UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
COMPETENCIA ESPECÍFICA A DESARROLLAR:
COMPETENCIA ESPECÍFICA A DESARROLLAR:
Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en el área de las matemáticas y de la ingeniería por los ecuaciones lineales en el área de las matemáticas y de la ingeniería por los métodos de Gauss, Gauss-Jordan, matriz inversa y regla de Cramer.
métodos de Gauss, Gauss-Jordan, matriz inversa y regla de Cramer.
3.1
3.1
DEFINICIÓN
DEFINICIÓN
DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
+
+
+
+
=
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
=
=
=
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables
,,
yy
que satisfacen las tres ecuaciones. que satisfacen las tres ecuaciones.El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
análisis numérico.
En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:
en forma normal como:
+
+
+⋯+
+⋯+
=
=
… … … … …
… … … … …
+
+
+⋯+
+⋯+
=
=
+
+
+⋯+
+⋯+
=
=
DondeDonde
,…,
,…,
son las son las incógnitas y incógnitas y los númeroslos números
∈
∈
son los coeficientes delson los coeficientes del sistema sobre el cuerposistema sobre el cuerpo
=ℝ,ℂ,…
=ℝ,ℂ,…
. Es . Es posible reescribir el posible reescribir el sistema separandosistema separando con coeficientes con notación matricial:con coeficientes con notación matricial:
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋮ ⋮ ⋱ ⋮
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
⋮
⋮
==
⋮
⋮
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:
=
=
DondeDonde
es una matriz m por n,es una matriz m por n,
es un vector columna de longitud n y es un vector columna de longitud n y
es otro es otro vector columna de longitud m.3.2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y
3.2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y
TIPOS DE SOLUCIÓN.
TIPOS DE SOLUCIÓN.
Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:
soluciones de la siguiente forma:
•
•
Sistemas con una solución:
Sistemas con una solución:
Las ecuaciones del sistema son rectas Las ecuaciones del sistema son rectassecantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
•
•
Sistemas sin solución:
Sistemas sin solución:
Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas.Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas.No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
•
•
Sistemas con infinitas soluciones:
Sistemas con infinitas soluciones:
Las ecuaciones del sistema sonLas ecuaciones del sistema sonrectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución.
ellos son solución.
Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones:
ninguna o infinitas soluciones:
•
•
Una solución:
Una solución:
Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no sonproporcionales. proporcionales.
Ejemplo:
Ejemplo:
=
=
+=
+=
••
Ninguna solución
Ninguna solución
: Los coeficientes de x e y de una ecuación son: Los coeficientes de x e y de una ecuación sonproporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son. no lo son.
Ejemplo:
Ejemplo:
=
=
=
=
••
Infinitas soluciones:
Infinitas soluciones:
Los coeficientes de x e y, y el término independiente Los coeficientes de x e y, y el término independientede una ecuación, son proporcionales a los de la otra. de una ecuación, son proporcionales a los de la otra.
Ejemplo:
Ejemplo:
=
=
=
=
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.
sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.
reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustituciónPor ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
+=
+=
=
=
En la primer
En la primera ecuación, seleccionaa ecuación, seleccionamos la incógnita mos la incógnita y y por ser por ser la de mela de menornor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
obteniendo la siguiente ecuación.
=
=
El siguiente paso
El siguiente paso será sustituir cadserá sustituir cada ocurrencia a ocurrencia de la incógnita de la incógnita y y en la otraen la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.
ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.
==→
→
+=
+=→
→
=
=→
→
=
=
Al
Al resolver resolver la la ecuación ecuación obtenemos obtenemos el el resultadoresultado
=
=
, y si ahora sustituimos esta, y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremosincógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos
=
=
,, con lo que el sistema queda yacon lo que el sistema queda ya resuelto.resuelto.
El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita
si despejamos la incógnita
en ambas en ambas ecuaciones nos ecuaciones nos queda de queda de la siguientela siguiente manera: manera:=
=
=
=
+
+
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí. por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
=
=+
+→
→
=+
=+→
→
=
=→
→
=
=
Una vez obtenido el valor de la incógnita x, se substituye su valor en una de las Una vez obtenido el valor de la incógnita x, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la y.
ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la y.
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.
despejar x después de averiguar el valor de la y.
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
+=
+=
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por
para poder cancelar la incógnita
. Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:22+3=5→=
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita
ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita
:46=10+5+6=4→=
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita
en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de
es igual a:=
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos:
• Se despeja la incógnita
en ambas ecuaciones.• Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado
obteniendo la tabla de valores correspondientes.
• Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
• Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los
únicos valores de las incógnitas
,
."Sistema compatible
determinado"
.• Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que
son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas.
«Sistema compatible indeterminado».
EJEMPLOS
Problema 1
: Un constructor requiere comprar 8 sacos de cemento, al cotizarlo resulta que el costo total a pagar es $904.00 ¿Qué precio unitario tiene cada saco de cemento?Solución:
=$904.00=
=8 =
=
→=
904=8
Respuesta:
=9048=
Problema 2
: Un albañil requiere de 3 kilos de clavos de 2 ½ pulgadas, además de 6 varillas de 3/8, al cotizarlo la encargada le dice el precio total a pagar es de $564.00, en ese instante otro cliente recibe la cotización de un kilo de clavos 2 ½ pulgadas y cuatro varillas en total tiene que pagar la cantidad de $350.00 ¿Encontrar el precio unitario del kilo de clavos y de cada varilla?Solución:
=
=
6=486
=4866
=
13+6=564
+4=350
36=564
3+12=1050
+481=350
+324=350
=350324
=
Respuesta:
=
=
3.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES.
Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:
Sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en P.
Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en r.
Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.
El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos.
3.4 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES:
GAUSS, GAUSS-JORDAN, INVERSA DE UNA MATRIZ Y REGLA DE CRAMER.
Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, las penúltimas dos incógnitas, la antepenúltimas tres incógnitas, y la primera de todas las incógnitas. Para resolverlo despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación.
EJEMPLOS
Problema 1:
Julián, Selena y Abigail se van de parranda y deciden tomarse un refresco, al estar platicando se les antojan unos tacos y un pedazo de pastel, al final Julián tiene que pagar la cantidad de $238.00, al registrar la nota de venta se les notifica lo siguiente una persona pidió un refresco, 5 tacos y una rebanada de pastes y su total fue de $67.00, una segunda persona pidió un refresco, 4 tacos y 2 rebanadas de pastel y en total tenía que pagar $86.00, la tercer persona pidió 2 refrescos, 6 tacos y una rebanada de pastel y tenía que pagar $85.00. Encontrar el precio unitario de los refrescos, tacos y la rebanada de pastel.Solución:
+
+
=
=
+
+
=
=
+
+
=
=
|1 5 1 67
0 1 1 19
0 0 5 125|
|
1 5 1 67
0 1 1 1 9
0 0 1 25|
Respuestas:
+5
+
=67
25=19
+55=67
=19
=19+25
=6755
=
=
=
Problema 2:
+
+
=
+
+
+
+
=
=
Solución:
|
|
1
4 4 2 1 6
2 6 8 2
42 1
0 6 8 1 4
0 1 3 1
1
0 1 3 1 1
0 1
1
0 0
0 1
0 1
0 0 1 2
1
+
+
+
=
=
=
+525+522=12 →
+252+1022=12 →
=12+152=162=
+432=73 →
=7383= 153=
Respuestas:
=
=
=
Problema 3:
+=
+=
Solución:
5 6 26
3 20 5
1
3 20 53 1
0
1
0 1
+
=
=
+65(103108)=265→
+(618540)=265→
+(10390)=265 →
=26510390=
Respuestas:
=
=
Problema 4:
+
=
+
=
+
=
Solución:
|3 1 6 2 9
4 3 2 1 2|
2 3 4 2 4
1
4 3 2 1 2
2 3 4 2 4
2
241
0
0
2
0
6
1
0 1 0 2
0
2
6
1
0 1 0 2
0 0 6 30
2
1
0 1 0 2
0 0 1 5
2
+
=5
2
=2
=
+23+10=293
→
=293323=33=
Respuestas:
=
=
=
Problema 5:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Solución:
|2 1 3 1
3 4 6 6|
5 3 5 9
1
5 3 5 9
3 4 6 6
531
0
0
2 1
0 1 5 1 3
0
|1 1/2 3/2 1/2
0 1 5 13
0 0 14 28|
|1 1/2 3/2 1/2
0 1 5 13
0 0 1 2|
Respuestas:
+123+322=12 →
=
52=13 →
=
=
Problema 6:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Solución:
|4 5 3 1 1
1 3 4 5|
2 3 4 3
1
2 3 4 3
1 3 4 5
211
0
0
2 1
0 1 5 5
0
1
0 1 5 5
0 0
11
0 0 1 2
0 1 5 5
1
+
+5
=
+
=5
=
+52=5→
10=5→
=5+10=
+545+342=114→
+25464=114→
=114194=
Respuestas:
=
=
=
Problema 7:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Solución:
|4 4 3 6
3 4 2 2
4 3 2 1|
|1 1 3/4 6/4
3 4 2 2
4 3 2 1 |
34 1 1 3/4 6/4
0 1
0 1 1 51
1 1 3/4 6/4
0 1
0 0
1 1 3/4 6/4
0 1
0 0 1 6
1+346=64→
=6472=
146=52→
=52+32=
=
Respuestas:
=
=
=
Problema 8:
+
=
+
=
+
=
Solución:
|2 1 3 4
2 6 1 2|
5 2 5 1
1
5 2 5 1
2 6 1 2
−
2
52 1
0
0 7 4 22
−
9
2
1
0 1 5 18
0 7 4 27
−
2
0 1 5 18
0 0 31 124
1
−
2
1
0 1 5 1 8
0 0 1 4
−
2
+
5
=
=18
=2
+122324=2→
=25=
54=18→
=
=1820=
Respuestas:
=
=
=
Problema 9:
+
=
+
=
+
=
Solución:
|2 3 4 2
2 4 3 7
2 4 2 1 0|
1
2 4 3 7
2 4 2 1 0
2 1
221
0 1 1 5
0 1 2 81
2 1
1
0 1 1 5
0 1 2 81
2 1
1
0 1 1 5
0 0 1 31
2 1
1
0 1 1 5
0 0 1 3
2 1
+
=
+2
=5
=1
322+23=1→
=1+3=
3=5→
=
=5+3=
Respuestas:
=
=
=
La eliminación de Gauss-Jordan, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.
EJEMPLOS
Problema 1:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Solución:
|1 2 3 5
2 3 5 7
3 3 6 6|
23|1 2 3 5
0 1 1 3
0 3 3 9|1|
1 2 3 5
0 1 1 3
0 3 3 9|32
|1 0 1 1
0 1 1 3
0 0 1 0|11|
1 0 0 1
0 1 0 3
0 0 1 0|
Respuestas:
=
=
=
Problema 2:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Solución:
|2 1 3 1
3 4 6 6|
5 3 5 9
1
5 3 5 9
3 4 6 6
53 1
0
0
2 1
0 1 5 1 3
0
|1 0 4 6
0 1 5 13
0 0 14 28|
|1 0 4 6
0 1 5 1 3
0 0 1 2|54 |
1 0 0 2
0 1 0 3
0 0 1 2|
Respuestas:
=
=
=
Problema 3:
+
+
+
+
=
=
+
+
=
Solución:
|4 5 3 1 1
2 3 4 3
1 3 4 5|
1
2 3 4 3
1 3 4 5
21 1
0
0
2
1
0 1 5 5
0
1 0
0 0
0 1 5 5
11
9
1 0
0 1 5 5
0 0 1 25
9
|1 0 0 2
0 1 0 5
0 0 1 2|
Respuestas:
=
=
=
Problema 4:
Solución:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
|4 4 3 6
3 4 2 2
4 3 2 1|
|1 1 3/4 6/4
3 4 2 2
4 3 2 1 |
34 1 1
0 1
0 1 1 511
1 0 1 4
0 1
0 0
1 0 1 4
0 1
0 0 1 6
1|
1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 6|
Respuestas:
=
=
=
Problema 5:
+
=
+
=
+
=
Solución:
|2 1 3 4
2 6 1 2|
5 2 5 1
1
5 2 5 1
2 6 1 2
−
2
52 1
0
0 7 4 22
−
9
2
1
0 1 5 18
0 7 4 2
−
2
7|1 0 1 7
0 1 5 18
0 0 31 124|
|
1 0 1 7
0 1 5 1 8
0 0 1 4|51
|1 0 0 3
0 1 0 2
0 0 1 4|
Respuestas:
=
=
=
Problema 6:
+
=
+
=
+
=
Solución:
|2 3 4 2
2 4 3 7
2 4 2 1 0|
1
2 4 3 7
2 4 2 1 0
2 1
221
0 1 1 5
0 1 2 81
2 1
1
0 1 1 5
0 1 2 81
2 1
1 0
0 0 1 3 1
0 1 1 5
1 0
0 1 1 5
0 0 1 31
|1 0 0 4
0 1 0 2
0 0 1 3|
Respuestas:
=
=
=
Problema 7:
+
+
=
+
+
+
=
=
Solución:
|1 3 4 3
2 6 9 5
3 1 2 7|
13 |1 3 4 3
0 0 1 1
0 8 14 2| |
1 3 4 3
0 8 14 2
0 0 1 1|
1 3 4 3
0 1
0 0 1 13
1 0
0 1
0 0 1 1
|
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 1|
Respuestas:
=
=
=
Problema 8:
+
+
=
=
+
=
Solución:
|2 2 0 6 2
2 6 3 6
2 4 2 2|
|1 1 0 3 1
2 6 3 6
2 4 2 2|
22|1 10 3 1
0 14 3 4
0 16 4 0|
1 10 3 1
0 1
0 16 4 01610
1 0
0 1
0 0
−
1 0
0 1
0 0 1 8
|1 0 0 3
0 1 0 2
0 0 1 8|
Respuestas:
=
=
=
La regla de Cramer utiliza las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, por separado, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.
El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es
distinto de cero
≠ 0
Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas).
EJEMPLOS
Problema 1:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Solución:
|
| ∆=23 5
4 615 5
3 6+35 3
3 4=2182013015+3209
∆=22115+311=415+33=
|
| ∆
=13 5
4 619 5
6 6+39 3
6 4=1182015430+33618
∆
=12124+318=224+54=
=∆
∆ =2814=
|
|∆
=29 5
6 615 5
3 6+35 9
3 6→ ∆
=224115+33=4815+9=
=∆
∆ =4214=
|
|∆
=23 9
4 615 9
3 6+15 3
3 4→ ∆
=21813+111=363+11=
=∆
Respuestas:
∆ =2814=
=
=
=
Problema 2:
+
+
+
=
=
+
+
=
Solución:
|
| ∆=21 4
4 162 4
3 172 1
3 4=21166212783
∆=21561075=30+6035=
|
| ∆
=211 4
4 162 4
13 172 1
13 4=2111662527813
∆
=211565075=315+300+35=
=∆
∆ =205=
|
| ∆
=22 4
13 1212 4
3 172 2
3 13=2252212127266
∆
=2502110720=100+210140=
=∆
∆ =305=
|
| ∆
=21 2
4 1362 2
3 13+212 1
3 4=21386266+2183
∆
=25620+215=10120+105=
=∆
∆ =55=
Respuestas:
=
=
=
Problema 3:
+
+
+
+
=
=
+
+
=
Solución:
|
| ∆=43 4
3 452 4
1 4+32 3
1 3=41212584+363
∆=4054+33=20+9=
|
| ∆
=113 4
3 453 4
5 4+33 3
5 3=11121251220+3915
∆
=58+36=4018=
=∆
∆ = 2211=
|
| ∆
=43 4
5 4112 4
1 4+32 3
1 5=412201184+3103
∆
=48114+37=3244+21=
=∆
∆ =5511=
|
| ∆
=43 3
3 552 3
1 5+112 3
1 3=41595103+1163
∆
=4657+113=2435+33=
=∆
∆ = 2211=
Respuestas:
=
=
=
Problema 4:
+
+
=
+
+
=
+
+
=
Solución:
|
| ∆=44 2
3 243 2
4 2+33 4
4 3=486468+3916
∆=4242+37=8+821=
|
| ∆
=64 2
3 242 2
1 2+32 4
1 3=686442+364
∆
=6242+32=128+6=
=∆
∆ =105=
|
| ∆
=42 2
1 263 2
4 2+33 2
4 1=442668+338
∆
=4262+35=8+1215=
=∆
∆ = 55=
|
| ∆
=44 2
3 143 2
4 1+63 4
4 3=446438+6916
∆
=4245+67=8+2042=
=∆
∆ =305=
Respuestas:
=
=
=
Problema 5:
+
+
=
+
+
+
=
=
Solución:
|
| ∆=54 5
3 544 5
5 5+54 4
5 3=5201542025+512+20
∆=53545+532=175+20+160=
|
|∆
=224 5
3 5436 5
14 5+536 4
14 3=
222015418070+5108+56
∆
=22354250+552=770+1000260=
=∆
∆ =305=
|
|∆
=536 5
14 5224 5
5 5+54 36
5 14=518070222025+556+180
∆
=5250225+5236=1750+110+1180=
=∆
∆ =405=
|
| ∆
=54 36
3 1444 36
5 14+224 4
5 3=
556+108456+180+2212+20
∆
=5524236+2232=260944+704=
Respuestas:
=∆
∆ =205=
=
=
=
Problema 6:
+
=
+
+
=
=
Solución:
|
| ∆=22 5
6 115 5
2 1+35 2
2 6=223015+103304
∆=228115334=5615+102=
|
| ∆
=42 5
6 111 5
2 1+31 2
2 6=423011+10364
∆
=428111310=11211+30=
=∆
∆ =9331=
|
| ∆
=21 5
2 145 5
2 135 1
2 2=21+1045+103102
∆
=51141538=226024=
=∆
∆ =6231=
|
| ∆
=22 1
6 215 1
2 2+45 2
2 6=24+61102+4304
∆
=21018+434=208136=
=∆
Respuestas:
∆ =12431=
=
=
=
Problema 7:
+
=
+
=
+
=
Solución:
|
| ∆=24 3
4 2+32 3
2 2+42 4
2 4=28+12+346+48+8
∆=24+32+40=86=
|
| ∆
=24 3
4 2+37 3
10 2+47 4
10 4=28+12+31430+428+40
∆
=24+316+412=848+48=
=∆
∆ =82=
|
| ∆
=27 3
10 222 3
2 2+42 7
2 10=21430246+42014
∆
=21622+46=32+4+24=
=∆
∆ =42=
|
| ∆
=24 7
4 10+32 7
2 10+22 4
2 4=240+28+32014+28+8
∆
=212+36=24+18=
Respuestas:
=∆
∆ =62=
=
=
=
Problema 8:
+
+
=
=
+
=
Solución:
|
| ∆=26 3
4 2+202 3
2 2+62 6
2 4=212+12+2046+68+12
∆=202+64=40+24=
|
| ∆
=26 3
4 2+206 3
2 2+66 6
2 4=212+12+20126+624+12
∆
=20+206+612=12072=
=∆
∆ = 4816=
|
| ∆
=26 3
2 222 3
2 2+62 6
2 2=2126246+6412
∆
=2622+68=12+448=
=∆
∆ =3216=
|
| ∆
=26 6
4 2+202 6
2 2+22 6
2 4=212+24+20412+28+12
∆
=212+208+24=24160+8=
=∆
∆ =128
16 =8
Respuestas:
=
=
=
Una matriz inversa es una matriz que multiplicado por la matriz original obtiene la matriz de identidad. El inverso de un cuadrado
n x n
matriz, es otron x n
matriz denotado porA
-1:==
Donde es la
n x n
matriz identidad. Es decir, multiplicando su inversa una matriz produce una matriz de identidad. No todas las matrices tiene una matriz inversa. Si el determinante de la matriz es cero, entonces no tendrá una inversa y la matriz se dice que es singular. Sólo no singular matrices tienen inversas.Se puede encontrar la inversa de una matriz n x n general utilizando la siguiente ecuación:
−
=
Sabiendo calcular la matriz inversa y multiplicando matrices también es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre y cuando éste sea de Cramer (es decir, tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes no sea nulo).
Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones utilizando la inversa son lo siguiente:
1. Calcular la inversa de la matriz A.
2. Multiplicar la inversa de la matriz A por la matriz B.
