11 CUERPOS GEOMÉTRICOS. PROPIEDADES MÉTRICAS

A C T I V I D A D E S D E L O S E P Í G R A F E S

Poliedros y cuerpos redondos

P A R A P R A C T I C A R Completa la tabla.

Comprueba si se verifica la igualdad:

Número de caras 1 número de vértices 5 número de aristas 1 2

Se cumple la igualdad, conocida como el teorema de Euler, para todos ellos.

Calcula el elemento que falta en los siguientes cuerpos cuyas medidas están en centímetros.

a) b)

a) d 5

Ï

₆

w

2₁₃2

w

₁₃2₅

Ï

54

w

5_{7,35 cm} b) h5

Ï

₇

w

2_{2 5}2

w

_{54,90 cm}

Dibuja la figura que se obtiene al girar los siguientes recintos. a) Un cuadrado al girar sobre su lado.

b) Un triángulo rectángulo isósceles al girar sobre la hipotenusa. c) Un trapecio rectángulo al girar sobre la base mayor.

a) b) c) 11.3

11.2 11.1

Caras Vértices Aristas

Tetraedro 4 4 6 Cubo 6 8 12 Octaedro 8 6 12 Dodecaedro 12 20 30 Icosaedro 20 12 30 6 D 3 3 h 5 7 eje

eje _{eje eje}

eje

Dibuja un cono recto, sabiendo que el diámetro de la base mide 14 centímetros, y la altura, de 8. Calcula la generatriz del cono.

Sea gla generatriz del cono. El radio de la base mide: r5 }1

2 4

} 5_{7 cm}

Se forma un triángulo rectángulo con la generatriz de hipotenusa y la altura y el radio de catetos: g2_{5 8}2₁₇2₅₁₁₃

g5

Ï

₁₁₃

w

5_{10,63 cm}

Ejercicio resuelto

¿Qué figuras resultan al cortar un cono y una pirámide con un plano paralelo a la base de cada figura?

Se forman un tronco de cono un cono, y un tronco de pirámide y una pirámide.

Halla el elemento que falta en los siguientes cuerpos, cuyas medidas están dadas en centímetros.

a) b)

a) h5

Ï

₁₄

w

2₂₉

w

2_{5 10,72 cm} b) d 5

Ï

₉

w

2₁₈2

w

_{5 12,04 cm}

El diámetro de la base de un cono mide 15 centímetros, al igual que la altura. Halla la medida de la generatriz.

g5

Ï

₁₅

w

2_17,5

w

2_{5 16,77 cm}

P A R A A P L I C A R

La funda de un DVD tiene forma de ortoedro con las siguientes medidas: a) Halla la diagonal de la base.

b) Halla la diagonal del ortoedro. a) d 5

Ï

₁₄

w

2_{1 12,5}

w

2_{518,77 cm} b) d5

Ï

₁₄

w

2₁

w

_12,52₁

w

₁2_{518,79 cm} 11.8 11.7 11.6 11.5 11.4 14 h 9 d 9 4 14 cm 8 cm 1 cm 14 cm 1₂ ,5 c_m

Un barreño tiene forma de tronco de cono. Sus medidas, en centímetros, aparecen en la figura.

a) Halla la altura del barreño.

b) Halla la diferencia entre las áreas de las dos bases. a) h2_{5 48}2_{2 16}2_{5 2 048 ⇒h5 45,25 cm}

b)Sbase mayor2_{Sbase menor} 5 p₄₀2_{2 p24}2_{5 p1 024 5 3 216,99 cm}2

Ejes y planos de simetría en poliedros y cuerpos redondos

P A R A P R A C T I C A R

Representa los ejes de simetría de las siguientes figuras.

a) b)

Representa un eje de simetría sobre el cilindro de la figura. ¿Puedes encontrar algún otro?

Sí, también los son todas las rectas que pasan por el centro del cilindro y están contenidas en el plano paralelo a las bases y que pasa por dicho centro.

¿Cuántos ejes y planos de simetría puedes encontrar sobre los siguientes cuerpos redondos? 11.12 11.11 11.10 11.9 h 40 48 24

Tiene 13 ejes de simetría, 3 de las rectas perpendiculares a cada par de caras paralelas por su punto medio, 6 de las rec-tas que unen los puntos medios de las arisrec-tas opuesrec-tas, 4 de las rectas que unen vértices opuestos en distintas caras.

Tiene un eje de simetría.

a) Sólo hay un eje de simetría, la recta que pasa por el vérti-ce y es perpendicular a la base del cono. Hay infinitos pla-nos de simetría, todos los perpendiculares a la base del cono que pasan por el vértice.

b) Cualquier recta o plano que pasa por el centro de la esfe-ra es un eje o un plano de simetría de la esfeesfe-ra, respecti-vamente. Por tanto, hay infinitos ejes y planos de simetría.

Ejercicio resuelto

Encuentra todos los ejes y planos de simetría que puedas ver en la siguiente figura.

Hay un eje de simetría y cuatro planos de simetría:

¿Cuántos planos de simetría se pueden encontrar en las siguientes figuras? Dibújalos

a) Hay cuatro planos de simetría. b) Si la base fuera un triángulo equilátero, habría tres planos de simetría; si fuera isósceles un plano y si fuera escaleno no habría planos de simetría.

P A R A A P L I C A R

La puerta giratoria de un hotel es cilíndrica. ¿Cuántos ejes y planos de simetría tiene? Infinitos ejes de simetría, el eje de la puerta y todas las

rectas que pasan por el centro del cilindro y están con-tenidas en el plano paralelo a las bases y que pasa por dicho centro.

¿Por dónde se deberá cortar una naranja totalmente esférica para obtener un plano de simetría? ¿Cuántos planos de simetría se pueden encontrar?

Por cualquier plano que pase por su centro. Infinitos. 11.16

11.15 11.14 11.13

Una escultura de madera tiene forma de pirámide hexagonal como muestra la figura. a) Dibuja un eje de simetría. ¿Cuántos ejes de simetría tiene?

b) ¿De cuántas formas podemos cortar el tarugo para obtener un plano de simetría? c) ¿Qué condiciones tienen que cumplir los cortes para que sea un plano de simetría?

a) Solo tiene un eje de simetría, la recta que pasa por el vértice superior y es perpendicular a la base.

b) De seis formas.

c) Coincidiendo con seis planos perpendiculares a la base y que pasan por el vértice supe-rior: los tres que además pasan por dos vértices de la base enfrentados, y los tres que pa-san por los puntos medios de las aristas de la base.

Longitudes y áreas de figuras planas

P A R A P R A C T I C A R

Calcula el área de estas letras cuyas medidas están dadas en centímetros.

a) b)

a) Se halla el área como si fuera un rectángulo de lados 5 1 ₃ 5_{8 y 3} 1 ₃ 1₃ 5_{9 cm:A}5₈ ?₉ 5_{72 cm}2_. Ahora hallamos el área de los triángulos rectángulos que hay que quitar, que es:S5 ₂ ?₅ ? }3

2} 515 cm 2_. Se restan ambas áreas:AN572 215 557 cm

2_. b) Se halla el área del cuadrado:A5 ₈ ?₈ 5 _{64 cm}2_.

Se hallan las áreas de las respectivas partes que faltan de la F: A15₆ ?₃ 5_{18 cm}2 A25₂ ?₂ 5_{4 cm}2 A35₆ ?₁ 5_{6 cm}2 A45 }2 2 ? ₂ } 5_{2 cm}2 At5 18 1 4 1 6 12 530 cm 2

El área total de la Fserá:A5 ₆₄ 2 ₃₀ 5 _{34 cm}2

Halla el área de cada figura.

a) b)

a) Área del cuadrado mayor:A5 ₁₀2_{5 100 cm}2_. Área del cuadrado menor:A’ 5 ₅2_{5 25 cm}2 Área sombreada:A2 _A’ 5 ₁₀₀ 2 ₂₅ 5 _{75 cm}2

b) El área pedida es igual al área del rectángulo ABCDmenos el área de los triángulos MNB y LCH. Arectángulo5₉ ?₇ 5 _{63 cm}2 _A MNB5 } 6 2 ?₃ } 5_{9 cm}2 _A LCH5 } 4 2 ? ₆ } 5_{12 cm}2 Por tanto, el área pedida es:A5₆₃ 2 ₉ 2 ₁₂ 5 _{42 cm}2

11.19 11.18 11.17 3 3 3 3 5 2 6 2 2 1 2 3 10 cm 5 cm 5 cm 3 cm 3 cm 3 cm 4 cm 3 cm A B M N L C D H

¿Cuál es la longitud del arco y el área de los siguientes sectores circulares? a) radio 5 5 cm; ángulo 5 908 b) radio 5 7 dm; ángulo 5 1208 a) L5 }2p ? 36 5 0 ? 8 908 } 5_2,5p_cm 5_{7,85 cm A}5 }p ? 3 5 6 2 0 ? 8 908 } 5_6,25p_cm2_{519,63 cm}2 b) L5 }2p ? 3 7 60 ? 8 1208 } 5_{14,66 dm A}5 }p ?7 3 2 60 ? 8 1208 } 5_{51,31 dm}2

Determina las siguientes áreas. a) El área del círculo mayor. b) El área del círculo menor. c) El área coloreada.

a) Acírculo mayor5 p ?₆2_{5 36 ? p 5113,10 cm}2 b) Acírculo menor5 p ?₂2_{5 12,57 cm}2

c) Acoloreada 5 ₃₆p 2₄p 5₃₂p 5_{100,53 cm}2

Ejercicio resuelto

Calcula el perímetro y el área del trapecio circular de la figura.

El perímetro es la suma de dos arcos de radio 3 y 5 centímetros más dos veces la diferencia de sus radios. P5 }2p ? 3 5 60 ? 8 1108 } 1 }2p ? 3 3 60 ? 8 1108 } 1₂₍₅ 2 ₃₎ 5_{19,36 cm}

El área del trapecio se halla por diferencia de las áreas de los sectores de radio 3 y 5 centímetros. A5 }p ?5 3 2 60 ? 8 1108 } 2 }p ?3 3 2 60 ? 8 1108 } 5 }p ?11 3 0 6 8₍ 0 5 8 2₂₃2₎ } 5_{15,36 cm}2

Halla el área de la región coloreada en cada figura.

a) b) a) Área coloreada 5 }p 4 ?₆2 } 2 }6 2 ?₆ } 5₉p 2₁₈ 5 _{10,27 cm}2 _{b) Área coloreada 5 2 ?10,27 520,54 cm}2 11.23 11.22 11.21 11.20 2 cm 6 cm 3 cm 5 cm 110° 6 cm 6 cm

P A R A A P L I C A R

Hay una plaga de hongos en el césped del estadio de un equipo de fútbol.

¿Qué superficie de césped necesita repoblar?

h25 ₄₉ 2₉ →_h5_{6,32 m A1}5 ₂₀ ?₅ 5_{100 m}2 _{A25 3 ? }}6, 2 32_{} 5} 9,48 m2 AT5100 19,48 5109,48 m 2

Una cerrajería construye rejas uniendo sucesivamente un patrón. ¿Cuántos metros de varilla de acero se necesitan para construir la reja de la figura?

Tramos verticales: 4 ? ₅₀ 5_{200 cm}

Tramos curvos 5_{3 semicircunferencias de radio 15 cm:} 3 ?₁₅p 5₄₅p_cm

6 sectores circulares de radio 50 cm y amplitud 708_: 6 ? }2p ? 3 5 6 0 08 ?₇₀8 } 5_{366,51 cm}

Por tanto, para construir la reja se necesitarán: L5₂₀₀ 1₄₅p 1_366,52 5 _{707,88 cm de varilla.}

¿Qué superficie limpia el parabrisas trasero del coche?

Hemos de calcular el área de un sector circular de radio 30 cm y ángulo central 1508_.

A5 }p ?3 3 0 6 2 0 ? 8 1508 } 5_{1 178,10 cm}2

Si el radio de una moneda de 2 euros es de 25,75 milímetros, ¿cuál es la superficie que queda entre las tres monedas?

El área pedida se corresponde con el área rayada y será igual al área del triángulo ABC menos el área de los 3 sectores cir-culares de radio 25,75 mm y amplitud 608_.

Para hallar el área del triángulo equilátero ABC de lado 2 ? _25,75 5 _{51,5 tenemos que hallar previamente la altura} aplican-do el teorema de Pitágoras. h5

Ï

_51,5

w

2₂

w

_25,752_{5 44,60 mm} AABC5 } 1 2}51,5 ?44,6 5 1 148,45 mm 2 El área del sector AMNserá:

Asector5 }p. 25 3 , 6 7 0 5 8 2_?608 } 5 _{347,18 mm}2

Apedida5 _Atriángulo2_{3 Asector}5_{1 148,45} 2₃ ?_347,18 5_{106,91 mm}2_{, que es la superficie que queda entre las tres monedas.} 11.27 11.26 11.25 11.24 50 cm 30 cm 70° 17 m 20 m 5 m 7 m 15 m 1508 30 cm M C B A N

Áreas de cuerpos geométricos

P A R A P R A C T I C A R

Halla el área lateral y al área total de los siguientes cuerpos geométricos

a) b) a) AL5 2(5 13) ? 10 5160 cm 2 _{b) A} L5 2p ?3 ?12 572pcm 2_{5 226,19 cm}2 AT5160 12 ?15 5 190 cm 2 _A T5 72p 12p ?3 2_{5 90pcm}2_{5282,74 cm}2 Ejercicio resuelto

Calcula el área lateral y total de la pirámide.

AL5 6 ?

1

}

8? 2

12

}

2

5_{288 cm}2

Para calcular el área de la base necesitamos conocer su apotema.

a5

Ï

₈

w

2_{2 4}2

w

₅₄

Ï

3

w

5 _{6,93 cm}2 AT5 288 1 } (6?₈₎ 2 ?₄

Ï

₃

w

} 5₂₈₈ 1_166,28 5_{454,28 cm}2

Determina el área lateral y total de un cono recto de radio de la base 3 centímetros y altura 4 centímetros. En primer lugar calculamos la generatriz del cono.

g 5

Ï

₄

w

2₁₃2

w

_{55 cm} AL5 p ?3 ?5 5 15pcm

2_{5 47,12 cm}2 AT515p 1 p3

2_{5 24pcm}2_{575,40 cm}2

Halla el área lateral y el área total de una pirámide regular de base triangular de lado 6 centímetros y apotema 12 centímetros.

AL5 3 · }

1

2} · 6 · 12 5108 cm 2

Para hallar el área total necesitamos hallar el área de la base, que es un triángulo equilátero de lado 6 cm. La altura del trián-gulo la calculamos aplicando el teorema de Pitágoras.

h 5

Ï

₆

w

2₂₃2

w

_{55,20 cm} Abase5 }1 2}6 · 5,2 5 15,6 cm 2 AT5108 115,6 5123,6 cm 2 11.31 11.30 11.29 11.28 3 cm 12 cm 3 cm 5 cm 10 cm 8 cm 12 cm 4 8 a

¿Cuál es el área lateral y total de estos cuerpos geométricos? a) b) a) AL 55 · } 1 2}· 6 · 21 5 315 cm 2

Para hallar el área de la base calculamos la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras: a5

Ï

_5,11

w

2₂

w

₃2_{5 4,14 cm} Abase5_{5 ·} }1 2}· 6 · 4,14 5 62,05 cm 2 AT5 315 1 62,05 5 377,05 cm2 b) AL5 p· 4 · 8 5 32pcm 2_{5 100,53 cm}2 AT5 32p 1 p· 16 548pcm 2_{5 150,80 cm}2

¿Cuál es el área de estas esferas?

a) Radio: 7 cm b) Diámetro: 19 cm

a) A5₄p₇2_{5 615,75 cm}2 _{b) A5 4p9,5}2_{5 1 134,11 cm}2

Calcula el área de estos cuerpos geométricos.

a) b)

a) Es un tronco de pirámide cuadrangular.

Tenemos que calcular la altura de los trapecios isósceles laterales utilizando el teorema de Pitágoras: a5

Ï

_1,5

w

2₁

w

₆2_{5 6,18 cm}2_{y, por tanto, Atrapecio 5 }}161

2 13

} ?_6,18 5 _{89,61 cm}2 El área de la figura será:A5_{4 Atrapecio}1_Abases5 ₄ ?_89,61 1₁₆2_{1 13}2_{5 783,44 cm}2 b) El cuerpo es un octante con sus 3 tapas; por tanto, su área será:

Acuerpo 5 }1 8}Aesfera13} 1 4} Acírculo5 } 1 8}4p3 2_{1 }}3 4} p3 2_{511,25p 535,34 cm}2 P A R A A P L I C A R

El Ministerio de Agricultura esta instalando en algunas ciudades una carpa para informar de los beneficios de la dieta mediterránea.

¿Cuántos metros cuadrados de lona tiene la carpa?

La carpa es un semicilindro, siendo el radio de la base 5 m, y la altura, 25 m. A5 }1

2}(2p5 ?25) 1 p ?5

2_{5471,23 m}2 Por tanto, se necesitarán 549,78 m2_{de lona.} 11.35 11.34 11.33 11.32 6 cm 5,11 cm 21 cm 8 cm 4 cm 6 cm 16 cm 13 cm 3 cm 10 m 25 m

Una ONG se encarga de pintar los pisos de familias sin recursos económicos. Después de visitar un piso, ela-boran un croquis con las medidas en metros.

Si la altura del techo es de 2,5 metros, ¿qué superficie tienen que pintar?

A15_4,7 ? _3,9 5_{18,33 m}2

A25_[13 2 _(3,9 1_4,1)] ?₁ 5_{5 m}2 A35_3,7 ? _3,2 5_{11,84 m}2

A45_4,1 ? _4,7 5_{19,27 m}2 Por tanto, el área del techo será:

Atecho5 _18,33 1 ₅ 1_11,84 1_19,27 5_{54,44 m}2

Para hallar el área de las paredes, calcularemos el perímetro de cada pared y lo multiplicaremos por la altura, del techo, 2,5 m. A15_2(3,9 1 _4,7) ?_2,5 5 _{43 m}2

A25 ₂₍₁ 1₅₎ ?_2,5 5_{30 m}2 A35_2(3,2 1 _3,7) ?_2,5 5 _{34,5 m}2 A45_2(4,1 1 _4,7) ?_2,5 5 _{44 m}2

Aparedes5₄₃ 1 ₃₀ 1 _34,5 1 ₄₄ 5 _{151,5 m}2

ATotal5_Atecho1 _Aparedes5_54,44 1_151,5 5_{205,94 m}2

La entrada del Museo del Louvre de París es conocida por su forma de pirámide. Si su base es un cua-drado de lado 35 metros y su altura mide 21,65 metros, ¿qué superficie de cristal se necesitó para su construcción?

Calculamos la apotema de la cara aplicando el teorema de Pitágoras. a5

Ï

_21,65

w

2₁

w

_17,52

w

_{5 27,84 m} AL5 } 4?₃₅ 2 ?_27,84 } 5_{1 948,8 m}2

Para su construcción se necesitaron 1 948,8 m2_{de cristal.}

¿Qué superficie de papel necesitamos para envolver cada caja si se pierde un 10 % del papel al en-volverla?

a) b)

a) AT52(20 ?10) 12(10 ?5) 12(20 ?5) 5 700 cm

2 Como hay un 10 % de pérdida se necesitarán: Apapel5 }7 0 0 ,9 0 } 5 _{777,78 cm}2_{de papel de envolver.} b) AL 56 ?5 ?15 5 450 cm 2

Calculamos el área de la base, que es un hexágono regular de lado 5 cm. Para ello tenemos que hallar la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras:

a5

Ï

₅

w

2 _22,5

w

2_{5 4,33 cm Abase5 }}1

2}6 ?5 ?4,33 5 64,95 cm

2 _A

T5450 1 64,95 5 514,95 cm

2 Como hay un 10 % de pérdida en el papel, se necesitarán:Apapel 5 }51

0 4 , , 9 95 } 5_{572,17 cm}2 11.38 11.37 11.36 5 cm 20 cm 10 cm 5 cm 15 cm 1 3 3,9 3,2 4,1 4,7 3,7

Volúmenes de cuerpos geométricos

Ejercicio resuelto

Halla el volumen de este cuerpo geométrico.

La base es un trapecio de bases 15 y 5 centímetros, y altura 7 centímetros. Abase5 }15

2 1₅

} ?₇ 5_{70 cm}2

Como todas las secciones paralelas a la base tienen la misma área, se puede aplicar el principio de Cavalieri, y el volumen del cuerpo es Abase?_h.

V5₇₀ ?₁₈ 5 _{1 260 cm}3

P A R A P R A C T I C A R

Calcula el volumen de cada cuerpo geométrico.

a) b)

a) Para calcular la base, dividimos elcuerpo en dos prismas de bases. A15 ₁₂ ?₄ 5_{48 cm}2

A25 ₁₁ ?₅ 5_{55 cm}2

Abase5₄₈ 1₅₅ 5_{103 cm}2_{y, por tanto, el volumen del cuerpo será:V5 103 ?20 52 060 cm}3 b) La base es un trapecio recto de área:Abase5 }151

2 10

} ?_10,71 5 _{133,875 cm}2 V5_133,875 ?₉ 5 _{1 204,875 cm}3

Halla el volumen de los siguientes prismas y cilindros.

Se calcula la apotema de la base del prisma:a5

Ï

₃

w

2_{2 1,5}

w

2_{52,60 cm} Abase5 }6 ?3 2 ?_2,6 } 5_{23,4 cm}2_{y el volumen será V523,4 ?11 5 257,4 cm}3 En el cilindro Abase5 p ?₅2_{578,54 cm}2 V5_78,54 ?₉ 5_{706,86 cm}3 11.41 11.40 11.39 5 cm 15 cm 18 cm 7 cm 5 cm 12 cm 15 cm 4 cm 20 cm 10 cm 15 cm 11 cm 9 cm 9 cm 11 cm 3 cm 5 cm

Determina el volumen de la pirámide y el cono de la figura.

a) b)

a) La apotema de la base será: a5

Ï

₃

w

2_{2 1,5}

w

2_{52,60 cm} Y la altura,h, de la pirámide: h 5

Ï

₇

w

2_{2 2,60}

w

2_{56,5 cm} V5 _{Abase· h} 5 }1

2}6 · 3 · 2,60 · 6,5 5 152,1 cm 3 b) V5_Abase.h5 p_r2_{h 5 p3}2_{· 5 5 45p 5141,37 cm}3

Di cuál es el volumen de cada esfera.

a) Radio: 5 centímetros b) Diámetro: 15 centímetros

a) V5 }4 3}pr 3_{5 }}4 3}p5 3_{5523,60 cm}3 _{b) V5 }}4 3}pr 3_{5 }}4 3}p7,5 3_{51 767,15 cm}3

Averigua el volumen de estos cuerpos geométricos.

a) b)

a) Se trata de un tronco de cono. Tenemos que calcular la altura del cono original. En el dibujo los triángulos ABC y ADEson semejantes, por tanto,x5_{5 cm} V5 }1 3}p · 10 2_{· (x15) 2 }}1 3}p· 5 2_{· 5 5 }}1 000 3 2₁₂₅ }p 5_{916,30 cm}3 b) Es la octava parte de una esfera de radio 4 cm. Por tanto,

V5 }1 8} } 4 3} p4 3_{5 33,51 cm}3 P A R A A P L I C A R

Debido a una tormenta, el aparcamiento de un edificio se ha inundado. Si el agua ha alcanzado 1,20 metros de altura, ¿cuántos metros cúbicos de agua hay en el aparcamiento?

Se divide el recinto del aparcamiento en 3 rectángulos: A15_{12 · 50} 5_{600 m}2

A25_{13 · 3} 5_{39 m}2 A35_{15 · 13} 5_{195 m}2

Por tanto, el área de la planta del aparcamiento mide: A5_A11 _A21 _A35₆₀₀ 1₃₉ 1₁₉₅ 5_{834 m}2 V5 _{A· h} 5_{834 · 1,20} 5_{1 000,8 m}3 11.45 11.44 11.43 11.42 3 cm 7 cm 6 cm 5 cm 5 cm 20 cm 10 cm 4 cm 20 cm 10 cm A B D C E 50 m 12 m 12 m 20 m 25 m 15 m

1

m

1 m

2 m

Si la mina del lápiz del dibujo tiene un diámetro de 2 milímetros, ¿qué volumen de madera tiene el lápiz?

El lápiz es un prisma hexagonal de 15 cm de altura y lado de la base 0,5 cm. Se calcula la apotema de la base:

a5

Ï

_0,5

w

2_?0,25

w

2_{50,43 cm}2_. El área de la base es entonces,

Abase5 }6 ?0,5 2

?_0,43

} 5_{0,645 cm}2_{, y el volumen,} V5_0,645 ?₁₅ 5 _{9,675 cm}3

Para calcular el volumen de madera, hay que restar al volumen del prisma el del cilindro que corresponde a la mina: Vmadera5 _V2_Vcilindro 5_9,675 2 p ?_0,12_{· 15 5 9,675 2 0,471 5 9,204 cm}3

Un taller tiene un depósito donde almacenan el aceite usado. Después de pasar la empresa que lo recicla, el nivel de cada depósito ha bajado 30 centímetros. ¿Cuánto aceite se han llevado del depósito? El volumen que se han llevado será el de un ortoedro con la misma

base que el depósito y altura 30 centímetros, por tanto, V5₁ ? _0,3 ?₂ 5_{0,6 m}3

Una empresa especializada en pintar depósitos de gas cobra 6 euros por cada metro cuadrado. Si por el depósito de la figura nos cobran 3 141,60 euros, ¿cuál es el volumen del depósito?

Se halla el área de la superficie esférica: A5 }3 14

6 1,60

} 5 _{523,6 m}2

Como el área de la superficie esférica A5 ₄p_r2_, igualando y despejando el radio se obtiene: 4p_r2_{5 523,6 ⇒ r}2_{5 }}52 4 3 p ,6 } 5 _{41,66 m}2_⇒r5

Ï

_41,66

w

_{5 6,45 m}

Entonces, el volumen del depósito es: V5 }4

3}p6,45

3_{51 124 m}3

La Tierra. Coordenadas geográficas

P A R A P R A C T I C A R

Contesta verdadero o falso.

a) Todos los meridianos tienen el mismo radio. b) Todos los paralelos tienen el mismo radio.

c) Si dos ciudades son diferentes, no pueden estar en el mismo paralelo. d) Si dos ciudades son diferentes, no pueden estar en el mismo meridiano.

a) Verdadero b) Falso c) Falso d) Falso 11.49 11.48 11.47 11.46 0,5 cm 15 cm

Las latitudes de algunas ciudades son las siguientes.

Nueva York 428 N

Sydney 33,58 S

Pekín 408 N

Toronto 438 N

Contesta a las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué ciudad está más cerca del Polo Norte? b) ¿Qué ciudad está más cerca del Polo Sur? c) ¿Qué ciudad está más cerca del ecuador?

a) Toronto b) Sydney c) Sydney

Halla el dato que falta en las siguientes figuras, sabiendo que el radio medio de la Tierra mide 6371 kilómetros.

a) b)

a) r5

Ï

_{6 371}

w

2₂

w

_{5 00}

w

₀2_{5 3 948,37 km;x56 371 25 000 51 371 km} b) h5 _{6 371} 2₄₀₀ 5 _{5 971 km;r}5

Ï

w

_{6 371}2₂

w

_{5 971}

w

2_{5 2 221,89 km}

Ejercicio resuelto

El diagrama adjunto muestra algunos paralelos y meridianos del hemisferio norte. Halla la longitud y la latitud de los lugares A, B y C.

A: longitud 208E, latitud 408N B: longitud 808E, latitud 308N C: longitud 308O, latitud 308N

Para el diagrama del ejercicio anterior, halla las coordenadas geográficas de los puntos M, N y P.

M: longitud 408O, latitud 408N N: longitud 408E, latitud 108N P: longitud 708E, latitud 508N

Reykjavik es la capital de Islandia, un país que está cerca del Círculo Polar Ártico. Busca en un atlas sus coordenadas geográficas.

Las coordenadas geográficas de Reykjavik son: 218₅₇9_{O, 64}8₀₉9_{N (latitud del Círculo Polar Ártico 66}8₃₃9 _N). 11.54 11.53 11.52 11.51 11.50 r 5 000 km x R r 400 km h _R 0° B 20°_{E 40}°E 60°_E 80°_E 100°_E 20°_O 40°O 60°_O A C 0° 20°_N 40°N 60°_{N 80}°_N M N P

Halla la mayor distancia que puede haber entre dos puntos de la Tierra.

Si el radio mide 6 371 km aproximadamente, la mayor distancia que pueden tener dos puntos de la Tierra será: 2 ?_{6 371} 5 _{12 742 km.}

P A R A A P L I C A R

Dos ciudades están sobre el mismo paralelo de radio 4 500 kilómetros. El ángulo formado por sus res-pectivos meridianos es de 88. Halla la distancia entre ambas ciudades.

}2p4 36 5 0 0 8 0?₈ } 5 _{628,32 km}

Un barco se desplaza desde el punto Aal punto B, situados ambos so-bre el mismo meridiano. Halla la distancia recorrida, sabiendo que el ángulo es igual a 128. }2p6 3 3 6 7 0 1 8 ?₁₂ } 5_{1 334,34 km}

Un paralelo corta perpendicularmente el eje de la Tierra a 1 500 kilómetros del Polo Sur. a) Halla el área del círculo paralelo.

b) Calcula la longitud del círculo paralelo.

a)

6

⇒_r5_{4 106,458 km}

Acírculo paralelo5 p ?_{4 106,458}2_{552 976 668,45 km}2 b) Lcírculo paralelo5₂p ? _{4 106,458} 5 _{25 801,637 km}

Busca las coordenadas geográficas de París y Nueva York en un atlas. París tiene como coordenadas 8,58_{E; 48,85}8_{N, y Nueva York, 74}8_{O, 40}8_N.

Las coordenadas geográficas de Santiago de Chile son 708429 O, 338 259 S. a) Halla la distancia de Santiago al Polo Sur medida sobre el meridiano. b) Halla la distancia de Santiago al ecuador medida sobre el meridiano.

a) 5 }2p6 37 3 1 60 ? 8 56,588 } 5_{6 291,41 km} b) }2p6 4 371 } 2_{6 291,41} 5 _{3 716,13 km} 2p_{6 371} ?₍₉₀ 2 ₃₃8₂₅9₎ }}} 3608 11.60 11.59 x5 _{4 871}2 4 8712_1r2_{5 6 371}2 1 500 1 _x 5_{6 371} r2_1x2_{56 371}2 11.58 11.57 11.56 11.55 O A B 12° N x S r 1 500 km 6 371 km

La ciudad de Luisiana, en los EE. UU., tiene coordenadas geográficas 908O, 308N, y la ciudad de El Cairo, en Egipto, 308 E, 308 N.

a) ¿Están las dos ciudades en el mismo paralelo?

b) Halla la distancia entre ambas ciudades recorriendo el paralelo.

a) En efecto, ya que tienen ambas la misma latitud. b) La diferencia de longitudes es 908 1₃₀8 5₁₂₀8_.

Necesitamos hallar el radio del paralelo 308_N.

Por ser el ángulo de 308_{se deduce que x}5 }R 2} 5 } 6 3 2 71 } 5_{3 185 km.} r5

Ï

_{6 371}

w

2₂

w

_{3 185}

w

2_{5 5 517 km} d 5 }2p5 5 3 1 6 7 08 ?₁₂₀8 } 5_{11 554,78 km} 11.61

Matemáticas aplicadas

P A R A A P L I C A R

Si en nuestra ciudad son las 12 de la mañana, ¿qué hora será en estos países? a) Ecuador 7 horas menos; por tanto, serán las 5:00.

b) Chile 6 horas menos; por tanto, serán las 6:00. c) Rumanía 1 horas más; por tanto, serán las 13:00. d) Marruecos 2 horas menos; por tanto, serán las 10:00.

Indica el huso horario de los siguientes puntos de la superficie terrestre de los cuales se conoce su longitud geográfica.

a) 1258 E 9 husos horarios, 10 horas más b) 958 O 7 husos horarios, 8 horas menos c) 1198 309E 8 husos horarios, 9 horas más d) 1058139 O 8 husos horarios, 9 horas menos 11.63

Actividades finales

P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

Los siguientes cuerpos se han obtenido girando una figura plana sobre un eje de giro e_{. Determina en} cada caso la figura y el eje de giro.

a) b)

a) Dos rectángulos con un lado alineado.

b) Un triángulo isósceles que gira sobre el lado desigual.

¿Cuántos planos de simetría se pueden encontrar en las siguientes figuras? Dibújalos.

a) b)

a) Hay infinitos planos de simetría: todos los que contienen al eje que pasa por el vértice y es perpendicular a la base. b) Hay cuatro planos de simetría: los indicados en la figura.

Calcula el radio del paralelo cuya latitud es 308 sabiendo que BO _{5 6 371 km 5 2}AO_.

Aplicando Pitágoras:r5

Ï

_BO

w

2₂

w

_AO2₅

Ï

_{6 371}

w

2₂

w

_{3 185,5}

w

2_{55 517,45 km}

Las dimensiones de la base rectangular de una pirámide son 10 y 7 centímetros. Las aristas de las ca-ras laterales miden 8,5 centímetros.

a) Calcula la altura de la pirámide. b) Halla la diagonal de la base.

a) Hallamos la diagonal de la base:

d 5

Ï

₇

w

2₁₁₀

w

2_{512,21 cm} h 5

Ï

_8,5

w

2₂

w

_6,1052_{55,91 cm} b) d5 _{12,21 cm} 11.67 11.66 11.65 11.64 N 30_° B O r A

En un centro escolar, con motivo de la semana cultural, se organiza una competición de escaléx-tric sobre un circuito como el de la figura. a) ¿Qué longitud recorre el coche que va por el

carril exterior?

b) ¿Cuál es la longitud que recorre el coche que va por el carril interior?

a) lext5(8 ?25) 1 2p ?rexterior5200 1 2p ?15 5 294,2 cm b) lint 5 (8 ?25) 1 2p ?rinterior5 200 1 2p ?10 5262,83 cm

Determina la superficie de las etiquetas de los siguientes botes de conserva.

a) AL 52p3,5 ?3 5 21p 565,97 cm

2

b) AL5 2p3 ?5 530p 594,25 cm2

Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos.

En ambos casos, aplicamos el principio de Cavalieri y calculamos el volumen como el producto del área de la base por la altura.

a) Área base 5₁₀ ?₂ 5 _{20 cm}2

Volumen 5_{área base} ?_altura 5 ₂₀ ?₈ 5 _{160 cm}3 b) Área base 5 ₅ ?₃ 5 _{15 cm}2

Volumen 5_{área base} ?_altura 5 ₁₅ ?₇ 5 _{105 cm}3 11.70 11.69 11.68 25 cm 10 cm 15 cm 7 cm 8 cm 10 cm 10 cm 2 cm 5 cm 3 cm 6 cm 5 c m 3,5 cm 3 cm

Halla el área y el volumen de estos objetos. Baúl. Alateral prisma525 ?25 ?2 1 25 ?50 ?2 5 3 750 cm 2 Abase prisma550 ?25 5 1 250 cm 2 Alateral semicilindro5 p12,5 ?50 5 1 963,50 cm2 Abase semicilindro5 } 1 2}p12,5 2_{5 245,44 cm}2 Abaúl53 750 1 1 250 1 1 963,50 1 2 ?245,44 57 454,38 cm 2 Vprisma5 50 ? 25 ?25 5 31 250 cm 3 Vsemicilindro5 } 1 2}p12,5 2_{? 50 512 271,85 cm}3 Vbaúl531 250 112 271,85 5 43 521,85 cm3 Salero. Alateral cilindro5 2p3 ?5 5 30pcm 2 Abase cilindro5 p3 2_59pcm2

Calculamos la generatriz del tronco de cono:g 5

Ï

₃

w

2₁₁2

w

_{53,16 cm}

Para calcular el área y el volumen del tronco de cono necesitamos calcular tanto la altura como la generatriz del cono entero del que procede.

Llamando xy g a la altura y a la generatriz del cono cortado, respectivamente, se cumplirá

}x1 3 3 } 5 } 2 x_} ⇒ x5_{6 cm} }g1 3

Ï

₁₀

w

} 5 }g 2}⇒g5 2

Ï

10

w

cm

Alateral tronco cono5 p· 3 · (g 1

Ï

10

w

) 2 p· 2 · g5 p· 5

Ï

10

w

5 15,81pcm 2

(Se puede ver fácilmente que el área lateral de un tronco de cono es igual a p_{· g· (R}1 _R9_{), siendo R y R}9_{los radios de las}

bases del tronco y gsu generatriz).

Abase superior5 p2

2_54pcm2

Asalero530p 19p 115,8p 14p 558,8p 5184,73 cm 2

Vcilindro5 p32· 5 5 45pcm3

Vtronco de cono 5Vcono grande2Vcono pequeño 5 } 1 3} p3

2_{· (x1 3) 2 p2}2_{· x 519p 559,69 cm}3

Vcuerpo 5Vcilindro1Vtronco5 45p 119p 564p 5201,06 cm 3

La superficie lateral de una pirámide recta de base cuadrada es de 640 centímetros cuadrados. Sabiendo que el área de la base es de 256 centímetros cuadrados, calcula su volumen.

Si el área de la base es de 256 m2_{, entonces el lado de la base mide:}

l 5

Ï

₂₅₆

w

5 _{16 cm} AL5 } p· apot 2 ema cara }_{; 640} 5 }4 · 1 2 6 ·a }_⇒a5 _{20 cm.}

Calculamos la altura aplicando el teorema de Pitágoras:

h 5

Ï

₂₀

w

2_{2 8}

w

2_{518,33 cm}

V5 }1

3}16

2_{· 18,33 51 564,19 cm}3

Calcula el volumen y el área total del cuerpo geométrico que se genera al hacer girar la figura plana sobre el eje.

Al girar se genera un cuerpo compuesto de una semiesfera de radio 6 cm y un cono de radio de la base igual a 6 cm y de altura h. Calculamos h5

Ï

₁₀

w

2_{2 6}

w

2_{5 8 cm.} Asemiesfera5 2p6 2_572pcm2 Acono5 2p6 ?10 5 120pcm2 Afigura5 72p 1120p 5192p 5603,19 cm2 Vsemiesfera 5 } 4 6} p6 3_{5 144pcm}3 Vcono5 } 1 3} p6 2_{?8 5 96pcm}3 Vfigura 5144p 196p 5240p 5753,98 cm 3 11.73 11.72 11.71 6 cm e 10 cm 25 cm 25 cm 50 cm 2 cm 3 cm 5 cm 3 cm

Un tornero construye una pieza a partir de un cilindro de madera.

¿Cuántos centímetros cúbicos de madera se pierden en su construcción?

Volumen del cilindro inicial 5 p₁₀2_{?20 52 000pcm}3_{5 6 283,19 cm}3

La figura final se descompone en tres figuras: un cilindro mayor, un tronco de cono y un cilindro menor. Se calcula la altura del tronco de cono,h:h 5

Ï

₅

w

2₂₄2

w

_{53 cm}

Entonces la altura del primer cilindro,h9_{, cumple:h}9 1₃ 1₆ 5_{20 ⇒h}9 5_{11 cm} Vcilindro mayor5 p102?11 5 3 455,75 cm3

Para hallar el volumen del tronco de cono necesitamos hallar la altura del cono mayor.

}3 1 1 0 x } 5 } 6 x } _⇒x5_{4,5 cm}

Vtronco de cono5 Vcono mayor2 Vcono menor5 p10

2_{?7,5 2 p6}2_{?4,5 5 615,75 cm}3

Vcilindro menor5 p626 5 678,58 cm3

Vfigura5 3 455,75 1615,75 1 678,58 5 4 750,08 cm 3

Vmadera perdida5Vcilindro inicial 2Vfigura final56 283,18 24 750,08 51 533,1 cm 3

Por tanto, al construir la pieza se han perdido 1 533,1 cm3_{de madera.} 11.74 6 cm 6 cm 5 cm 10 cm 20 cm

P A R A R E F O R Z A R

Los siguientes cuerpos se han obtenido haciendo girar un polígono sobre un eje. Determina el polígono y el eje de giro.

a) b)

a) En este caso el polígono es un triángulo rectángulo girando sobre un cateto (ver figura). b) La figura se obtiene a partir de un rectángulo que gira alrededor de su base (ver figura).

Dibuja en tu cuaderno un rectángulo de lados 4 y 2 centímetros. ¿Qué figura se obtiene al hacerlo girar sobre el lado mayor?

Se obtiene un cilindro de altura 4 cm y radio de la base igual a 2 cm.

Indica la latitud y la longitud del punto señalado en la esfera terrestre.

Longitud 308_{E; latitud 50}8_N.

Halla el área de las siguientes figuras.

a) b)

a) Descomponemos la figura como suma de un trapecio, un rectángulo y un semicírculo.

Atrapecio5 } 12 2 1 ₅ } ?₆ 5 _{51 cm}2 Arectángulo5 8 ?12 5 96 cm 2 Asemicírculo5 } 1 2} p6 2_{556,55 cm}2 A5₅₁ 1₉₆ 1_56,55 5_{203,55 cm}2

b) Descomponemos la figura como suma de un rectángulo y un triángulo rectángulo.

Arectángulo5 21 ?7 5 147 cm 2 Atriángulo5 } 1 2}12 ?12 5 72 cm 2 A5₁₄₇ 1 ₇₂ 5 _{219 cm}2 11.78 11.77 11.76 11.75 N S O E 30_° 50_° A Meridiano de Greenwich 6 cm 8 cm 5 cm 12 cm 7 cm 12 cm 12 cm 4,03 cm 21 cm

Di cuál es el volumen de cada cuerpo geométrico. a) c) b) d) a) V5 }1 3} p7 2_{?12 5 196p 5615,75 cm}3 b) V5 }1 3}5 2_{?12 5100 cm}3

c) Calculamos la altura del cono mayor: }4 1 1 0 x } 5 } 7 x_} ⇒x5_{9,33 cm}

Vtronco5Vcono mayor 2Vcono menor5 } 1 3} p10

2_{? 13,33 2 }}1 3} p7

2_{?9,33 5917,167 cm}3

d) Calculamos la altura de la pirámide mayor }4 4 1 ,5 x } 5 } 3 x_} ⇒x5_{8 cm}

Vtronco5Vpirámide mayor2 Vpirámide menor 5 } 1 3}9 2_{?12 2 }}1 3}6 2_{?8 5228 cm}3 11.79 14 cm 12 cm 7 cm 10 cm 4 cm 12 cm 5 cm 5 cm 6 cm 4 cm 9 cm

P A R A A M P L I A R

Dos linternas proyectan en la pared dos círculos de radio 1 metro, uno de color amarillo y otro de co-lor azul, respectivamente.

Calcula el área de la región de color verde.

h 5

Ï

₁

w

2_20,5

w

2_{5 0,866 m}

El área buscada será la suma del área del sector circular de

amplitud 1208_{y de los dos segmentos circulares iguales}

mar-cados en la figura. A5 }p ?1 3 2 60 ? 8 1208 } 1 ₂

3

}p ? 3 1 6 2 0 ? 8 608 } 2 }1 2} ?0,866

4

51,23 m 2

Dibuja un tronco de pirámide de base cuadrada. Los lados de las bases miden 8 y 15 centímetros, y la altura, 7.

a) Halla la apotema de la pirámide. b) Halla el área de cada una de las bases. c) Halla el área de una cara.

d) Halla el volumen del tronco de la pirámide.

a) La apotema de la pirámide se calcula usando semejanza de triángulos:

a) La altura de la pirámide pequeña es:}x

7 1 ,5 7 } 5 } 4 x } _⇒ x5_{8 cm}

a) Luego la apotema de la pirámide usando el Teorema de Pitágoras es:

a) a5

Ï

₁₅

w

2_17,5

w

2_{5 16,77 cm}

b) El área de las bases es: A5 ₁₅ ?₁₅ 5_{225 cm}2_{y a5 8 ?8 5 64 cm}2

c) El área de cada cara es: Área 5 }15

2

1₈

} ?_7,83 5_{90 cm}2

d) El volumen del tronco de la pirámide será: a) V

pirámide mayor2 Vpirámide menor5 } 1

3} ?15

2_{?15 2 }}1

3} ?8

2_{?7 5975,67 cm}3

Una empresa empaqueta pelotas de tenis con los siguientes envases.

Si el radio de cada pelota es de 3 centímetros, ¿qué envase deja mayor volumen sin ocupar?

V pelota5 } 4 3} p3 3_{5113,1 cm}3 Cilindro: V cilindro 5 p3 2_{?24 5 678,58 cm}3 V

hueco5 Vcilindro24 Vpelota5 678,58 24 ?113,1 5226,18 cm 3

Prisma: V

prisma 512 ?12 ?6 5 864 cm 3 V

hueco5 Vprisma24 Vpelota5 864 24 ?113,1 5411,6 cm 3

Cilindro: d 5₆

Ï

₂

w

5 _{8,485 cm}

El radio de la base del cilindro será:}1

2}(8,485 16) 57,24 cm

V

cilindro 5 p7,24

2_{?6 5 988,05 cm}3

V_hueco5 V_cilindro2₄ V_pelota5 _988,05 2₄ ?_113,1 5_{535,65 cm}3 Por tanto, el que deja mayor volumen sin ocupar es el tercero. 11.82 11.81 11.80 O O9 h 7 cm 8 cm

Copia y completa la siguiente tabla con los volúmenes del cono, de la semiesfera y del cilindro. ¿Qué relación existe entre ellos?

V cilindro5 pR 2_{? R 5 pR}3 V_semiesfera5 }1 2} } 4 3} pR 3_{5 }}4 6} pR 3_cm3_{5 }}2 3} pR 3 V cono5 } 1 3} pR 2_{?R5 }}1 3} pR 3

Así pues, se verifica que:V_cilindro5 V_cono1V_semiesfera

11.83 Volumen Cono }1 3} pR 3 Semiesfera }2 3} pR 3 Cilindro pR3 R R

P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

Mantenimiento de piscinas

El croquis de la figura representa una piscina cuyas dimensiones son de 10 3 3 metros. La altura mínima del nivel de agua es de 1,8 metros, y la altura máxima, de 2,5.

El suelo de la piscina es horizontal en un tramo de 5 metros, a partir de los cuales comienza a des-cender.

a) Calcula el volumen de agua que contiene la piscina en litros.

b) Calcula cuántos litros de agua se deben añadir para que el nivel suba 5 centímetros.

Se puede considerar que la figura es un prima cuya base está for-mada por un rectángulo de dimensiones 1,8 y 5 metros y un trape-cio de bases 1,8 y 2,5 metros y altura 5 m.

a) V5 áreabase? altura 5

1

1,8 ?5 1 }

1,81 2

2,5

} ?5

2

3 559,25 m3

b) 10 ?3 ?0,05 51,5 m3_{Deberán añadirse 1 500 litros} El salón de actos.

La dirección de un centro docente ha decidido construir un pequeño salón de actos, para lo cual esta-blece las siguientes especificaciones.

• Debe tener capacidad para 120 personas.

• Los asientos se deben colocar alineados en filas y columnas formando un rectángulo. • El número de filas no puede ser superior a 20.

• El número de columnas no puede ser superior a 12.

• La longitud de la sala debe ser igual a la del número de butacas de cada fila más 3 metros. • La anchura de la sala debe ser igual a la del número de butacas de cada columna más 5 metros. a) Estudia de cuántas formas diferentes se pueden colocar los 120 asientos.

b) Calcula la disposición con menor área total.

a) Las posibles disposiciones son:

20 filas y 6 columnas: Área: (20 13) ?(6 1 5) 5 253 m2

15 filas y 8 columnas: Área: (15 ₁3) _?(8 ₁ 5) ₅ 234 m2

12 filas y 10 columnas: Área: (12 13) ?(10 1 5) 5 225 m2

10 filas y 12 columnas: Área: (10 13) ?(12 1 5) 5 221 m2

b) La disposición con menor área total es de 10 filas y 12 columnas. 11.85

A U T O E V A L U A C I Ó N

Halla la diagonal en un ortoedro de dimensiones 15,3 3 12,6 3 7,8 centímetros.

d5

Ï

_15,3

w

2₁

w

_12,62₁

w

_7,82_{521,3 cm}

La base de la pirámide de Keops, en Egipto, es cuadrada. La altura mide 146 metros, y el lado de la base, 230. Halla la apotema de una cara.

A5

Ï

₁₄₆

w

2₁

w

₁₁₅2_{5 185,85 m}2

Un avión sobrevuela el paralelo 608N. Halla la distancia recorrida sobre el paralelo si se mueve entre los

puntos de longitudes 308E y 608O, respectivamente. El radio del paralelo es 3 185 kilómetros.

La distancia será la del arco de un sector circular de ángulo 908_{y radio el del paralelo:}

d5 }2 ? p 3 ? 60 R 8 ?₉₀8 } 5 }p ? 2 3 185 } 5_{5 003 kilómetros}

Halla el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a) b)

a) A5₂p₅ ?₃ 1₂p₅2_{580p 5251,33 cm}2

V5 p₅2_{3 575p 5235,62 cm}3

b) Calculamos la apotema de la cara:

a5

Ï

₁₀

w

2 ₁₃

w

2 _{5 10,44 cm} A5 ₄ ? }6?1 2 0,44 } 1₆2_{5 161,28 cm}2 V5 }1 3}6 2_{?10 5 120 cm}3

Calcula el área y el volumen de una pelota de diámetro 10 centímetros.

A5 ₄p₅2_{5 100p 5314,16 cm}2

V5 }4 3} p5

3_{5 523,60 cm}3

Los técnicos del Ayuntamiento han detectado que la piscina municipal pierde agua por una fisura. La mejor solución es pintarla con una capa de fibra de vidrio.

¿Qué superficie necesitan pintar?

Descomponemos la figura del siguiente modo:

Atrapecio lateral5 }

31 2

1

} ₁₀ 5 _{20 m}2

Arectángulo lateral mayor 510 ?3 530 m2

Arectángulo lateral menor5 10 ?1 5 10 m 2

Abase plana5 10

2_{5 100 m}2

Para calcular el área de la base inclinada tenemos que hallar el lado x.

x5

Ï

₁₀

w

2_{1 2}

w

2_{510,20 m}

Abase inclinada510 ?10,20 5 102 m2

Por tanto, la superficie total que hay que pintar es:Atotal52 ?20 1 3 ?30 1 10 1 100 1 102 5342 m 2 11.A6 11.A5 11.A4 11.A3 11.A2 11.A1 3 cm 5 cm 1 m 10 m 3 m 20 m 10 m 6 cm 6 cm 10 cm

Determina el área total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a)

b)

a) Calculamos la generatriz g del tronco de cono:

g 5

Ï

₈

w

2₁₄2

w

_{58,94 cm}

AL5 p(10 16) 8,94 5449,37 cm

2

AT5449,37 1 p10

2_{1 p6}2_{5876,63 cm}2

Para calcular el volumen hemos de hallar la altura del cono grande: }8 1 1 0 x } 5 } 6 x }_⇒x5 _{12 cm}

Vtronco5 Vcono mayor2 Vcono menor5 }

1 3} p10 2_{?20 2 }}1 3} p6 2_{12 51 642 cm}3 b) AL5 }6?51 2 6?₃ }₆ 5 _{144 cm}2

Para calcular el área de las bases, tenemos que calcular las apotemas de cada base.

a5

Ï

₅

w

2_{2 2,5}

w

2_{54,33 cm} ⇒ Abase mayor5 } 6 2 ?₅ }_4,33 5_{64,95 cm}2 a’ 5

Ï

₃

w

2_21,5

w

2_{5 2,6 cm} ⇒ Abase menor 5 } 6 2 ?₃ }_2,6 5_{23,4 cm}2 AT5144 164,95 123,4 5232,35 cm 2

Para calcular el volumen tenemos que hallar, en primer lugar, la altura del tronco de pirámide, y luego, la altura de la pirá-mide grande. h 5

Ï

₆

w

2_21,73

w

2_{55,745 cm }}5,7 4 4 , 5 33 1 _x } 5 } 2 x ,6}⇒x58,63 cm

Vtronco de pirámide5Vpirámide grande 2Vpirámide pequeña5 }

1 3} 64,95 (8,63 15,745) 2 } 1 3}23,4 ?8,63 5 243,90 cm 3 11.A7 6 cm 10 cm 8 cm 6 cm 5 cm 3 cm

E N T R E T E N I D O

SIN DERRAMAR UNA GOTA

El objetivo de este juego es conseguir medir exactamente 6 litros de agua con la única ayuda de dos reci-pientes: uno de 4 litros y otro de 7 litros de capacidad.

¿Cuál es el menor número de maniobras que necesitas hacer para conseguirlo? Son necesarias 6 maniobras para obtener los 6 litros.

Contenido del Contenido del ¿Qué hacemos? recipiente de 7 litros recipiente de 4 litros

de capacidad de capacidad Llenar el recipiente

Maniobra 1.a

de 7 litros 7 litros 0 litros Llenar el recipiente de

Maniobra 2.a _{4 litros con el contenido 7}

24 5 3 litros 4 litros