ApunteAlgebraElemental

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UNIVERSIDAD ANDRES BELLO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PROF. PAOLA BARILE M.

APUNTE ALGEBRA ELEMENTAL

1. CONJUNTOS NUMERICOS

Son todos aquellos conjuntos que est´an formados por n´umeros, estos se dividen en:

N´

umeros Naturales: Son los que normalmente usamos para contar, se representan por el s´ımbolo

Ny

sus elementos son:

N={1,2,3....∞}

Algunos subconjuntos de_Nson:

N´umeros Pares:{2,4,6,8,10...∞}. Se representan como 2n, ∀n∈N.

N´umeros Impares:{1,3,5,7,9...∞}. Se representan como 2n+ 1 o 2n−1,∀n∈N.

Números Primos:{2,3,5,7,11...∞}. Son todos aquellos números que son divisibles solo por si mismos y por 1, excluyendo a éste último.

N´umeros Compuestos: Son todos aquellos que No son primos

N´

umeros Cardinales: Es el conjunto que se forma cuando en el conjunto de N´

umeros Naturales incluimos el 0. Se representa por el s´ımbolo_N0 y sus elementos son:

N={0,1,2,3...∞}

Aparece en este conjunto el concepto de ”d´ıgito”:{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

N´

umeros Enteros: Conjunto formado por todos los n´

umeros sin cifra decimal, es decir, los números naturales, sus inversos aditivos (se dice que un númeroatiene inverso aditivo, si existe unbtal quea+b= 0, talbes también conocido como−a), y el neutro aditivo (para cualquier númeroxexiste un únicoeque cumple quex+e=x, a ese númeroelo conocemos comoneutro aditivoy corresponde al 0). Sus elementos son:

Z={−∞, ...,−3,−2,−1,0,1,2,3...∞}

N´

umeros Racionales: Se representan por el s´ımbolo

Qy cumple (a diferencia de los conjuntos

ante-riores) que para cada par de números racionales, la suma, resta, multiplicación y división (sin incluir en esta ´

ultima al 0) es siempre un n´umero de_Q. Se puede representar por:

Q=

_p

q con p, q∈Z, q6= 0

Existen distintas formas de expresar los elementos de este conjunto:

Forma Fraccionaria: Esta forma nos expresa ”partes”de alg´un entero. Est´a formada por un denominador (que indica la cantidad de partes en que dividimos el entero) y un numerador (que indica cuantas de estas partes vamos a considerar)

Forma Mixta: Hay ocasiones en que el numerador de una fracción es mayor al denominador. En estas situaciones necesitamos más de un entero. Se divide el numerador por el denominador, del resultado de esta división consideramos el cuociente como la parte entera y el resto como numerador de la parte fraccionara que la acompaña.

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• Decimal Finito: las cifras decimales de un número son finitas. La manera de pasar este tipo de deci-males a fracción es escribir una fracción cuyo numerador sea el mismo número pero sin coma y cuyo denominador sea 100... con tantos ceros como d´ıgitos tiene el número después de la coma.

Ejemplo:

◦ 1,5 = 15 10

◦ 1,53 =153 100

◦ 1,532 = 1532 1000

• Decimales Periódicos: Son aquellos en que los números después de la coma se repiten infinitamente sin alterar su orden, por ejemplo 1,33333... = 1,3. La fracción que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el número escrito sin coma ni linea periódica menos la parte entera dividio por 999... con tantos 9 como decimales periódicos halla.

Ejemplo:

◦ 1.53 =153−1 99 =

152 99

◦ 1.532 = 1532−1 999 =

1531 999

◦ 15.32 = 1532−15 99 =

1517 99

• Decimales Semiperiódicos: son aquellos en que hay cifras decimales que aparecen solo una vez y las demás se repiten infinitamente, por ejemplo: 1,3444... = 1,34. La fracción que representa a estos decimales es aquella cuyo numerador es el número escrito sin coma ni linea periódica menos la parte no periódica del número, dividio por 999...0... con tantos 9 como decimales periódicos halla y tantos 0 como digitos no periódicos halla después de la coma.

Ejemplo:

◦ 1,53 =153−15 90 =

138 90

◦ 1,5321 =15321−15 9990 =

15306 9990

◦ 15,3246 = 153246−1532 9900 =

151714 9900

Ejercicios Propuestos: Exprese los siguientes decimales como una fracci´on: 1) 0,175

2) 0.342 3) 3,013 4) 0,312

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Porcentaje : Cuando hablamos de porcentaje nos referimos a una fracci´on cuyo denominador es 100. Hablam-os dex% = x

100. Para buscar eltanto por cientode una cantidad solo debemos igualar dos fracciones (razones) formando unaproporci´on. As´ı obtenemos:

¿Cu´al es ela% deb?

b

100 =

x

a ⇒x=a· b

100 =

a·b

100

¿Que % esadeb?

b

100 =

a

x ⇒x= 100· a b =

100·a b

¿De que n´umerob es ela%?

x

100 =

b

a ⇒x= 100· b a =

100·b a

Ejercicios Propuestos:

1) Calcule (sin usar calculadora) los porcentajes que se indica: 1. 20 % de 150

2. 75 % de 40 3. 5 % de 92 4. 0,7 % de 90

2) ¿Que tanto por ciento es el primer número respecto del segundo? 3) ¿De que número, el número que se indica es el porcentaje que se señala?

4) Calcule cuántos kilogramos de agua contienen 15 Kg de rábanos si sólo un 5 % de ellos corresponde a materia sólida y el resto es agua.

5) Una casa está avaluada en U$ 16.200. ¿Hasta cuánto se puede cobrar de arriendo mensual, si la renta anual no debe exceder al 11 % de la tasación?.

6) De una producción mundial de 3.700.000 toneladas de cobre, Chile produjo 490.000 toneladas. ¿A qué tanto por ciento equivale la producción de Chile?

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N´

umeros Irracionales: Conjunto de todos los n´

umeros que no pertenecen al mundo de los Racionales, es decir no se puedn escribir como fracci´on ya que tienen infinitos decimales sin niguna relaci´on. Se representa por_I. Algunos elementos de este conjunto sonπ, e,√2

N´

umeros Reales: Es el conjunto que se obtiene de la uni´

on de todos los conjuntos antes vistos.

1.1. OPERATORIA EN

_R

1.1.1. Axiomas de Cuerpo:

1. Conmutatividad: Para todoa, b∈_R, se cumple que:

a+b=b+a

a·b=b·a

2. Asociatividad: Para todoa, b∈R, se cumple que:

a+ (b+c) = (a+b) +c

a·(b·c) = (a·b)·c

3. Distributividad: Para todoa, b∈R, se cumple que:

a·(b+c) =a·b+a·c

4. Elemento Neutro

Para todoa∈_R, se cumple que:∃! 0∈_Rtal que a+ 0 = 0 +a=a

Para todoa∈R, se cumple que:∃! 1∈Rtal que a·1 = 1·a=a

5. Elemento Inverso

Para todoa∈R, se cumple que:∃ −a∈Rtal quea+ (−a) = (−a) +a= 0

Para todoa∈R− {0}, se cumple que:∃ 1

a ∈R− {0} tal quea·

1

a =

1

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1.1.2. Orden Operatorio

Siempre al momento de desarrollar un ejercicio en el que aparezcan varias operaciones, se debe considerar un prioridad en el desarrollo de ´estas. El orden es el siguiente:

Potencias

Multiplicaciones y Divisiones

Sumas y Restas

Además, si aparecen paréntesis dentro del ejercicio, se deben realizar primero las operaciones dentro de ellos respetando la prioriodad antes señalada.

1.1.3. Operatoria

Adición y Sustracción de Fracciones: Si las fracciones tienen igual denominador, la suma o resta consiste simplemente en operar solos los numeradores y mantener intacto el denominador. Si las fracciones tienen distinto denominador, debemos obtener el M´ınimo Común Múltiplo (MCM) entre los denominadores, de modo de llevar todas las fracciones a un mismo denominador. Este MCM es el número más pequeño entre los múltiplos que tengan en común los denominadores.

Ejemplo:

5 12+

3 5 =

5·5 + 12·3 12·5

Multiplicaci´on de Fracciones: para multiplicar dos fracciones, se multiplican sus numeradores y sus de-nominadores y estos ser´an el numerador y el denominador, respectivamente, del resultado.

Ejemplo:

1 4·

5 3 =

1·5 4·3 =

5 12

División de Fracciones: Se realiza una multiplicación cruzada, es decir el numerador del resultado de una división será el que se obtenga de multiplicar el numerador del dividendo con el denominador del divisor, de la misma forma que el numerador del resultado será lo que obtengamos de multiplicar el denominador del dividendo con el numerador del divisor. Para simplificar el trabajo, lo que generalemnete se hace, es transformar la división en una multiplicación ( es decir multiplicar por el inverso multiplicativo del divisor) Ejemplo:

1 4 :

3 5 =

1 4·

5 3 =

1·5 4·3 =

5 12

Amplificar una Fracci´on: Significa aumentar el numeraor y el denominador de una fraccion en la misma proporci´on. Se forman dos fraccionesequivalenteses decir que representan la misma cantidad.

Ejemplo:

3 4 =

6 8 =

9 12 =

12 16....

Simplificar: Significa disminuir el numerador y el denominador de una fracci´on (si es posible) en una misma proporci´on.

Ejemplo:

48 72 =

24 36 =

16 24 =

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Ejercicios Propuestos :Resuelva 1) (−8) + 11

2) 4,3 + (−0,75) 3) 5−(8 + 3−6) 4) −3 + (−7 + 2−5) 5) 35 : 7 + 12

6) 100 : (8·7) 7) 3(27−6)

5·3−6

8) 36 : 4·5

9) 6−2[14−(7−10)] 10) 89,65 + (−70,09)

11) 5 + (−11) + 9 + (−6) + (−5) + 9 12) 3 8− 1 2 5 16+ 7 4 13) 4 9− 5 6 7 18− 1 3 14) 501 3 +

−682 3 15) ₁ 2 + 3 4 − ₁ 2+ 1 6 16) 252 3 +

−862 5

17) 3 2 +

−42 3

+ 4 +

−4 3 18) −1 2+ −2 3 + − −1 2 + 2 3 19) − ₁₅ 3 : 3 15 + 1 −27 20) ₅ 8 · 1 50

÷101 2

21)

_{1 +} 1

2

3 + 1−1

3 2 ÷ 5 2 5 6 − 1 3 1 6

22) 3 + 1 3 +₁₊11

3 23) − ₁₅ 3 : 3 15 + 1 −27

24) 32−17 + 8·9 25) 6·5−40

6(5−40)

26) 6·4−5·(−2) 3·7 + 11·3

27) (−4,6) + 5,3 + (−8,7) + (−1,2) 28) 11 6 + −21 8 29) 9 8 + −13 6 + −17 2 +27 8 + −35 8

30) 5−8 : 0,3 7·1

2−7 1 2

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1.2. POTENCIAS

Esencialmente una potencia representa una multiplicación por si mismo de un número que llamamosbase tantas veces como lo indique otro número que llamamosexponente.

an=a·a·a·a . . .·a

| {z } n-veces

Propiedades

Potencia con exponente 0

a0= 1

Potencia con exponente unitario

a1=a

Multiplicaci´on de Potencias de igual base

am·an=am+n

Divisi´on de Potencias de igual base

am:an=am−n

Potencias de igual exponente

a

b

m = a

m

bm

Potencia con exponente negativo

a−n= 1

an

a

b

−n =

_b

a

n = b

n

an

Potencia de una potencia

(an)m=am·n=an·m= (am)n

Notación Cient´ıfica: es una herramienta que se ocupa para escribir números demasiado pequeños o de-masiado grandes con el fin de reducir el proceso de escritura. Para expresar en notación cient´ıfica usaremos potencias de 10, las que si el exponente es positivo nos indican la cantidad de ceros a colocar a la derecha del 1, mientras que si el exponente es negativo nos indica la cantidad de ceros que se colocan a la izquierda del 1. As´ı podemos expresar:

300000000 = 3·100000000 = 3·108

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Ejercicios Propuestos : Calcular:

1) 2

−3_·₅−1

−24_· 1 2

−2

2) 3

2_{+ 4}2

5−1

3) 5·3

−1_{+ (}₋₄₎2

2−2_{+ 2}3

4) 2

3_·₂−3 1 3 −2 · 2 3 2 5) (2

2₎3_·₍₃3₎2

1 3

−23

· 1 23 −4 6) 1 3 −2

·(0,3)2_·₁₀2

−(2·0,2)2_·₂₀2

7) 5·

1 4−2−

2−3 (−2)−1

1 2−4

8) (4−8)0+ "

₃

5 2

+ (−2)−1−6−2 #−1

9) 32 3 −2 · " 11 5 −2#2

· ₋₁ 5 · " 12 3 −2#2

10) (3−3)2+ ₄

3

+ (−3)−2−2−3 −1

1.3. RAICES

Las ra´ıces son casos generales de las potencias, ya que corresponden a una potencia pero de exponente racional. Una ra´ız n-ésima de un númeroaesb, si y solo si la n-ésima potencia debesa, es decir:

n

√

a=b⇔bn=a

Propiedades:

Radicaci´on de una potencia

n

√

am₌_am/n

Con esta porpiedad se pueden generalizar las mimas propiedades de las potencias a las ra´ıces.

Multiplicaci´on de ra´ıces de igual ´ındice

n

√ a· √n

b= √na·b

Divisi´on de ra´ıces de igual ´ındice

n √ a n √ b = n r a b

Ra´ız de una ra´ız

n

q

m

√

a= n·m√_a

Introducci´on de un coeficiente en una ra´ız

a· √n

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Ejercicios Propuestos :Simplifique: 1) p4 _p3_·p3 _p2_·√_p

2) √50 +√72 + 2√8 +√32 3) √12 +√75 +√100−2√27 4) √3

27 +√3

−8 +√3

1000

5) √9 + 16 +√144 + 16

6) (√23₋√₆₎₍√₂3₊√₆₎

7) (2√5)4+ (3√6)2−(4√3

5)3

8) √39a6_·_b12_:√3

ab5

9) 1/8 q

16√

36a2_b₋₂6

q

1/√3

25a2_b_{+ 5}1/4

q

8

√

49a2_b

1.4. LOGARITMOS

El logaritmo de un n´umero respecto de cierta base es el exponente a que debe elevarse la base para obtener dicho n´umero.

x= log_b c⇔bx=c

El conjunto de los logaritmos de todos los n´umeros respecto de una misma base constituye un sistema de logaritmos. Los sistemas de logaritmos m´as corrientes son los de base 10 y de base e. El logaritmo en base 10 es conocido comologaritmo de Briggsologaritmo vulgar, mientras que el logaritmo en baseees conocido comologaritmo natural

Propiedades:

Logaritmo de la unidad

log_b 1 = 0

Logaritmo de la base

logb b= 1

Logaritmo de una potencia de la base

log_b bn=n

Logaritmo de un Producto

log_b (a·c) = log_b a+ log_b c

Logaritmo de un cuociente

logb a

c

= logb a−logb c

Logaritmo de una potencia

logb an=n·logb a

Logaritmo de una ra´ız

log_b √n_a₌ logb a

n

Cambio de Base

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Ejercicios Propuestos : 1) Calcularxen:

1. log₅x=−2 2. log_x27 =−3

3. log2321 =x

4. log84 =x

5. log1 4

1 128 =x

6. log₀_,₀₁0,1 =x

7. log_x9₄=−2 3

8. log_x2 =−1 3

9. log4

814,5 =x

10. log₄1₈ =x

11. log_x4 =−2 5

12. log_x8 =−3

2) Si log₈ 3 =M y log₃ 5 =N demuestre que log 6 = 3M+ 1 3M N+ 1

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2. ALGEBRA

2.1. Expresiones Algebraicas

Es la representaci´on de una o m´as operaciones algebricas. Por ejemplo:

(2a−3b)

2b−3 5a

4ab

2.2. T´

ermino Algebraico

Es una expresión algebraica formada por varios s´ımbolos no separados entre s´ı por (+) ó (−). Los elementos de un término son: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado. Ejemplos:

4a

−5a2b

15a

2b

2.3. Clasificaci´

on de Expresiones Algebraicas:

Monomio: Consta de un s´olo t´ermino algebarico. Ejemplo: 4b

Polinomios: Consta de más de un término algebraico. Los polinomios más utilizados son:

• Binomios: Constan de 2 t´erminos algebraicos. Ejemplo:a+b

• Trinomios: Constan de 3 t´erminos algebraicos. Ejemplo: 4a−3b+ 5ab

2.4. T´

erminos Semejantes

Dos o m´as t´erminos son semejantes si tienen la misma parte literal (iguales letras e iguales exponentes). Por

ejemplo: 21ab2;−1,5ab2 y 7ab

2

3 son t´erminos semejantes.

2.5. Operatoria de Expresiones Algebraicas

2.5.1. Suma y Resta de Polinomios

Se resuelve reduciendo los conjuntos de t´erminos semejantes que existan entre los polinomios sumandos o restados. .

2.5.2. Multiplicaci´on de Polinomios

Para multiplicar tomamos el primer término del primer polinomio y lo multiplicamos con cada uno de los términos del segundo polinomio, y as´ı continuamos sucesivamente hasta terminar con todos los términos del primer polinomio. Al multiplicar dos polinomios deben considerarse:

Regla de los signos: El producto de dos factores de igual signo es positivo y el de dos factores de distinto signo es negativo.

Multiplicaci´on de Potencias de igual base: Recuerde que para multiplicar potencias de igual base, se eleva la base com´un a la suma de los exponentes.

Ejemplo:

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2.5.3. Divisi´on de Polinomios

Se resuelve de manera similar a la divisi´on aritm´etica. Detallaremos el procedimiento con un ejemplo:

Sea (15 + 31a2+ 15a3−49a) : (5a−3)

Se ordenan los polinomios:

(15a3+ 31a2−49a+ 15) : (5a−3)

Se divide el primer t´ermino del dividendo por el primero del divisor, obteniendo el primer t´ermino del cuociente

15a3_{: 5}_a_{= 3}_a2

Se multiplica este cuociente portodoel divisor y el producto se resta al dividendo (15a3_{+ 31}_a2₋₄₉_a_{+ 15) : (5}_a₋_{3) = 3}_a2

15a3−92

0 + 40a2−49a+ 15

Se divide el primer t´ermino del resto por el primero del divisor, obteniendo el segundo t´ermino del cuo-ciente:

40a2_{: 5}_a_{= 8}_a

Se multiplica este nuevo cuociente parcial por todo el dividor y el producto se resta del nuevo dividendo (primer resto)

(15a3_{+ 31}_a2₋₄₉_a_{+ 15) : (5}_a₋_{3) = 3}_a2_{+ 8}_a

15a3₋₉2

0 + 40a2₋₄₉_a_{+ 15}

40a2−24a

0−25a+ 15

Se repite el proceso una vez más y cuantas sean necsarias para obtenerresto cerocuando la división es exacta, o un polinomio de grado inferior al divisor, cuando la división no es exacta.

(15a3_{+ 31}_a2₋₄₉_a_{+ 15) : (5}_a₋_{3) = 3}_a2_{+ 8}_a₋₅

15a3₋₉2

0 + 40a2₋₄₉_a_{+ 15}

40a2₋₂₄_a

0−25a+ 15 25a+ 15

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Ejercicios Propuestos:

1) Considere los siguientes polinomios:

A= 3a5₋₂_a4₊_a2₋₃

B=a2₋₇_a_{+ 2}

C=−3a2_{+ 9}_a₋₆

Determine el polinomio resultante:

1. A+ 2B 2. A+C·B 3. A−(B+C)

2) Divida los siguientes polinomios y encuentre cuociente y resto. 1. (x4₋₂_x2₋_{8) : (}_x2_{+ 2)}

2. (x3₋₄_x_{+ 7) : (}_x_{+ 1)}

3. (4x4₋₃_x2_{+ 3}_x_{+ 7) :} _x₊1 2

2.6. PRODUCTOS NOTABLES

Estos son productos que cumplen con ciertas reglas que permiten hacer m´as simple su c´alculo:

Cuadrado de Binomio: Es el primer término al cuadrado (+) ó (−) el doble del producto del primero por el segundo (+) el segundo término al cuadrado.

(a±b)2=a2±2ab+b2

Suma por su Diferencia: Es el primer t´ermino al cuadrado (−) el segundo t´ermino al cuadrado

(a+b)(a−b) =a2−b2

Cubo de Binomio: Es el primer t´ermino al cubo (+) o (−) el triple producto del primero al cuadrado por el segundo (+) el triple producto del primero por el segundo al cuadrado (+) o (−) el segundo t´ermino al cubo.

(a±b)3=a3±3a2b+ 3ab2±b3

Ejercicios Propuestos

1) Desarrolle los siguientes cuadrados de binomios: 1. (x+ 3)2

2. (3x−7)2

3. (a2+b3)2

4. (m−3n2₎2

5. 1₄x2₋2 5y

42

6. (−3x+ 2y)2

2) Desarrolle las siguientes sumas por su diferencia: 1. (3−a)(3 +a)

2. (x−2y)(x+ 2y) 3. (13y2_{+ 2}_x₎₍₁₃_y2₋₂_x₎

4. (3a2_m3_n₋₂_b3_c−2₎₍₃_a2_m3_n_{+ 2}_b3_c−2₎

5. 2₃j−2 7m

4 2 3j+

2 7m

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3) Desarrolle:

1. (a+b+c)2

2. 2₃a−b+c2

3. (x−3y)3

4. 1₃ab2_{+ 2}3

2.7. FACTORIZACION

Factorizar un polinomio es transformarlo en un producto equivalente. Todo polinomio puede factorizarse re-curriendo a la división, si se conoce uno de los factores de este polinomio. Veremos algunos casos de factorización especiales de uso común.

Factor Común: Buscamos un término común a todos los términos algebraicos presentes. Es decir:

ab+ac−ad=a(b+c−d)

Trinomio Cuadrado Perfecto: primero ordenamos el trinomio dejando en los extremos los cuadrados per-fectos. Por ejemplo:

2a+a2+ 1 =a2+ 2a+ 1

Luego extraemos la ra´ız cuadrada a los cuadrados perfectos (de m2 _{y de 1) obteniendo:}

(a+ 1)(a+ 1) = (a+ 1)2

Trinomio de la formax2+bx+c: Buscamos dos n´umeros que sumados denb y que multiplicados denc.

Suma o Diferencia de Cubos Perfectos:

a3+b3= (a+b)(a2−ab+b2)

a3−b3= (a−b)(a2+ab+b2)

Completaci´on de Cuadrados de Binomio: De manera general:

ax2+bx= 0

x2+ b

ax= 0

x2+ b

ax+ 0 = 0

x2+ b

ax+ b2

4a2

| {z } Un cuadrado perfecto

− b

2

4a2 = 0

(x+ b 2a)

2₌ b2

4a2

1) Completar los trinomios correspondientes a desarrollos de cuadrados de un binomio. 1. x2₋₁₂_x₊_...

2. 64−48x+...

3. x2₋₂_xy₊_...

4. x4_{+ 10}_x2₊_...

5. a4₋₂₄_a2₊_...

(15)

7. x4_{+ 100}_a2₋_...

8. 4 9x

2₊ 4

15x+...

2) Factorice las siguientes expresiones ( factor com´un ): 1. ax+ay+a2

2. x2₋_xz

3. ab2_c₋_abc2

4. 6a4_b2₋₁₈_a2_b3

3) Factorice como cuadrado de binomio: 1. x2+ 8x+ 16

2. x4+ 64y2−16x2y

3. 9x6_{+ 16}_y2₋₂₄_x3_y

4. 144x2−96x+ 16

5. 4 25x

2_y4₊16

5 xy

2_z_{+ 16}_z2

4) Factorice las diferencias de cuadrados: 1. x4₋₁₆

2. z6₋₁

3. 4x2₋₈₁

4. 64x2₋₂₂₅

5. x6₋₍_x3₊_y3₎2

6. 9 25x

8_y6₋₂₅

5) Factorice las sumas o diferencias de cubos: 1. x3_{+ 8}

2. a3₋₂₇

3. z6₋₂₇

4. 64x3₋_y3

5. 1−27b3_c3

6. a12+b12

7. 125x3₋₈

6) Factorice cada expresi´on al m´aximo: 1. x3+ 1

2. a9₊_b9

3. 0,01x2_{+ 4 + 0}_,₀₄_x

4. x6₋₆_x3₋₇

5. 1 +a10₋₂_a5

6. a2−6a−27

7. 49a2₋₁₄₀_a3_{+ 100}_a4

8. 25−36x4

9. 1 9n

2

+ 2mn+ 9m2

7) Factorice y simplifique:

1. x

2₊_xy

xy+y2

2. 72x+ 56y 9x+ 7y

3. x

3₋_a3

2x2₋₂_a2

4. 4ax+ 4bx 5a+ 5b

5. 3m

2_{+ 3}_n2

m4₋_n4

6. a

2₋_a₋₂₀

a2₋₇_a_{+ 10}

(16)

3. ECUACIONES

Las Ecuaciones son expresiones algebraicas formadas por dos o más miembros separados de un igualdad (=). Uno o ambos de éstas partes debe tener a lo menos una variable conocida comoincógnita. La ecuaciones se satisfacen sólo para determinados valores de o las incógnitas, los cuales son conocidos como soluciones o ra´ıces de la ecuación

3.1. Ecuaciones de Primer Grado

Son aquellas en las cuales la o las variables presentes est´an elevadas a 1. Algunas reglas para la resoluci´on de ecuaciones son:

A toda igualdad se le puede agregar o quitar una cantidad sin alterarla, siempre que se haga sobre ambos lados de dicha igualdad.

Toda igualdad puede ser multiplicada y/o dividida en ambos lados por cualquier n´umero real distinto de 0 manteni´endose la igualdad inalterable.

Toda ecuaci´on de primer grado con una variable se puede escribir de la formaax+b= 0 y es de los valores deaybde los cuales depende la cantidad de soluciones que vamos a tener:

• Si a6= 0, entonces existe una ´unica soluci´on.

• Si a= 0, b= 0, existen infinitas soluciones

• Si a= 0, b6= 0 , no existen soluciones

Para la resolución de problemas de planteo donde participen ecuaciones, será importante recordar algunas frases delenguaje algebraicoque podrán ser de utilidad:

LENGUAJE COTIDIANO LENGUAJE ALGEBRAICO

Un n´umero cualquiera x

Sucesor de un número x+ 1 Antecesor de un número x−1 Doble, duplo, dos veces, número par, múltiplo de 2 2x

Triple, triplo, tres veces, m´ultiplo de 3 3x

Cuadruplo de un n´umero 4x

Cuadrado de un n´umero x2

Cubo de un n´umero x3

Mitad, medio de un n´umero 1₂x, x₂ Tercera parte, tercio de un n´umero 1₃x, x₃

Inverso Multiplicativo 1_x Número Impar 2x+ 1, 2x−1 Semi suma de dos números x+₂y Semi diferencia de dos números x−₂y

N´umeros Consecutivos x, x+ 1, x+ 2, x+ 3, ...

N´umeros pares consecutivos 2x,2x+ 2,2x+ 4, ...

N´umeros impares consecutivos 2x+ 1,2x+ 3,2x+ 5, ...

M´ultiplos consecutivos de 4 4x,4x+ 4,4x+ 8, ...

M´ultiplos consecutivos de 5 5x,5x+ 5,5x+ 10, ...

(17)

1) Encuentre la soluci´on de las siguientes ecuaciones: 1. 5y+ 6y−81 = 7y+ 102 + 65y

2. x−[5 + 3x−(5x−(6 +x))] =−3

3. 3x·(x−3) + 5·(x+ 7)−x·(x+ 1)−2·(x2+ 7) + 4 = 0 4. 14−(5x−1)·(2x+ 3) = 17−(10x+ 1)·(x−6)

5. 7·(x−4)2₋₃_·₍_x_{+ 5)}2_{= 4}_·₍_x_{+ 1)}_·₍_x₋₁₎₋₂

6. (x+ 2)·(x+ 3)·(x−1) = (x+ 4)·(x+ 4)·(x−4) + 7

7. 2x+ 7 3 −

2(x2₋₄₎

5x −

4x2₋₆

15x =

7x2_{+ 6}

3x2

8. 1

x−1− 2

x−2 = 3 2x−2 −

21₃ 2x−4

9. 3x−1

x2_{+ 7}_x_{+ 12} =

1 2x+ 6+

7 6x+ 24

2) La suma de tres n´umeros pares consecutivos es 96 . Hallar los n´umeros.

3) Dividir el n´umero 200 en dos partes tales que , dividiendo la primera parte por 16 y la segunda por 10 , la diferencia entre sus cuocientes sea 6.

4) Encontrar dos n´umeros enteros consecutivos tales que la diferencia entre la mitad del primero y la tercera parte del segundo sea igual a la diferencia entre la cuarta parte del segundo y la quinta parte del primero.

3.2. Ecuaciones de Segundo Grado

Es una igualdad donde el máximo exponente de la variable es 2, pudiendo aparecer términos con la variable elevada a 1 e incluso términos independientes. La ecuación cuadrática se puede representar de manera general como.

ax2+bx+c= 0

Siendoa, b, cconstantes, con a6= 0. Busquemos la soluci´on de esta ecuaci´on:

ax2+bx+c= 0

a(x2+b

ax+ c a) = 0

Comoa6= 0 se tiene que:

x2+b

ax=− c a

Completando cuadrados se tiene que:

x2+ b 2a2x+

b2

4a2 =−

c a+

b2

4a2

(x+ b 2a)

2₌ b 2₋₄_ac

4a2

x+ b 2a =±

r

b2₋₄_ac

4a2

x+ b 2a =±

s

b2₋₄_ac

√

(18)

x=−b

2a± √

b2₋₄_ac

2a

x= −b±

√

b2₋₄_ac

2a

Por lo tanto las ra´ıces de una ecuaci´on de segundo grado ser´ıan:

x= −b+

√

b2₋₄_ac

2a

x= −b−

√

b2₋₄_ac

2a

Dentro de esta f´ormula distinguiremos a la cantidad sub radical, llanadaDiscriminante, que simbolizaremos como4:

4=b2−4ac

Analizando este discriminante podremos conocer la cantidad de ra´ıces de la ecuaci´on de segundo grado:

Si 4>0, la ecuaci´on tiene dos soluciones reales y distintas.

Si 4= 0, la ecuaci´on tiene una soluci´on real.

Si 4<0, la ecuaci´on no tiene soluciones reales.

Recuerde del cap´ıtulo de factorización que también podemos resolver una ecuación del tipox2₊_bx₊_c_{= 0}

buscando dos n´umeros que multiplicados denc y sumados denb. Ejemplo:

x2+ 5x+ 6 = 0

(x+ 2)(x+ 3) = 0

Se sabe que al menos uno de los dos factores debe ser cero, por lo tanto: x+ 2 = 0 ox+ 3 = 0. Por lo tanto:

x=−2 ox=−3.

1) Encuentre la soluci´on de las siguientes ecuaciones: 1. 6x2₋₁₃_x_{+ 6 = 0}

2. 6x2+ 5x= 1

3. abx2_{+ (}_a2₋₂_b2₎_·_x_{= 2}_ab

4. (6x−5)·(5x−4)−(4x−3)·(3x−2) = 22

5. (2x−3) : 7 = (2x+ 2) : (3x+ 2)

6. 7x−5 10x−3 =

5x−3 6x+ 1

7. 9x+45

x = 86

2) Formar las ecuaciones que tengan como ra´ıces: 1. 2 +√5 y 2−√5.

2. 9₄ y−5 6

3) ¿Qu´e valor debe tenerken la ecuaci´onx2₋₂₍_k_{+ 1) + 2}_k_{+ 1 = 0 para que:}

1. El producto de sus ra´ıces sea igual a 3.

(19)

4) ¿ Qu´e n´umero multiplicado por 30 es 1000 unidades menor que su cuadrado ?

5) La hipotenusa de un triángulo rectángulo es 25 metros y la suma de sus catetos es 35 metros.¿ Cuánto miden los catetos ?

6) ¿ Para qu´e valor demla ecuaci´onx2_{+ 2(}_m_{+ 2)}_x_{+ 9}_m_{= 0 tiene ra´ıces iguales ?}

7) Un hombre desea construir una caja met´alica abierta. La caja debe tener :una base cuadrada, 10 cm de altura y una capacidad de 6.760 cm3 . Determine el tama˜no de la pieza cuadrada de metal que se debe comprar para construir la caja

3.3. Sistemas de Ecuaciones

Resolver su sistema de ecuaciones consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen todas las ecuaciones que participan en el sistema. En el caso de Sistemas de Ecuaciones de 2 incógnitas y 2 ecuaciones, existen 3 métodos básicos que permiten encontrar las soluciones:

Método por Igualación: Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones, y luego igualarlas para formar una sola ecuación con una sola incógnita.

Ejemplo:

8x + 3y = 23 5x + y = 10

Despejando y de cada ecuaci´on:

y = 23−₃8x

y = 10−5x

Igualando ambas ecuaciones:

23−8x

3 = 10−5x 23−8x= 30−15x

7x= 7

x= 1

Ahora, por sustituci´on, se calculay:

y = 10−5x y = 10−5

y = 5

Método por Sustitución: Consiste en despejar una incógnita de alguna de las ecuaciones para luego susti-tuirla en la segunda ecuación, de esta manera se obtiene un ecuación con una sola incógnita.

Ejemplo:

8x + 3y = 23

5x + y = 10 =⇒ y= 10−5x

(20)

8x+ 3(10−5x) = 23 8x+ 30−15x = 23

−7x = −7

x = 1 =⇒ y = 10−5x y = 10−5

y = 5

Método por reducción: Recordemos que en una igualdad podemos sumar o multiplicar una misma cantidad a ambos lados sin alterarla y que además podemos sumar o restar dos igualdades, obteniendo una tercera igualdad tamb´ıen válida. La idea de este método es obtener inteligentemente una tercera ecuación que contenga sólo una de las incógnitas.

Ejemplo:

8x + 3y = 23 5x + y = 10

Conviene igualar los coeficientes dey multiplicando la segunda ecuaci´on por 3 y luego restar miembro a miembro ambas ecuaciones:

8x + 3y = 23 15x + 3y = 30

−7x = −7

x = 1

Ahora el valor dexse sustituye en cualquiera de las ecuaciones dadas y se obtiene el valor dey.

5 + y = 10

y = 5

Ejercicios Propuestos : Resuelva los siguientes sistemas:

1) x + y = 7

2x − y = 5

2) 2x + 3y = 6 5x − y = −2

3) x + y = 18

5xy = 400

4) x

2 ₊ _y2 ₌ ₁₈₀