Polinomios b´asicos de Lagrange

(1)

Polinomios b´

asicos de Lagrange

Egor Maximenko

http://www.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional, ESFM, M´exico

(2)

Ejemplo. Construir un polinomio P de grado 2 tal que P(−3) = 1, P(1) = 0, P(4) = 0.

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) = (x − 1) (x − 4). x = −3 : 1 = c(−3 − 1)(−3 − 4), c = 1 (−3 − 1)(−3 − 4). P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). Respuesta: P(x ) = 4 − 5x + x 2 28 = 1 7− 5 28x + 1 28x 2_.

(3)

Ejemplo. Construir un polinomio P de grado 2 tal que P(−3) = 1, P(1) = 0, P(4) = 0. (−3,1) (1,0) (4,0) x = −3 : 1 = c(−3 − 1)(−3 − 4), c = 1 (−3 − 1)(−3 − 4). P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). Respuesta: P(x ) = 4 − 5x + x 2 28 = 1 7− 5 28x + 1 28x 2_.

(4)

(−3,1)

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) =

x = −3 : 1 = c(−3 − 1)(−3 − 4), c = 1 (−3 − 1)(−3 − 4). P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). Respuesta: P(x ) = 4 − 5x + x 2 28 = 1 7− 5 28x + 1 28x 2_.

(5)

(−3,1)

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) = (x − 1)

(6)

(−3,1)

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) = (x − 1) (x − 4)

(7)

Ejemplo. Construir un polinomio P de grado 2tal que P(−3) = 1, P(1) = 0, P(4) = 0.

(−3,1)

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) = q(x )(x − 1) (x − 4).

x = −3 : 1 = c(−3 − 1)(−3 − 4), c = (−3 − 1)(−3 − 4). P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). Respuesta: P(x ) = 4 − 5x + x 2 28 = 1 7− 5 28x + 1 28x 2_.

(8)

Ejemplo. Construir un polinomio P de grado 2tal que P(−3) = 1, P(1) = 0, P(4) = 0.

(−3,1)

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) = c (x − 1) (x − 4).

x = −3 : 1 = c(−3 − 1)(−3 − 4), c = (−3 − 1)(−3 − 4). P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). Respuesta: P(x ) = 4 − 5x + x 2 28 = 1 7− 5 28x + 1 28x 2_.

(9)

(−3,1)

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) = c (x − 1) (x − 4). x = −3 : 1 = c(−3 − 1)(−3 − 4), c = (−3 − 1)(−3 − 4). P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). Respuesta: P(x ) = 4 − 5x + x 2 28 = 1 7− 5 28x + 1 28x 2_.

(10)

(−3,1)

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) = c (x − 1) (x − 4). x = −3 : 1 = c(−3 − 1)(−3 − 4), c = (−3 − 1)(−3 − 4). P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). Respuesta: P(x ) = 4 − 5x + x 2 28 = 1 7− 5 28x + 1 28x 2_.

(11)

(−3,1)

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) = c (x − 1) (x − 4). x = −3 : 1 = c(−3 − 1)(−3 − 4), c = 1 (−3 − 1)(−3 − 4). P(x ) = (−3 − 1)(−3 − 4). Respuesta: P(x ) = 4 − 5x + x 2 28 = 1 7− 5 28x + 1 28x 2_.

(12)

(−3,1)

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) = c (x − 1) (x − 4). x = −3 : 1 = c(−3 − 1)(−3 − 4), c = 1 (−3 − 1)(−3 − 4). P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). Respuesta: P(x ) = 28 = 7−28x +28x 2_.

(13)

P(−3) = 1, P(1) = 0, P(4) = 0.

(−3,1)

(1,0) (4,0)

Soluci´on. Buscamos P en la forma P(x ) = c (x − 1) (x − 4). x = −3 : 1 = c(−3 − 1)(−3 − 4), c = 1 (−3 − 1)(−3 − 4). P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). Respuesta: P(x ) = 4 − 5x + x 2 28 = 1 7 − 5 28x + 1 28x 2_.

(14)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

Comprobaci´on. Verifiquemos que

P(−3) = 1, P(1) = 0, P(4) = 0.

Usamos el algoritmo de divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini):

4 −5 1 −3 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X 4 0 −1 1 P(4) = 0 _X

(15)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

P(−3) = 1, P(1) = 0, P(4) = 0. Usamos el algoritmo de divisi´on sint´etica (Horner–Ruffini):

4 −5 1 −3 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X 4 0 −1 1 P(4) = 0 X

(16)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1 −3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 X 4 0 −1 1 P(4) = 0 X

(17)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1 −3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 X 4 0 −1 1 P(4) = 0 X

(18)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1 −3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 X 4 0 −1 1 P(4) = 0 X

(19)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1 −3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 X 4 0 −1 1 P(4) = 0 X

(20)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1 −3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 X 4 0 −1 1 P(4) = 0 X

(21)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1 −3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X 4 X

(22)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1 −3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X 4 X

(23)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1 −3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X 4 X

(24)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1 −3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X 4 X

(25)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1

−3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X

4

(26)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1

−3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X 4

(27)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1

−3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X

4 1

(28)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1

−3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X

(29)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x2

28 .

4 −5 1

−3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X

(30)

P(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4) =

4 − 5x + x

28 .

4 −5 1

−3 28 −8 1 P(−3) = 1 X 1 0 −4 1 P(1) = 0 X 4 0 −1 1 P(4) = 0 X

(31)

Tres polinomios b´

asicos de Lagrange

asociados a los puntos −3, 1, 4

(−3,1) (1,0) (4,0) (−3,0) (4,0) (−3,0) (1,1) (4,0) L1(−3) = 1, L1(1) = 0, L1(4) = 0, L1(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). L2(−3) = 0, L2(1) = 1, L2(4) = 0, L2(x ) = (x + 3)(x − 4) (1 + 3)(1 − 4). L3(−3) = 0, L3(1) = 0, L3(4) = 1, L3(x ) = (x + 3)(x − 1) (4 + 3)(4 − 1).

(32)

Tres polinomios b´

asicos de Lagrange

asociados a los puntos −3, 1, 4

(1,0) (4,0) (−3,0) (1,1) (4,0) (−3,0) (1,1) L1(−3) = 1, L1(1) = 0, L1(4) = 0, L1(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). L2(−3) = 0, L2(1) = 1, L2(4) = 0, L2(x ) = (x + 3)(x − 4) (1 + 3)(1 − 4). L3(−3) = 0, L3(1) = 0, L3(4) = 1, L3(x ) = (x + 3)(x − 1) (4 + 3)(4 − 1).

(33)

Tres polinomios b´

asicos de Lagrange

asociados a los puntos −3, 1, 4

(1,0) (4,0) (−3,0) (1,1) (4,0) (−3,0) (1,1) L1(−3) = 1, L1(1) = 0, L1(4) = 0, L1(x ) = (x − 1)(x − 4) (−3 − 1)(−3 − 4). L2(−3) = 0, L2(1) = 1, L2(4) = 0, L2(x ) = (x + 3)(x − 4) (1 + 3)(1 − 4). L3(−3) = 0, L3(1) = 0, L3(4) = 1, L3(x ) = (x + 3)(x − 1) (4 + 3)(4 − 1).

(34)

Tres polinomios b´

asicos de Lagrange

asociados a los puntos −3, 1, 4

(35)

Tres polinomios b´

asicos de Lagrange

asociados a los puntos −3, 1, 4

(36)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

Sean x1, x2, x3 tres n´umeros diferentes a pares.

en x1 en x2 en x3 L1(x ) = (x1− x2)(x1− x3) = 1≤k≤3 k6=1 x1− xk 1 0 0 L2(x ) = (x − x1)(x − x3) (x2− x1)(x2− x3) = Y 1≤k≤3 k6=2 x − xk x2− xk 0 1 0 L3(x ) = (x − x1)(x − x2) (x3− x1)(x3− x2) = Y 1≤k≤3 k6=3 x − xk x3− xk 0 0 1 Lj(x ) = Y 1≤k≤3 k6=j x − xk xj − xk , Lj(xs) = ( 1, si j = s; 0, si j 6= s.

(37)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

en x1 en x2 en x3 L1(x ) = (x − x2)(x − x3) (x1− x2)(x1− x3) = 1≤k≤3 k6=1 x1− xk 1 0 0 L2(x ) = (x − x1)(x − x3) (x2− x1)(x2− x3) = Y 1≤k≤3 k6=2 x − xk x2− xk 0 1 0 L3(x ) = (x − x1)(x − x2) (x3− x1)(x3− x2) = Y 1≤k≤3 k6=3 x − xk x3− xk 0 0 1 Lj(x ) = Y 1≤k≤3 k6=j x − xk xj − xk , Lj(xs) = ( 1, si j = s; 0, si j 6= s.

(38)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

en x1 en x2 en x3 L1(x ) = (x − x2)(x − x3) (x1− x2)(x1− x3) = Y 1≤k≤3 k6=1 x − xk x1− xk 1 0 0 L2(x ) = (x2− x1)(x2− x3) = 1≤k≤3 k6=2 x2− xk 0 1 0 L3(x ) = (x − x1)(x − x2) (x3− x1)(x3− x2) = Y 1≤k≤3 k6=3 x − xk x3− xk 0 0 1 Lj(x ) = Y 1≤k≤3 k6=j x − xk xj − xk , Lj(xs) = ( 1, si j = s; 0, si j 6= s.

(39)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

en x1 en x2 en x3 L1(x ) = (x − x2)(x − x3) (x1− x2)(x1− x3) = Y 1≤k≤3 k6=1 x − xk x1− xk 1 0 0 L2(x ) = (x − x1)(x − x3) (x2− x1)(x2− x3) = 1≤k≤3 k6=2 x2− xk 0 1 0 L3(x ) = (x − x1)(x − x2) (x3− x1)(x3− x2) = Y 1≤k≤3 k6=3 x − xk x3− xk 0 0 1 Lj(x ) = Y 1≤k≤3 k6=j x − xk xj − xk , Lj(xs) = ( 1, si j = s; 0, si j 6= s.

(40)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

en x1 en x2 en x3 L1(x ) = (x − x2)(x − x3) (x1− x2)(x1− x3) = Y 1≤k≤3 k6=1 x − xk x1− xk 1 0 0 L2(x ) = (x − x1)(x − x3) (x2− x1)(x2− x3) = Y 1≤k≤3 k6=2 x − xk x2− xk 0 1 0 L3(x ) = (x3− x1)(x3− x2) = 1≤k≤3 k6=3 x3− xk 0 0 1 Lj(x ) = Y 1≤k≤3 k6=j x − xk xj − xk , Lj(xs) = ( 1, si j = s; 0, si j 6= s.

(41)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

en x1 en x2 en x3 L1(x ) = (x − x2)(x − x3) (x1− x2)(x1− x3) = Y 1≤k≤3 k6=1 x − xk x1− xk 1 0 0 L2(x ) = (x − x1)(x − x3) (x2− x1)(x2− x3) = Y 1≤k≤3 k6=2 x − xk x2− xk 0 1 0 L3(x ) = (x − x1)(x − x2) (x3− x1)(x3− x2) = 1≤k≤3 k6=3 x3− xk 0 0 1 Lj(x ) = Y 1≤k≤3 k6=j x − xk xj − xk , Lj(xs) = ( 1, si j = s; 0, si j 6= s.

(42)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

en x1 en x2 en x3 L1(x ) = (x − x2)(x − x3) (x1− x2)(x1− x3) = Y 1≤k≤3 k6=1 x − xk x1− xk 1 0 0 L2(x ) = (x − x1)(x − x3) (x2− x1)(x2− x3) = Y 1≤k≤3 k6=2 x − xk x2− xk 0 1 0 L3(x ) = (x − x1)(x − x2) (x3− x1)(x3− x2) = Y 1≤k≤3 k6=3 x − xk x3− xk 0 0 1 Lj(x ) = Y 1≤k≤3 k6=j x − xk xj − xk , Lj(xs) = 1, si j = s; 0, si j 6= s.

(43)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

(44)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

(45)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

(46)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

en x1 en x2 en x3 L1(x ) = (x − x2)(x − x3) (x1− x2)(x1− x3) = Y 1≤k≤3 k6=1 x − xk x1− xk 1 0 0 L2(x ) = (x − x1)(x − x3) (x2− x1)(x2− x3) = Y 1≤k≤3 k6=2 x − xk x2− xk 0 1 0 L3(x ) = (x − x1)(x − x2) (x3− x1)(x3− x2) = Y 1≤k≤3 k6=3 x − xk x3− xk 0 0 1 Lj(x ) = Y 1≤k≤3 k6=j x − xk xj − xk , Lj(xs) = ( 1, si j = s; 0, si j 6= s.

(47)

Polinomios b´

asicos de Lagrange para tres puntos

en x1 en x2 en x3 L1(x ) = (x − x2)(x − x3) (x1− x2)(x1− x3) = Y 1≤k≤3 k6=1 x − xk x1− xk 1 0 0 L2(x ) = (x − x1)(x − x3) (x2− x1)(x2− x3) = Y 1≤k≤3 k6=2 x − xk x2− xk 0 1 0 L3(x ) = (x − x1)(x − x2) (x3− x1)(x3− x2) = Y 1≤k≤3 k6=3 x − xk x3− xk 0 0 1 Lj(x ) = Y 1≤k≤3 k6=j x − xk xj− xk , Lj(xs) = δj,s = ( 1, si j = s; 0, si j 6= s.

(48)

Ejercicio

Construir los polinomios b´asicos de Lagrange L1, L2, L3 para los puntos

x1= −3, x2 = −1, x3 = 5. Respuesta: L1(x ) = ( )( ) ( − 2 )( − 8 ) = 16 , L2(x ) = (x + 3)(x − 5) (2)(−6) = −15 − 2x + x2 −12 , L3(x ) = (x + 3)(x + 1) (8)(6) = 3 + 4x + x2 48 .

(49)

Ejercicio

Construir los polinomios b´asicos de Lagrange L1, L2, L3 para los puntos

x1= −3, x2 = −1, x3 = 5. Respuesta: L1(x ) = (x + 1)(x − 5) ( − 2)( − 8) = − 5 − 4x + x2 16 , L2(x ) = (x + 3)(x − 5) (2)(−6) = −15 − 2x + x2 −12 , L3(x ) = (x + 3)(x + 1) (8)(6) = 3 + 4x + x2 48 .

(50)

Ejercicio (f´

ormulas para 4 puntos)

Sean x1, x2, x3, x4 cuatro n´umeros diferentes a pares.

Entonces L2 tiene las siguientes propiedades:

deg(L2) = , L2(x1) = 0 , L2(x2) = 1 , L2(x3) = 0 , L2(x4) = 0 . El polinomio L2 se calcula por la f´ormula

L2(x ) = (x − x1)(x − x3)(x − x4) (x2− x1)(x2− x3)(x2− x4) = Y 1≤ k≤ 4 k6=2 x − xk x2− xk .

(51)

Ejercicio (f´

ormulas para 4 puntos)

Sean x1, x2, x3, x4 cuatro n´umeros diferentes a pares.

Entonces L2 tiene las siguientes propiedades:

deg(L2) = 3,

L2(x1) = 0, L2(x2) = 1, L2(x3) = 0, L2(x4) = 0.

El polinomio L2 se calcula por la f´ormula

L2(x ) = (x − x1)(x − x3)(x − x4) (x2− x1)(x2− x3)(x2− x4) = Y 1≤ k≤ 4 k6=2 x − xk x2− xk .

(52)

F´

ormula general y propiedades principales

Sean x1, . . . , xn n´umeros diferentes a pares.

Para cada j en {1, . . . , n}, el j-´esimo polinomio b´asico de Lagrange es

Lj(x ) = Y 1 ≤ k ≤ n k6=j x − xk xj − xk .

Propiedades principales del polinomio Lj:

Lj(xs) = δj,s,

(53)

F´

ormula general y propiedades principales

Una notaci´on m´as precisa ser´ıa Lx1, ..., xn, j(x ).

Lj(xs) = δj,s,

(54)

F´

ormula general y propiedades principales

Una notaci´on m´as precisa ser´ıa Lx1, ..., xn, j(x ). Propiedades principales del polinomio Lj:

Lj(xs) = δj,s,

(55)

¿Qu´

e propiedades caracterizan

a los polinomios b´

asicos de Lagrange?

Sean x1, x2, x3 tres puntos diferentes a pares. Entonces el polinomio

L1(x ) = (x − x2)(x − x3) (x1− x2)(x1− x3) tiene propiedades L1(x1) = 1, L1(x2) = 0, L1(x3) = 0. f (x ) = L1(x ) ((x − x1)2015+ 1). Entonces f (x1) = 1, f (x2) = 0, f (x3) = 0.

(56)

¿Qu´

e propiedades caracterizan

a los polinomios b´

asicos de Lagrange?

Sean x1, x2, x3 tres puntos diferentes a pares. Entonces el polinomio

L1(x ) =

(x − x2)(x − x3)

(x1− x2)(x1− x3)

tiene propiedades L1(x1) = 1, L1(x2) = 0, L1(x3) = 0.

Pero L1 no es el ´unico polinomio con estas propiedades. Sea

f (x ) = L1(x ) ((x − x1)2015+ 1).

(57)

¿Qu´

e propiedades caracterizan

a los polinomios b´

asicos de Lagrange?

Dados tres puntos diferentes x1, x2, x3, hay muchos polinomios f tales que

f (x1) = 1, f (x2) = 0, f (x3) = 0. (∗)

¿Por qu´e de todos ellos elegimos L1(x ) =

(x1− x2)(x1− x3)

? Porque L1 es:

el ´unico polinomio de grado 2 con propiedades (∗),

el polinomio de grado m´ınimo posible con propiedades(∗). Para demostrarlo, se usa un corolario del teorema del resto, a saber: La proposici´on sobre la divisibilidad entre un producto de binomios.

(58)

¿Qu´

e propiedades caracterizan

a los polinomios b´

asicos de Lagrange?

f (x1) = 1, f (x2) = 0, f (x3) = 0. (∗)

(x − x2)(x − x3)

(x1− x2)(x1− x3)

?

(59)

¿Qu´

e propiedades caracterizan

a los polinomios b´

asicos de Lagrange?

f (x1) = 1, f (x2) = 0, f (x3) = 0. (∗)

(x − x2)(x − x3)

(x1− x2)(x1− x3)

? Porque L1 es:

el polinomio de grado m´ınimo posible con propiedades(∗).

(60)

¿Qu´

e propiedades caracterizan

a los polinomios b´

asicos de Lagrange?

f (x1) = 1, f (x2) = 0, f (x3) = 0. (∗)

(x − x2)(x − x3)

(x1− x2)(x1− x3)

? Porque L1 es:

(61)

Proposici´

on sobre la divisibilidad de un polinomio

entre un producto de binomios

Sea f un polinomio y sean a1, . . . , am algunos ceros diferentes de f:

f (a1) = · · · = f (am) = 0.

Entonces(x − a1) · · · (x − am) | f (x ), esto es, existe un polinomioq tal que

(62)

Proposici´

on sobre los polinomios b´

asicos de Lagrange

Sean x1, . . . , xn algunos n´umeros diferentes a pares y sea j ∈ {1, . . . , n}.

Entonces existe un ´unico polinomio f de grado n − 1 tal que

∀s ∈ {1, . . . , n} f (xs) = δj,s. (∗)

(63)

Proposici´

on sobre los polinomios b´

asicos de Lagrange

Demostraci´on, inicio

∀s ∈ {1, . . . , n} f (xs) = δj,s. (∗)

Existencia. Tenemos un polinomio de grado n − 1 que cumple con(∗): Lj(x ) = Y k∈{1,...,n}\{j} x − xk xj − xk .

(64)

Proposici´

on sobre los polinomios b´

asicos de Lagrange

Demostraci´on, final

∀s ∈ {1, . . . , n} f (xs) = δj,s. (∗)

El grado n − 1 es el m´ınimo posible.

Supongamos que f cumple con (∗).

Entonces f tiene ra´ıces xs, s ∈ {1, . . . , n} \ {j}, y debe ser de la forma

f (x ) = q(x ) Y

k∈{1,...,n}\{j}

(x − xk).

Unicidad para el grado n − 1.

Supongamos que f cumple con (∗) y deg(f ) = n − 1. Entonces q debe ser una constante no nula: q(x ) = c.

(65)

Proposici´

on sobre los polinomios b´

asicos de Lagrange

∀s ∈ {1, . . . , n} f (xs) = δj,s. (∗)

f (x ) = q(x ) Y

k∈{1,...,n}\{j}

(x − xk).

De la condici´on f (xj) = 1 se sigue que q 6= 0, por eso deg(f ) ≥ n − 1.

(66)

Proposici´

on sobre los polinomios b´

asicos de Lagrange

∀s ∈ {1, . . . , n} f (xs) = δj,s. (∗)

f (x ) = q(x ) Y

k∈{1,...,n}\{j}

(x − xk).

Supongamos que f cumple con (∗) y deg(f ) = n − 1.

(67)

Proposici´

on sobre los polinomios b´

asicos de Lagrange

∀s ∈ {1, . . . , n} f (xs) = δj,s. (∗)

f (x ) = q(x ) Y

k∈{1,...,n}\{j}

(x − xk).

(68)

Planes para futuro

(para que sea más claro cómo programar el algoritmo). Aplicar los polinomios básicos de Lagrange

para construir el polinomio interpolante con la f´ormula de Lagrange.

(69)

Planes para futuro

Construir los polinomios básicos de Lagrange asociados a 4 puntos (para que sea más claro cómo programar el algoritmo).

(70)

Planes para futuro

Aplicar los polinomios b´asicos de Lagrange

(71)

Planes para futuro

Aplicar los polinomios b´asicos de Lagrange