Curso Departamento de Matemática. Facultad de Ciencias Exactas. Universidad Nacional de La Plata.

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Álgebra Lineal.

Aplicaciones a la Astronomía y Geofísica.

Curso 2017.

Departamento de Matemática.

Facultad de Ciencias Exactas. Universidad Nacional de La Plata.

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Espacios Vectoriales

Definición de Espacio Vectorial

Un espacio vectorial es un objeto de la matemática constituido a partir de un cuerpo de escalares, ℱ, un conjunto no vacío de objetos denominados vectores, V, y dos operaciones (reglas de asignación), ⊕ y ⨀, a saber:

⊕ : V x V → V (suma de vectores)

⨀: ℱx V → V (multiplicación de un escalar por un vector) Donde las operaciones deben cumplir las siguientes condiciones: Operación ⊕

Lo primero que hay que garantizar es que la operación ⊕ sea cerrada en V, o sea 𝑣⃗⊕𝑢⃗⃗𝜖 V ∀𝑣⃗, 𝑢⃗⃗𝜖 V.

 Conmutatividad en la operación ⊕:

𝑣⃗⊕𝑢⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ ⊕𝑣⃗, ∀𝑣⃗, 𝑢⃗⃗ 𝜖V

 Asociatividad en la operación ⊕:

𝑣⃗⊕ (𝑢⃗⃗ ⊕𝑤⃗⃗⃗) = (𝑣⃗⊕𝑢⃗⃗) ⊕𝑤⃗⃗⃗, ∀𝑣⃗, 𝑢⃗⃗, 𝑤⃗⃗⃗ 𝜖V

 Existencia de elemento neutro en la operación ⊕: Existe un único elemento de V, 0⃗⃗, tal que:

0

⃗⃗_{⊕𝑣⃗ = 𝑣⃗⊕0}⃗⃗ _{= 𝑣⃗, ∀𝑣⃗𝜖 V}  Existencia de elemento inverso en la operación ⊕:

Para cada elemento de V, 𝑣⃗𝜖 V, existe un único elemento de V, −𝑣⃗ 𝜖V, tal que:

𝑣⃗⊕(-𝑣⃗) = -𝑣⃗⊕𝑣⃗ = 0⃗⃗

Observación: puede verse que V es un grupo abeliano bajo la operación ⊕.

Tarea:

Demostrar que el elemento neutro en la operación ⊕, ⃗⃗0, es único.

3 Operación ⨀

Lo primero que hay que garantizar es que la operación ⨀ sea cerrada en V, o sea a ⨀𝑣⃗𝜖 V

∀a 𝜖ℱy ∀𝑣⃗𝜖 V.

 Existencia de elemento neutro en la operación ⨀:

Existe el elemento 1, 1𝜖ℱ, tal que para todo 𝑣⃗, 𝑣⃗𝜖V, se cumple:

1 ⨀𝑣⃗ = 𝑣⃗  Asociatividad en la operación ⨀:

a⨀ (b⨀𝑣⃗) = (a⋅b) ⨀𝑣⃗, a, b 𝜖 ℱ; 𝑣⃗ 𝜖 V, donde ⋅ es el producto definido sobre el cuerpo ℱ.

 Distributividad respecto de la suma de vectores:

a⨀ (𝑣⃗⊕𝑢⃗⃗) = a⨀𝑣⃗⊕a⨀𝑢⃗⃗, ∀ a𝜖 ℱ, ∀𝑣⃗, 𝑢⃗⃗ 𝜖V

 Distributividad respecto de la suma de escalares:

(a + b) ⨀𝑣⃗ = a⨀𝑣⃗⊕b⨀𝑣⃗, ∀ a, b𝜖 ℱ, ∀ 𝑣⃗ 𝜖 V, donde + es la suma definida sobre el cuerpo ℱ.

Observación: una estructura de espacio vectorial debe contar con: Un cuerpo ℱ

Un conjunto no vacío V (conjunto de vectores) Dos operaciones definidas.

Todo esto configura un espacio vectorial. En general, y de manera simbólica, suele abreviarse esto en la terna (V(ℱ), ⊕, ⨀), y se lee V es un espacio vectorial sobre ℱ bajo las operaciones

⊕ y ⨀.

Notas:

1. En muchas ocasiones se denomina ℱ–espacio vectorial V, para indicar el cuerpo sobre el cual queda definido el espacio vectorial. También suele nombrarse como espacio vectorial V(ℱ). Indistintamente utilizaremos la notación (V(ℱ), ⊕, ⨀) -en este caso aparecen explícitamente los símbolos de las operaciones-, ℱ–espacio vectorial V o espacio vectorial V(ℱ) -en estos dos casos se indica el cuerpo, pero implícitamente se asume que hay dos operaciones definidas-.

4 2. Un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales suele llamarse por simplicidad “espacio vectorial real”.

3. Un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos suele llamarse por simplicidad “espacio vectorial complejo”.

4. Puede demostrarse que todo cuerpo es un espacio vectorial sobre sí mismo.

5. La definición de espacio vectorial implica que depende en exclusiva del cuerpo, del conjunto no vacío V y de las dos operaciones definidas. Por ejemplo, un mismo conjunto V sobre un mismo cuerpo F puede no ser un espacio vectorial para un par de operaciones definidas, y puede no ser un espacio vectorial para otro par de operaciones definidas.

6. Para demostrar que un objeto matemático es un espacio vectorial lo primero que debe demostrarse es que las operaciones ⊕ y ⨀ son cerradas en V.

Ejemplos para trabajar en clase:

 Dado el conjunto de pares ordenados V = {(x; y) / x, y𝜖 ℝ} ¿Podemos decir que V es un espacio vectorial?

 Sea V el conjunto de las matrices mxn, de elementos reales, con la suma tal se define para matrices mxn y la multiplicación por un escalar también tal se define de manera habitual para matrices mxn. ¿V es un espacio vectorial sobre ℝ? ¿Por qué?

 Dados ℱ = ℝ y V = {x / x𝜖 ℝ, 0 < x}, y las operaciones:

⊕ : x⊕y = x⋅y ∀x, y𝜖V (donde ⋅ es el producto habitual en ℝ)

⨀ : a⨀x = xa ∀a 𝜖ℝ, ∀ x𝜖 V (exponenciación habitual en ℝ) ¿Es (V(ℱ), ⊕, ⨀) un espacio vectorial?

 Dados ℱ = ℝ y V = {x / x𝜖 ℝ, 0 < x}, y las operaciones:

⊕ : x⊕y = x+y ∀x, y𝜖V (donde + es la suma habitual en ℝ)

⨀ : a⨀x = a ⋅ x ∀a 𝜖ℝ, ∀ x𝜖 V (donde ⋅ es el producto habitual en ℝ) ¿Es (V(ℱ), ⊕, ⨀) un espacio vectorial?

5 Para remarcar una vez más: la resolución de estos ejemplos pone en evidencia que V es un espacio vectorial sobre ℱ a partir de las operaciones definidas y el cumplimiento de la axiomática que conforma la estructura de espacio vectorial.

Definición de Subespacio Vectorial

Dado un espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀), y S un subconjunto no vacío de V, i.e.S⊂V con S ≠∅, se dirá que S es un subespacio vectorial de V(ℱ) si con la misma suma ⊕ y el mismo producto por un escalar ⨀ definidos para V, S tiene la estructura de espacio vectorial.

Esta definición puede ser expresada de otra manera, equivalente a la anterior.

Dado un espacio vectorial V(ℱ), y un conjunto S contenido en V, si S(ℱ) es un espacio vectorial con las mismas operaciones de suma y producto por un escalar de V, se dirá que S es un subespacio vectorial de V.

Observación 1: suele ser importante quedarse con un subconjunto que “herede” las propiedades del conjunto y por lo tanto “reducir” el problema al número mínimo indispensable de vectores. Esta “reducción” simplifica el problema sin pérdida de generalidad, por lo que la matemática subyacente queda sin ser modificada.

Observación 2: en matemática, toda definición necesita la “receta” procedimental, por cuanto es necesario extender la definición a través de lemas y teoremas que nos permitan discernir si un subconjunto S ⊂ V, con (V(ℱ), ⊕, ⨀) un espacio vectorial, S ≠ ∅ y con las mismas propiedades de V, es un subespacio vectorial de V.

Teorema:

Sea S un subconjunto no vacío de V.

S es un subespacio del espacio vectorial V(ℱ) si, y sólo si, para todo par de vectores 𝑣⃗ y 𝑢⃗⃗ que pertenecen a S y todo escalar a del cuerpo ℱ, el vector formado a partir de a⨀𝑣⃗ ⊕𝑢⃗⃗ pertenece a S.

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 Si S es un subespacio del espacio vectorial V(ℱ), entonces…

S es un subconjunto no vacío de V que es subespacio vectorial, por cuanto, por definición de subespacio vectorial, S “hereda” las propiedades del espacio vectorial V(ℱ). Desde esta perspectiva, ya quedaría realizada la demostración de esta implicancia. No obstante la desarrollaremos.

Como S ≠ ∅,si el vector 𝑤⃗⃗⃗ pertenece a S, también pertenece −𝑤⃗⃗⃗ (porque S “hereda” las propiedades del espacio vectorial V(ℱ)). De donde es inmediato que el vector nulo en la operación ⊕ también pertenece a S.

Además, si 𝑤⃗⃗⃗𝜖S y a𝜖ℱ, a⨀𝑤⃗⃗⃗ también pertenece a S (porque S “hereda” las propiedades del espacio vectorial V(ℱ)). Por lo que, de esta manera puede demostrarse (por construcción) que para todo par de vectores 𝑣⃗ y 𝑢⃗⃗ que pertenecen a S y para todo escalar a del cuerpo ℱ, el vector formado a partir de a⨀𝑣⃗ ⊕𝑢⃗⃗pertenece a S.

 Si para todo par de vectores 𝑣⃗ y 𝑢⃗⃗ que pertenecen a S y todo escalar a del cuerpo ℱ, el vector formado a partir de a⨀𝑣⃗ ⊕𝑢⃗⃗ pertenece a S entonces…

En este caso, hay que probar que S es un subespacio vectorial del ℱ–espacio V. También la demostración puede realizarse por construcción.

Dado el vector 𝑣⃗ que pertenece a S, se puede “elegir” el vector conformado por -1⨀𝑣⃗ ⊕𝑣⃗

el que está en S (debido a la hipótesis a⨀𝑣⃗⊕𝑢⃗⃗pertenece a S). Ahora bien, si 𝑣⃗ es cualquier vector de S y podemos escoger cualquier escalar a que pertenece al cuerpo ℱ, como vimos que -1⨀𝑣⃗⊕𝑣⃗ (= ⃗⃗0) está en S, luego se sigue que a⨀𝑣⃗⊕0⃗⃗ está en S (por hipótesis), es decir a⨀𝑣⃗𝜖 S. En particular, -1⨀𝑣⃗ 𝜖S (i.e. -𝑣⃗𝜖 S). A partir de ello, exigiendo la asociatividad y la conmutatividad de la operación ⊕, y el cumplimiento de la axiomática de la operación ⨀

se tiene que S es un subespacio vectorial del espacio vectorial V(ℱ).

Observación: es común que se tome como definición de subespacio vectorial el teorema antes enunciado o los lemas que a continuación se enunciarán.

El teorema anterior es equivalente a los siguientes lemas:

7 Dado S⊂V, con (V(ℱ), ⊕, ⨀) un espacio vectorial. S es un subespacio vectorial de V(ℱ) si, y sólo si, se satisfacen las siguientes condiciones:

i. S ≠∅

ii. Si 𝑣⃗, 𝑢⃗⃗ 𝜖S, entonces 𝑣⃗⊕𝑢⃗⃗𝜖 S iii. Si a𝜖ℱy 𝑣⃗𝜖S, entonces a⨀𝑣⃗𝜖 S

Lema 2:

Dado S⊂V, con (V(ℱ), ⊕, ⨀) un espacio vectorial. S es un subespacio vectorial de V(ℱ) si, y sólo si, se satisfacen las siguientes condiciones:

i. ⃗⃗0𝜖 S

ii. Si 𝑣⃗, 𝑢⃗⃗ 𝜖S, entonces 𝑣⃗⊕𝑢⃗⃗𝜖 S iii. Si 𝑣⃗𝜖S y a𝜖ℱ, entonces a⨀𝑣⃗ 𝜖S

Demostración.

La demostración se puede realizar de manera similar a la demostración del teorema.

En el lema 1, S ≠ ∅ garantiza la existencia de al menos un vector. Si es el vector nulo para la operación ⊕ se trata del subespacio trivial (o también denominado subespacio nulo). En el lema 2, la exigencia que 0⃗⃗𝜖 S es equivalente a pedir que S ≠ ∅.

Ejemplos para trabajar en clase:

 Consideremos el conjunto de los números complejos, ℂ. Al ser ℂ un cuerpo, es un espacio vectorial sobre sí mismo. El conjunto de los números reales, ℝ, es un subconjunto de ℂ. Pregunta: ¿es ℝ un subespacio vectorial del espacio vectorial ℂ?

 Recordamos que una matriz cuadrada nxn (sobre el cuerpo ℱ) se llama simétrica si se cumple que Aij = Aji. Las matrices simétricas ¿forman un subespacio del espacio vectorial

de las matrices cuadradas Anxn(ℱ)?

 Sea A una matriz mxn sobre ℱ. Demostrar que el conjunto de todas las matrices nx1

(columna), X, sobre ℱ, tales que AX = 0, es un subespacio del espacio de todas las matrices nx1 sobre ℱ.

8 Al trabajar en espacios vectoriales estamos trabajando con objetos de esos espacios, por lo que además de la definición propia de “espacio vectorial” es necesario dar otras definiciones que posibiliten la “manipulación” matemática de dichos objetos.

Definición de combinación lineal

Un vector 𝑢⃗⃗, 𝑢⃗⃗ 𝜖 V, se dice que es una combinación lineal de los vectores 𝑣⃗₁, 𝑣⃗₂, 𝑣⃗₃, …, 𝑣⃗_𝑟

en V si existen escalares 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, …, 𝑎𝑟 que pertenecen a ℱ tal que: 𝑢

⃗⃗ = 𝑎₁𝑣⃗₁+ 𝑎₂𝑣⃗₂+ 𝑎₃𝑣⃗₃ + ⋯ + 𝑎_𝑟𝑣⃗_𝑟= ∑ 𝑎_𝑖𝑣⃗_𝑖 𝑖=𝑟

𝑖=1

Notar que estamos usando + (por abuso de lenguaje) para dar cuenta de la operación ⊕, y

𝑎_𝑖𝑣⃗_𝑖(por abuso de lenguaje) para indicar la operación 𝑎_𝑖⨀𝑣⃗_𝑖.

También debemos notar que dado que (V(ℱ), ⊕, ⨀) es un espacio vectorial, para combinaciones lineales vale lo siguiente:

∑ 𝑎𝑖𝑣⃗𝑖 𝑖=𝑟 𝑖=1 + ∑ 𝑏𝑖𝑣⃗𝑖 𝑖=𝑟 𝑖=1 = ∑(𝑎𝑖 + 𝑏𝑖)𝑣⃗𝑖 𝑖=𝑟 𝑖=1 𝑐 ∑ 𝑎𝑖𝑣⃗𝑖 = ∑ 𝑐𝑎𝑖𝑣⃗𝑖 𝑖=𝑟 𝑖=1 𝑖=𝑟 𝑖=1

La definición de combinación lineal nos permite avanzar, para entender de manera algebraica los conceptos de base y dimensión. Para esto necesitamos el concepto de independencia lineal de conjunto de generadores.

Definición de dependencia lineal

Sea V un ℱ-espacio vectorial. Sea C un subconjunto de V. Diremos que C es linealmente dependiente si existen escalares 𝑎₁, 𝑎₂, 𝑎₃, …, 𝑎_𝑟 que pertenecen a ℱ, no todos nulos, para un conjunto de vectores 𝑣⃗1, 𝑣⃗2, 𝑣⃗3, …, 𝑣⃗𝑟 que pertenece a C tal que:

0

⃗⃗ = 𝑎₁𝑣⃗₁+ 𝑎₂𝑣⃗₂ + 𝑎₃𝑣⃗₃+ ⋯ + 𝑎_𝑟𝑣⃗_𝑟

Donde 0⃗⃗ es el vector nulo.

Observación: a partir de la igualdad establecida en la definición de dependencia lineal, puede verse que existe un vector, 𝑣⃗_𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟, que puede escribirse como combinación lineal de los restantes 𝑟 − 1 vectores.

9 La definición de dependencia lineal nos lleva a entender el significado de independencia lineal.

El subconjunto C de V, donde V es un ℱ-espacio vectorial, se dice linealmente independiente si la igualdad

0

⃗⃗ = 𝑎1𝑣⃗1+ 𝑎2𝑣⃗2 + 𝑎3𝑣⃗3+ ⋯ + 𝑎𝑟𝑣⃗𝑟

se satisface si, y sólo si, los escalares 𝑎𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑟, son todos nulos. Es decir, 𝑎1 = 𝑎2 = 𝑎₃ = ⋯ = 𝑎_𝑟 = 0.

Si el subconjunto C de V, donde V es un ℱ-espacio vectorial, tiene un número finito de vectores 𝑣⃗1, 𝑣⃗2, 𝑣⃗3, …, 𝑣⃗𝑟 se suele decir, por abuso de lenguaje, que los 𝑟-vectores 𝑣⃗1, 𝑣⃗2, 𝑣⃗₃, …, 𝑣⃗_𝑟 son linealmente dependientes (independientes).

Consecuencias de la definición de dependencia lineal. Es fácil demostrar que:

1. Todo conjunto que contiene un conjunto linealmente dependiente es linealmente dependiente.

2. Todo subconjunto de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

3. Todo conjunto que contiene al vector nulo, ⃗⃗0, es linealmente dependiente.

4. Si el conjunto C es un subespacio del espacio vectorial V(ℱ), entonces C es linealmente dependiente.

Definición de conjunto generador (sistema de generadores)

El subconjunto G de V, donde V es un ℱ-espacio vectorial, se dice que es un conjunto generador de V si todo vector que pertenece a V puede ser escrito como una combinación lineal de los vectores que pertenecen a G.

Si el subconjunto G de V tiene un número finito de vectores 𝑣⃗₁, 𝑣⃗₂, 𝑣⃗₃, …, 𝑣⃗_𝑟, en general, se dice que el conjunto de vectores 𝑣⃗1, 𝑣⃗2, 𝑣⃗3, …, 𝑣⃗𝑟 es un sistema de generadores de V si todo

elemento de V puede escribirse como combinación lineal de los vectores 𝑣⃗₁, 𝑣⃗₂, 𝑣⃗₃, …, 𝑣⃗_𝑟. En notación formal, un sistema de generadores puede ser definido como:

10 Sea V un ℱ-espacio vectorial, con G⊂V.

G= {𝑣⃗⃗⃗⃗⃗1, 𝑣⃗⃗⃗⃗⃗2, 𝑣⃗⃗⃗⃗⃗3, …, 𝑣⃗⃗⃗⃗}𝑟 ∀𝑣⃗, 𝑣⃗ ∈V, ∃𝑐_𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, 𝑐_𝑖 ∈ ℱ, tal que: 𝑣⃗ = ∑ 𝑐_𝑖𝑣⃗_𝑖 𝑖=𝑟 𝑖=1 Ejemplo trivial: G= {(1; 0), (0; 1)} ⊂ ℝ2, con ℱ = ℝ. 𝑣⃗ = 𝑎(1; 0) + 𝑏(0; 1) = (𝑎; 𝑏), con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ. Base y dimensión.

Sea V un ℱ-espacio vectorial. Una base B del espacio V es un conjunto de vectores linealmente independiente que genera al espacio V.

El espacio V es de dimensión finita si tiene una base finita, i.e. el conjunto B tiene una cantidad finita de elementos, y la dimensión del espacio es el número de elementos de B (el número de vectores linealmente independientes que general al espacio V).

Para el caso de dimensión finita puede aceptarse la siguiente definición como definición de base:

El conjunto finito de vectores B= {𝑒⃗1, 𝑒⃗2, 𝑒⃗3, …, 𝑒⃗𝑛} se dice que es una base del ℱ-espacio

vectorial V si se cumplen las dos condiciones siguientes:

a. B es linealmente independiente. Es decir, los vectores 𝑒⃗₁, 𝑒⃗₂, 𝑒⃗₃, …, 𝑒⃗_𝑛 son linealmente independientes.

b. B es un conjunto generador de V. Es decir, todo vector del ℱ-espacio vectorial V se puede escribir como combinación lineal de los vectores 𝑒⃗1, 𝑒⃗2, 𝑒⃗3, …, 𝑒⃗𝑛.

Esta definición conduce a las siguientes proposiciones, con carácter de lema:

Lema 1:

Si V es un espacio vectorial que posee una base con n elementos, cualesquiera n + 1 vectores de V son linealmente dependientes.

11 Demostración:

Sea B = {𝑒⃗₁, 𝑒⃗₂, 𝑒⃗₃, …, 𝑒⃗_𝑛} una base del ℱ-espacio vectorial V. Luego, por definición de base, todo vector del espacio vectorial V puede ser escrito como una combinación lineal de los vectores de B. 𝑣⃗₁ = ∑ 𝑐_𝑖,1𝑒⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 ; 𝑣⃗₂ = ∑ 𝑐_𝑖,2𝑒⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 ; 𝑣⃗₃ = ∑ 𝑐_𝑖,3𝑒⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 ; … ; 𝑣⃗_𝑛 = ∑ 𝑐_𝑖,𝑛𝑒⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 ; 𝑣⃗_𝑛+1 = ∑ 𝑐_𝑖,𝑛+1𝑒⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1

Ahora debemos ver si los n + 1 vectores 𝑣⃗1, 𝑣⃗2, 𝑣⃗3, …, 𝑣⃗𝑛+1 son linealmente

independientes. Es decir, debemos ver si existen escalares 𝑎_𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1, todos “simultáneamente” nulos tales que:

0

⃗⃗ = 𝑎1𝑣⃗1+ 𝑎2𝑣⃗2+ 𝑎3𝑣⃗3+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑣⃗𝑛 + 𝑎𝑛+1𝑣⃗𝑛+1

Reemplazando cada 𝑣⃗_𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1, resulta:

0 ⃗⃗ = 𝑎1∑ 𝑐𝑖,1𝑒⃗𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 + 𝑎₂∑ 𝑐_𝑖,2𝑒⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 + 𝑎₃∑ 𝑐_𝑖,3𝑒⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 + ⋯ + 𝑎_𝑛∑ 𝑐_𝑖,𝑛𝑒⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 + 𝑎_𝑛+1∑ 𝑐_𝑖,𝑛+1𝑒⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1

Luego de operar algebraicamente (realizar la serie de operaciones), agrupando los coeficientes de cada 𝑒⃗_𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1, e imponiendo la condición de igualdad al vector nulo, se arriba a lo siguiente:

𝑎₁𝑐_1,1+ 𝑎₂𝑐_1,2+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑐_1,𝑛+ 𝑎_𝑛+1𝑐_1,𝑛+1 = 0 𝑎₁𝑐_2,1+ 𝑎₂𝑐_2,2+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑐_2,𝑛 + 𝑎_𝑛+1𝑐_2,𝑛+1 = 0 𝑎₁𝑐_3,1+ 𝑎₂𝑐_3,2+ ⋯ + 𝑎_𝑛𝑐_3,𝑛 + 𝑎_𝑛+1𝑐_3,𝑛+1 = 0

⋮

𝑎1𝑐𝑛,1+ 𝑎2𝑐𝑛,2+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑐𝑛,𝑛 + 𝑎𝑛+1𝑐𝑛,𝑛+1 = 0

Esta presentación nos induce a tomar lo obtenido como un sistema de n ecuaciones con n+1 incógnitas. Además, el sistema es homogéneo. Y por el Teorema de Rouché-Frobenius sabemos que el sistema siempre tendrá una solución no trivial, de donde se desprende que no todos los 𝑎_𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 1, son nulos. Es decir, el conjunto de los vectores 𝑣⃗1, 𝑣⃗2, 𝑣⃗3, …, 𝑣⃗𝑛+1 es linealmente dependiente.

Lema 2:

Sea V un espacio vectorial de dimensión n (dim(V) = n).

12 Demostración:

Sean 𝑒⃗₁, 𝑒⃗₂, 𝑒⃗₃, …, 𝑒⃗_𝑛 vectores linealmente independientes (en el espacio vectorial V). Tomemos el conjunto de vectores {𝑒⃗1, 𝑒⃗2, 𝑒⃗3, …, 𝑒⃗𝑛, 𝑢⃗⃗}. Es decir, hay n+1 vectores, y

sabemos por el lema anterior que estos n+1 vectores son linealmente dependientes.

0

⃗⃗ = 𝑎0𝑢⃗⃗ + 𝑎1𝑒⃗1+ 𝑎2𝑒⃗2+ 𝑎3𝑒⃗3+ ⋯ + 𝑎𝑛𝑒⃗𝑛

Es fácil ver que 𝑎₀ ≠ 0, dado que si fuera igual a 0 los 𝑎_𝑗, con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, serían todos nulos, porque los 𝑒⃗₁, 𝑒⃗₂, 𝑒⃗₃, …, 𝑒⃗_𝑛 son vectores linealmente independientes. Esto conduce a que el vector 𝑢⃗⃗ puede generarse a partir de los vectores 𝑒⃗1, 𝑒⃗2, 𝑒⃗3, …, 𝑒⃗𝑛:

𝑢⃗⃗ = − ( 𝑎1 𝑎₀𝑒⃗1+ 𝑎₂ 𝑎₀𝑒⃗2+ 𝑎₃ 𝑎₀𝑒⃗3+ ⋯ + 𝑎_𝑛 𝑎₀𝑒⃗𝑛) 𝑢⃗⃗ = 𝑏1𝑒⃗1+ 𝑏2𝑒⃗2+ 𝑏3𝑒⃗3 + ⋯ + 𝑏𝑛𝑒⃗𝑛

De aquí que {𝑒⃗₁, 𝑒⃗₂, 𝑒⃗₃, …, 𝑒⃗_𝑛} es un sistema de generadores de V, y como son linealmente independientes, por definición, son una base para V.

Lema 3:

Sea V un espacio vectorial de dimensión n (dim(V) = n).

Todo conjunto de m vectores linealmente independientes de V, con m < n, puede completarse para obtener una base de V.

Demostración:

Es decir, hay que demostrar que dados 𝑒⃗₁, 𝑒⃗₂, 𝑒⃗₃, …, 𝑒⃗_𝑚 vectores linealmente independientes existen n – m vectores, 𝑒⃗_𝑚+1, 𝑒⃗_𝑚+2, 𝑒⃗_𝑚+3, …, 𝑒⃗_𝑛, tal que el conjunto {𝑒⃗₁, 𝑒⃗₂, 𝑒⃗₃, …, 𝑒⃗_𝑚, 𝑒⃗𝑚+1, 𝑒⃗𝑚+2, 𝑒⃗𝑚+3, …, 𝑒⃗𝑛} sea una base de V.

Por definición de base y dimensión para un conjunto finito de vectores, la dimensión es el número de vectores linealmente independientes. Como la dimensión de V, por hipótesis, es n, implica que debe haber un conjunto con n vectores linealmente independientes (de lo contrario se contradeciría la definición de dimensión). A partir de esto, y por construcción pueden obtenerse los n – m vectores restantes para completar una base de V. Ahora bien, los lemas 1 y 2 precedentes son los que nos garantizan la posibilidad de esta construcción.

Lema 4:

13 Sea G un conjunto de generadores de V. Se puede hallar un subconjunto G1 de G (G1⊂G)

tal que G1 sea una base de V.

Demostración:

Se elige un vector no nulo, 𝑣⃗1que pertenece a G1. Luego se vuelve a elegir otro vector, 𝑣⃗2,

el que también es no nulo y pertenece a G1 de forma que sea linealmente independiente con

𝑣⃗₁. Este procedimiento se continúa hasta hallar el vector no nulo, 𝑣⃗_𝑛, que pertenece a G1 y

es linealmente independiente con los n – 1 vectores previamente hallados. Por la hipótesis dim(V) = n, y el lema 1 sabemos que es el número máximo de vectores linealmente independientes que podemos construir. Pero, además, G1 es un subconjunto del conjunto de

generadores G, por lo que engendra al espacio V. De esto que cumple con la definición de base de un espacio vectorial.

Teorema:

Todas las bases de un mismo espacio vectorial poseen el mismo número de elementos.

Demostración:

Los lemas anteriores son la base para realizar la demostración del teorema.

Otra manera de enunciar, de forma extensiva, el teorema previo es la siguiente: Sea V un espacio vectorial. Todas las bases de V tienen el mismo cardinal.

Lo importante que nos está indicando este teorema es:

 Los espacios vectoriales pueden tener más de una base.

 Toda base de un espacio vectorial está caracterizada por un invariante que es un número: a saber, la cantidad de vectores linealmente independientes que generan el espacio, esto es la dimensión. Desde el punto de vista de las propiedades algebraicas del espacio, este número (la dimensión) proporciona toda la información que necesitamos.

 Y si hay más de una base, y todas las bases poseen el mismo número de elementos, debe haber una forma matemática que posibilite la conexión de una base con otra. Y esto se debe a que todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de una base.

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Bases. Coordenadas. Cambios de base.

Un vector dado, 𝑣⃗, tiene una expresión única como combinación lineal de los vectores de la base canónica {𝑒⃗1, 𝑒⃗2, 𝑒⃗3, …, 𝑒⃗𝑛}, y la coordenada i-ésima 𝑎𝑖 de 𝑣⃗ es el coeficiente de 𝑒⃗𝑖 en

la expresión de la combinación lineal mediante la cual queda definido 𝑣⃗.

𝑣⃗ = ∑ 𝑎_𝑖𝑒⃗_𝑖 𝑖=𝑛

𝑖=1

Esta manera de identificar coordenada con coeficiente se puede realizar porque se trata de la base canónica, que es una base ordenada de vectores. Si se tiene una base arbitraria cualquiera es necesario imponerle un orden a los vectores que componen la base, de forma de poder asignar la coordenada i-ésima de 𝑣⃗ con respecto a la base en cuestión. Dicho de otra manera, las coordenadas sólo pueden ser definidas respecto a una sucesión de vectores y no respecto a un conjunto de vectores. Para ello necesitamos la definición de “base ordenada”.

Definición de base ordenada

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita.

Se llamará base ordenada de V a una sucesión finita de vectores linealmente independientes que generan a V.

Lema:

Dado un ℱ-espacio vectorial V de dimensión finita, y una base ordenada de este espacio, 𝑤⃗⃗⃗₁,

𝑤⃗⃗⃗2, 𝑤⃗⃗⃗3, …, 𝑤⃗⃗⃗𝑛, existe un conjunto único de escalares 𝑐𝑖, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, tales que: 𝑣⃗ = ∑ 𝑐𝑖𝑤⃗⃗⃗𝑖

𝑖=𝑛

𝑖=1

Demostración:

Supongamos que 𝑣⃗ puede escribirse a través de diferentes escalares para una misma base ordenada, es decir: 𝑣⃗ = ∑ 𝑐_𝑖𝑤⃗⃗⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 𝑣⃗ = ∑ 𝑑_𝑖𝑤⃗⃗⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1

15 A partir de la suma (por el inverso multiplicativo en escalares en el segundo de los casos) se obtiene:

0

⃗⃗ = ∑(𝑐𝑖 − 𝑑𝑖)𝑤⃗⃗⃗𝑖 𝑖=𝑛

𝑖=1

Pero dado que los 𝑤⃗⃗⃗_𝑖, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, son linealmente independientes, luego 𝑐_𝑖− 𝑑_𝑖 = 0. Y así queda demostrado que 𝑐𝑖 = 𝑑𝑖, para todo i.

Definición de coordenada

Dada la base ordenada Bo= {𝑤⃗⃗⃗1, 𝑤⃗⃗⃗2, 𝑤⃗⃗⃗3, … , 𝑤⃗⃗⃗𝑛} y el vector 𝑣⃗ escrito como combinación lineal

de la sucesión finita de vectores linealmente independientes de Bo

𝑣⃗ = ∑ 𝑐_𝑖𝑤⃗⃗⃗_𝑖 𝑖=𝑛

𝑖=1

Se llamará a 𝑐𝑖 la i-ésima coordenada de 𝑣⃗ respecto a la base ordenada Bo.

Propiedad:

Cada base ordenada de un espacio vectorial V determina una correspondencia biunívoca

𝑣⃗ → (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛)

Donde (𝑐₁, 𝑐₂, 𝑐₃, … , 𝑐_𝑛) es la n-upla en ℱ𝑛_.

Ejemplo:

Dada la base ordenada de versores unitarios en ℝ2_{, {𝑖̌, 𝑗̌}, todo vector 𝑣⃗ puede expresarse a}

partir de la combinación lineal de estos dos versores:

𝑣⃗ = 𝑎𝑖̌ + 𝑏𝑗̌ → (𝑎, 𝑏)

Donde (𝑎, 𝑏) es una 2-upla en ℝ2, y a es la primera coordenada de 𝑣⃗ en la base ordenada dada, y b la segunda coordenada.

Es frecuente asociar cada n-upla en ℱ𝑛, (𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, … , 𝑐𝑛), con una matriz columna, C, a la

16 (𝑐₁, 𝑐₂, 𝑐₃, … , 𝑐_𝑛) → 𝐶 = [ 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃ ⋮ 𝑐𝑛] = [𝑣⃗]_𝐵 Cambios de base

Dadas dos bases ordenadas, B = {𝑢⃗⃗₁, 𝑢⃗⃗₂, 𝑢⃗⃗₃, …, 𝑢⃗⃗_𝑛} y B* = {𝑤⃗⃗⃗₁, 𝑤⃗⃗⃗₂, 𝑤⃗⃗⃗₃, …, 𝑤⃗⃗⃗_𝑛} por ejemplo, sabemos que cada elemento de B puede ser escrito como combinación lineal de los elementos de B*: 𝑢⃗⃗₁ = ∑ 𝑐_𝑖,1𝑤⃗⃗⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 = 𝑐_1,1𝑤⃗⃗⃗₁+ 𝑐_2,1𝑤⃗⃗⃗₂+ 𝑐_3,1𝑤⃗⃗⃗₃+ ⋯ + 𝑐_𝑛,1𝑤⃗⃗⃗_𝑛 𝑢⃗⃗₂ = ∑ 𝑐_𝑖,2𝑤⃗⃗⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 = 𝑐_1,2𝑤⃗⃗⃗₁+ 𝑐_2,2𝑤⃗⃗⃗₂+ 𝑐_3,2𝑤⃗⃗⃗₃ + ⋯ + 𝑐_𝑛,2𝑤⃗⃗⃗_𝑛 𝑢⃗⃗3 = ∑ 𝑐𝑖,3𝑤⃗⃗⃗𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 = 𝑐1,3𝑤⃗⃗⃗1+ 𝑐2,3𝑤⃗⃗⃗2+ 𝑐3,3𝑤⃗⃗⃗3 + ⋯ + 𝑐𝑛,3𝑤⃗⃗⃗𝑛 ⋮ 𝑢⃗⃗_𝑛 = ∑ 𝑐_𝑖,𝑛𝑤⃗⃗⃗_𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 = 𝑐_1,𝑛𝑤⃗⃗⃗₁+ 𝑐_2,𝑛𝑤⃗⃗⃗₂+ 𝑐_3,𝑛𝑤⃗⃗⃗₃+ ⋯ + 𝑐_𝑛,𝑛𝑤⃗⃗⃗_𝑛 Es decir: 𝑢⃗⃗𝑘 = ∑ 𝑐𝑗,𝑘𝑤⃗⃗⃗𝑗 𝑗=𝑛 𝑗=1

Sea 𝑥⃗ un vector del espacio vectorial V. Su expresión en la base B vendrá dada por la combinación lineal siguiente:

𝑥⃗ = ∑ 𝑥𝑖𝑢⃗⃗𝑖 𝑖=𝑛

𝑖=1

Pero sabemos que cada 𝑢⃗⃗_𝑖 puede ser escrito como combinación lineal de vectores de la base B*_{. Haciendo ello resulta que:}

17 𝑥⃗ = ∑ 𝑥𝑖∑ 𝑐𝑗,𝑖𝑤⃗⃗⃗𝑗 𝑗=𝑛 𝑗=1 𝑖=𝑛 𝑖=1 = ∑ ∑ 𝑐𝑗,𝑖 𝑗=𝑛 𝑗=1 𝑖=𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖𝑤⃗⃗⃗𝑗

Sabemos, además, que al vector 𝑥⃗ lo podemos escribir como combinación lineal en la base B*. 𝑥⃗ = ∑ 𝑥_𝑘∗_{𝑤⃗⃗⃗} 𝑘 𝑘=𝑛 𝑘=1 Luego: 𝑥⃗ = ∑ 𝑥_𝑗∗_{𝑤⃗⃗⃗} 𝑗 𝑗=𝑛 𝑗=1 = ∑ ∑ 𝑐_𝑗,𝑖 𝑗=𝑛 𝑗=1 𝑖=𝑛 𝑖=1 𝑥_𝑖𝑤⃗⃗⃗_𝑗

Y como vimos, la expresión en una base es única, por lo tanto, las coordenadas son iguales, de lo que se obtiene:

𝑥_𝑗∗= ∑ 𝑐_𝑗,𝑖 𝑖=𝑛

𝑖=1 𝑥_𝑖

Hemos obtenido las coordenadas de la base B* expresadas en relación a las coordenadas de la base B. De forma análoga puede pasarse de las coordenadas en la base B* a las coordenadas en la base B.

𝑥𝑘 = ∑ 𝑑𝑘,𝑚 𝑚=𝑛

𝑚=1

𝑥𝑚∗

Hemos utilizado una notación que sugiere la posibilidad del uso de matrices. Pasemos ahora a vislumbrar esta escritura en términos matriciales.

Podemos escribir el vector 𝑥⃗ como matriz columna 𝑋 de coordenadas en la base B, y como matriz columna 𝑋∗ de coordenadas en la base B*_.

𝑋 = [ 𝑥₁ 𝑥₂ 𝑥3 ⋮ 𝑥𝑛] = [𝑥⃗]_𝐵 𝑋∗ ₌ [ 𝑥₁∗ 𝑥₂∗ 𝑥₃∗ ⋮ 𝑥_𝑛∗_] = [𝑥⃗]_𝐵∗

De esta manera podemos postular que existirá una matriz 𝑃 (𝑃_𝑛𝑥𝑛) tal que permita obtener

𝑋 a partir de 𝑋∗. Es decir:

𝑋 = 𝑃𝑋∗ [𝑥⃗]𝐵 = 𝑃[𝑥⃗]𝐵∗

18 A partir de la relación 𝑥_𝑗∗_{= ∑ 𝑐} 𝑗,𝑖 𝑖=𝑛 𝑖=1 𝑥_𝑖

La matriz columna nula 𝑋 = 𝟎implica que 𝑋∗ sea nula. Y a partir de la relación

𝑥_𝑘 = ∑ 𝑑_𝑘,𝑚 𝑚=𝑛

𝑚=1

𝑥_𝑚∗

Es fácil ver, también, que la matriz columna nula 𝑋∗ = 𝟎implica que 𝑋 sea nula.

Estos dos hechos provienen de que B y B* son bases ordenadas del espacio vectorial V, es decir conjuntos que contienen n vectores linealmente independientes y generan a V. La independencia lineal garantiza que la única manera de obtener el vector nulo, 0⃗⃗, es a partir de tener todos coeficientes nulos en la combinación lineal de los vectores de la base.

Además, si 𝑋 = 𝑃𝑋∗ y la única solución a 𝟎 = 𝑃𝑋∗ es la solución trivial 𝑋∗ = 𝟎, lo que es equivalente a que 𝑃 es invertible1 e indicamos a la inversa de 𝑃 como 𝑃−1_.

𝑋 = 𝑃𝑋∗ o también escrito como [𝑥⃗]_𝐵 = 𝑃[𝑥⃗]_𝐵∗

Dado que hemos visto que 𝑃 es invertible (𝑃𝑃−1 = 𝑃−1𝑃 = 𝐼_𝑛𝑥𝑛, donde 𝐼_𝑛𝑥𝑛 es la matriz identidad) se obtiene que:

𝑃−1𝑋 = 𝑋∗ o también escrito como 𝑃−1[𝑥⃗]𝐵 = [𝑥⃗]𝐵∗

Todo lo anterior puede comprenderse como fundamento y demostración del siguiente teorema:

Teorema:

Sea V un ℱ-espacio vectorial de dimensión n. Sean B y B* _{dos bases}

ordenadas de V. Entonces existe una única matriz 𝑃, invertible, tal que: [𝑥⃗]𝐵= 𝑃[𝑥⃗]𝐵∗

[𝑥⃗]_𝐵∗ = 𝑃−1[𝑥⃗]_𝐵

para todo vector 𝑥⃗ del espacio V, donde las columnas de 𝑃 están dadas por 𝑃_𝑗 = [𝑥⃗_𝑗∗]_𝐵 (componentes del vector 𝑥⃗_𝑗∗ en la base B), con 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.

1 _{Recordamos el teorema que indica que “si 𝐴 es una matriz n}

xn (cuadrada), 𝐴 es equivalente por filas a la matriz identidad nxn, si, y solo si, el sistema de ecuaciones 𝐴𝑋 = 𝟎 tiene solamente la solución trivial”. Esto es lo mismo que decir que 𝐴 es invertible.

19 Es decir, la base B* se obtiene de la base B mediante la matriz cambio de base 𝑃, que en general se denota 𝑃𝐵𝐵∗ o 𝑃𝐵→𝐵∗.

Ejemplo:

Supongamos que dos bases de un espacio vectorial V de dimensión finita n son:

𝐵 = {𝑒⃗1, 𝑒⃗2, 𝑒⃗3, …, 𝑒⃗𝑛} 𝐵∗ _{= {𝑒⃗}

1∗, 𝑒⃗2∗, 𝑒⃗3∗…, 𝑒⃗𝑛∗}

Tomemos un vector arbitrario 𝑣⃗ y escribámoslo de los vectores de la base B:

𝑣⃗ = 𝑐1𝑒⃗1+ 𝑐2𝑒⃗2+ 𝑐3𝑒⃗3+ ⋯ + 𝑐𝑛𝑒⃗𝑛 [𝑣⃗]𝐵 = [ 𝑐1 𝑐2 𝑐3 ⋮ 𝑐_𝑛]

Entonces 𝑣⃗ en la base B* podemos pensarlo como:

[𝑣⃗]_𝐵∗ = [𝑐₁𝑒⃗₁+ 𝑐₂𝑒⃗₂+ 𝑐₃𝑒⃗₃+ ⋯ + 𝑐_𝑛𝑒⃗_𝑛]_𝐵∗

[𝑣⃗]𝐵∗ = [𝑐1𝑒⃗1]𝐵∗+ [𝑐2𝑒⃗2]𝐵∗+ [𝑐3𝑒⃗3]𝐵∗+ ⋯ + [𝑐𝑛𝑒⃗𝑛]𝐵∗ [𝑣⃗]_𝐵∗ = 𝑐₁[𝑒⃗₁]_𝐵∗+ 𝑐₂[𝑒⃗⃗⃗⃗₂]_𝐵∗+ 𝑐₃[𝑒⃗⃗⃗⃗₃]_𝐵∗+ ⋯ + 𝑐_𝑛[𝑒⃗_𝑛]_𝐵∗

Ahora denotamos al vector de coordenadas de 𝑒⃗𝑗 con respecto a la base B* de la siguiente

manera: [𝑒⃗𝑗]_𝐵∗ = [ 𝑎_1𝑗 𝑎2𝑗 𝑎3𝑗 ⋮ 𝑎_𝑛𝑗] De esta forma: [𝑣⃗]𝐵∗ = 𝑐1 [ 𝑎₁₁ 𝑎21 𝑎31 ⋮ 𝑎𝑛1] + 𝑐₂ [ 𝑎₁₂ 𝑎22 𝑎32 ⋮ 𝑎𝑛2] + 𝑐₃ [ 𝑎₁₃ 𝑎23 𝑎33 ⋮ 𝑎𝑛3] + ⋯ + 𝑐_𝑛 [ 𝑎_1𝑛 𝑎2𝑛 𝑎3𝑛 ⋮ 𝑎𝑛𝑛]

20 [𝑣⃗]_𝐵∗ = [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎_{13⋯ 𝑎1𝑛} 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎_{23⋯ 𝑎2𝑛} 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎_{33⋯ 𝑎3𝑛} ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎_𝑛1 𝑎_𝑛2 𝑎_𝑛3⋯ 𝑎_𝑛𝑛][ 𝑐₁ 𝑐₂ 𝑐₃ ⋮ 𝑐_𝑛] [𝑣⃗]𝐵∗ = 𝑃[𝑣⃗]𝐵

Luego la matriz 𝑃𝐵→𝐵∗ puede escribirse como:

𝑃_𝐵→𝐵∗ = [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎_{13⋯ 𝑎1𝑛} 𝑎21 𝑎22 𝑎23⋯ 𝑎_2𝑛 𝑎31 𝑎32 𝑎33⋯ 𝑎_3𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎_𝑛1 𝑎_𝑛2 𝑎_𝑛3⋯ 𝑎_𝑛𝑛]

Notemos que es indistinto qué base sea elegida. Alcanza comenzar con una, porque inmediatamente se tiene el cambio inverso a partir de la matriz inversa.

21 Ahora retomaremos algunas cuestiones relativas a subespacios vectoriales, debido, entre otras cosas, a que necesitamos definiciones tales como la de dimensión.

Recordamos que dado un espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀), y S un subconjunto no vacío de V, i.e.S ⊂ V con S ≠ ∅, se dirá que S es un subespacio vectorial de V(ℱ) si con la misma suma ⊕ y el mismo producto por un escalar ⨀ definidos para V, S tiene la estructura de espacio vectorial.

Operaciones entre subespacios vectoriales

La familia de subespacios de un espacio vectorial puede admitir una serie de operaciones tales como intersección y suma, que a continuación se definirán.

Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀) Definición de intersección:

𝑆₁∩ 𝑆₂ = {𝑣⃗: 𝑣⃗ ∈ 𝑆₁ ∧ 𝑣⃗ ∈ 𝑆₂} Definición de suma:

𝑆₁+ 𝑆₂ = {𝑣⃗₁+ 𝑣⃗₂: 𝑣⃗₁ ∈ 𝑆₁ ∧ 𝑣⃗₂ ∈ 𝑆₂}

Teorema:

Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀).

La intersección S1∩S2 es un subespacio vectorial de V(ℱ).

Demostración:

Es fácil ver que si los elementos 𝑣⃗ y 𝑢⃗⃗ pertenecen a la intersección, S1∩S2, cada uno de ellos

pertenece a cada subespacio (por definición de intersección), luego la suma, 𝑣⃗ ⊕ 𝑢⃗⃗, pertenece a cada subespacio (por definición de subespacio), por lo que 𝑣⃗ ⊕ 𝑢⃗⃗ pertenece a S1∩S2. El mismo argumento es aplicable a la operación ⨀.

Extensión del teorema anterior:

Sean Si, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, r subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀). La

22 La demostración puede realizarse de manera inductiva, donde la base de inducción está garantizada a través de la demostración previa.

Definición:

Sea S un conjunto de vectores de un espacio vectorial V. El subespacio generado por S se define como intersección W de todos los subespacios de V que contienen a S.

De manera operativa, puede comprenderse esta definición de la siguiente manera:

𝑆 ⊂ 𝑉, V un ℱ-espacio vectorial.

𝑆 = {𝑢⃗⃗₁, 𝑢⃗⃗₂, 𝑢⃗⃗₃, … , 𝑢⃗⃗_𝑠}, el subespacio de V generado por S puede escribirse como:

𝐿(𝑆) = 〈𝑆〉 = {∑ 𝑎𝑗𝑢⃗⃗𝑗: 𝑗=𝑠

𝑗=1

𝑎𝑗 ∈ ℱ}

Sin entrar en detalles, diremos que esta definición es la que posibilita las definiciones de suma de subespacios vectoriales.

Teorema:

Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀).

La suma S1+S2 es un subespacio vectorial de V(ℱ).

Demostración:

Si 𝑣⃗ y 𝑢⃗⃗ pertenecen a S1+S2, existen vectores tales que 𝑣⃗ = 𝑣⃗1⊕ 𝑣⃗2, con 𝑣⃗1 ∈ 𝑆1 y 𝑣⃗2 ∈ 𝑆₂, y 𝑢⃗⃗ = 𝑢⃗⃗₁⊕ 𝑢⃗⃗₂, con 𝑢⃗⃗₁ ∈ 𝑆₁ y 𝑢⃗⃗₂ ∈ 𝑆₂, por definición de S1+S2.

Luego 𝑣⃗⊕𝑢⃗⃗ = (𝑣⃗₁⊕ 𝑣⃗₂) ⊕ ( 𝑢⃗⃗₁⊕ 𝑢⃗⃗₂) = (𝑣⃗₁⊕ 𝑢⃗⃗₁) + (𝑣⃗₂⊕ 𝑢⃗⃗₂), por asociatividad en V(ℱ), con (𝑣⃗1⊕ 𝑢⃗⃗1) ∈ 𝑆1 y (𝑣⃗2 ⊕ 𝑢⃗⃗2) ∈ 𝑆2 por ser 𝑆1 y 𝑆2 subespacios del espacio

vectorial V(ℱ), luego 𝑣⃗+𝑢⃗⃗∈S1+S2.

Si 𝑣⃗ pertenece a S1+S2, existen vectores tales que 𝑣⃗ = 𝑣⃗₁⊕ 𝑣⃗₂, con 𝑣⃗₁ ∈ 𝑆₁ y 𝑣⃗₂ ∈ 𝑆₂. De

donde es inmediato que para 𝑎 ∈ ℱ, 𝑎⨀𝑣⃗ ∈ S1+S2, porque 𝑎⨀𝑣⃗ = 𝑎⨀𝑣⃗1⊕ 𝑎⨀𝑣⃗2, con 𝑎⨀𝑣⃗₁ ∈ 𝑆₁ y 𝑎⨀𝑣⃗₂ ∈ 𝑆₂ por ser 𝑆₁ y 𝑆₂ subespacios del espacio vectorial V(ℱ).

23 Extensión del teorema anterior:

Sean Si, con 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, r subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀). La

suma ∑𝑟𝑖=1𝑆𝑖 es un subespacio vectorial de V(ℱ).

La demostración puede realizarse de manera inductiva, donde la base de inducción está garantizada a través de la demostración previa.

Teorema de la dimensión para la suma de subespacios S1+S2:

Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀),

de dimensión finita, dim(S1) = s y dim(S2) = t. Entonces:

dim( S1+S2) = dim(S1) + dim(S2) – dim(S1∩S2)

Demostración:

Sea {𝑢⃗⃗₁, 𝑢⃗⃗₂, 𝑢⃗⃗₃, … , 𝑢⃗⃗_𝑟} una base de S1∩S2. De forma que dim(S1∩S2) = r.

Completamos este conjunto de vectores, {𝑢⃗⃗1, 𝑢⃗⃗2, 𝑢⃗⃗3, … , 𝑢⃗⃗𝑟, 𝑣⃗𝑟+1, … , 𝑣⃗𝑠} de manera que sea

una base de S1, y {𝑢⃗⃗1, 𝑢⃗⃗2, 𝑢⃗⃗3, … , 𝑢⃗⃗𝑟, 𝑤⃗⃗⃗𝑟+1, … , 𝑤⃗⃗⃗𝑡} una base de S2. Ahora lo que hay que ver

es que {𝑢⃗⃗₁, 𝑢⃗⃗₂, 𝑢⃗⃗₃, … , 𝑢⃗⃗_𝑟, 𝑣⃗_𝑟+1, … , 𝑣⃗_𝑠, 𝑤⃗⃗⃗_𝑟+1, … , 𝑤⃗⃗⃗_𝑡} es una base de S1+S2.

Es claro que es un sistema de generadores de S1+S2, por la definición de +. Veamos que

es un conjunto linealmente independiente. Supongamos que:

∑ 𝑎_𝑖𝑢⃗⃗_𝑖 𝑖=𝑟 𝑖=1 + ∑ 𝑏_𝑗𝑣⃗_𝑗 𝑗=𝑠 𝑗=𝑟+1 + ∑ 𝑐_𝑘𝑤⃗⃗⃗_𝑘 𝑘=𝑡 𝑘=𝑟+1 = 0⃗⃗ Entonces ∑ 𝑎𝑖𝑢⃗⃗𝑖 𝑖=𝑟 𝑖=1 + ∑ 𝑏𝑗𝑣⃗𝑗 𝑗=𝑠 𝑗=𝑟+1 = − ∑ 𝑐𝑘𝑤⃗⃗⃗𝑘 𝑘=𝑡 𝑘=𝑟+1

∑𝑖=𝑟_𝑖=1𝑎_𝑖𝑢⃗⃗_𝑖 + ∑𝑗=𝑠_𝑗=𝑟+1𝑏_𝑗𝑣⃗_𝑗 es una combinación lineal tal que pertenece a S1, y

∑𝑘=𝑡𝑘=𝑟+1𝑐𝑘𝑤⃗⃗⃗𝑘pertenece a S2. Más aún, como ∑𝑖=1𝑖=𝑟𝑎𝑖𝑢⃗⃗𝑖 + ∑𝑗=𝑟+1𝑗=𝑠 𝑏𝑗𝑣⃗𝑗 = − ∑𝑘=𝑡𝑘=𝑟+1𝑐𝑘𝑤⃗⃗⃗𝑘,

se desprende que ∑𝑘=𝑡𝑘=𝑟+1𝑐𝑘𝑤⃗⃗⃗𝑘pertenece a S1∩S2. Por lo que puede expresarse como una

combinación lineal de la base de S1∩S2.

− ∑ 𝑐_𝑘𝑤⃗⃗⃗_𝑘 𝑘=𝑡 𝑘=𝑟+1 = ∑ 𝑑_𝑖𝑢⃗⃗_𝑖 𝑖=𝑟 𝑖=1

24 Equivalentemente, ∑ 𝑑_𝑖𝑢⃗⃗_𝑖 𝑖=𝑟 𝑖=1 + ∑ 𝑐_𝑘𝑤⃗⃗⃗_𝑘 𝑘=𝑡 𝑘=𝑟+1 = 0⃗⃗

Pero {𝑢⃗⃗₁, 𝑢⃗⃗₂, 𝑢⃗⃗₃, … , 𝑢⃗⃗_𝑟, 𝑤⃗⃗⃗_𝑟+1, … , 𝑤⃗⃗⃗_𝑡} es una base de S2. Luego 𝑑_𝑖 = 0, ∀𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, y 𝑐_𝑘=

0, ∀𝑘, 𝑟 + 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑡. De esto surge que

∑ 𝑎_𝑖𝑢⃗⃗_𝑖 𝑖=𝑟 𝑖=1 + ∑ 𝑏_𝑗𝑣⃗_𝑗 𝑗=𝑠 𝑗=𝑟+1 = 0⃗⃗

Pero {𝑢⃗⃗₁, 𝑢⃗⃗₂, 𝑢⃗⃗₃, … , 𝑢⃗⃗_𝑟, 𝑣⃗_𝑟+1, … , 𝑣⃗_𝑠} es una base de S1. Luego 𝑎_𝑖 = 0, ∀𝑖, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑟, y

𝑏𝑗 = 0, ∀𝑗, 𝑟 + 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑠. Por lo que hemos probado que la colección de vectores {𝑢⃗⃗1, 𝑢⃗⃗2, 𝑢⃗⃗3, … , 𝑢⃗⃗𝑟, 𝑣⃗𝑟+1, … , 𝑣⃗𝑠, 𝑤⃗⃗⃗𝑟+1, … , 𝑤⃗⃗⃗𝑡} es un conjunto linealmente independiente.

Luego,

dim( S1+S2) = r + (s – r) + (t – r) = s + t – r = dim(S1) + dim(S2) – dim(S1∩S2)

Un caso de singular importancia se da cuando S1∩S2 = {0⃗⃗}, es decir dim(S1∩S2) = 0. En

este caso se dice que se tiene suma directa.

Definición de Suma Directa

Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀). Se dice que V

es suma directa de S1 y S2 y se anota V = S1⊕S2 si se cumple:

1. V = S1+S2

2. S1∩S2 = {0⃗⃗}

Consecuencia de la definición:

Sean S1 y S2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorial (V(ℱ), ⊕, ⨀), con V = S1⊕S2.

Entonces, para cada 𝑣⃗ que pertenece a V existen únicos 𝑣⃗1 que pertenece a S1 y 𝑣⃗2 que

pertenece a S2 tales que 𝑣⃗ = 𝑣⃗1⊕ 𝑣⃗2.

Demostración:

Como V = S1+S2, para cada 𝑣⃗ que pertenece a V existen 𝑣⃗₁ que pertenece a S1 y 𝑣⃗₂ que

25 Supongamos que 𝑣⃗ = 𝑣⃗1+ 𝑣⃗2, con 𝑣⃗1 que pertenece a S1 y 𝑣⃗2 que pertenece a S2 y

también 𝑣⃗ = 𝑣⃗₁∗_{+ 𝑣⃗}

2∗ con 𝑣⃗1∗ que pertenece a S1 y 𝑣⃗2∗ que pertenece a S2. Luego, a partir de

𝑣⃗ + (−𝑣⃗) = 0⃗⃗, se tiene que:

(𝑣⃗₁− 𝑣⃗₁∗_{) + (𝑣⃗}

2− 𝑣⃗2∗) = 0⃗⃗

Es decir, 𝑣⃗₁− 𝑣⃗₁∗ = −(𝑣⃗₂− 𝑣⃗₂∗). Pero 𝑣⃗₁− 𝑣⃗₁∗ pertenece a S1 de donde se sigue que el

vector 𝑣⃗2 − 𝑣⃗2∗ también pertenece a S1. Y 𝑣⃗2− 𝑣⃗2∗ pertenece a S2 de donde se sigue que el

vector 𝑣⃗₁− 𝑣⃗₁∗ _{pertenece a S}

2. De todo esto surge que 𝑣⃗1− 𝑣⃗1∗ pertenece a S1∩S2 y 𝑣⃗2− 𝑣⃗2∗

pertenece a S1∩S2, con S1∩S2 = {0⃗⃗}. Luego 𝑣⃗1− 𝑣⃗1∗ = 0⃗⃗ (i.e. 𝑣⃗1 = 𝑣⃗1∗), y 𝑣⃗2− 𝑣⃗2∗ = 0⃗⃗ (i.e. 𝑣⃗2 = 𝑣⃗2∗).

Lo importante de esta consecuencia es que la descomposición es única. Como la descomposición es única, en este caso (y sólo en el caso de suma directa) se tiene que la base de V, BV, es la unión de las bases de los subespacios S1 y S2, BS1 y BS2 respectivamente. Por

lo que se puede obtener una definición equivalente para suma directa a partir de las bases. 1. V = S1+S2