6 3 Movimientos Particulares

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(1)Tema VI. Movimientos Particulares. 1º Bachillerato. Cuestiones Previas: •. ¿?. ESTUDIO DEL MOVIMIENTO: CASOS PARTICULARES Desarrollo del tema: 1. Introducción. 2. Movimiento Rectilíneo Uniforme (M.R.U). 3. Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (M.R.U.A). 4. Movimiento Circular Uniforme (M.C.U). 5. Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (M.C.U.A). 6. Composición de Movimientos: Tiro parabólico. I.. INTRODUCCIÓN. En este tema a partir de las características de los distintos movimientos y teniendo en cuenta la definición de las distintas magnitudes se van ha obtener las ecuaciones que rigen cada uno de los movimientos de mayor interés. Hasta ahora a partir de la ecuación del movimiento r(t) por derivación se obtenían el resto de las magnitudes cinemáticas V(t), a(t),...etc. Ahora vamos a seguir el proceso inverso, es decir, dada la aceleración vamos ha obtener el resto de las magnitudes cinemáticas por integración, aunque realmente nunca vamos a integrar. Nota Matemática al final.. II.. MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME.. Suponemos que la partícula se encuentra en el instante inicial t0 en el punto del espacio r(t0) = r0= x0i + y0j con la velocidad inicial V0= v0xi + v0yj, siendo el instante inicial t0=0 por comodidad. Si t0 es distinto de cero (t0≠0) se hace un corrimiento de tiempos, es decir, t=t-t0 de manera que el instante inicial sea t0=0, siendo t el tiempo transcurrido. Por ser movimiento rectilíneo uniforme :. Por ser rectilíneo: an=0 ⇒ τ=Cte⇒ dir(V)=Cte Por ser uniforme: at=0 ⇒ ⏐V⏐= V0=Cte. G drG V= dt. ⎫ ⎧ en módulo G G ⎪ te ⎪ Luego = = y V V C ⎬ ⎨ 0 ⎪ ⎪ ⎩en dirección ⎭. Por definición de velocidad y al ser esta constante G ∆Gr G G G G G Luego ∆r = V·∆t ⇒ r − r0 = V·(t − t0 ) Si se toma t0=0 ⇒ V= ∆t G G G r = V·t + r0 Para ∀t>0 Ecuación vectorial del M.R.U.. 6_2 Movimientos Particulares. Página 1 de 8.

(2) Tema VI. Movimientos Particulares. 1º Bachillerato. Donde: ¾ r es la posición de la partícula en cualquier instante t>=0 ¾ V=V0 es la velocidad de la partícula en el instante inicial t0=0. ¾ r0 es la posición de la partícula en el instante inicial t0=0 ¾ t es el tiempo transcurrido desde el instante inicial (t0=0). La ecuación del movimiento se puede escribir en coordenadas cartesianas quedando: ⎧ r =V t + r G G G ⎪ x 0x 0x r ( t ) = V0 t + r0 Que en cartesianas ⎨ry = V0 y t + roy ⎪r = V t + r 0z 0z ⎩z. Por ser la trayectoria rectilínea siempre se podrá hacer una traslación de los ejes del S.R., de tal manera que uno de los ejes del S.R. coincida con la trayectoria, o bien trabajar en la dirección tangente a la trayectoria Ut, de esta manera las ecuaciones vectoriales, en el plano o el espacio, quedan como vectoriales X de una sola componente que pueden ser tratadas como si fueran. Y Y′. X′. Trayec. r0. escalares.. Trabajando sobre la trayectoria, las ecuaciones que rigen el movimiento son: G G S ( t ) = ( V0t + S (t 0 ) )·U t y V (t ) = V0 ⋅ U t = C Te. Al tratarse de un movimiento rectilíneo, se puede tomar como sistema de referencia uno de tal forma que el eje OX coincida con la trayectoria de la partícula por la que la ecuación anterior se puede escribir como: G X (t ) = (V0 ·t + X ( t 0 ) )·iˆ que puede ser tratada escalarmente X (t ) = V0 ·t + X ( t 0 ) Gráficamente: V(m/s). S(m). V0. S0 t(s). 6_2 Movimientos Particulares. α. ∆S. tg α =. G ∆S = V0 ∆t. El signo indica el sentido.. ∆t t(s). Página 2 de 8.

(3) Tema VI. Movimientos Particulares. 1º Bachillerato. Resumiendo :. • Ecuaciones vectoriales:. • Ecuaciones escalares:. G G G r ( t ) = V0 t + r0 en cartesianas. ⎧ rx =V0 xt + r0 x ⎪⎪ ⎨ry = V0 y t + roy ⎪ ⎪⎩ rz = V0 z t + r0 z. X ( t ) = V0 ·t + X (t 0 ). Actividades:. 1. Un tren se encuentra a 250 km de la estación y se acerca a 80 km/h en línea recta. Determinar a qué distancia se encontrará de la estación al cabo de media hora, y el tiempo que invertirá en llegar a la estación. 2. Un coche parte con una velocidad constante de 80 km/h, siguiendo una trayectoria rectilínea. Media hora más tarde sale otro vehículo en su parsecucuión a una velocidad de 100 km/h, en la misma dirección y sentido que el primero. Calcular donde se encontrará el primer coche cuando en el momento en que sale el segundo. Calcular el tiempo que tardará en alcanzar el segundo vehículo al primero así como la distancia a la que se encuentran del punto de partida.. III.. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO.. Al igual que para el M.R.U. suponemos que una partícula en el instante inicial t0 se encuentra en el punto del espacio r(t0)=r0 y con una velocidad V(t0)=V0 Para simplificar el calculo supondremos que t0=0, que es lo más usual, en caso contrario siempre es posible hacer un corrimiento de tiempos, t=t-t0. Por ser movimiento rectilíneo uniforme acelerado : Por rectilíneo: an=0 ⇒ τ=Cte ⇒ dir(V)=Cte Por uniforme acelerado at=Cte ⇒ a=at⋅τ. Modulo ⎫ G G te ⎧ ⎬ ⇒ a = at = C ⎨ ⎭ ⎩direccion. Teniendo en cuenta la descomposición de la aceleración en sus componentes G G G G intrínsecas: a=a + a = a n t t Partiendo de la definición de la aceleración y al ser esta constante: G G G G G G G G dV G ∆V a= ⇒ a= ⇒ ∆V=a·∆t ⇒ V(t) − V(t 0 )=a·(t-t 0 ) Tomando t0=0 queda: dt ∆t G G G G G G V ( t ) = at ⋅ t + V0 ⇒ V ( t ) = a ⋅ t + V0 Velocidad de la partícula en cualquier instante t>=0 Donde: ¾ V es la velocidad de la partícula en cualquier instante t>=0. ¾ a es la aceleración de la partícula, que por ser rectilíneo coincide con la aceleración tangencial. 6_2 Movimientos Particulares. Página 3 de 8.

(4) Tema VI. Movimientos Particulares. 1º Bachillerato. ¾ V0 es la velocidad de la partícula en el instante inicial t0=0 ¾ t es el tiempo transcurrido desde el instante inicial (t0=0). Como la dirección de la at coincide con la de la velocidad se puede trabajar en la dirección tangente a la trayectoria, o lo que es lo mismo, hacer que uno de los ejes del S.R. coincida con la trayectoria, de esta manera las ecuaciones vectoriales quedarán como vectoriales de una sola componente, trabajando con ellas como si fuesen escalares (módulos). V = a t ⋅ t + V0. Al tratarse de un movimiento rectilíneo, se puede tomar como sistema de referencia uno de tal forma que el eje OX coincida con la trayectoria de la partícula por la que la ecuación anterior se puede escribir como: G G G G G V = ( at ⋅ t + V0 )·i o escalarmente V(t) = a ⋅ t + V0 Para obtener la ecuación del movimiento r(t) se parte de la definición de la velocidad. La velocidad es la derivada de la posición de la partícula. Para obtener la ecuación del movimiento basta con encontrar la forma general que debería de tener r(t) para que al derivar nos de la ecuación de la velocidad que se ha obtenido anteriormente. Como la velocidad es una función polinómica de primer grado en t, r(t) tiene que ser una polinómica de segunda grado en t. a saber: G G G 1G G G G r (t ) = at ⋅ t 2 + V0 ⋅ t + r0 Cuya derivada es V ( t ) = at ⋅ t + V0 2 G 1G G G Sustituyendo queda: r (t ) = a ⋅ t 2 + V0 ⋅ t + r0 Ecuación del movimiento siendo a=at 2 Donde: ¾ r es la posición de la partícula en cualquier instante t>=0. ¾ a es la aceleración de la partícula, que por ser rectilíneo coincide con la aceleración tangencial (a=at). ¾ V0 es la velocidad de la partícula en el instante inicial t0=0 ¾ r0 es la posición de la partícula en el instante inicial t0=0 ¾ t es el tiempo transcurrido desde el instante inicial (t0=0). Estas ecuaciones vectoriales son válidas para cualquier movimiento de aceleración constante Al igual que en el caso del M.R.U. Si se elige uno de los ejes del S.R. coincidente con la trayectoria, todos los vectores tendrán como dirección la de la propia trayectoria, Ut, pudiendo trabajar con las ecuaciones vectoriales como si fuesen escalares.. 6_2 Movimientos Particulares. Página 4 de 8.

(5) Tema VI. Movimientos Particulares. 1º Bachillerato. Y Y′. 1 2 a t + V0t + S0 2 t V (t ) = at t + V0. X′. S (t ) =. Trayec. r0 X Al tratarse de un movimiento rectilíneo, se puede tomar como sistema de referencia uno de tal forma que el eje OX coincida con la trayectoria de la partícula por la que la ecuación anterior se puede escribir como: 1 2 a t + V0t + x0 2 t. X (t ) =. V ( t ) = at t + V0. Gráficamente:. S. V. V0. t0. 2t0. t -V0. 2t0 t0. t. Resumiendo las ecuaciones:. • Vectoriales :. G G 1G G r = a t ⋅ t 2 + V0 ⋅ t + r0 2. • Escalares :. S( t ) =. 1 a t 2 + V0 t + S 0 2 t. G G G V( t ) = a t ⋅ t + V0 V( t ) = a t t + V0. Actividades:. 3. Un vehículo parte del reposo con una aceleración de 2 m/s2 y acelera durante 25 segundos. A continuación mantiene la velocidad durante 10 segundos, y finalmente frena con aceleración constante y se detiene en 5 segundos. Dibuja las gráficas aceleración – tiempo, velocidad –tiempo y espacio – tiempo. 4. Desde una altura de 7 m se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo A con velocidad de 40 m/s. a. Calcular altura máxima que alcanza, tiempo de vuelo y velocidad de impacto. 6_2 Movimientos Particulares. Página 5 de 8.

(6) Tema VI. Movimientos Particulares. 1º Bachillerato. b. Si en el mismo instante en que se lanza el cuerpo A se lanza otro cuerpo B desde una altura de 60 m. Calcular el punto de encuentro de ambos cuerpos. c. Gráficas velocidad –tiempo y espacio – tiempo. IV.. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.. Al igual que en los casos anteriores suponemos que el instante inicial es t0=0 y que la partícula parte de un punto situado a una distancia S0 del origen (medida sobre la trayectoria) y con una velocidad V0 (en módulo) Teniendo en cuenta las características del movimiento : Por uniforme at=0 ⇒ ⏐V⏐=⏐V0⏐Cte V2 te =C Por ser circular ρ=R=Cte y a n = R Como la trayectoria es conocida se puede dar la posición de la partícula dando la distancia, medida sobre la propia trayectoria, a la que se encuentra, y ver el movimiento circular como si fuese un movimiento rectilíneo con la característica de que una vez que se completa un vuelta se comienza de nuevo, lo que permite trabajar con las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniforme en forma escalar. V = V0 = C te ⎫⎪ ⎛ S=θ⋅R ⎞ ⎟ ⇒ ⎬ con ⎜ ⎝ V =ω⋅R⎠ S( t ) = V ⋅ t + S 0 ⎪⎭. ⎧⎪θ = ω ⋅ t + θ 0 ⎨ ⎪⎩ω = C te. Es frecuente en los movimientos circulares dar el ángulo barrido en forma de vueltas, para pasar a radianes hay que recordar que una vuelta equivale a 2⋅π radianes. Luego : N=. θ 2 ⋅π. Igualmente se suele dar la velocidad angular en revoluciones por minuto (r.p.m.) 1 r. p. m. =. 2⋅π rd / s 60. Gráficas iguales al movimiento rectilíneo uniforme. Actividades:. 5. Un disco de 20 cm. de radio gira a 45 revoluciones por minuto. Calcular la velocidad angular en rd/s, la velocidad lineal de un punto de la periferia, la aceleración normal de de un punto de la periferia y el número de vueltas que dará en 5 minutos. 6. Un volante de 0,5 m de radio gira a razón de 300 r.p.m. Calcular el tiempo que tardará en dar 500 vueltas.. V.. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO.. Al igual que en el caso anterior, se supone que el instante inicial es t0=0, que se trabajo dando la distancia sobre la trayectoria (S). A partir de las características del movimiento : Por uniforme acelerado at=Cte 6_2 Movimientos Particulares. Página 6 de 8.

(7) Tema VI. Movimientos Particulares. 1º Bachillerato. V2 te te Por ser circular ρ=R=C y a n = ≠C R Trabajando sobre la trayectoria. ⎛S = θ ⋅ R ⎞ 1 ⎫ ⎟ ⎜ a t ⋅ t 2 + V0 ⋅ t + S 0 ⎪ 2 ⎬ con ⎜ V = ω ⋅ R ⎟ ⎜a = α ⋅ R⎟ ⎪ V = a t ⋅ t + V0 ⎭ ⎠ ⎝ t. 1 ⎧ ⎪θ = α ⋅ t 2 + ω ⋅ t + θ 0 ⇒ ⎨ 2 ⎪⎩ω = α ⋅ t + ω 0. S( t ) =. Actividades:. 7. Un volante de 0,5 m de radio gira a razón de 300 r.p.m., en un momento dado actúa el freno que lo detiene en 5 s. Calcular a. La velocidad angular inicial en rd/s b. Número de vueltas que el volante da antes de detenerse. c. Aceleración tangencial y normal de un punto de la periferia cuando han pasado 3 s desde que se aplicó el freno.. VI.. COMPOSICIÓN DE MOVIMIENTOS: TIRO PARABÓLICO.. Hasta ahora se han considerado movimientos simples, que tienen lugar en una única dirección del espacio, sin embargo hay multitud de movimientos que tienen lugar en dos dimensiones, estos movimientos se pueden obtener como composición de dos o más movimientos simples, de tal manera que la posición, velocidad y aceleración se obtiene como suma vectorial de las posiciones velocidades y aceleraciones de los movimientos a componer. Se supone que estos movimientos tienen lugar en las proximidades de la tierra, donde la aceleración existente es constante y de valor g=-9.8 j (m/s ). Las magnitudes que intervienen son: G r (t ) = x (t ) iˆ + y (t ) ˆj V (t ) = Vxiˆ + V y ˆj G ˆ ˆ ⎪⎧r0 = r0 x i + r0 y j C.I:en t 0 =0 ⎨ G ⎪⎩V0 = V0 x iˆ + V0 y ˆj G G a = g = −9.8 ˆj ≈ −10 ˆj ( m 2 ) s t0 = 0. Y V0 h0=y0 x0. X. Por ser un movimiento de aceleración constante, las ecuaciones vectoriales que rigen el movimiento serán: G G G 1G G G G r (t ) = a ⋅ t 2 + V0 ⋅ t + r0 V (t ) = a ⋅ t + V0 2 6_2 Movimientos Particulares. Página 7 de 8.

(8) Tema VI. Movimientos Particulares. 1º Bachillerato. G G Sustituyendo a = g se obtienen :. G 1G G G r (t ) = g ⋅ t 2 + V0 ⋅ t + r0 2 G G V (t ) = g ⋅ t + V0. Ecuaciones vectoriales que rigen el tiro parabólico. Sustituyendo cada magnitud por su valor: 1 Xiˆ + Yjˆ = g ⋅ ˆj ⋅ t 2 + V0 x iˆ + V0 y ˆj ⋅ t + x0iˆ + y0 ˆj 2 Donde g=- 9,8 m/s2 Vx iˆ + Vy ˆj = g ⋅ ˆj ⋅ t + V0 x iˆ + V0 y ˆj. ( (. ) ). (. ). (. ). Separando por componentes queda: ⎧X = V t + x """" MRU"""" V = V = C te ⎫ 0x 0 x 0x ⎪ ⎪ 2 ⎨ ⎬ con g=- 9,8 m/s 1 2 ⎪Y = g ⋅ t + Voy ⋅ t + y 0 "" MRUA""" Vy = g ⋅ t + V0 y ⎪ 2 ⎭ ⎩ Luego un tiro parabólico puede ser interpretado como si fuese una composición de dos movimientos independientes, un MRU en el eje X y un MRUA con aceleración g en el eje Y. (principio de galileo de independencia de movimientos). Leer Nota matemática: Integral indefinida y definida.. •. ∫ f′. (x). = f ( x ) + C te Donde f′(x) es la derivada de f(x) y la constante está relacionada. con las condiciones de partida, las condiciones iniciales (C.I.). Para resolver el problema, desde el punto de vista físico, habrá que determinar su valor en cada problema concreto. • Otro. planteamiento. más. adecuado. para. el. nivel. de. COU. es :. x2. ∫f′. (x). ⋅ dx =f ( x 2 ) − f ( x 1 ) ,.. x1. El estudio general, para una aceleración a(t) arbitraria, es muy complejo, por lo que vamos a estudiar los casos particulares, que a la vez son los de mayor interés desde el punto de vista práctico, los movimientos rectilíneos y circulares. G G G dV G a= ⇒ V(t) = ∫ a ( t ) ⋅ dt + C te → r ( t ) = ∫ V ( t ) ⋅dt + C te dt. 6_2 Movimientos Particulares. Página 8 de 8.

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