Probabilidad. Cuando dos o más experimentos simples se realizan a la vez, tenemos un experimento compuesto.

Probabilidad

I.- INTRODUCCIÓN

El azar es el origen y fundamento de los juegos, especialmente de los llamados de mesa y también, de las loterías y quinielas; y el juego, precisamente, es el origen del estudio de la probabilidad.

II.- LO ALEATORIO: SIGNIFICADO Y MEDICIÓN

Un experimento aleatorio es aquel que ese caracteriza por la imprevisibilidad de su desenlace, a pesar de que se ejecuten siempre en las mismas condiciones. Ejemplos: el lanzamiento de una moneda, de un dado o la extracción de una carta de una baraja, etc. En todos ellos el resultado es incierto, aun tomando las máximas precauciones para simular idénticamente las condiciones del juego.

Espacio muestral: Se representa por la letra E y es el conjunto de los resultados de un experimento aleatorio. Cada uno de esos resultados se llama suceso elemental.

Ejemplo: Consideremos el experimento aleatorio de tirar un dado. El espacio muestral de este experimento está formado por seis sucesos elementales:

E={sacar ununo , sacar un dos , sacar un tres, sacarun cuatro , sacar un cinco , sacar un seis}

Ejemplo: En el experimento lanzar una moneda, el espacio muestral está formado por dos sucesos elementales. E={sacar cara , sacar cruz}

Cuando dos o más experimentos simples se realizan a la vez, tenemos un experimento compuesto.

Ejemplo:

a) Tirar un dado y una moneda a la vez b) Tirar dos monedas a la vez

En estos experimentos, para la obtención de su espacio muestral, suele ser útil la confección de un diagrama de árbol.

El diagrama de árbol para las dos monedas sería:

Monedas

1ª 2ª Suceso

cara cara cara cara

cruz cara cruz cara cruz cara cruz

cruz cruz cruz El espacio muestral sería E={cc , cx , xc , xx }

Ejercicio: Hallar los espacios muestrales de los siguientes experimentos:

a) Tirar un dado y una moneda b) Tirar tres monedas

c) Tirar dos dados

Los Sucesos:

Un suceso de un experimento es aquel que está formado por uno o varios sucesos elementales. Los sucesos suelen denotarse con letras mayúsculas: A, B, …

Ejemplos:

a) En el experimentode lanzar dos monedas el espacio muestral es E={cc , cx , xc , xx } Algunos sucesos del experimentos son:

A={sacar una cara y una cruz}={cx, xc }

Este suceso está formado por dos elementales.

B={sacar almenos una cruz}={cx , xc, xx} Este suceso está formado por tres elementales.

b) En el lanzamiento de dos dados, podemos considerar los siguientes sucesos:

A={la suma delas puntuaciones esigual a 7 }={(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}

B={ambas puntuaciones sonmenores que 3}={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}

C={ambas puntuaciones son pares}=

={(2,2),(4,4 ),(6,6), (2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(4,6),(6,4)}

D={ambas puntuacionessoniguales }={(1,1), (2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}

Tipos de sucesos:

Algunos sucesos merecen consideración especial. Son los siguientes:

• Suceso imposible: es aquel que no se puede dar. Se representa por el conjunto vacío ∅

• Suceso seguro: es aquel que ocurrirá siempre, por tanto es el espacio muestral E.

• Suceso contrario a un suceso A: es aquel suceso formado por todos los sucesos elementales que no son de A. Se representa por

A^c

o también por

A^¯

Ejemplos: a) Al tirar dos monedas, si consideramos el suceso

A={sacar al menos una cruz}

entonces, A

^c

={no sacar ningunacruz}={sacar dos caras}={cc}

b) Al extraer una carta de una baraja española, si consideramos el suceso A={sacar oro} entonces A

^c

={sacar basto , sacar espadas , sacar copas}

c) El suceso A={nacer el 30 de febrero} es un suceso imposible.

d) El suceso A={sacar una cara} al tirar un dado es un suceso imposible.

III.- Operaciones con sucesos Unión de sucesos

La unión de dos sucesos A y B que se denota por

A∪B

es el suceso que se cumple cuando lo hace A, lo hace B o lo hacen los dos a la vez. Es decir, cuando se cumple, al menos uno de los dos sucesos A ó B.

Ejemplo: Supongamos que entre los habitantes andaluces, tenemos los sucesos

S={ser hincha del Sevilla}

^y

M={ser mujer}

, entonces el suceso unión es

S∪M={ser hincha del Sevilla o ser mujer o ser mujer hincha del Sevilla}

Ejemplo: En el experimento de tirar tres monedas sean los sucesos A y B:

A={sacar más caras que cruces }={ccc , ccx , cxc, xcc}

B={sacar una o dos cruces }={ccx , cxc , cxx, xcc , xcx , xxc}

A∪B={sacar más caras que cruces o sacar una cruz o dos cruces}=

={ccc , ccx , cxc , xcc , cxx , xcx , xxc}

Propiedades de la unión: Siendo E el espacio muestral, ∅ un suceso imposible y A un suceso:

A∪E=E A∪∅= A A∪A

^c

= E

Intersección de sucesos:

La intersección de dos sucesos A y B se denota por A∩B y es el suceso que se cumple cuando lo hacen ambos a la vez.

Ejemplo: Para los sucesos anteriores

S={ser hinchadel Sevilla}

y

M={ser mujer}

se tiene que S∩M ={ser mujer hincha del Sevilla}

Ejemplo: Para los sucesos

A={sacar más carasque cruces}={ccc , ccx , cxc , xcc }

y

B={sacar una o doscruces}={ccx , cxc , cxx, xcc , xcx , xxc}

anteriores, se tiene que

A∩B={(sacar más carasque cruces) y (sacar una cruz o dos cruces)}={ccx , cxc, xcc}

Si la intersección de dos sucesos es el conjunto vacío, entonces se dice que los sucesos son incompatibles.

Si

A∩B=∅⇒

A y B son incompatibles.

En caso contrario se dice que son compatibles.

Propiedades de la intersección: Siendo E el espacio muestral,

∅

un suceso imposible y A un suceso:

A∩E=A A∩∅=∅

A∩A

^c

=∅

Diferencia de sucesos:

La diferencia de dos sucesos A y B se denota por A-B y es el suceso que se cumple cuando lo hace A pero no lo hace B. Por tanto,

A−B=A∩B

^c

Ejemplos: a)Si

C={sacar copas en una baraja de 40 cartas}

y

F={ser figura}

, C−F={ser copa pero no figura }={1, 2, 3, 4,5, 6, 7 de copas }

b)Si M={ser mujer andaluza} y

S={ser hinchadel Sevilla}

entonces

M−S={ser mujer no hincha del Sevilla}

Las leyes de De Morgan

I.

( A∪B) ^c = A ^c ∩ B ^c

II.

( A∩B) ^c = A ^c ∪B ^c

Ejercicios de aplicación

1º Consideremos, entre los habitantes de un municipio, los sucesos:

A={ser socio del casino}

B={ser socio del club de fútbol }

C={ser socio de alguna asociación juvenil}

a) Expresa en función de A, B y C los siguientes sucesos:

1.- Ser socio de alguna de estas asociaciones 2.- Ser socio de las tres asociaciones

3.- Ser socio sólo del casino.

4.- Ser socio, como máximo de una o dos asociaciones.

5.- No ser socio de ninguna de las tres.

6.- Ser socio de una sola asociación.

b) Describe el significado de los siguientes sucesos:

1.

A∪B∪C

3.

A∪B−C

5. C−( A∪B)

2.

( A∪B∪C)

^c 4.

( A∩B∩C)

^c 6. (A∩B)∪( A∩C)∪(B∩C) 2º Sean los sucesos

A={ser oyente de RNE}

B={ser oyente de La SER}

C={ser oyente de M 80}

Expresa mediante las operaciones con sucesos a) Ser oyente de, al menos, una emisora.

b) Ser oyente de RNE, pero no de La SER ni de M80.

c) Oír sólo dos emisoras.

d) No oír más de una emisora.

e) Oír alguna emisora pero no las tres.

3º Sean los sucesos

A={llueva hoy } B={llueva mañana} C={llueva pasado mañana}

a) Expresa, mediante operaciones con sucesos:

1. Llueva uno de esos tres días, por lo menos.

2. Llueva hoy, pero no mañana ni pasado.

3. No llueva ninguno de los tres días.

4. Llueva, como máximo, dos de esos tres días.

5. Llueva hoy, pero no mañana.

b) Explica el significado de:

1.

( A∩B)−C

3. A∪B∪C^c 5.

( A∪B)

^c

2.

( A∪B)−C

^4.

( A∩B)∪(C∩ A)

IV.- PROBABILIDAD

La probabilidad es un número que indica las posibilidades que tiene de verificarse un suceso al realizar un experimento aleatorio. Es decir, es la forma de medir la incertidumbre de un suceso aleatorio.

Estas ideas se sintetizan en la conocida regla de Laplace, que asigna la probabilidad a cualquier suceso A, de acuerdo con la fórmula:

P( A)= Número de casos favorables a A Número total de casos posibles

Esta ley es sólo aplicable cuando los sucesos elementales son equiprobables (experimento no trucado) Ejemplo: En el lanzamiento de dos dados (no trucados):

•

P(ambas caras son nº pares)= 9 36 = 1

4

•

P(suma de las caras sea9)= 4 36 = 1

9

Para calcular los casos posibles y favorables, disponemos de algunas técnicas de recuento:

(1) Confección de diagramas de árbol.

(2) Aplicación del principio de numeración que dice:

“Si un suceso puede darse de “m” maneras distintas en primera opción y a continuación puede suceder de “n” modos diferentes, entonces, tiene m·n maneras de suceder”

Ejemplo: El lanzamiento de una moneda y un dado

* El suceso lanzar la moneda tiene dos posibilidades (cara o cruz) y después al tirar el dado hay 6 posibiliades (1, 2, 3, 4, 5, 6). El suceso completo 2·6=12 casos posibles.

* Con diagrama de árbol:

Ejercicio: En el experimento de lanzar tres monedas, halla la probabilidad de los siguientes sucesos:

A={sacar más carasque cruces}

B={sacar almenos una cruz}

C={sacar como máximo dos cruces}

Definición de probabilidad

De manera formal, la probabilidad puede definirse como un número real que cumple las siguientes condiciones:

1.- Es un número que está entre 0 y 1.

Esto es, para cualquier suceso A,

0≤P (A )≤1

2.- La probabilidad de E (suceso seguro: espacio muestral) es 1:

P(E)=1

La probabilidad de

∅

(suceso imposible) es 0:

P(∅)=0

3.- Si A y B son sucesos incompatibles, es decir,

A∩B=∅

(no se pueden cumplir a la vez), entonces, P( A∪B)=P (A )+P (B)

Para dos sucesos cualesquiera A y B,

P( A∪B)=P (A )+P (B)−P (A∩B)

4.- La probabilidad de un suceso

A

puede hallarse sabiendo la de su contrario

A

^c : P( A)+ P( A^c)=1

Esto es así porque como

A∪ A

^c

= E

, entonces:

P( A∪A

^c

)=P(E)

y como

A

y

A

^c son incompatibles (no pueden darse a la vez ya que

A∪ A

^c

=∅

) se tiene que cumplir que

P( A)+P( A

^c

)=1

En resumen:

1.-

0≤P (A )≤1

2.-

P(E)=1

y

P(∅)=0

3.- P( A∪B)=P( A )+P(B) si

A∩B=∅

4.-

P( A∪B)=P (A )+P (B)−P (A∩B)

5.-

P( A)+P( A

^c

)=1

Con estas características podemos calcular algunas de las probabilidades de los sucesos en un experimento aleatorio.

Ejemplo: Las probabilidades de los sucesos

A

,

B

y

A∩B

son respectivamente:

P( A)= 1

3

^,

P(B)= 2

5

^,

P( A∩B)= 1 15

Con estos datos, calcula la probabilidad de:

a) Que se cumpla alguno de los sucesos

A

o

B

Es el suceso unión A∪B

P( A∪B)=P (A )+P (B)−P (A∩B)= 1 3 + 2

5 − 1 15 = 10

15 = 2 3

b) Que no se cumpla A y sí B

Es el suceso

B− A

P(B− A)=P (B∩ A^c)= Ya lo veremos

c) Que se cumpla uno solamente:

Es el suceso (A−B)∪(B− A)

P ( ( A−B)∪(B− A) ) = P ( ( A−B) ) + P ( ( B−A ) )

Ya que (A−B) y (B− A) son sucesos incompatible

P

(

(A−B)∪(B− A)

)

=P

(

(A−B)

)

+P

(

(B−A )

)

=P

(

(A∩B^c)

)

+P

(

(B∩ A^c)

)

d) Que no se cumpla ni A ni B . Es el suceso A^c∩B^c . Por las leyes de De Morgan

A

^c

∩B

^c

=( A∪B)

^c

P( A

^c

∩B

^c

)= P( A∪B)

^c

=1−P( A∪B)=1− 2 3 = 1

3

Experiencias compuestas: Probabilidad condicionada.

Un experimento compuesto es el que se obtiene al realizar dos o más experimentos simples.

Dos sucesos

A

y

B

son independientes cuando el cumplimiento de uno de ellos no influye en la probabilidad de verificación del otro. En caso contrario son dependientes y diremos que un suceso está condicionado por otro.

Ejemplo: Si de una baraja extraemos dos cartas con reemplazamiento (sacamos una y la volvemos a introducir) la probabilidad de que la primera sea copa es de

10

40 = 1

4

(Ley de Laplace). La probabilidad de que la segunda vuelva a ser copa es de nuevo

10

40 = 1

4

. Por tanto, los sucesos son independientes.

Sin embargo, si en la misma experiencia, extraemos las cartas sin reemplazamiento, la probabilidad de que la segunda vuelva a ser copa está influida porque la primera ha sido copa. Su probabilidad es de

9

39

, porque tenemos una carta menos (39) y un copa menos (9). Por tanto, los sucesos “primera copa” y “segunda copa” son dependientes, el suceso “segunda copa” está condicionado por el suceso “primera copa”.

Si un suceso A está condicionado por un suceso B , escribiremos

A B

A partir de aquí, podemos definir la probabilidad de la intersección de sucesos:

P( A∩B)

CASO 1: Si

A

y

B

son independientes, entonces

P( A∩B)=P (A )· P(B)

Ejemplo:

A={sacar 1ª copa al extraer dos cartas con reemplazamiento}

B={sacar 2 ª copa al extraer dos cartas con reemplazamiento}

A∩B={sacar dos copasal extraer dos cartas con reemplazamiento}

P( A∩B)=P (A )· P(B)= 1 4 · 1

4 = 1 16

CASO 2: Si

A

y

B

son dependientes, entonces

Si

A

B ⇒ P( A∩B)=P ( ^A B ) ^{· P (B)}

Si

B

A ⇒ P( A∩B)=P (A )· P ( ^B A )

Ejemplo:

A={sacar 1ª copa al extraer dos cartas sin reemplazamiento}

B={sacar 2 ª copa al extraer dos cartas sin reemplazamiento}

A∩B={sacar dos copasal extraer dos cartas sin reemplazamiento}

En este caso,

B

está condicionada por

A

→

B / A P( A∩B)=P (A )· P ( ^B A ) ^{= 1} 4 · 9

39 = 3 52

En resumen:

P( A∩B)=P( A)· P(B) Si A y B son independientes.

P( A∩B)=P( A)· P ( ^{B A} ) Si B está condicionado por A P( A∩B)=P ( ^{A B} ) ^{· P(B)} Si A está condicionado por B

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Se obtiene a partir de la probabilida de la intersección:

P( A∩B)=P( A)· P ( ^{B A} ) ^{⇒ P} ( ^{B A} ) ^{= P( A∩B) P( A)}

P( A∩B)=P ( ^{A B} ) ^{· P(B)⇒ P} ( ^{A B} ) ^{= P( A∩B) P(B)}

Ejercicio: Sean A y B dos sucesos con

P( A)=0,5

y

P(B)=0,3

y

P( A∩B)=0,1

. Calcula

P ( ^A B )

^y

^P ( ^B A )

Solución:

P( A∩B)=P( A)· P ( ^{B A} ) ^⇒ 0,1=0,5 · P ( ^{B A} ) ^{⇒ P} ( ^{B A} ) ^{= 0,1 0,5 =0,2}

P( A∩B)=P ( ^{A B} ) · P(B)⇒0,1=P ( ^{A B} ) ^{· 0,3 ⇒ P} ( ^{A B} ) ^{= 0,1 0,3 = 1 3}

Ejercicio: En una clase de Ciencias empresariales el 65% de los alumnos aprueban Economía y el 50%

Estadística.Se sabe además que el 40% aprueba las dos asignaturas. Calcula la probabilidad de aprobar Economía habiendo aprobado Estadística.

Solución: Utilizamos la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(aprobar las dos)=0,4 porque es el 40%

( 100 ⁴⁰ )

P(aprobar Estadística)=0,5

porque es el 50%

( 100 ⁵⁰ )

P ( aprobar Economía

aprobar Estadística ) ⁼ P (aprobar Economía∩aprobar Estadística ) P (aprobar Estadística ) = 0,4

0,5 =0,8

Por tanto, el 80% aprueba Economía habiendo aprobado Estadística.

Ejercicio: En cierta comunidad, un 20% de sus integrantes están en paro, y de los mismos, un 10% tienen estudios superiores. De los empleados, el 25% alcanza ese nivel de estudios. Elegido un indiviuo al azar, halla la probabilidad de:

a) Que esté en paro y no tenga estudios superiores.

b) Que tenga estudios superiores.

Solución:

Con los datos, calculamos las probabilidades que podamos, incluyendo la de los sucesos contrarios.

El 20% está en Paro →

P(estar en Paro)=0,2

→

P(estar empleado)=1−0,2=0,8

El 10% de los que están en Paro tiene estudios superiores →

P ( Tener estudios superiores

estar en paro ) ^=0,10

^→

^P ( no tener est .

^.

estar en paro ) ^{= 0,90}

El 25% de los empleados tiene estudios superiores→

P ( Tener estudios superiores

estar empleado ) ^=0,25

^→

^P ( no tener est .

^.

estar empleado ) ^=0,75

Ahora podemos calcular las probabilidades que nos piden: (utilizaremos las propiedades de la unión y la intersección)

a)

P(estar en Paro y no tener estudios superiores)=P (estar en Paro ∩ no tenga superiores)=

=P (estar en Paro)· P ( no tener estudios superiores

estar en Paro ) =0,2 · 0,9=0,18

El 18% está en Paro y no tiene estudios superiores.

b)

P(Tener estudios superiores)=P({estar en paro y tener estudios}ó {estar empleado y tener estudios})=

= P({estar en paro ∩ tener estudios} ∪ {estar empleado ∩ tener estudios})=

= P(estar Paro)· P ( tener estudios

estar Paro ) ⁺ P(estar empleado )· P ( tener estudios

estar empleado ) ⁼

=0,2· 0,1+0,8 · 0,25=0,22

EL 22% tiene estudios superiores.

Para hallar estas probabilidades nos podemos ayudar de un diagrama de árbol. En las ramas pondremos las probabilidades conocidas:

Debemos tener en cuenta que la suma de las probabilidades cada vez que saquemos dos ramas tiene que ser uno, es decir, los sucesos tienen que ser contrarios.

Nota: El diagrama de árbol es solo una ayuda. Para hacer correctamente el problema hay que escribir todo lo demás.

Ejercicio: Si de una urna, que contiene 3 bolas blancas y 4 negras, hacemos tres extracciones sin reposición, halla la probabilidad de sacar exactamente dos bolas blancas.

Solución: Hacemos el diagrama de árbol:

P(sacar exactamente dos bolasblancas)=

= P({1 ª B y 2 ª B y 3ª N }ó {1 ª B y 2ª N y 3 ª B}ó {1ª N y 2 ª B y 3ª B})=

=P({B∩B∩N }∪{B∩N∩B}∪{N∩B∩B })

Vamos a aplicar las propiedades de las probabilidades de la unión y la intersección de sucesos:

P ({B∩B∩N }∪{B∩N∩B}∪{N∩B∩B})=P(1 º B)· P

(

^2ºB1 ºB

)

^{· P}

(

^{3 ºN}1 ºB y 2 ºB

)

⁺

+P(1 º B)· P

(

^{2 ºN}1 ºB

)

^{· P}

(

^{3 ºB}1ºB y 2ºN

)

⁺P(1 º N)· P

(

^{2 ºB}1ºN

)

^{· P}

(

^3ºB1 ºN y 2ºB

)

⁼

Por la ley de Laplace →

casos favorables casos posibles

= 3 7 · 2

6 · 4 5 + 3

7 · 4 6 · 2

5 + 4 7 · 3

6 · 2 5 = 12

35

Ejercicio: Se extraen simultáneamente (sin reposición) tres cartas de una baraja de 40 cartas. Halla la probabilidad de obtener:

a) Tres copas

b) Dos copas y un oro c) Al menos una copa

Solución:

a) P(obtener tres copas)= P(1ª copa y 2ª copa y 3ª copa)= P(1 ª copa ∩ 2ª copa ∩ 3 ª copa) = (por las propiedades de la intersección de sucesos) = P(1 º C )· P

(

^{2 ºC}1 ºC

)

^{· P}

(

^{3 ºC}1ºC y 2 ºC

)

⁼

=

10 40 · 9

39 · 8

38 =0,12

Hay una probabilidad del 12% de obtener tres copas seguidas.

b) P(obtener dos copas y un oro)=P({1ª copa y 2ª copa y 3ª oro} ó {1ª copa y 2ª oro y 3ª copa} ó {1ª oro y 2ª

copa y 3ª copa}=

P({1ªC ∩2ªC ∩3 ªO}∪{1ªC ∩2 ªO∩3 ªC}∪{1 ªO∩2 ªC ∩3 ªC})=P(1 º C)· P ( ^{2 ºC} 1 ºC ) ^{· P} ( ^3ºO 1 ºC y 2ºC ) ⁺

+ P(1 º C )· P ( ^{2 ºO} 1ºC ) ^{· P} ( ^{3 ºC} 1 ºC y 2ºO ) ⁺ P(1 º O)· P ( ^{2 ºC} 1 ºO ) ^{· P} ( ^{3 ºC} 1 ºO y 2 ºC ) ⁼

= 10 40 · 9

39 · 10 38 + 10

40 · 10 39 · 9

38 + 10 40 · 10

39 · 9 38 = 45

988 =0,046 Hay un 4,6% de probabilidades de

obtener dos copas y un oro.

c) El suceso “al menos una copa” está formado por muchas uniones e intersecciones de sucesos. Por tanto, es conveniente hallar la probabilidad del suceso contrario para después hallar la que se pide.

{almenos una copa }^c={ninguna copa}

P(ninguna copa)=P({1ª no copa y 2ª no copa y 3ª no copa}= Lo pasamos a notación de conjuntos:

=P(1 ª no copa ∩ 2 ª no copa ∩ 3 ª no copa)=P(1 º noC)· P

(

^{2 ºnoC}1 ºnoC

)

^{· P}

(

^{3 ºnoC}1 ºnoC y 2ºnoC

)

⁼

= 30 40 · 29

39 · 28 38 = 203

494 =0,41

P(al menos una copa)=1- P(ninguna copa)=1 – 0,41= 0,59 Hay un 59% de probabilidades de sacar al menos una copa.

Ejercicio: En cierta población, un 20% de los trabajadores lo hace en la agricultura (A), un 25% en la industria (I) y el resto en el sector servicios (S). Un 63% de los que trabajan en el campo son mayores de 45 años, siendo ese porcentaje del 38% y del 44% en los otros dos sectores.

Seleccionando un trabajador al azar, ¿qué probabilidad hay de que tenga menos de 45 años?

Solución: Realizamos un diagrama de árbol:

Calculamos las probabilidades con los datos del enunciado:

• El 20% son de A → P(A)=0,20

• El 25% son de I → P(I)=0,25

• El resto (100-20-25=55) son de S → P(S)=0,55

• El 63% de A tienen más de 45 años →

P

(

⁺⁴⁵siendo de A

)

^=0,63

• El 38% de I tienen más de 45 años → P ( ⁺⁴⁵ siendo de I ) ^=0,38

• El 44% de S tienen más de 45 años →

P

(

⁺⁴⁵siendo de S

)

^=0,44

Calculamos las probabilidades de los sucesos contrarios:

• P ( ⁻⁴⁵ siendo de A ) =1−0,63=0,37

•

P

(

⁻⁴⁵siendo de I

)

=1−0,38=0,62

• P ( ⁻⁴⁵ siendo de S ) =1−0,44=0,56 P(tenga menos de 45 años)=

= P({seade A y tenga−45 }ó {seade I y tenga−45}ó {seade S y tenga−45})=

=P( A∩(−45)∪I∩(−45)∪S∩(−45))=

=P( A)· P

(

⁻⁴⁵A

)

^+P

⁽

^I

⁾

^{· P}

(

⁻⁴⁵I

)

^+P

⁽

^S

⁾

^{· P}

(

⁻⁴⁵S

)

⁼

=0,2· 0,37+ 0,25 ·0,62+0,55· 0,56=0,537

Hay una probabilidad del 53% de que tenga menos de 45 años.

Otra forma más fácil resolver este problema sería mediante una tabla de contingencia.

Para poder hacerla, si no me dicen la población objeto de estudio, puedo suponer un valor cualquiera (adecuadamente elegido para no obtener decimales, lógicamente)

Agricultura (A) Industria (I) Sector servicios (S) Ej: 1000 personas

>45 años 63% (126 personas) 38% (95 personas) 44% (242 personas) 463 personas

<45 años 37% (74 personas) 62% (155 personas) 56% (308 personas) 537 personas 20% (200 personas) 25% (250 personas) 55% (550 personas) 1000 personas P(<45 años)= casos favorables

casos posibles = 537

1000 =0,537

Hay una probabilidad del 53% de que tenga menos de 45 años.

O incluso, con otros valores distintos:

Agricultura (A) Industria (I) Sector servicios (S) Ej: 2000 personas

>45 años 63% (252 personas) 38% (190 personas) 44% (484 personas) 926 personas

<45 años 37% (148 personas) 62% (310 personas) 56% (616 personas) 1074 personas 20% (400 personas) 25% (500 personas) 55% (1100 personas) 2000 personas P(<45 años)= casos favorables

casos posibles = 1074

2000 =0,537

Hay una probabilidad del 53% de que tenga menos de 45 años.

Ejercicio: De los créditos concedidos por un banco, un 42% lo son para clientes nacionales, un 33%

para clientes de la Unión europea y un 25% para el resto del mundo. De estos créditos, son destinados a vivienda un 30%, un 24% y un 14% según sean nacionales, de la Unión Europea o del resto del mundo. Elegido un cliente al azar, ¿qué probabilidad hay de que el crédito concedido no sea para vivienda?

Clientes

nacionales (CN) Unión Europea

(UE) Resto del mundo

(RM) Ej: 10000

personas Vivienda (V) 30% (1260

personas)

24% (792 personas) 14% (350 personas) 2402 personas No vivienda

(NV)

70% (2940 personas)

76% (2508 personas)

86% (2150 personas) 7598 personas 42% (4200

personas)

33% (3300 personas)

25% (2500 personas) 10000 personas P(NV )= casos favorables

casos posibles = 7598

10000 =0,7598