = 31 x + y = 20 ⇒ z = 11 y + z = 15 ⇒ x = 16

Nos piden: Jamón y queso que es la zona "y", entonces: x + y + z = 31 16 + y + 11 = 31 y = 4 U = 31 Q J x y z 31

2) Dados los conjuntos:

A = {x ∈ N / x + 3 < 8} B = {x ∈ N / x2 _{− 3x + 2 = 0}}

C = {x∈N/x=k−2;k<5 ; k∈N} entonces A − (B ∩ C) es:

3) Dados los conjuntos A y B, se sabe que:

n(A) = 30 ; n(B) = 18 ; n(A∪B) = 40 Halla n(A ∩ B).

1) Halla la suma de los elementos de (A ∩ B) ∪ C,

sabiendo que: A = {1; 2; 3; 4} B = {2; 3; 5} y C = {1; 3; 5; 7} 1) Dados los conjuntos:

R = {x/x es divisor de 6} S = {x/x es divisor de 12} T = {x2_{/x es divisor de 18}}

halla (R∩S) − T

2) Sabiendo que todos son conjuntos de número

enteros positivos. A = {x/x < 11}

B = {x/x2 _{- 9x + 20 = 0}}

C = {x / 2x - 1 < 7} halla n[B ∩ (A−C)]

3) Dados los conjuntos A y B subconjuntos del

universo "U", se sabe que:

n(A) = 17 n(B) = 13

n(A∩B) = 5 n(U) = 35

Halla: n(A ∪ B)'

4) De un total de 60 deportistas que practican fútbol

o natación se sabe que 38 practican fútbol y 32 practican natación. ¿Cuántos practican ambos deportes?

5) Durante el mes de agosto; Enrique salió a pasear

con Angélica o con Beatriz. Si 17 días del mes paseó con Angélica y 23 días con Beatriz, ¿cuántos días paseó sólo con una de ellas?

5) Un alumno del 4.º año comió queso o jamón en el desayuno, cada mañana durante el mes de Junio. Comió 24 mañanas jamón y 17 mañanas queso. ¿Cuántas mañanas comió queso y jamón?

6) En una peña criolla trabajan 32 artistas. De éstos,

16 bailan, 25 cantan, y 12 cantan y bailan. El número de artistas que no cantan ni bailan es: 6) En un avión hay 100 personas de las cuales 50 no

fuman y 30 no beben. ¿Cuántas personas hay que no fuman ni beben, sabiendo que hay 20 personas que solamente fuman?

4) De 300 integrantes de un club deportivo, 160 se

inscribieron en natación y 135 en gimnasia. Si 30 no se inscribieron en ningún deporte, ¿cuántos se inscribieron en ambos deportes?

Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________

PROBLEMAS PARA CLASE N° 2

Dados los conjuntos "A" y "B", se tiene: n(A∆B) − n(A∩B) = 68 ; n(A∪B) = 86

Calcula n(A ∩ B)

a) 9 b) 18 c) 8

d) 16 e) 12

De 68 asistentes a un espectáculo se sabe que el número de hombres casados es el doble del número de mujeres solteras. Si el número de casados es 21; de los cuales 4/7 son hombres, halla la diferencia entre el número de mujeres casadas y hombres solteros.

a) 32 b) 31 c) 14

d) 15 e) 40

Si se sabe que:

n(A∪B) = 70 ; n(A−B) = 18 ; n(A) = 41 halla n(A ∆ B).

a) 42 c) 46 b) 45

d) 47 e) 48

En un salón de clases de la UNMSM hay 65 alumnos, de los cuales 30 son hombres; 40 son mayores de edad y 12 mujeres son menores de edad. ¿Cuántos hombres no son mayores de edad?

a) 10 b) 12 c) 13

d) 15 e) 18

Clave: Clave: Clave: Clave: 3 4 3 4

De una muestra recogida a 200 turistas; se determinó lo siguiente: 64 eran norteamericanos; 86 eran europeos y 90 eran economistas. De estos últimos, 30 eran norteamericanos y 36 europeos. ¿Cuántos de los que no eran europeos tampoco eran norteamericanos ni economistas?

a) 16 b) 20 c) 10

d) 26 e) 30

En una encuesta realizada a 450 personas sobre la bebida de su preferencia, 280 prefieren Inca Kola, 190 prefieren Coca Cola y 110 prefieren otras be-bidas. ¿Cuántas personas prefieren ambas bebidas mencionadas?

a) 130 b) 140 c) 135

d) 145 e) 150

Resolución: Resolución:

¿Qué operación puede representar la zona som-breada? a) (B - C) ∩ A b) (A ∩ B) ∪ C c) (A ∆ C) ∩ B d) (A ∩ B) − C e) (C − A) ∪ (A ∩ B) − C

Indica la operación que le corresponde al área sombreada de la figura: a) [A − (B ∪ C)] b) [(B ∩ C)− A] c) (A ∩ B)' ∪ C d) (A' − B) ∪ C e) [A − (B ∪ C)] ∪ [(B ∩ C)− A] A _B C A B C Resolución: Resolución:

5 6 5 6 Clave: Clave: Clave: Clave:

Elena tomó helados de fresa o coco durante todos las mañanas en los meses de verano (enero, febrero y marzo) del 2004. Si tomó helados de fresa 53 mañanas y tomó helados de coco durante 49 mañanas, ¿cuántas mañanas tomó helados de los dos sabores?

a) 9 b) 10 c) 11

d) 12 e) 15

En una encuesta realizada a 120 alumnos sobre cierta preferencia se obtuvo las respuestas "sí" de parte de 80 alumnos y la respuesta de "por supuesto" de 50 alumnos. ¿Cuántos alumnos no respondieron las frases anteriores si el número de alumnos que respondieron "sí" "por supuesto" es la cuarta parte de los que dijeron "sí" solamente?

a) 2 b) 6 c) 8

d) 12 e) 16

Carlos debe almorzar pollo o pescado (o ambos) en su almuerzo de cada día del mes de marzo. Si en su almuerzo durante 20 días hubo pollo y durante 25 días hubo pescado, entonces el número de días que almorzó pollo y pescado es:

a) 18 b) 16 c) 15

d) 14 e) 13

En un pueblo chino, 3 480 comen arroz sin sal y 5 700 comen arroz con sal. Si los que no comen arroz son el doble de los que comen arroz con sal y sin sal, ¿cuántos comen arroz sabiendo que en total hay 10 000 chinos?

a) 400 b) 700 c) 280 d) 820 e) 1 640 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

Clave: Clave:

Clave: Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

− 62 estudian inglés. − 52 estudian francés. − 54 estudian alemán. − 18 estudian inglés y francés. − 20 estudian francés y alemán. − 17 estudian sólo alemán. − 8 estudian los tres idiomas.

¿Cuántas alumnos estudian exactamente dos idi-omas de los mencionados?

a) 36 b) 35 c) 38

d) 37 e) 39

El resultado de una encuesta sobre la preferencia de jugos de frutas de manzana, fresa y piña es el siguiente: 60% gustan manzanas.

50% gustan fresa. 40% gustan piña.

30% gustan manzana y fresa. 20% gustan fresa y piña. 10% gustan manzana y piña. 5% gustan de los tres.

¿Qué porcentaje de las personas encuestadas no gustan de ninguno de los jugos de fruta mencionados?

a) 5% b) 12% c) 20%

d) 10% e) 50%

De un conjunto de estudiantes, se determinó que 10 hablan inglés, 20 español, 5 inglés y francés, 4 solamente inglés y francés, 6 solamente español y francés y 2 únicamente inglés. ¿Cuántas personas en total hablan únicamente español o los tres idiomas?

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

Un club de natación tiene 38 nadadores de estilo libre, 15 de estilo mariposa y 20 de estilo pecho. El mínimo total de nadadores es 58 y sólo de 3 de ellos practican los 3 estilos. ¿Cuántos practican exactamente un solo estilo?

a) 39 b) 49 c) 40 d) 35 e) 20 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

3

Numeración I

OBJETIVOS:

a Conocer las diferentes bases de numeración. a Expresar un número en su forma polinómica.

NUMERACIÓN

SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

Es un conjunto de reglas que nos permiten nombrar y escribir cualquier número mediante la combinación de unas pocas palabras y signos (cifras).

Inventado por los hindúes y difundido luego por los árabes, razón por la cual se llama "sistema indoarábigo". Este sistema es el que actualmente utilizamos y usa diez símbolos:

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 llamados cifras (símbolos).

VALOR DE UNA CIFRA

Una cifra posee dos valores:

Es el valor de la cifra por sí sola.

Es el valor de la cifra por la posición en que se encuentra.

Sea el numeral 2548. Cifra V.A. V.R. 2 2 2000 5 5 500 4 4 40 8 8 8

Consiste en descomponer un número como la suma de los valores relativos de sus cifras.

Descompón: 2548 2548= 2000 + 500 + 40 + 8 = 2x1000 + 5x100 + 4x10 + 8x1 = 2x103 _{+ 5x10}2 _{+ 4x10}1 _{+ 8x10}0 1. VALOR ABSOLUTO 2. VALOR RELATIVO Ejemplo: DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO Ejemplo:

En sus comienzos, el hombre numeraba las cosas con los dedos. Si quería decir 1, levantaba un dedo, si deseaba decir 2, levantaba dos dedos, y así sucesivamente. C o n l a s d o s m a n o s p o d í a contar hasta 10. Para señalar un número mayor hacía girar las manos: dos veces por 20, tres para 30, etc. Algunos

pueblos utilizaban, además, los dedos de los pies como complemento.

Para que exista el número, las cifras tienen que ser enteras y menores que 10.

Luego: a – 2 > 0 ∧ 3a < 10 a > 2 a < 3,3 ⇒ a = 3 Luego (a–2)a(3a) = 139 ∴ 1 + 3 + 9 = 13 Resolución

1. Calcula "a+b" si el numeral (a+5)(b+4)(2b)(3a+1)

es capicúa.

Si el numeral (a+5)(b+4)(2b)(3a+1) es capicúa, entonces: (a+5) = (3a+1) ∧ b + 4 = 2b 4 = 2a 4 = b a = 2 a + b = 6 2. Descompón: (2a)(a)(a) ⇒ 2a . 102 _{+ a . 10}1 _{+ a . 10}0 ⇒ 2a . 100 + a . 10 + a . 1 ⇒ 200 a + 10 a + a 211 a 3. Si el numeral de la forma:

(a–2)a(3a) existe, halla la suma de sus cifras:

Resolución Resolución Luego : a + b = 13 a – b = 5 2a = 18 a = 9 ⇒ b = 4

5. ¿Cuántos números de 2 cifras son iguales a 4 veces la

suma de sus cifras?

ab = 4(a+b), descomponiendo: 10 a + b = 4a + 4b 6a = 3b 2a = b a = 1, 2, 3, 4 b = 2, 4, 6, 8 ab = {12, 24, 36, 48} Existe 4 números ab que cumplen tal condición.

6. ¿Cuál es el número menor, cuyas cifras suman 31 si

todas sus cifras son distintas? Indica la cifra de mayor orden.

1 6 7 8 9

orden

Mayor orden

7. La suma de un número de dos cifras y el que resulta

de invertir el orden de sus cifras es igual a once veces la diferencia de estos números. Halla la suma de las cifras del número original.

ab + ba = 11(ab – ba) 10a+b+10b+a=11(10a+b –10b–a) 11a + 11b = 11(9a – 9b) 11(a+b) = 99(a – b) a + b = 9a – 9b 10b = 8a 5b = 4a a=5 ∧ b = 4 Resolución Resolución (+) Resolución 4. Sea ab + ba = 143 y a – b = 5, calcula ab2. ab + ba = 143, descomponiendo: 10a + b + 10b + a = 143 11a + 11b = 143 11(a + b) = 143 a + b = 13 Resolución

Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________

2) Dado el numeral capicúa:

a(b + 1)(7 – b)(8 – a) halla "a + b".

1) Si los siguientes numerales están correctamente

escritos: 3a4₍₇₎ ; aa8_(b) ; bb y 25_(a) además: 2c2c₍₇₎ = 1000

halla "a+b+c".

5) Si aba₍₅₎ = 2ba₍₇₎, halla a . b. 4) Calcula "a+b" si ab₍₉₎ = ba₍₇₎.

5) Calcula "x+y" si xyy₍₉₎ = yyx₍₆₎.

6) Calcula "m+n" si mn₍₅₎ = 14.

6) Calcula "a+b+c" si abc₍₃₎ = 15. 4) Si ab₍₇₎=ba₍₄₎, halla "a+b". 1) Si los numerales están correctamente escritos,

halla m +n + p

n23_(m) ; p21_(n) ; n3m₍₆₎ ; 1211_(p)

3) Si:

a – b = 4 y ab + ba = 143 halla "a . b".

2) Un numeral capicúa es de la forma:

(a–1)(a3_{)(b+4)c, halla "a.b.c."}

PROBLEMAS PARA CLASE N° 3

Halla "a" si 3a4₍₇₎ = 186.

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 5

¿Cuántos numerales son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a 6 veces la suma de sus cifras?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Si 3a7₍₉₎=322, halla "a".

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

Clave: Clave: Clave: Clave: 3 4 3 4 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

Si a un numeral de tres cifras que empieza con la cifra 6 se le suprime esta cifra, el numeral resultante es 1/26 del numeral original. Halla el producto de las cifras del numeral.

a) 36 b) 60 c) 48

d) 72 e) 56

Si a un número de 3 cifras que empieza en 9 se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 del número original. Halla la suma de las cifras del numeral. a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 30 Si se cumple lo siguiente: 546_(n) = 42n₍₈₎, halla "n2 _{– n".} a) 72 b) 42 c) 90 d) 56 e) 30 Si se cumple que: 320_(n) = 206₍₅₎, halla "n2 _{– n".} a) 20 b) 6 c) 12 d) 2 e) 30

5 6 5 6 Clave: Clave: Clave: Clave: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

Si a un numeral de dos cifras significativas le restamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 72. Halla la suma de las cifras del número original.

a) 7 b) 3 c) 9

d) 10 e) 12

Calcula el producto de las cifras de un numeral capicúa de 3 cifras que es igual a 23 veces la suma de las cifras diferentes.

a) 36 b) 6 c) 12

d) 9 e) 10

¿Cuántos numerales de dos cifras significativas cumplen que al incrementarle el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras se obtiene 55?

a) 2 b) 5 c) 3

d) 6 e) 4

Un numeral de 3 cifras que empieza en la cifra 2 es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Halla el producto de sus cifras.

a) 36 b) 39 c) 42

Clave: Clave:

Clave: Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7 8 8

NOTA

La cifra de las decenas de un número de dos cifras es igual al doble de la cifra de las unidades. Cuan-do se invierte el orden de sus cifras, este número disminuye en 27. ¿Cuál es el número?

a) 39 b) 63 c) 93

d) 36 e) 33

Si se cumple abab=N . ab, halla la suma de cifras de "N".

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

Si a un número de 3 cifras se le invierte la cifra de las unidades a las decenas, aumenta en 45. Si se invierte la cifra de las decenas y centenas disminuye en 270. Si se invierte las cifras de las unidades con las centenas, ¿qué ocurre?

a) Disminuye en 198 b) Aumenta en 130 c) Disminuye en 130 d) Aumenta en 198 e) Aumenta en 99

4

Numeración II

En el mundo, prácticamente solo se usa el sistema decimal, este sistema ha tenido su origen en los diez dedos de la mano del hombre. Existen aparte del sistema decimal, muchos otros sistemas de numeración.

Conjunto de reglas y principios que nos permiten una buena escritura y lectura de los números.

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Es el número de unidades de un orden cualquiera, necesarios para formar una unidad de orden inmediato superior. Recordemos que se llama orden a la posición que ocupa cada cifra dentro de un numeral, estos órdenes se consideran de derecha a izquierda. La base de un sistema de numeración es un número entero y positivo mayor que uno, es así entonces que tenemos infinitos sistemas de numeración y los principales son:

• En todo sistema de numeración se utiliza la cifra cero (0).

• En una base se utilizan "n" cifras, siendo la menor cero (0) y la mayor (n – 1). • El menor sistema de numeración es el binario.

• Las cifras mayores que 9 se pueden simbolizar como: Cifra Símbolo 10 α, A, a 11 β, B, b 12 γ, C, c . . .

Base Sistema Cifra

.. . ... ... 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 n Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Septenario Octal Nonario Decimal Undecimal Duodecimal Enesimal 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β 0, 1, 2, ...; (n–1); n OBJETIVOS:

a Convertir números de bases diferentes.

 De 212₍₅₎ a base 10. 212₍₅₎ = 2.52 _{+ 1.5}1 _{+ 2.5}0 = 2.25 + 1.5 + 2.1 = 50 + 5 + 2 = 57 ∴ 212₍₅₎ = 57 Ejemplo: Ejemplo:

Se presentan los siguientes casos:

Se desarrolla y resuelve la descomposición polinómica del numeral escrito en base "n".

Convierte 243₍₅₎ a base 10. 243₍₅₎ = 2 .52 _{+ 4.5}1 _{+ 3.5}0 = 2.25 + 4.5 + 3.1 = 50 + 20 + 3 = 73 ∴ 243₍₅₎ = 73

El método a utilizar es el de divisiones sucesivas.

Convierte 181 a base 2.

Se resuelve por los dos casos anteriores, es decir; primero se lleva de base "n" a base "10" por descomposición polinómica y luego de base "10" a base "m" por divisiones sucesivas.

∴ 181 = 10110101₍₂₎ TRANSFORMACIÓN DE BASES DE BASE "n" A BASE "10" Resolución DE BASE "10" A BASE "n" DE BASE "n" A BASE "m" Se divide sucesivamente hasta que el cociente sea menor que el divisor.

181 2 1 90 2 0 45 2 1 22 2 0 11 2 1 5 2 1 2 2 0 1 Convierte 212₍₅₎ a base 3 Resolución Ejemplo:

2. Halla "a+b+c" en abc₍₄₎ = 17.

17 4 1 4 4 0 1 ⇒ abc₍₄₎ = 101₍₄₎ ∴ a + b +c = 2 Resolución

1. Si se cumple que: 2153_(n) = 1abc₍₇₎, halla "a + b +c + n". Si 2153_(n) = 1abc₍₇₎ Por propiedad: 5 < n < 7 ⇒ n = 6 Luego: 2153₍₆₎ = 1abc₍₇₎ Resolviendo: = 2.63 _{+ 1.6}2 _{+ 5.6}1 _{+ 3.6}0 = 2.216 + 1.36 + 5.6 + 3.1 = 432 + 36 + 30 + 3 = 501 Resolución ⇒ 2153₍₆₎ = 1314₍₇₎ = 1abc₍₇₎ ∴ a+b+c+n = 3+1+4+6 = 14 501 7 4 71 7 1 10 7 3 1  De 57 a base 3. 57 3 0 19 3 1 6 3 0 2 ∴ 57 = 2010₃ ∴ 212₍₅₎ = 2010₃

4) Halla el valor "a" para que se cumpla:

3aa₍₇₎ = 11a3₍₅₎

1) Halla "a+b" si los siguientes numerales están

correctamente escritos:

bb2₍₇₎; 224_(a) ; 3a2_(b))

1) Si los siguiente s numerales están correctamente

escritos, calcula: m2 _{+ p}2_.

m2p₍₈₎; 315_(m) ;2mm_(p) 2) Halla el valor de "a" para que se cumpla:

3a5₍₈₎ = 245.

3) Expresa N en base siete:

N = 2.74 _{+ 5.7}3 _{+ 6.7}2 _{+ 31}

2) Halla "a" para que se cumpla:

a11₍₇₎ = 37a₍₈₎

3) Expresa "M" en el sistema octal si:

M = 6 x 84 _{+ 7 x 8}3 _{+ 3 x 8}2 _{+ 35}

4) Halla "a.b.c" si se cumple:

(a–4)ab₍₆₎ = c0cc₍₄₎

6) Expresa el menor numeral de 3 cifras diferentes

del sistema octal en el sistema quinario.

6) Convierte el menor número que se puede escribir

con todas las cifras impares del sistema heptal, al sistema nonario.

5) Expresa "N" en base cinco y da la suma de sus

cifras:

N = 19.54 _+8.53 _{+ 22}

5) Halla la suma de cifras del numeral 315₍₆₎ al ser expresado en base 9. Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________

PROBLEMAS PARA CLASE N° 4

Si los siguientes numerales son diferentes de cero. 2bc_(a) = bb_(c) + 10a₍₄₎,

halla " "

a) 6 b) 5 c) 4

d) 3 e) 7

Si "a", "b" y "c" son cifras diferentes entre sí, halla "m+p" si se cumple: abc₍₄₎ + bc₍₃₎ + c₍₂₎ = mp a) 10 b) 11 c) 12 d) 14 e) 15 a . c b

Halla "a+b+c" si se cumple: 315₍₈₎ = abc₍₆₎

a) 10 b) 9 c) 12

d)13 e) 8

Calcula "a+b+c+d+e+f+n" si se cumple: 1122₍₃₎ = abcdef_(n) a) 7 b) 6 c) 5 d) 9 e) 8 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

Clave: Clave: Clave: Clave: 3 4 3 4 Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

Expresa 48 en base "n" y da la suma de sus cifras si se cumple:

115_(n) = 235₍₆₎

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 11

Halla "n" para que se cumpla: 126_(n) = 256₍₈₎ a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11 Si se cumple 46a_(n) = 287₍₄₎, halla "a + n". a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

Halla "a + n" si se cumple: a56₍₈₎ = (a+1)60_(n)

a) 7 b) 8 c) 9

5 6 5 6 Clave: Clave: Clave: Clave: Resolución: Resolución: Resolución: Resolución:

Calcula "a+b+c" si se cumple: 56d = abcd₍₈₎

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

Calcula "a+b" si se cumple: mmm₍₈₎ = ab1

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

Halla "a+b" si se cumple: a2b₍₉₎ = a72_(n)

a) 7 b) 8 c) 9

d) 10 e) 6

Halla "a+b", para que se cumpla: aba₍₈₎ = 1106_(n)

a) 5 b) 6 c) 7

Clave: Clave:

Clave: Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7 8 8

NOTA

Halla "a + b" si se cumple:

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11 88 veces 16 16 16 . . . 16 ab = 6ba Si se cumple que: m00m₍₆₎ = npn Halle "m + n + p" (0 = cero) a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 20 Calcular "m + n" si se cumple: pppp₍₅₎ = mn8 a) 10 b) 7 c) 11 d) 15 e) 8

Halla "a + b" si se cumple:

a) 2 b) 5 c) 3 d) 6 e) 4 80 veces 14 14 14 . . . 14 ab = 371

5

Conteo de Números

En el presente capítulo abordaremos conceptos y problemas que fueron tratados por grandes matemáticos hace miles de años, tal es el caso de lo registrado en el papiro RHIND, hallado por éste a fines del siglo XIX, que fue escrito unos 2000 años antes de nuestra era.

Entre los problemas aritméticos que figuraban en dicho papiro está el de "la repartición del pan", que lo plantearemos como un desafío más adelante.

Por otro lado, la naturaleza nos muestra que muchos fenómenos pueden ser analizados según su recurrencia, por ejemplo: el cometa Halley es visible desde la Tierra cada 76 años; así también en nuestra vida encontramos aplicaciones sencillas como:

1. INTRODUCCIÓN ii. Cada término tiene un orden designado o número

ordinal, el cual guarda una correspondencia con su

respectivo término. Del ejemplo: primer término: t₁ = 7 = 1 × 5 + 2 segundo término: t₂ = 12 = 2 ×5 + 2 tercer término: t₃ = 17 = 3 × 5 + 2 cuarto término: t₄ = 22 = 4 × 5 + 2 quinto término: t₅ = 27 = 5 × 5 + 2

iii. La característica fundamental de este tipo de conjuntos es que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera es siempre un valor constante que llamaremos razón aritmética (r). Del ejemplo: t₁

7

12

{

17

22

27

{

_{

_{

_{

"A un conjunto con esta característica lo llamaremos

progresión aritmética".

Una progresión aritmética es un conjunto de números ordenados, de tal manera que la diferencia de dos términos consecutivos cualesquiera (el de mayor orden menos el otro) es siempre una constante llamada valor de la razón aritmética (r). 2. DEFINICIÓN N.º ordinal: 1.º 2.º 3.º 4.º ... n.º ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Término : 5 8 11 14 ... 3n+2 +3 +3 +3 razón aritmética: r = +3 Ejemplo: Ejemplo inductivo:

Un médico recetó a Esmeralda tomar una pastilla cada 5 días a partir del 7 de marzo y durante dicho mes. Completa el siguiente esquema:

Nº de toma:1.º 2a ₃a _...

↓ ↓ ↓ Día: : 7 ... ... Además:

I. La tercera toma fue el día _____ de marzo.

II. La última toma fue el día _____ de marzo y fue la

_____ toma.

III. La diferencia de días entre dos tomas consecutivas es _____ días.

De este ejemplo se observa que:

i. El conjunto: 7, 12, 17, 22, 27 es un conjunto ordenado, donde a cada elemento llamaremos

Halla el término de enésimo lugar para cada una de las siguientes progresiones aritméticas:

i. 57, 64, 71, 78, ... ii. 29, 18, 7, -4, ... iii. 1, 7, 13, 19, ...

Calcula los cuatro primeros términos para cada una de las tres P.A., si sus respectivos términos de enésimo lugar se expresan así: i. t_n = 120 + 9n ii. t_n = 13 - 8n iii. t_n = -20 + 6n Ejemplo: Ejemplo:

Según el signo del valor de la razón aritmética, las progresiones aritméticas pueden ser:

2.1. P

Cuando la razón es positiva ( r > 0). 6 , 13 , 20 , 27 , 34 , ...

+7 +7 +7 +7

razón: r = +7

2.2. P

Cuando la razón es negativa ( r < 0). 20 , 14 , 8 , 2 , -4 , ...

- 6 - 6 - 6 - 6

Se recomienda establecer una correspondencia entre cada término y su respectivo número ordinal.

3. CÁLCULO DE UN TÉRMINO DE LA P.A. CUYO LUGAR ES "n":

Dada la P.A. : 6, 10, 14, 18, ... Halla:

i. El término de enésimo lugar (t_n). ii. El término de vigésimo lugar (t₂₀).

Resolución N.º ordinal: 1.º 2.º 3.º 4.º ... n.º ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ Término : 6 , 10 , 14 , 18 , ... t_n +4 +4 +4 ...

Dada la siguiente progresión artimética, halla el término enésimo (t_n). Luego: t₁ = 7 t₂ = 7 - 1(3) t₃ = 7 - 2(3) t₄ = 7 - 3(3) . . . t_n = 7 - 3(n - 1) ∴ t_n = 10 - 3n En general:

Dada una progresión aritmética, el término de enésimo lugar (t_n) se calcula: razón: r = - 6 N.º : 1.º 2.º 3.º 4.º ... n.º ordinal ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 7 , 4 , 1 , -2 ... t_n -3 -3 -3 razón: r = -3 Ejemplo inductivo:

ii. A partir de "t_n" hallaremos "t₂₀", para lo cual n = 20 (lugar 20).

t₂₀ = 4(20) + 2 = 82

Ejemplo:

i. Cada término se deberá expresar en función de su número ordinal y la razón.

t₁ = 6 t₂ = 6 + 1(4) t₃ = 6 + 2(4) t₄ = 6 + 3(4) . . . . . . t₁₀ = 6 + 9(4) . . . . . . t_n = 6 + (n - 1)(4) t_n = 4n + 2 t_n = t₁ + (n - 1) . r

PROBLEMA GENERAL

Dada la siguiente progresión aritmética finita, calcula el número de términos (n).

4. CÁLCULO DEL NÚMERO DE TÉRMINOS DE UNA P. A. t₁ , t₂ , t₃ , t₄ , ... , t_n r r r "n" términos Sabemos : t_n = t₁ + (n - 1) . r Despejando "n", tenemos: n = + 1tn - t1 r

Observa que para calcular el número de términos "n", necesitas: r : razón aritmética t_n : último término t₁ : primer término último - primero razón # términos = + 1 * Aplicación:

¿Cuántos términos tiene la siguiente P.A.?

20, 31, 42, 53, ... , 669

Resolución

Nos piden el número de términos (n) para lo cual necesitamos: r = 31 - 20 = 11 t₁ = 20 t_n = 669 669 - 20 11 n = + 1 = 649_{11 + 1 = 60}

∴ La P.A. tiene 60 términos.

Calcula la cantidad de términos de cada una de las siguientes P.A.:

i. 45, 53, 61, 69, ... , 437 ii. 58, 46, 34, ... , -350 iii. 36, 37, 38, ... , 570 iv. 11a, 12a, 13a, ... , 63a

5. CÁLCULO DE LA CANTIDAD DE CIFRAS AL ESCRIBIR LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA FINITA

Ejemplo inductivo:

Calcula cuántas cifras se utilizarán al escribir los enteros consecutivos desde 56 hasta 499.

Resolución

Observa que del 56 hasta el 499 todos los números no tienen la misma cantidad de cifras, por lo que nos conviene formar grupos de números que tengan igual número de dígitos. En este caso:

i. Números de dos cifras:

56, 57, 58, ... , 99 * Número de términos: 99 - 55 = 44 términos * Cantidad de cifras: 44 × 2 = 88 cifras cada término tiene dos cifras

Ejercicios:

ii. Números de tres cifras:

100, 101, 102, ... , 499 * Número de términos: 499 - 99 = 400 términos * Cantidad de cifras: 400 × 3 = 1200 cifras cada término tiene tres cifras

Luego, cantidad total de cifras: 88 + 1200 = 1288 cifras

¿Cuántas cifras se utilizarán para escribir todos los términos de dos cifras de la siguiente P.A. 14, 18, 22, ... ?

Resolución

Para calcular el número de cifras totales debes averiguar cuántos términos de dos cifras tiene la P.A. de la siguiente forma: Ejercicio: 1.º 2.º 3.º ... k.º ↓ ↓ ↓ ↓ 10 14 18 22 ... (4k+10) +4 +4

1. El tercer término de una sucesión es 12 y el décimo

primer término es -12. Halla la diferencia común. a) -3 b) 3 c) 2 d) -2 e) -4

Resolución

Según el dato, tenemos: a₁₁ = -12

a₃ = 12 a₁₁ - a₃ = -12 - 12

(11-3)r =-24 (r es la razón de la P.A.) r = -3

La diferencia común es: r = -3 _{Clave a} 2. El cuarto término de una sucesión es 29 y el décimo

quinto término es 117. Calcula el séptimo término. a) 15 b) 18 c) 53 d) 4 e) 32 Resolución Se tiene: Sabemos que: a₁₅ - a₄ = (15 - 4)r 117 - 29 = 11r ⇒ r = 8 a₁ ; a₂ ; a₃ ; a₄ ; ... a₇ ; ... a₁₅ r r 29 piden 117 Luego: a₇ - a₄ = (7 - 4)r a₇ - 29 = 3(8) ∴ a₇ = 53 Clave c

6.1 P

m

Si un procedimiento o actividad, se puede efectuar de "m" maneras y otro de "n" maneras, y cada uno de los primeros puede ser seguido por cualquiera de los otros, entonces el número de maneras de realizar el primero seguido del segundo es "m x n".

¿Cuántos números de dos cifras se pueden formar con las cifras 0; 3; 4; 7 y 9?

Resolución

Son números de la forma ab.

i. La cifra a, por ser primera cifra, toma valores diferentes de cero: 3; 4; 7 ó 9. Los posibles valores de a son 4. ii. La cifra b puede tomar los valores 0; 3; 4; 7 ó 9. Puede

tomar 5 posibles valores.

Por lo tanto, el total de números de la forma ab es 4 × 5 = 20 números.

Nótese que no ha sido necesario escribir los 20 números, de los cuales algunos son 30; 33; 34; 37; 39; 40; 43; 44; 47; 49; etc. Estos números no forman una progresión aritmética. Para contar la cantidad de números que poseen determinadas características en sus cifras, se procede del modo siguiente: a) Se representa la forma general de numeral.

b) Se cuenta los valores que puede tomar cada cifra independiente del número.

c) Por el principio de multiplicación, se toma el producto de la cantidad de valores que toman las cifras independientes. Éste será el total de números condicionados.

¿Cuántos números de 3 cifras cumplen con que su cifra de centenas es el doble de su cifra de unidades?

Resolución

Representación general: (2a) ba

Contando:

Valores de a: 1; 2; 3; 4 ⇒ 4 valores Valores de b: 0;1;2;...;9 ⇒ 10 valores

Total 4 × 10 = 40 números Doble del valor de unidades

Ejercicio:

Ejercicio:

Observa que el esquema indica que la P.A. tiene "k" términos de dos cifras por lo que:

Luego, hay 22 términos de dos cifras cada uno, entonces el número de cifras totales es 22 × 2 = 44 cifras.

6. NÚMEROS CONDICIONADOS

Son aquellos números cuyas cifras se caracterizan por cumplir determinadas condiciones.

No forman necesariamente una progresión aritmética y para contarlos utilizaremos el principio de multiplicación.

es máximo de dos cifras

4k + 10 < 100

Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________ Rpta: ________

1) En una progresión aritmética cuya razón es

desconocida; de más de 50 términos, la diferencia del último y primer término es 371. Hallar el número de términos.

2) La diferencia entre los términos de lugares 78 y 48 de

una progresión aritmética es 90 y el décimo quinto término es 100. Hallar el vigésimo término.

3) ¿Cuántos números naturales hay entre 120₍₅₎ y 135₍₇₎?

4) ¿Cuántas cifras se emplearán al enumerar las

siguientes secuancias? I. 39; 41; 43; ...; 931 II. 1; 2; 3; ...; 640

Dar la suma de los resultados.

5) Al escribir la siguiente secuencia:

11_{; 2}2_{; 3}3_{; ...; abc}abc

sea han empleado 522 cifras. Hallar a + b + c

6) Calcular la suma de términos:

+ + +



15 términos

185 178 171 ...

1) En una progresió aritmética de razón desconocida,

el primer término es 13 y el último 454. Hallar el vigésimo cuarto término si en total son 50 términos.

2) La diferencia entre los términos de lugares 54 y 60

de una progresión aritmética es 30 y el décimo tercer término es 50. Halla el término de lugar 80.

3) ¿Cuántos números naturales hay entre 210₍₄₎ y 235₍₆₎?

4) ¿Cuántas cifras se utilizaron para escribir todos los

números impares dese 37 hasta 533?

5) Para escribir la siguiente sucesión:

11_{; 2}2_{; 3}3_{; ...; ab}ab

se utilizó 298 cifras. Hallar a + b

6) Calcular la suma de términos:

+ + + 

51términos

Clave: 1 Clave: 1 Clave: 2 Clave: 2

PROBLEMAS PARA CLASE N° 5

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

En una progresión aritmética el número de térmi-nos comprendido entre 23 y 59 es el doble de los comprendidos entre 3 y 23. Hallar la razón y el número de términos de la progresión.

a) 5; 18 b) 4; 16 c) 3; 12

d) 6; 21 e) 4; 15

En una progresión aritmética el número de térmi-nos comprendido entre 17 y 44 es el doble de los comprendidos entre 2 y 17. Hallar la razón y el número de términos de la progresión.

a) 3; 15 b) 5; 18 c) 4; 12

d) 4; 16 e) 2; 15

Dadas las siguientes P.A:

P.A₁ = 30; 42; 54; ... P.A₂ = 81; 96; 111; ...

Hallar el vigésimo término común y el lugar que ocupa en la primera P.A.

a) 366; 80 b) 1216; 124 c) 1116; 104

d) 1216; 104 e) 1116; 80

Dadas las sucesiones:

15; 17; 19; 21; ... –12; –7; –2; 3; ...

Hallar el primer término común y el lugar que ocupa.

a) 30 y 12 b) 38 y 14 c) 33 y 10

Clave: Clave: Clave: Clave: 3 4 3 4

Halla la cantidad de términos que tiene la siguiente P.A.:

8a, bc, aa, def, .... , fff ?

a) 46 b) 82 c) 84

d) 60 e) 72

Resolución:

¿Cuántos ceros inútiles se escribieron en la siguien-te enumeración?

0001; 0002; 0003; ... ; 0999; 1000

a) 329 b) 654 c) 785

d) 928 e) 1107

Resolución:

¿Cuántos ceros inútiles se escribieron en la siguien-te enumeración?

0010; 001; 0012; ...; 1000

a) 302 b) 627 c) 753

d) 901 e) 1080

Resolución:

Hallar el número de términos que tiene la P.A. ab ; 23 ; cd ; 37 ; ... ; abc

a) 27 b) 26 c) 22

d) 20 e) 18

5 6 5 6 Clave: Clave: Clave: Clave:

¿Cuántos numerales de la forma: a(b-3)( ) (c+1)(a+4)(2b) existen en base 13? a) 150 b) 180 c) 160 d) 192 e) 240 Resolución: c 2 ¿Cuántos numerales de la forma:

(10-n)(n+5)(n/2)(m/3)(1/7 p)? existen en base 15?

a) 1125 b) 2250 c) 775

d) 1225 e) 625

Resolución:

Para enumerar un libro de UNI páginas se han empleado 2130 tipos de imprenta. Hallar el valor de: U + N + I

a) 15 b) 16 c) 17

d) 18 e) 19

Resolución:

Para enumera un ibro de 1ab páginas se han em-pleado 297 tipos de imprenta. ¿Cuántos tipos de imprenta se emplearán para enumerar un libro de ab1 páginas?

a) 752 b) 842 c) 620

d) 930 e) 945

Clave: Clave:

Clave: Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

¿Cuántas hojas tiene un libro, sabiendo que en la enumeración de todas ellas se observó que en las 12 últimas se utilizaron 69 cifras?

a) 40 b) 80 c) 56

d) 64 e) 60

Resolución:

De un libro de 225 páginas se arranca cierto nú-mero de hojas del principio, notándose que en la numeración de las páginas que quedan se usaron 452 tipos de imprenta. ¿Cuántas hojas fueron arrancadas?

a) 62 b) 45 c) 21

d) 31 e) 15

Resolución:

¿Cuántas páginas tiene un libro si en sus 100 últimas páginas se han utilizado 283 tipos de im-prenta?

a) 180 b) 181 c) 182

d) 183 e) 184

Resolución:

De un libro de 321 hojas se arrancan cierto núme-ro de hojas del principio obervándose que en las páginas restantes se usan 1679 tipos de imprenta, ¿cuántas hojas se arrancaron?

a) 26 b) 27 c) 36

d) 38 e) 37

6

Análisis Combinatorio

Supongamos que una tarea se puede ejecutar de "m₁" maneras diferentes, otra tarea se realiza de "m₂" maneras y seguimos así sucesivamente hasta que llegamos a la k - ésima tarea, que se puede ejecutar de "m_k" maneras; entonces, el número total de maneras de llevar a cabo estas tareas juntas corresponde al producto:

m₁ × m₂ × m₃ × ... × m_k

Ejemplo:

¿De cuántas maneras distintas podemos ir de "A" a "C" pasando por "B" y sin regresar en ninguno de los casos?

La primera tarea o evento (ir de "A" a "B") la podemos realizar de 3 maneras: a pie, en bicicleta o en auto (p, b, a) y la segunda tarea (ir de "B" a "C") la podemos hacer: despacio o rapido (dor)

DIAGRAMA DEL ÁRBOL:

PRINCIPIO FUNDAMENTAL DEL CONTEO

A B C p b a d r (p;d) (p;r) (b;d) (a;d) (a;r) A B C n(1° tarea y 2° tarea) = 3 2 = 6× 1° tarea

3 formas 2° tarea2 formas

d r d r

(b;r)

6 maneras o rutas posibles

Es aquel arreglo donde cada agrupación se distingue por lo siguiente:

• En cada grupo intervienen todos los elementos • Un grupo se considera diferente del otro si sus

elementos se disponen en otro orden.

LA PERMUTACIÓN

Ejemplo: Permutar los elemnetos a ; b ; c. abc ; bac ; cab

acb ; bac , cba

# de permutaciones = 6

Matemáticamente: La permutación de «n» elementos viene dada por:

n

P =n!

Son los ordenamientos que se puede formar con una cierta cantidad de elementos, de modo que uno o más elementos se repiten.

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

1123 1132 2113 3112 1231 1321 2311 3211 1213 1312 2131 3121

Permutaciones obtenidas con las cifras 1; 1; 2 y 3.

El número de permutaciones que se puede formar con "n" objetos, de los cuales uno se repite "R₁" veces, otro "R₂" veces y así los demás, y denotado por P_R (n, R₁, R₂, R₃, ... R_k), donde n = R₁ + R₂ + R₃ + ... + R_k, está dado por:

P_R(n,R₁,R₂, ...,R_k)= _R n!

1!R2! ... Rk!

Por ejemplo, las permutaciones de 4 objetos de los cuales uno se repite dos veces, como 1; 1; 2; 3, son :

n n! V (n k)! = − m k n! C k!(n k)! = − Nótese que para simplificar la expresión anterior, bastará

con tomar sólo las veces que se repiten los objetos más de una vez:

P_R (4 ; 2) = = 124!_2!

LA VARIACIÓN

Es aquel arreglo donde cada agrupación se distingue por lo siguiente:

• En cada grupo no intervienen todos los elementos. • Un grupo se considera diferente del otro si se cambia

el orden de sus elementos.Interesa el orden.

Ejemplo:

Hallar la variación de 3 elementos tomados de 2 en 2 siestos elementos son: a ; b ; c.

ab ; ba ; ca ac ; bc ; cb

# de variaciones = 6 Matemáticamente:

La variacion de «n» elementos tomados de «k» en «k»viene dada por:

Los primeros años del Príncipe de los Matemáticos

No es exagerado este título póstumo, Príncipe de los Matemáticos, acuñado en una moneda, con que el rey Jorge V de Hannover honró a Gauss tras su muerte. Según E.T Bell, y es una opinión compartida por la mayoría de los historiadores de la ciencia, Gauss junto a Arquímedes y Newton ocuparía el podio de los grandes genios de las matemáticas a lo largo de la Historia. No se puede entender el avance y la revolución de las matemáticas del siglo XIX sin la mítica figura de Gauss. Su figura ilumina de forma completa la primera mitad del siglo. Sus aportaciones se producen en todos los campos de las matemáticas, tanto puras – Teoría de Números, Análisis, Geometría – como aplicadas – Astronomía, Geodesia, Teoría de errores – y en Física –Magnetismo, Óptica, Teoría del potencial, entre otros. Este gran matemático alemán llevó las matemáticas del siglo XIX a cumbres insospechadas unas décadas antes y eleva la Aritmética superior a la cima de las matemáticas, citando sus propias palabras, “las matemáticas son la reina de las ciencias y la aritmética la reina de las matemáticas”. El 4 de mayo de 1777, el viejo párroco de la iglesia de Wendengraben (en Brunswick, Alemania) procede a inscribir en el registro parroquial al más reciente de sus nuevos feligreses: Johann Carl Friedrich Gauss; se trata de un niño varón nacido cuatro días antes (el último día del mes de abril), siendo el hijo de un humilde matrimonio, la pareja formada por Geghard Dietrich Gauss y Dorothea Benze, ambos de 33 años. Con el paso de los años, este niño abandonará su primer nombre Johann y será conocido en toda Europa como Carl Freidrich Gauss, así es como firmará sus obras. En el seno de esta humilde familia, muy alejada de los salones ilustrados de la nobleza germana, el joven Gauss va a dar muestras tempranas de su genio precoz. Él mismo, ya anciano, acostumbraba a alardear de haber aprendido a contar antes que a escribir y de haber aprendido a leer por sí mismo, deletreando las letras de los nombres de los parientes y amigos de la familia. Y a él le debemos el relato de la anécdota que le coloca como el más precoz de los matemáticos. Cuando tenía tan sólo tres años, una mañana de un sábado de verano, cuando su padre procedía a efectuar las cuentas para abonar los salarios de los operarios a su cargo, el niño le sorprende afirmando que la suma está mal hecha y dando el resultado correcto. El repaso posterior de Geghard dio la razón al niño. Nadie le había enseñado los números y mucho menos a sumar. A los siete años, tras serios esfuerzos de Dorothea para convencer al padre, Gauss ingresa en la escuela prim aria, una vieja escuela, la Katherine Volksschule, dirigida por J.G Büttner, donde compartirá aula con otros cien escolares. La disciplina férrea parecía ser el único argumento pedagógico de Büttner, y de casi todos los maestros de la época. A los nueve años, Gauss asiste a su primera clase de Aritmética. Büttner propone a su centenar de pupilos un problema terrible: calcular la suma de los cien primeros números. Al terminar de proponer el problema, el jovencito Gauss traza un número en su pizarrín y lo deposita en la mesa del maestro exclamando: “Ligget se!” (¡Ahí está!). Había escrito 5050, la respuesta correcta. Con 11 años de edad Gauss dejará la Katherine Volksschule para ingresar en el Gymnasium Catharine, a pesar de las reticencias de su padre a que continúe sus estudios. Allí estudia Latín y Griego y al cabo de dos años accede al grado superior de la enseñanza secundaria. Su fama se empieza a extender por los círculos cultivados de Brunswick y llegará a oídos del duque Karl Wilhelm Ferdinand (1735 - 1806). Así, en 1791, apadrinado por E.A.W. Zimmerman (1743 - 1815), profesor de Collegium Carolinum y consejero provincial del duque, éste le recibe en audiencia. Gauss es un adolescente de 14 años que deja impresionado al anciano duque con su habilidad de cálculo. El duque le proporcionará los fondos para que pueda proseguir su formación y le regalará las tablas de logaritmos elaboradas por Johann Carl Schulze. Con tan sólo 18 años, el joven Gauss había hecho un descubrimiento que por sí solo le habría hecho pasar a la historia de las matemáticas. Un descubrimiento que constituía sólo la punta del iceberg de una teoría mucho más amplia que dará origen, tres años más tarde, a las Disquisitiones Arithmeticae, obra que Gauss va madurando durante su estancia en la Universidad de Göttingen.

LA COMBINACIÓN

Es aquel arreglo donde cada agrupación se distingue por lo siguiente:

• En cada grupo no intervienen necesariamente la totalidad de los elementos.

• Un grupo se considera diferente del otro si no tienen los mismos elementos. No Interesa el orden.

Ejemplo:

Hallar la combinación de 3 elementos tomados de 2 en 2 si estos elementos son:

a ; b ; c ab ; ac ; bc

# de combinaciones = 3 Matemáticamente:

La combinación de «n» elementos tomados de «k» en «k»viene dada por: