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parciales

El cociente de dos polinomios se denomina funci´on racional. La deri-vaci´on de una funci´on racional conduce a una nueva funci´on racional que puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integraci´on de una funci´on racional puede conducirnos a funciones que no son racionales1 por ejemplo:

Z

dx

x = ln|x|+C y

Z

dx

1 +x2 = arctan (x) +C

ahora daremos un m´etodo para calcular la integral de una funci´on racional cualquiera y se ver´a que el resultado puede expresarse siempre por medio de polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos.

La idea del m´etodo es descomponer la funci´on racional en fracciones simples que pueden calcularse por medio de t´ecnicas ya conocidas (de de-be realizar la descomposici´on en fracciones parciales de la funci´on racional considerada).

Supongamos entonces que f_g(x)(x)es una funci´on racional, si es impropia podemos simplemente dividir y nos queda

f(x)

g(x) =Q(x) +

R(x)

g(x)

donde Q es un polinomio (el cociente de la divisi´on) y R(x) es el resto de la divisi´on (note que el grado del resto es menor que el del divisor g(x)), de esta forma toda funci´on racional se puede escribir como la suma de un polinomio con una funci´on racional propia.

Del curso de complementos de mat021 sabemos que toda funci´on racional propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma

A

(αx+β)k (0.0.1)

y

Bx+C

(ax2_+bx+c)m (0.0.2)

dondek, m∈N,a, b, c, A, B, C, α, β son constates y b2−4ac <0

en (0.0.2) lo que nos dice que es una cuadr´atica sin ra´ıces reales.

Luego el calculo de la integral de una funci´on racional, se reduce al calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a calculo de integrales de la forma

Z _Adx

(αx+β)k y

Z _(Bx+C)dx (ax2_+bx+c)m

aprenderemos a calcular este tipo de integrales.

Ejemplo 1. Consideremos la integral Z

5x+ 3

x2_{+ 2x−3}

dx

la funci´on racional

5x+ 3

x2_{+ 2x−3}

es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) po-demos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos conocer las ra´ıces reales del denominador, como

x2+ 2x−3 = (x+ 3) (x−1) se sigue que

5x+ 3

x2_{+ 2x−3} =

luego por el m´etodo de las fracciones parciales, existen constantes A y B

tales que

5x+ 3

x2_{+ 2x−3} = A x+ 3+

B x−1

para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los m´etodos co-nocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la expresi´on por el deno-minador

5x+ 3 =A(x−1) +B(x+ 3) evaluando la igualdad enx= 1 obtenemos

8 =A·0 + 4B =⇒B= 2 evaluando la igualdad enx=−3 se obtiene

−15 + 3 =A(−4) +B·0 =⇒A= 3 se sigue

5x+ 3

x2_{+ 2x−3} =

3

x+ 3+ 2

x−1 luego

Z

5x+ 3

x2_{+ 2x−3}

dx =

Z 3

x+ 3+ 2

x−1

dx

= 3

Z _dx

x+ 3+ 2

Z _dx

x−1 = 3 ln|x+ 3|+ 2 ln|x−1|+C

el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas ra´ıces reales como el grado del polinomio y todas las ra´ıces distintas.

Ejemplo 2. Calcular

Z _(2x−1)dx (x−1) (x−2) (x−3)

Como ya conocemos las ra´ıces del denominador, efectuamos la descomposi-ci´on en fracciones parciales:

(2x−1)

(x−1) (x−2) (2x−3) =

A x−1 +

B x−2 +

C

y aplicamos alguna t´ecnica que nos permita encontrar los valores de las constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador

2x−1 =A(x−2) (2x−3) +B(x−1) (2x−3) +C(x−1) (x−2) evaluando tal igualdad enx= 1 obtenemos

2−1 =A(1−2) (2−3) +B·0 +C·0 as´ı

1 =A(−1) (−1) =⇒A= 1 evaluando enx= 2 se obtiene

4−1 =A·0 +B(2−1) (4−3) +C·0 as´ı

3 =B

y finalmente, evaluando en x= 3₂ se obtiene 3−1 =A·0 +B·0 +C

3 2−1

3 2−2

as´ı

2 =C

1

2 −

1 2

=⇒C=−8 se sigue

(2x−1)

(x−1) (x−2) (2x−3) = 1

x−1 + 3

x−2 + −8 2x−3 luego

Z _(2x−1)

(x−1) (x−2) (2x−3)dx =

Z 1

x−1 + 3

x−2 + −8 2x−3

dx

=

Z _dx

x−1 + 3

Z _dx

x−2 −8

Z _dx

2x−3 = ln|x−1|+ 3 ln|x−2| −4 ln|2x−3|+C

= ln |x−1| |x−2|

3

|2x−3|4 !

+C

donde

Z _dx

2x−3 = 1

2ln|2x−3|

Ejercicio 1. Calcular Z

x

(x2_{−1) (x−2)}dx

Ejercicio 2. Calcular Z

2x+ 1

(3x−1) (2x+ 5)dx

Ejercicio 3. Calcular Z

2x2+x−1 2x3_+x2_{−5x+ 2}

veamos ahora que pasa si la ra´ıces se repiten:

Ejemplo 3. Calcular

Z _x2_{+ 2x+ 3dx} (x−1) (x+ 1)2

notemos que es una funci´on racional propia, luego podemos efectuar direc-tamente la descomposici´on en fracciones parciales (no necesitamos dividir los polinomios) luego

x2+ 2x+ 3 (x−1) (x+ 1)2 =

A x−1 +

B x+ 1+

C

(x+ 1)2 desarrollando encontramos

A= 3

2, B=− 1

2 yC=−1 se sigue

Z _x2_{+ 2x+ 3dx} (x−1) (x+ 1)2 = 3

2 Z

dx x−1 −

1 2

Z

dx x+ 1−

Z

dx

(x+ 1)2 = 3

2ln|x−1| − 1

2ln|x+ 1|+ 1

Es posible calcular sin problemas las integrales del tipo Z _Adx

(αx+β)k parak= 1 la integral es

Z _Adx

αx+β = A

α ln|αx+β|+C

parak >1 podemos efectuar un cambio de variablesu=αx+β eso implica

du=αdx de donde Z _Adx

(αx+β)k = A Z _du

αuk = A α

u(−k+1)

(−k+ 1)+C = A

α

(αx+β)(−k+1) (−k+ 1) +C

Ejemplo 4. Calcular

Z

3dx

(2x−1)3

Desarrollo: Podemos hacer la sustituci´on u= 2x−1 =⇒du= 2dxse sigue Z _3dx

(2x−1)3 = 3 Z _du

2u3 =

3 2

Z

u−3du

= 3 2

u−3+1

−3 + 1 +C = −3

4u

−2_+C

= − 3

4 (2x−1)2 +C Ahora veamos que pasa con las integrales del tipo

Z

(Bx+C)dx

(ax2_+bx+c)m

conb2−4ac <0.

Ejemplo 5. Calcular

Z

note que en este caso, es denominador no posee ra´ıces reales ∆ = 4−8 = −4<0 y

x x2_{+ 2x+ 2}

ya es una fracci´on parcial (no tenemos que aplicar la t´ecnica de descompo-sici´on), para calcular este tipo de integrales intentamos llavarla a una de la forma

Z _dv

v2_{+ 1}

que sabemos calcular (arctanv) completemos cuadrados en el denominador,

x

x2_{+ 2x+ 2} =

x

(x+ 1)2+ 1 luego

Z

xdx

(x+ 1)2+ 1 = Z

xdx x2_{+ 2x+ 2}

si hacemos el cambio de variable

u=x+ 1 =⇒du=dx

luego

Z _xdx

(x+ 1)2+ 1 =

Z _(u−1)du (u2_{+ 1)}

=

Z _udu

u2_{+ 1}−

Z _du

u2_{+ 1}

note que la primera es calculable por una simple sustituci´onv=u2_{+ 1 (esto}

es general para las integrales del tipo Z

xdx

(x2_+α2₎m

las cuales pueden ser calculadas mediante el cambio de variables v =x2+

α2 =⇒ dv

2 =xdx) y la segunda es conocida, luego

Z _udu

u2_{+ 1}−

Z _du

u2_{+ 1} =

1 2ln

u2+ 1

−arctan (u) +C volvemos a la variable original

Z

xdx

(x+ 1)2+ 1 = 1 2ln

(x+ 1)

2

+ 1

entonces, toda integral de la forma Z _(Bx+C)dx

(ax2_+bx+c)m

la podemos escribir como Z _Bxdx

(ax2_+bx+c)m +C

Z _dx

(ax2_+bx+c)m

pero

Z _Bxdx

(ax2_+bx+c)m

= Z B

2a(2ax+b−b)dx

(ax2_+bx+c)m

= B 2a

Z

(2ax+b)dx

(ax2_+bx+c)m − Bb

2a

Z

dx

(ax2_+bx+c)m

de esta forma Z

(Bx+C)dx

(ax2_+bx+c)m = B

2a

Z

(2ax+b)dx

(ax2_+bx+c)m+

C−Bb 2a

Z _dx

(ax2_+bx+c)m

la integral

Z

(2ax+b)dx

(ax2_+bx+c)m

se puede calcular mediante la sustituci´on u = ax2 +bx + c =⇒ du = (2ax+b)dx, por lo que no presenta mayor dificultad.

El problema ahora, es calcular integrales del tipo

Z _dx

(ax2_+bx+c)m

completemos cuadrado de binomio

ax2+bx+c = a

x2+ 2 b 2ax+

b2

4a2

− b

2

4a+c

= a

x+ b 2a

2

+4ac−b

2

note que b2−4ac <0 =⇒4ac−b2 >0 obtenemos

Z _dx

(ax2_+bx+c)m =

Z _dx

a x+_2ab 2+4ac_4a−b2 m

= 1

am

Z

dx

x+_2ab 2

+4ac_4a−2b2 m

hagamos el cambio de variables

x+ b 2a =

r

4ac−b2

4a2 v

entonces

dx= r

4ac−b2

4a2 dv

se sigue 1

am

Z _dx

x+_2ab 2+4ac_4a−2b2

m = 1

am

Z

q

4ac−b2

4a2 dv

4ac−b2

4a2

v2₊4ac−b2

4a2 m

= 1

am

q

4ac−b2

4a2

4ac−b2

4a2 m

Z

dv

(v2_{+ 1)}m

de donde obtenemos que el c´alculo de las integrales de la forma Z

dx

(ax2_+bx+c)m

puede ser reducido al c´alculo de integrales de la forma Z

dv

(v2_{+ 1)}m

y estas pueden ser abordadas a trav´es de integraci´on por partes, en efecto Z _dv

(v2_{+ 1)}m =

Z

v2+ 1−m

dv

= Z

v−2m

1 + 1

v2

−m

pongamos

k =

1 + 1

v2

−m

=⇒dk=−m

1 + 1

v2

−m−1₋₂

v3

dv

dr = v−2mdv=⇒r= v

−2m+1

−2m+ 1 as´ı

Z

dv

(v2_{+ 1)}m =

v−2m+1

−2m+ 1 1 + 1

v2

−m −

Z

v−2m+1

−2m+ 1

−m

1 + 1

v2

−m−1₋₂

v3 ! dv es decir Z dv

(v2_{+ 1)}m =

v v2+ 1−m −2m+ 1 −

2m

−2m+ 1

Z _v−2m+1 _v2_{+ 1}−m−1

v−2m−2_v3 dv

= v

(−2m+ 1) (v2_{+ 1)}m −

2m

−2m+ 1

Z ₁

(v2_{+ 1)}m+1dv

si en lugar demponemos m−1 entonces Z

dv

(v2_{+ 1)}m−1 =

v

(−2 (m−1) + 1) (v2_{+ 1)}m−1−

2 (m−1) −2 (m−1) + 1

Z ₁ (v2_{+ 1)}mdv

es decir Z

dv

(v2_{+ 1)}m−1 =

v

(−2m+ 3) (v2_{+ 1)}m−1 −

2m−2 −2m+ 3

Z 1 (v2_{+ 1)}mdv

as´ı Z ₁

(v2_{+ 1)}mdv = −

−(−2m+ 3)v

(−2m+ 3) (2m−2) (v2_{+ 1)}m−1 −

−2m+ 3 2m−2

Z _dv

(v2_{+ 1)}m−1

= v

(2m−2) (v2_{+ 1)}m−1 +

2m−3 2m−2

Z _dv

(v2_{+ 1)}m−1

Ejemplo 6. Calcular

Z

dx

(x2_{+ 1)}2

Desarrollo: Aplicando la f´ormula de recurrencia anterior Z

dx

(x2_{+ 1)}2 =

x

2 (x2_{+ 1)} +

1 2

Z

dx x2_{+ 1}

= x

2 (x2_{+ 1)} +

1

Ejemplo 7. Calcular

Z

dx

(x2_{+ 1)}3

Desarrollo: con la f´ormula de recurrencia Z _dx

(x2_{+ 1)}3 =

x

(2·3−2) (x2_{+ 1)}3−1 +

2·3−3 2·3−2

Z _dv

(x2_{+ 1)}3−1

= x

4 (x2_{+ 1)}2 +

3 4

Z

dv

(x2_{+ 1)}2

utilizando el ejercicio anterior Z _dx

(x2_{+ 1)}3

= x

4 (x2_{+ 1)}2 +

3 4

x

2 (x2_{+ 1)} +

1

2arctanx

+C

= x

4 (x2_{+ 1)}2 +

3x

8 (x2_{+ 1)}+

3

8arctanx+C

Con todo esto estamos en condiciones de calcular la integral de una funci´on racional cualquiera (aunque nuestros c´alculos se ven limitados por tener que encontrar las ra´ıces que nos permitan hacer la descomposici´on en fracciones parciales, para encontrar una descomposici´on de polinomios muy generales necesitariamos la ayuda de un computador y aproximar las ra´ıces)

Ejemplos resueltos

1. Calcular

Z _3x2_{+ 2x−2}

x3₋₁ dx

Desarrollo: Primero notamos que la funci´on racional es propia, luego podemos efectuar directamente la descomposici´on en fracciones par-ciales sin necesidad de dividir. Ahora busquemos las ra´ıces del deno-minador

x3−1 = (x−1) x2+x+ 1 notemos que el segundo factor no tiene ra´ıces reales, as´ı

3x2+ 2x−2

x3₋₁ =

A x−1+

desarrollando encontramos

A= 1, B= 2 yC= 3 luego

3x2+ 2x−2

x3₋₁ =

1

x−1+

2x+ 3

x2_{+x+ 1}

luego Z

3x2+ 2x−2

x3₋₁ dx =

Z 1

x−1dx+ Z

2x+ 3

x2_{+x+ 1}dx

= ln|x−1|+ Z

2x+ 3

x2_{+x+ 1}dx

para calcular la integral Z

2x+ 3

x2_{+x+ 1}dx

reordenamos en la forma Z _{2x+ 1 + 2}

x2_{+x+ 1}dx =

Z _{2x+ 1}

x2_{+x+ 1}dx+

Z ₂

x2_{+x+ 1}

= ln x2+ 2x+ 1+ Z

2dx x2_{+x+ 1}

ahora debemos calcular Z

2dx x2_{+x+ 1}

para ello completamos cuadrados Z _2dx

x2_{+x+ 1} = 2

Z _dx

x2_{+ 2} 1 2

x+1₄ +3₄ = 2

Z

dx

x+1₂2 +3₄ hacemos el cambio de variable

x+ 1 2 =

r 3

4u=⇒dx= r

3

as´ı

2

Z _dx

x+1₂2+3₄

= 2 Z

q

3 4du

q

3 4u

2 +3₄

= 2 q

3 4 3 4

Z

du u2_{+ 1}

= 2_q1

3 4

arctanu

= √4

3arctan

2 √ 3

x+1 2

+C

as´ı Z

3x2+ 2x−2

x3₋₁ dx

= ln|x−1|+ ln x2+ 2x+ 1+√4

3arctan

2 √ 3

x+1 2

+C

2. Calcular

Z _x4_−x3_{+ 2x}2_{−x+ 2}

(x−1) (x2_{+ 2)}2

Desarrollo: La funci´on racional es propia. Efectuamos la descomposi-ci´on en fracciones parciales:

x4−x3+ 2x2−x+ 2 (x−1) (x2_{+ 2)}2 =

A x−1 +

Bx+C x2_{+ 2} +

Dx+E

(x2_{+ 1)}2

las constantes nos dan

A= 1 3, B=

2

3, C=− 1

3, D=−1, E = 0 se sigue

x4−x3+ 2x2−x+ 2 (x−1) (x2_{+ 2)}2 =

1 3

1

x−1 + 1 3

2x−1

x2_{+ 2} − x

luego Z

x4−x3+ 2x2−x+ 2 (x−1) (x2_{+ 2)}2 dx

= 1 3

Z

dx x−1 +

1 3

Z

2x−1

x2_{+ 2}dx−

Z

xdx

(x2_{+ 1)}2

= 1

3ln|x−1|+ 1 3

Z

2xdx x2_{+ 2}−

1 3

Z

dx x2_{+ 2}−

Z

xdx

(x2_{+ 1)}2

pero

Z

2xdx x2_{+ 2}= ln

x2+ 2

y

Z

dx x2_{+ 2}

la podemos calcular con el cambio de variable√2u=x=⇒√2du=dx

as´ı

Z _dx

x2_{+ 2} =

Z √_2du 2u2_{+ 2} =

1 √ 2

Z _du

u2_{+ 1}

= √1

2arctanu = √1

2arctan

x

√ 2

luego Z

x4−x3+ 2x2−x+ 2 (x−1) (x2_{+ 2)}2 dx

= 1

3ln|x−1|+ 1 3ln

x2+ 2

−

1

3√2arctan

x

√ 2

−

Z _xdx

(x2_{+ 1)}2

y para

Z

xdx

(x2_{+ 1)}2

es simplemente hacer la sustituci´on

as´ı

Z _xdx

(x2_{+ 1)}2 =

Z _du

2u2 =

1 2

Z

u−2du

= −1 2u

−1_+C

= − 1

2 (x2_{+ 1)} +C

as´ı

Z _x4_−x3_{+ 2x}2_{−x+ 2}

(x−1) (x2_{+ 2)}2 dx

= 1

3ln|x−1|+ 1 3ln

x2+ 2

−

1

3√2arctan

x

√ 2

+ 1

2 (x2_{+ 1)} +C

Ejercicios propuestos

a) Z

(2x+ 3) dx

(x−2) (x+ 5) b) Z

x dx

(x+ 1) (x+ 2) (x+ 3) c) Z

x dx x3_{−3x+ 2}

d)

Z _x2_dx

x4_{+ 1} e)

Z _dx

(x+ 1) (x2_{+ 1)}2_{(x+ 2)}2 f)

Z _x4_dx

(x2_{+ 3)}2

g) Z

(x+ 1) dx

(x2₋₁₎2 h)

Z

dx

x4_−2x3 i)

Z

x2dx