Sistemas de ecuaciones no lineales

Sistemas de ecuaciones no lineales

Curso: M ´etodos Num ´ericos en Ingenier´ıa

Profesor: Dr. Jos ´e A. Otero Hern ´andez

Correo: [email protected]

beamer-tu-logo

T ´

opicos

1

_{INTRODUCCI ´}

_ON

Sistema de ecuaciones no lineales

2

_{ITERACI ´}

_{ON DE PUNTO FIJO}

Presentaci ´on del m ´etodo

Programa MATLAB

Condici ´on de convergencia

3

_{NEWTON-RAPHSON}

Presentaci ´on del m ´etodo

Programa MATLAB

T ´

opicos

1

_{INTRODUCCI ´}

_ON

Sistema de ecuaciones no lineales

2

_{ITERACI ´}

_{ON DE PUNTO FIJO}

Presentaci ´on del m ´etodo

Programa MATLAB

Condici ´on de convergencia

3

_{NEWTON-RAPHSON}

beamer-tu-logo Sistema de ecuaciones no lineales

¿Qu ´e es un sistema de ecuaciones no lineales?

f

1

(

x

1

, x

2

, ..., x

n

) = 0

,

f2

(

x1, x2

, ..., x

n

) = 0

,

..

.

f

n

(

x1, x2, ..., x

n

) = 0

.

¿Qu ´e es un sistema de ecuaciones no lineales?

x

i

, i

= 1

,

2

, . . . , n

→

Inc ´ognitas

f

i

, i

= 1

,

2

, . . . , n

→

Funciones no lineales con respecto

x

i

Ejemplos

u

(

x, y

) =

x

2

+

x y

−

10 = 0

Sistema de ecuaciones no lineales

Soluci ´

on

Si

x

s

= [

x

s

₁

, x

s

₂

, ..., x

s

_n

], es la soluci ´on del sistema de

ecuaciones

Entonces:

f

i

(x

s

) = 0, para

i

= 1

,

2

, . . . , n

Soluci ´

on exacta

Los sistemas de ecuaciones no lineales no tienen soluci ´on

exacta o anal´ıtica.

beamer-tu-logo

T ´

opicos

1

_{INTRODUCCI ´}

_ON

Sistema de ecuaciones no lineales

2

_{ITERACI ´}

_{ON DE PUNTO FIJO}

Presentaci ´on del m ´etodo

Programa MATLAB

Condici ´on de convergencia

3

_{NEWTON-RAPHSON}

Presentaci ´on del m ´etodo

Programa MATLAB

Presentaci ´on del m ´etodo

M ´etodos de iteraci ´

on de punto fijo

El m ´etodo de iteraci ´on de punto fijo estudiado anteriormente

puede modificarse para resolver un sistema de ecuaciones no

lineales simultaneas.

beamer-tu-logo Presentaci ´on del m ´etodo

Ejemplos I

Busquemos la soluci ´on del sistema de ecuaciones no lineales:

u

(

x, y

) =

x

2

₊

_{x y}

₋

_{10 = 0}

v

(

x, y

) =

y

+ 3

x y

2

−

57 = 0

Hallar la funci ´on

g

x

(

x, y

):

g

x

(

x, y

) =

10

−

x

2

y

Hallar la funci ´on

g

y

(

x, y

):

Presentaci ´on del m ´etodo

Algoritmo

x

i

+1

=

g

x

(

x

i

, y

i

)

y

i

+1

=

g

y

(

x

i

+1

, y

i

)

Algoritmo: Ejemplos I

x

i

+1

=

10−

x

y

y

i

+1

= 57

−

3

x

i

+1

y

i

2

beamer-tu-logo Programa MATLAB f u n c t i o n p u n t o f i j o s e n v 1 ( gx , gy , x0 , y0 , EE) % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % p u n t o f i j o s e n v 1 : Nombre de l a f u n c i o n % V a l o r e s de e n t r a d a % gx : f u n c i o n matematica de entrada−>x=gx ( x , y ) % gy : f u n c i o n matematica de entrada−>y=gy ( x , y ) % x0 : V a l o r de i n i c i a l de x % y0 : V a l o r de i n i c i a l de y % EE : E r r o r Estimado % V a l o r e s de s a l i d a % S a l i d a : Ra i z x , EA x , R ai z y , EA y % IM : I t e r a c i o n Maxima % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % IM = 1 ; x ( IM ) =x0 ; y ( IM ) =y0 ; EAx ( IM ) = 1 0 ˆ 3 ; EAy ( IM ) = 1 0 ˆ 3 ;

while EAx ( IM )>EE | | EAy ( IM )>EE

x ( IM +1)=gx ( x ( IM ) , y ( IM ) ) ; y ( IM +1)=gy ( x ( IM +1) , y ( IM ) ) ; EAx ( IM +1)=abs( ( x ( IM +1)−x ( IM ) ) / x ( IM +1) )∗100; EAy ( IM +1)=abs( ( y ( IM +1)−y ( IM ) ) / y ( IM +1) )∗100; IM=IM + 1 ;

end

S a l i d a 1 = [ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str( IM−1) ] ;

S a l i d a 2 = [ x ( 2 :s i z e( x , 2 ) ) ’ EAx ( 2 :s i z e( x , 2 ) ) ’ y ( 2 :s i z e( y , 2 ) ) ’ EAy ( 2 :s i z e( y , 2 ) ) ’ ] ; disp( ’ ’ )

disp( S a l i d a 1 ) disp( ’ ’ )

disp( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ ) disp( S a l i d a 2 )

Programa MATLAB

>>p u n t o f i j o s e n v 1 (@( x , y ) (10−x ˆ 2 ) / y ,@( x , y ) 57−3∗x∗y ˆ 2 , 1 . 5 , 3 . 5 , 0 . 0 0 1 )

I t e r a c i o n Maxima=106

Raiz x EApro x Raiz y EApro y

1 . 0 e+154∗ 0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 −0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 . . . . . . . . . . . . 0.0000 0.0000 −0.0066 0.0000 −0.0000 0.0000 0.1976 0.0000 0.0000 0.0000 −5.9275 0.0000 −0.0000 0.0000 I n f NaN

beamer-tu-logo Programa MATLAB

Ejemplos II

Busquemos la soluci ´on del sistema de ecuaciones no lineales:

u

(

x, y

) =

x

2

₊

_{x y}

₋

_{10 = 0}

v

(

x, y

) =

y

+ 3

x y

2

−

57 = 0

Hallar la funci ´on

g

x

(

x, y

):

g

x

(

x, y

) =

p

10

−

xy

Hallar la funci ´on

g

y

(

x, y

):

g

y

(

x, y

) =

r

57

−

y

Programa MATLAB

Algoritmo

x

i

+1

=

√

10

−

x

i

y

i

y

i

+1

=

q

57−

y

3

x

beamer-tu-logo Programa MATLAB

>>p u n t o f i j o s e n v 1 (@( x , y ) (10−x∗y ) ˆ 0 . 5 ,@( x , y ) ((57−y ) / ( 3∗x ) ) ˆ 0 . 5 , 1 . 5 , 3 . 5 , 0 . 0 0 1 )

I t e r a c i o n Maxima=11

Raiz x EApro x Raiz y EApro y 2.1794 31.1753 2.8605 22.3560 1.9405 12.3118 3.0496 6.1991 2.0205 3.9557 2.9834 2.2171 1.9930 1.3762 3.0057 0.7419 2.0024 0.4673 2.9981 0.2552 1.9992 0.1601 3.0007 0.0870 2.0003 0.0547 2.9998 0.0298 1.9999 0.0187 3.0001 0.0102 2.0000 0.0064 3.0000 0.0035 2.0000 0.0022 3.0000 0.0012 2.0000 0.0007 3.0000 0.0004

Condici ´on de convergencia

Convergencia

∂g

x

∂x

+

∂g

x

∂y

<

1

∂g

y

∂x

+

∂g

y

∂y

<

1

beamer-tu-logo

T ´

opicos

1

_{INTRODUCCI ´}

_ON

Sistema de ecuaciones no lineales

2

_{ITERACI ´}

_{ON DE PUNTO FIJO}

Presentaci ´on del m ´etodo

Programa MATLAB

Condici ´on de convergencia

3

_{NEWTON-RAPHSON}

Presentaci ´on del m ´etodo

Programa MATLAB

Presentaci ´on del m ´etodo

M ´etodos de Newton-Raphson

El m ´etodo de Newton-Raphson estudiado anteriormente puede

modificarse para resolver un sistema de ecuaciones no lineales

simultaneas.

beamer-tu-logo Presentaci ´on del m ´etodo

Serie de Taylor de multiples variables

u

i

+1

=

u

i

+ (

x

i

+1

−

x

i

)

∂u

i

∂x

+ (

y

i

+1

−

y

i

)

∂u

i

∂y

v

i

+1

=

v

i

+ (

x

i

+1

−

x

i

)

∂v

i

∂x

+ (

y

i

+1

−

y

i

)

∂v

i

∂y

Considerando

u

i

+1

=

v

i

+1

= 0

,

para las ra´ıces aproximadas,

llegamos a un sistema de ecuaciones para determinar

x

i

+1

y

y

i

+1

:

Serie de Taylor de multiples variables

x

i

+1

∂u

i

∂x

+

y

i

+1

∂u

i

∂y

=

−

u

i

+

x

i

∂u

i

∂x

+

y

i

∂u

i

∂y

x

i

+1

∂v

i

∂x

+

y

i

+1

∂v

i

∂y

=

−

v

i

+

x

i

∂v

i

∂x

+

y

i

∂v

i

∂y

Presentaci ´on del m ´etodo

F ´

ormula de Newton-Raphson

x

i

+1

=

x

i

−

u

i

∂v

_∂y

−

v

i

∂u

_∂y

∂u

∂x

∂v

∂y

−

∂u

∂y

∂v

∂x

y

i

+1

=

y

i

−

v

i

∂u

_∂x

−

u

i

∂v

_∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

−

∂u

∂y

∂v

∂x

beamer-tu-logo Programa MATLAB f u n c t i o n newtonraphsonsenv1 ( u , v , x0 , y0 , EE) % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % newtonraphsonSENv1 : Nombre de l a f u n c i o n % V a l o r e s de e n t r a d a % u , v : f u n c i o n e s matematicas de e n t r a d a % x0 : V a l o r de i n i c i a l de x , y0 : V a l o r de i n i c i a l de y0 , EE : E r r o r Estimado % V a l o r e s de s a l i d a

% S a l i d a : IM : I t e r a c i o n Maxima , Raiz y E r r o r Aproximado

% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %

syms x y

dux=@( xx , yy ) subs (d i f f( u , x ) ,{x , y},{xx , yy}) ; duy=@( xx , yy ) subs (d i f f( u , y ) ,{x , y},{xx , yy}) ; dvx=@( xx , yy ) subs (d i f f( v , x ) ,{x , y},{xx , yy}) ; dvy=@( xx , yy ) subs (d i f f( v , y ) ,{x , y},{xx , yy}) ; IM = 1 ; r x ( IM ) =x0 ; r y ( IM ) =y0 ; EAx ( IM ) = 1 0 ˆ 3 ; EAy ( IM ) = 1 0 ˆ 3 ; while ( EAx ( IM )>EE) | | ( EAy ( IM )>EE)

r x ( IM +1)= r x ( IM )−(u ( r x ( IM ) , r y ( IM ) )∗dvy ( r x ( IM ) , r y ( IM ) )−v ( r x ( IM ) , r y ( IM ) ) . . . ∗duy ( r x ( IM ) , r y ( IM ) ) ) / ( dux ( r x ( IM ) , r y ( IM ) )∗dvy ( r x ( IM ) , r y ( IM ) )−. . . duy ( r x ( IM ) , r y ( IM ) )∗dvx ( r x ( IM ) , r y ( IM ) ) ) ; r y ( IM +1)= r y ( IM )−(v ( r x ( IM ) , r y ( IM ) )∗dux ( r x ( IM ) , r y ( IM ) )−u ( r x ( IM ) , r y ( IM ) ) . . . ∗dvx ( r x ( IM ) , r y ( IM ) ) ) / ( dux ( r x ( IM ) , r y ( IM ) )∗dvy ( r x ( IM ) , r y ( IM ) )−. . . duy ( r x ( IM ) , r y ( IM ) )∗dvx ( r x ( IM ) , r y ( IM ) ) ) ; EAx ( IM +1)=abs( ( r x ( IM +1)−r x ( IM ) ) / r x ( IM +1) )∗100; EAy ( IM +1)=abs( ( r y ( IM +1)−r y ( IM ) ) / r y ( IM +1) )∗100; IM=IM + 1 ; end

S a l i d a 1 = [ ’ I t e r a c i o n Maxima= ’ ,num2str( IM−1) ] ;

S a l i d a 2 = [ r x ( 2 :s i z e( rx , 2 ) ) ’ EAx ( 2 :s i z e( rx , 2 ) ) ’ r y ( 2 :s i z e( ry , 2 ) ) ’ EAy ( 2 :s i z e( ry , 2 ) ) ’ ] ; disp( ’ ’ ) ;disp( S a l i d a 1 )

disp( ’ ’ ) ;disp( ’ Raiz x EApro x Raiz y EApro y ’ ) disp( S a l i d a 2 )

Programa MATLAB

>>newtonraphsonsev1 (@( x , y ) x ˆ2+ x∗y−10,@( x , y ) y+3∗x∗y ˆ 2−5 7 , 1 . 5 , 3 . 5 , 0 . 0 0 1 )

I t e r a c i o n Maxima=4

Raiz x EApro x Raiz y EApro y 2.0360 26.3272 2.8439 23.0715 1.9987 1.8676 3.0023 5.2764 2.0000 0.0650 3.0000 0.0763 2.0000 0.0000 3.0000 0.0000