TALLER: Problemas de olimpiadas matem´ aticas
John Cuya Jorge Tipe Emilio Gonzaga
Lima, 11 de febrero de 2014
VII COLOQUIO INTERNACIONAL sobre ense˜nanza de las matem´aticas
Sesi´ on 1 - Problema 1.a
Un n´ umero de cuatro cifras es llamado n´ umero conjeturable si todos sus d´ıgitos son distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros tres.
a)
¿Cu´ al es el menor n´ umero conjeturable?
b)
¿Cu´ ales son los dos menores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos
de 25?
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero conjeturable es 1023.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25,
50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 1, los cuales
son: 1225, 1825, 1450, 1650 y 1175. Por lo tanto, los dos
menores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 1450 y
1650.
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero conjeturable es
1023.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25,
50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 1, los cuales
son: 1225, 1825, 1450, 1650 y 1175. Por lo tanto, los dos
menores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 1450 y
1650.
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero conjeturable es 1023.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25,
50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 1, los cuales
son: 1225, 1825, 1450, 1650 y 1175. Por lo tanto, los dos
menores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 1450 y
1650.
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero conjeturable es 1023.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 ´ o 75.
Ahora hallaremos los que comienzan en 1, los cuales
son: 1225, 1825, 1450, 1650 y 1175. Por lo tanto, los dos
menores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 1450 y
1650.
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero conjeturable es 1023.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 1
, los cuales
son: 1225, 1825, 1450, 1650 y 1175. Por lo tanto, los dos
menores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 1450 y
1650.
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero conjeturable es 1023.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 1, los cuales son: 1225, 1825, 1450, 1650 y 1175.
Por lo tanto, los dos
menores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 1450 y
1650.
Sesi´ on 1 - Problema 1.a - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero conjeturable es 1023.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25,
50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 1, los cuales
son: 1225, 1825, 1450, 1650 y 1175. Por lo tanto, los dos
menores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 1450 y
1650.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b
Un n´ umero de cuatro cifras es llamado n´ umero conjeturable si todos sus d´ıgitos son distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros tres.
a)
¿Cu´ al es el mayor n´ umero conjeturable?
b)
¿Cu´ ales son los dos mayores n´ umeros conjeturables m´ ultiplos
de 25?
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a)
El mayor n´ umero conjeturable es 9810.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25,
50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales
son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8,
los cuales son: 8125 y 8350. Por lo tanto, los dos mayores
n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 9450 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a)
El mayor n´ umero conjeturable es
9810.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25,
50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales
son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8,
los cuales son: 8125 y 8350. Por lo tanto, los dos mayores
n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 9450 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a)
El mayor n´ umero conjeturable es 9810.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25,
50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales
son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8,
los cuales son: 8125 y 8350. Por lo tanto, los dos mayores
n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 9450 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a)
El mayor n´ umero conjeturable es 9810.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 ´ o 75.
Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales
son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8,
los cuales son: 8125 y 8350. Por lo tanto, los dos mayores
n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 9450 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a)
El mayor n´ umero conjeturable es 9810.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9
, los cuales
son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8,
los cuales son: 8125 y 8350. Por lo tanto, los dos mayores
n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 9450 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a)
El mayor n´ umero conjeturable es 9810.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales son: 9225 y 9450.
Ahora hallaremos los que comienzan en 8,
los cuales son: 8125 y 8350. Por lo tanto, los dos mayores
n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 9450 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a)
El mayor n´ umero conjeturable es 9810.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8
,
los cuales son: 8125 y 8350. Por lo tanto, los dos mayores
n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 9450 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a)
El mayor n´ umero conjeturable es 9810.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25, 50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8, los cuales son: 8125 y 8350.
Por lo tanto, los dos mayores
n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 9450 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.b - Soluci´ on
a)
El mayor n´ umero conjeturable es 9810.
b)
Un n´ umero conjeturable m´ ultiplo de 25 debe terminar en 25,
50 ´ o 75. Ahora hallaremos los que comienzan en 9, los cuales
son: 9225 y 9450. Ahora hallaremos los que comienzan en 8,
los cuales son: 8125 y 8350. Por lo tanto, los dos mayores
n´ umeros conjeturables m´ ultiplos de 25 son 9450 y 8350.
Sesi´ on 1 - Problema 1.c
Un n´ umero de cuatro cifras es llamado n´ umero conjeturable si todos sus d´ıgitos son distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros tres.
a)
¿Existe alg´ un entero positivo N tal que N y 5N son conjeturables?
b)
¿Existe alg´ un entero positivo N tal que N y N + 1 son
conjeturables?
Sesi´ on 1 - Problema 1.c - Soluci´ on
a)
S´ı. Algunos ejemplos son N = 1032, 1230, 1405 y 1450, donde 5N = 5160, 6150, 7025 y 7250, respectivamente.
b)S´ı. Algunos ejemplos son 4509, 5409, 5139 y 5319, donde
N + 1 = 4510, 5410, 5140 y 5320, respectivamente.
Sesi´ on 1 - Problema 1.c - Soluci´ on
a)
S´ı.
Algunos ejemplos son N = 1032, 1230, 1405 y 1450, donde 5N = 5160, 6150, 7025 y 7250, respectivamente.
b)S´ı. Algunos ejemplos son 4509, 5409, 5139 y 5319, donde
N + 1 = 4510, 5410, 5140 y 5320, respectivamente.
Sesi´ on 1 - Problema 1.c - Soluci´ on
a)
S´ı. Algunos ejemplos son N =
1032,1230,1405y
1450,donde 5N =
5160,6150,7025y
7250, respectivamente.b)
S´ı. Algunos ejemplos son 4509, 5409, 5139 y 5319, donde
N + 1 = 4510, 5410, 5140 y 5320, respectivamente.
Sesi´ on 1 - Problema 1.c - Soluci´ on
a)
S´ı. Algunos ejemplos son N = 1032, 1230, 1405 y 1450, donde 5N = 5160, 6150, 7025 y 7250, respectivamente.
b)
S´ı.
Algunos ejemplos son 4509, 5409, 5139 y 5319, donde
N + 1 = 4510, 5410, 5140 y 5320, respectivamente.
Sesi´ on 1 - Problema 1.c - Soluci´ on
a)
S´ı. Algunos ejemplos son N = 1032, 1230, 1405 y 1450, donde 5N = 5160, 6150, 7025 y 7250, respectivamente.
b)
S´ı. Algunos ejemplos son
4509,5409,5139y
5319, dondeN + 1 =
4510,5410,5140y
5320, respectivamente.Sesi´ on 1 - Problema 1.d
Un n´ umero de cuatro cifras es llamado n´ umero conjeturable si todos sus d´ıgitos son distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros tres.
D´ e tres n´ umeros enteros positivos N, de 3 cifras distintas cada
uno, tales que en la secuencia 10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9
haya exactamente 0, 1 y 2 n´ umeros conjeturables respectivamente.
Sesi´ on 1 - Problema 1.d - Soluci´ on
•
Si N = 345, 457, 569 ´ o 289, entonces hay 0 n´ umeros conjeturables en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
•
Si N = 234, 125, 809 ´ o 369, entonces hay exactamente 1 n´ umero conjeturable en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
•
Si N = 103, 123, 126 ´ o 136, entonces hay exactamente 2 n´ umeros conjeturables en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1.d - Soluci´ on
•
Si N =
345,457,569´ o
289, entonces hay 0 n´umeros conjeturables en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
•
Si N = 234, 125, 809 ´ o 369, entonces hay exactamente 1 n´ umero conjeturable en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
•
Si N = 103, 123, 126 ´ o 136, entonces hay exactamente 2 n´ umeros conjeturables en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1.d - Soluci´ on
•
Si N = 345, 457, 569 ´ o 289, entonces hay 0 n´ umeros conjeturables en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
•
Si N =
234,125,809´ o
369, entonces hay exactamente 1n´ umero conjeturable en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
•
Si N = 103, 123, 126 ´ o 136, entonces hay exactamente 2 n´ umeros conjeturables en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1.d - Soluci´ on
•
Si N = 345, 457, 569 ´ o 289, entonces hay 0 n´ umeros conjeturables en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
•
Si N = 234, 125, 809 ´ o 369, entonces hay exactamente 1 n´ umero conjeturable en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
•
Si N =
103,123,126´ o
136, entonces hay exactamente 2n´ umeros conjeturables en la secuencia
10N, 10N + 1, 10N + 2, . . . , 10N + 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1
Un n´ umero de dos o m´ as cifras es llamado n´ umero
poli-conjeturable si todos sus d´ıgitos son distintos y uno de ellos es igual a la suma de los otros d´ıgitos.
a)
Hallar el menor y mayor n´ umero poli-conjeturable.
b)
Si N y N + 1 son poli-conjeturables, probar que N es m´ ultiplo de 9.
c)
¿Existen dos o m´ as n´ umeros poli-conjeturables de tal modo
que cada d´ıgito 0, 1, 2, . . . , 9 aparezca en exactamente uno de
los n´ umeros?
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la
suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras
y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la
suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0
, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la
suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es
123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la
suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123.
El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la
suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras
y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la
suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9
, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la
suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es
96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la
suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la
suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la suma de las cifras de N es par.
Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos pares
, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos pares, N debe terminar en d´ıgito 9.
Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a la suma de los otros d´ıgitos
, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
a)
El menor n´ umero poli-conjeturable debe tener 3 cifras y no debe tener d´ıgito 0, entonces el menor n´ umero
poli-conjeturable es 123. El mayor n´ umero poli-conjeturable debe tener 5 cifras y debe comenzar en 9, entonces el mayor n´ umero poli-conjeturable es 96210.
b)
Notemos que si N es un n´ umero poli-conjeturable, entonces la
suma de las cifras de N es par. Adem´ as, para que la suma de
las cifras de N y la suma de las cifras de N + 1 sean ambos
pares, N debe terminar en d´ıgito 9. Luego, 9 debe ser igual a
la suma de los otros d´ıgitos, entonces la suma de las cifras de
N es 18, lo cual implica que N es m´ ultiplo de 9.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
c)
No es posible.
Sabemos que la suma de las cifras de un n´ umero policonjeturable es par, entonces si sumamos las sumas de las cifras de un conjunto de n´ umeros
poli-conjeturables, entonces esta suma tambi´ en es par. Ahora, supongamos que cada d´ıgito 0, 1, 2, . . . , 9 aparece en
exactamente uno de los n´ umeros, entonces
0 + 1 + 2 + · · · + 9 = 45 es par, lo cual es absurdo.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
c)
No es posible. Sabemos que la suma de las cifras de un n´ umero policonjeturable es par,
entonces si sumamos las sumas de las cifras de un conjunto de n´ umeros
poli-conjeturables, entonces esta suma tambi´ en es par. Ahora, supongamos que cada d´ıgito 0, 1, 2, . . . , 9 aparece en
exactamente uno de los n´ umeros, entonces
0 + 1 + 2 + · · · + 9 = 45 es par, lo cual es absurdo.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
c)
No es posible. Sabemos que la suma de las cifras de un n´ umero policonjeturable es par, entonces si sumamos las sumas de las cifras de un conjunto de n´ umeros
poli-conjeturables, entonces esta suma tambi´ en es par.
Ahora, supongamos que cada d´ıgito 0, 1, 2, . . . , 9 aparece en
exactamente uno de los n´ umeros, entonces
0 + 1 + 2 + · · · + 9 = 45 es par, lo cual es absurdo.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
c)
No es posible. Sabemos que la suma de las cifras de un n´ umero policonjeturable es par, entonces si sumamos las sumas de las cifras de un conjunto de n´ umeros
poli-conjeturables, entonces esta suma tambi´ en es par. Ahora, supongamos que cada d´ıgito 0, 1, 2, . . . , 9 aparece en
exactamente uno de los n´ umeros,
entonces
0 + 1 + 2 + · · · + 9 = 45 es par, lo cual es absurdo.
Sesi´ on 1 - Problema 1 - Soluci´ on
c)
No es posible. Sabemos que la suma de las cifras de un n´ umero policonjeturable es par, entonces si sumamos las sumas de las cifras de un conjunto de n´ umeros
poli-conjeturables, entonces esta suma tambi´ en es par. Ahora, supongamos que cada d´ıgito 0, 1, 2, . . . , 9 aparece en
exactamente uno de los n´ umeros, entonces
0 + 1 + 2 + · · · + 9 = 45 es par, lo cual es absurdo.
Sesi´ on 1 - Problema 2.a
¿Ser´ a posible distribuir los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en las
casillas de un tablero de 3 × 3, un n´ umero por casilla, de tal modo
que la suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un
lado en com´ un nunca sea divisible por 3?
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2
0 0
0 1 1 1
2 2
2 →
3 6
9 7 1 4
5 8
2
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2
0 0
0 1 1 1
2 2
2 →
3 6
9 7 1 4
5 8
2
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2
0 0
0 1 1 1
2 2
2 →
3 6
9 7 1 4
5 8
2
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2
0 0
0 1 1 1
2 2
2 →
3 6
9 7 1 4
5 8
2
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2
0 0
0
1 1 1
2 2
2 →
3 6
9 7 1 4
5 8
2
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2
0 0
0
1 1 12 2
2 →
3 6
9 7 1 4
5 8
2
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2
0 0
0 1 1 1
2 2 2
→ 3
6 9 7 1 4
5 8
2
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2
0 0
0 1 1 1
2 2
2 →
3 6
9 7 1 4
5 8
2
Sesi´ on 1 - Problema 2.a - Soluci´ on
S´ı es posible.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 2, 2
0 0
0 1 1 1
2 2
2 →
3 6
9 7 1 4
5 8
2
Sesi´ on 1 - Problema 2.b
Los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 son distribuidos en las casillas
de un tablero de 3 × 3, un n´ umero por casilla, de tal modo que la
suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un lado en
com´ un es siempre impar. ¿Cu´ ales n´ umeros pueden estar en el
casillero del centro?
Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0
1 1
1 1 1 0
0 0
0
Luego, en el casillero del centro puede estar cualquiera de los
n´ umeros 1, 3, 5, 7 ´ o 9.
Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0
1 1
1 1 1 0
0 0
0
Luego, en el casillero del centro puede estar cualquiera de los
n´ umeros 1, 3, 5, 7 ´ o 9.
Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0
1 1
1 1 1 0
0 0
0
Luego, en el casillero del centro puede estar cualquiera de los
n´ umeros 1, 3, 5, 7 ´ o 9.
Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0
1 1
1 1 1
0 0 0
0
Luego, en el casillero del centro puede estar cualquiera de los
n´ umeros 1, 3, 5, 7 ´ o 9.
Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0
1 1
1 1 1
00 0
0
Luego, en el casillero del centro puede estar cualquiera de los
n´ umeros 1, 3, 5, 7 ´ o 9.
Sesi´ on 1 - Problema 2.b - Soluci´ on
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 → 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0
1 1
1 1 1 0
0 0
0
Luego, en el casillero del centro puede estar cualquiera de los
n´ umeros 1, 3, 5, 7 ´ o 9.
Sesi´ on 1 - Problema 2.c
¿Ser´ a posible distribuir los n´ umeros 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10 en las
casillas de un tablero de 3 × 3, un n´ umero por casilla, de tal modo
que la suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un
lado en com´ un sea siempre impar?
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on
S´ı es posible.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1 →
2 4
6
8 10
3
5 7
9
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on
S´ı es posible.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1 →
2 4
6
8 10
3
5 7
9
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on
S´ı es posible.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1 →
2 4
6
8 10
3
5 7
9
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on
S´ı es posible.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1 →
2 4
6
8 10
3
5 7
9
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on
S´ı es posible.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0
1 1 1
1 →
2 4
6
8 10
3
5 7
9
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on
S´ı es posible.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0
11 1
1
→
2 4
6
8 10
3
5 7
9
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on
S´ı es posible.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1 →
2 4
6
8 10
3
5 7
9
Sesi´ on 1 - Problema 2.c - Soluci´ on
S´ı es posible.
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1 →
2 4
6
8 10
3
5 7
9
Sesi´ on 1 - Problema 2.d
¿Ser´ a posible distribuir los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en las
casillas de un tablero de 3 × 3, un n´ umero por casilla, de tal modo
que la suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un
lado en com´ un sea siempre 5, 9, 10, 15 ´ o 16?
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible. Para cada casilla hay 2, 3 ´ o 4 casillas que tienen un lado en com´ un con ´ esta. Supongamos que fuese posible hacer la distribuci´ on, entonces para cada n´ umero N de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
´
o 9 debe haber al menos otros dos de ellos que al ser sumados
individualmente con N den 5, 9, 10, 15 ´ o 16, sin embargo, para el
n´ umero 5, el ´ unico n´ umero que sumado con ´ el de 5, 9, 10, 15 ´ o 16
es el 4, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible.
Para cada casilla hay 2, 3 ´ o 4 casillas que tienen un lado en com´ un con ´ esta. Supongamos que fuese posible hacer la distribuci´ on, entonces para cada n´ umero N de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
´
o 9 debe haber al menos otros dos de ellos que al ser sumados
individualmente con N den 5, 9, 10, 15 ´ o 16, sin embargo, para el
n´ umero 5, el ´ unico n´ umero que sumado con ´ el de 5, 9, 10, 15 ´ o 16
es el 4, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible. Para cada casilla hay 2, 3 ´ o 4 casillas que tienen un lado en com´ un con ´ esta.
Supongamos que fuese posible hacer la distribuci´ on, entonces para cada n´ umero N de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
´
o 9 debe haber al menos otros dos de ellos que al ser sumados
individualmente con N den 5, 9, 10, 15 ´ o 16, sin embargo, para el
n´ umero 5, el ´ unico n´ umero que sumado con ´ el de 5, 9, 10, 15 ´ o 16
es el 4, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible. Para cada casilla hay 2, 3 ´ o 4 casillas que tienen un lado en com´ un con ´ esta. Supongamos que fuese posible hacer la distribuci´ on,
entonces para cada n´ umero N de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
´
o 9 debe haber al menos otros dos de ellos que al ser sumados
individualmente con N den 5, 9, 10, 15 ´ o 16, sin embargo, para el
n´ umero 5, el ´ unico n´ umero que sumado con ´ el de 5, 9, 10, 15 ´ o 16
es el 4, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible. Para cada casilla hay 2, 3 ´ o 4 casillas que tienen un lado en com´ un con ´ esta. Supongamos que fuese posible hacer la distribuci´ on, entonces para cada n´ umero N de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
´
o 9 debe haber al menos otros dos de ellos que al ser sumados individualmente con N den 5, 9, 10, 15 ´ o 16
, sin embargo, para el
n´ umero 5, el ´ unico n´ umero que sumado con ´ el de 5, 9, 10, 15 ´ o 16
es el 4, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2.d - Soluci´ on
No es posible. Para cada casilla hay 2, 3 ´ o 4 casillas que tienen un lado en com´ un con ´ esta. Supongamos que fuese posible hacer la distribuci´ on, entonces para cada n´ umero N de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
´
o 9 debe haber al menos otros dos de ellos que al ser sumados
individualmente con N den 5, 9, 10, 15 ´ o 16, sin embargo, para el
n´ umero 5, el ´ unico n´ umero que sumado con ´ el de 5, 9, 10, 15 ´ o 16
es el 4, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2
a)
Los n´ umeros 1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21 y 22 son distribuidos en las casillas de un tablero de 3 × 3, un n´ umero por casilla, de tal modo que la suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un lado en com´ un es un n´ umero primo. ¿Cu´ al n´ umero est´ a en el casillero del centro?
b)
¿Ser´ a posible distribuir los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16 en las casillas de un tablero de 4 × 4, un n´ umero por casilla, de tal modo que la suma de los n´ umeros de cualesquiera dos casillas con un lado en com´ un sea siempre 15, 16, 20 ´ o 24?
c)
Crear un problema con alguna o todas las ideas anteriores y
dar una soluci´ on completa.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
a)
La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares.
1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21, 22 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1
Luego, en el casillero del centro debe estar un n´ umero par, adem´ as
si a ´ este n´ umero se le suma 1, 7, 13 ´ o 21, el resultado debe ser un
n´ umero primo.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
a)
La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares.
1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21, 22 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1
Luego, en el casillero del centro debe estar un n´ umero par, adem´ as
si a ´ este n´ umero se le suma 1, 7, 13 ´ o 21, el resultado debe ser un
n´ umero primo.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
a)
La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares.
1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21, 22 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1
Luego, en el casillero del centro debe estar un n´ umero par, adem´ as
si a ´ este n´ umero se le suma 1, 7, 13 ´ o 21, el resultado debe ser un
n´ umero primo.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
a)
La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares.
1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21, 22 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1
Luego, en el casillero del centro debe estar un n´ umero par, adem´ as
si a ´ este n´ umero se le suma 1, 7, 13 ´ o 21, el resultado debe ser un
n´ umero primo.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
a)
La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares.
1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21, 22 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1
Luego, en el casillero del centro debe estar un n´ umero par, adem´ as
si a ´ este n´ umero se le suma 1, 7, 13 ´ o 21, el resultado debe ser un
n´ umero primo.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
a)
La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares.
1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21, 22 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1
Luego, en el casillero del centro debe estar un n´ umero par
, adem´ as
si a ´ este n´ umero se le suma 1, 7, 13 ´ o 21, el resultado debe ser un
n´ umero primo.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
a)
La suma de cualesquiera dos de los n´ umeros es al menos 3, entonces los n´ umeros primos que se obtienen deber ser impares.
1, 2, 4, 6, 7, 10, 13, 21, 22 → 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1
0 0
0 0 0 1
1 1
1
Luego, en el casillero del centro debe estar un n´ umero par, adem´ as
si a ´ este n´ umero se le suma 1, 7, 13 ´ o 21, el resultado debe ser un
n´ umero primo.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
Los n´ umeros 2, 4, 6 y 22 no cumplen esta condici´ on ya que
2 + 7 = 9, 4 + 21 = 25, 6 + 21 = 27 y 22 + 13 = 35no son n´ umeros primos.
Por lo tanto el ´ unico n´ umero que puede ir en el casillero del centro es el 10, donde un ejemplo posible es el siguiente:
2 22
10 6 4 21
1 7
13
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
Los n´ umeros 2, 4, 6 y 22 no cumplen esta condici´ on ya que 2 + 7 = 9, 4 + 21 = 25, 6 + 21 = 27 y 22 + 13 = 35 no son n´ umeros primos. Por lo tanto el ´ unico n´ umero que puede ir en el casillero del centro es el 10
, donde un ejemplo posible es el siguiente:
2 22
10 6 4 21
1 7
13
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
Los n´ umeros 2, 4, 6 y 22 no cumplen esta condici´ on ya que 2 + 7 = 9, 4 + 21 = 25, 6 + 21 = 27 y 22 + 13 = 35 no son n´ umeros primos. Por lo tanto el ´ unico n´ umero que puede ir en el casillero del centro es el 10, donde un ejemplo posible es el siguiente:
2 22
10 6 4 21
1 7
13
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
Los n´ umeros 2, 4, 6 y 22 no cumplen esta condici´ on ya que 2 + 7 = 9, 4 + 21 = 25, 6 + 21 = 27 y 22 + 13 = 35 no son n´ umeros primos. Por lo tanto el ´ unico n´ umero que puede ir en el casillero del centro es el 10, donde un ejemplo posible es el siguiente:
2 22
10 6 4 21
1 7
13
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b)
No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un).
De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16,
los ´ unicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14, es decir,
los n´ umeros 9, 11, 13 y 14 est´ an en los casilleros centrales. Luego,
el 14 debe ser vecino de alguno de los n´ umeros 9, 11 y 13, pero
ninguna de las sumas 14 + 9 = 23, 14 + 11 = 25 y 14 + 13 = 27
vale 15, 16, 20, ´ o 24, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b)
No es posible.
Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un).
De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16,
los ´ unicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14, es decir,
los n´ umeros 9, 11, 13 y 14 est´ an en los casilleros centrales. Luego,
el 14 debe ser vecino de alguno de los n´ umeros 9, 11 y 13, pero
ninguna de las sumas 14 + 9 = 23, 14 + 11 = 25 y 14 + 13 = 27
vale 15, 16, 20, ´ o 24, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b)
No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on.
Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un).
De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16,
los ´ unicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14, es decir,
los n´ umeros 9, 11, 13 y 14 est´ an en los casilleros centrales. Luego,
el 14 debe ser vecino de alguno de los n´ umeros 9, 11 y 13, pero
ninguna de las sumas 14 + 9 = 23, 14 + 11 = 25 y 14 + 13 = 27
vale 15, 16, 20, ´ o 24, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b)
No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un).
De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16,
los ´ unicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14, es decir,
los n´ umeros 9, 11, 13 y 14 est´ an en los casilleros centrales. Luego,
el 14 debe ser vecino de alguno de los n´ umeros 9, 11 y 13, pero
ninguna de las sumas 14 + 9 = 23, 14 + 11 = 25 y 14 + 13 = 27
vale 15, 16, 20, ´ o 24, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b)
No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un).
De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16, los ´ unicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14
, es decir,
los n´ umeros 9, 11, 13 y 14 est´ an en los casilleros centrales. Luego,
el 14 debe ser vecino de alguno de los n´ umeros 9, 11 y 13, pero
ninguna de las sumas 14 + 9 = 23, 14 + 11 = 25 y 14 + 13 = 27
vale 15, 16, 20, ´ o 24, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b)
No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un).
De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16, los ´ unicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14, es decir, los n´ umeros 9, 11, 13 y 14 est´ an en los casilleros centrales.
Luego,
el 14 debe ser vecino de alguno de los n´ umeros 9, 11 y 13, pero
ninguna de las sumas 14 + 9 = 23, 14 + 11 = 25 y 14 + 13 = 27
vale 15, 16, 20, ´ o 24, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b)
No es posible. Supongamos que fuese posible hacer tal distribuci´ on. Los cuatro casilleros centrales tienen cada uno cuatro vecinos (casillas con un lado en com´ un).
De los n´ umeros 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 y 16, los ´ unicos que poseen cuatro vecinos son 9, 11, 13 y 14, es decir, los n´ umeros 9, 11, 13 y 14 est´ an en los casilleros centrales. Luego, el 14 debe ser vecino de alguno de los n´ umeros 9, 11 y 13
, pero
ninguna de las sumas 14 + 9 = 23, 14 + 11 = 25 y 14 + 13 = 27
vale 15, 16, 20, ´ o 24, lo cual es una contradicci´ on.
Sesi´ on 1 - Problema 2 - Soluci´ on
b)
