GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 27 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES
ECUACIÓN DE LA RECTA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A(x1, y1)
y B(x2, y2), se determina mediante la expresión:
COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), las coordenadas del punto medio del segmento AB
son
EJEMPLOS
1. La distancia entre los puntos A(8, 5) y B(3, 15) es
A) 5 5 B) 5 3 C) 2 5 D) 2 E) 5 xm= x + x1 2
2 , ym= 1 2 y + y
2 dAB= (x x ) + (y y )2 1 2 2 1 2
0 x1 x2
y1
y2
A
B y
x ym
xm
M
0 x1 x2
y1
y2
A
B y
x x2 x1
y2 y1
C u r s o :
Matemática
2. El punto medio del trazo cuyos extremos son los puntos A(-5,-2) y B(7,-8) es
A) (-6,5) B) (6,-5) C) (-1,-5) D) (1,-5) E) (1,5)
3. ¿Cuánto mide el radio de una circunferencia de diámetro AB cuyas coordenadas son A(1, -8) y B(-5, 0)?
A) 4 5 B) 5 C) 10 D) 10 E) 5
4. En la circunferencia del ejercicio 3, ¿cuáles son las coordenadas del centro?
A) (6, -8) B) (-2,-4) C) (-4,-8) D) (2,4) E) (2,-4)
5. En la figura 1, el punto medio del trazo MN es (3,4), entonces ¿cuál es la abscisa de M?
A) 0 B) 1 C) 4 D) 6 E) -1
6. ¿Cuál es el punto de intersección de las diagonales del rectángulo cuyos vértices tienen coordenadas (1,4), (-3,4), (-3,-4) y (1,-4)?
A) (-3,0) B) (-2,0) C) (-1,0) D) (0,-1) E) (0,-2)
7. Si los puntos P(4,-2), Q(4,6) y R(1,2) son los vértices de un triángulo, entonces el perímetro de este es
A) 5 B) 12
C) 18 D) 21
N
M
8
5
y
PENDIENTE DE UNA RECTA
Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje x, en sentido antihorario, desde el eje x hacia la recta)
RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Sea el ángulo de inclinación y seamla pendiente de la recta L. Entonces:
( = 0º) si y sólo si (m = 0) (0º 90º) si y sólo si (m 0)
( = 90º), si y sólo si (m no está definida) (90º 180º) si y sólo si (m 0)
EJEMPLOS
1. Los puntos A(1, 3) y B(3, -2) pertenecen a una recta cuya pendiente es A) -2
B) - 2 5 C) - 4 5 D) - 5 4 E) - 5 2
m = tg = BPPA =
2 1
2 1
y y x x
y
x 0
L
L tiene pendiente positiva
y
x 0
L
L es paralela al eje y
y
x 0
L
L tiene pendiente negativa y
x 0
L es paralela al eje x L
y2 – y1
y2
y1 A
B
P
x1 x2
L
x y
x2 – x1
2. De acuerdo a la figura 1, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) La pendiente de L1 es positiva.
II) La pendiente de L2 es cero.
III) La pendiente de L3 es negativa.
A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III
3. ¿Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente 6?
A) B) C) D) E)
4. ¿Cuál debe ser el valor de a en el punto C para que los puntos A(2,5), B(-1,-4) y C(a,-10) sean colineales?
A) -3 B) -5 C) -6 D) 3 E) 1
5. Dada la recta L (fig. 2) y los puntos A(1, -3), B(4, k), ¿cuál debe ser el valor de kpara que las pendientes de las rectas L y AB sean iguales?
A) 0 B) 1 C) 3 D) 3 4 E) - 3 4
x y
1
-6 x
y
1 6
x y
-1
6 x
y
1 6
x y
-1 6
fig. 2
x y
-4
3
L
fig. 1
x y
L1
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA
m =pendiente, m = - A B n =coeficiente de posición
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO A (x1, y1) Y TIENE PENDIENTE DADA m
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS A(x1, y1) y B(x2, y2)
ECUACIÓN DE SEGMENTOS O CANÓNICA
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes. a ≠ 0 y b ≠ 0
(a, 0) es el punto del eje X (0, b) es el punto del eje Y
EJEMPLOS
1. La ecuación general de la recta que pasa por el punto (3, 2) y tiene pendiente -2 es
A) 2x – y – 8 = 0 B) 2x – y + 8 = 0 C) 2x + y – 8 = 0 D) 2x + y + 8 =0 E) 2x + y + 4 =0
2. La ecuación principal de la recta que pasa por el punto (-3,6) y tiene pendiente 2 3 es
A) y = 2 3x – 8 B) y = 2
3x + 8 C) y = 2
3x – 4 D) y = x
3 2 + 4
E) y = x 3
2 + 15
y = mx + n
(y – y1) = m(x – x1)
(y – y1) = 2 1
2 1
y y x x
(x – x1)
x +y a b = 1
3. La ecuación general de la recta que pasa por los puntos 3, 1 2
y
1 1,
-2
es
A) x + 4y – 1 = 0 B) x + 4y + 1 = 0 C) x – 4y – 1 = 0 D) x – 4y – 3 = 0 E) x – 4y – 5 = 0
4. ¿Cuál es la ecuación de la recta que representa el gráfico de la figura 1?
A) -4x – 5y = 20 B) -5x + 4y = -20 C) 4x + 5y = 20 D) 5x + 4y = 20 E) 5x + 4y = -20
5. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa a la recta que pasa por el punto (2, -3) y tiene pendiente 0?
A) B) C)
D) E)
6. ¿Qué valor debe tener k para que la recta (k + 2)x + (2k + 4)y + 1 = 0 pase por el punto (-1, 1)?
A) - 7 3 B) - 5 3 C) -1 D) -3 E) 3
x y
-4
-5
L
fig. 1
x y
2
-3
x y
2
-3
x y
2
-3
x y
2
-3
x y
2
RECTAS PARALELAS
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales o ambas tienen pendientes que se indeterminan.
Sean L1y L2rectas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Entonces:
RECTAS PERPENDICULARES
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1 ó cuando en una de las rectas la pendiente es cero y en la otra la pendiente se indetermina. Sean L1y L2rectas de pendientes m1 y m2, respectivamente. Entonces:
EJEMPLOS
1. ¿Cuál de las siguientes alternativas representa una recta paralela a la recta de la figura 1?
A) 5x – 2y = -10 B) 4x + 10y = -11 C) 6x + 15y = -12 D) -2x + 5y = 0 E) -10x – 4y = -3
2. ¿Qué valor debe tener k en la ecuación (k + 3)x – 5y = 0 para que sea paralela a la recta de la figura 2?
A) -8 B) -2 C) 1 D) 2 E) 6
Si m1 y m2pertenece a los reales, entonces
L1// L2 si y sólo si m1= m2
Si m1y m2 pertenecen a los reales, entonces
L1L2 si y sólo si m1· m2= -1
fig. 1
x y
-5
2
fig. 2
-2
x y
L
45º
L1
L2
0 x
y
L1 L2
0 x
3. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una recta perpendicular a la recta de ecuación x – 2y + 4 = 0?
A) x + 2y = 2 B) -x – 2y = 4 C) 2x – y = 1 D) x – 2y = -2 E) 4x + 2y = -1
4. ¿Qué valor debe tener k para que las rectas 2x + (k + 1)y = 0 y x – 3y = 6 sean perpendiculares?
A) -7 B) -5 C) - 1
3 D)
3 1
E) - 5 3
5. ¿Cuál es el valor del parámetro k en la recta (k – 2)x + 2ky – 5 = 0 para que sea paralela a la recta 3x + 2y – 7 = 0?
A) -1 B) -4 C)
2 1
D) 1 E) 5
RESPUESTAS
Ejemplos
Págs. 1 2 3 4 5 6 7
1 y 2 A D E B B C C
3 y 4 E D B A E
5 y 6 C B C E C D
7 y 8 D D E C A
DMCAMA27
