OPERACIONES CON ÁNGULOS

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OPERACIONES CON ÁNGULOS

I. Suma y Resta de Medidas Angulares

Veamos el siguiente ejemplo:

Lorenita ha preparado otro delicioso pastel para sus amiguitos. Igual que la vez pasada, divide al pastel en tajadas de diferente tamaño, todas desde el centro. Tal como se muestra en el gráfico:

AHORA BIEN

a) ¿Cuál es la medida angular de las tajadas de Fernandino y Silvia juntas?

Para obtener la respuesta sumaremos:

43º 51’ 05’’ 69º 50’ 55’’ Rpta. expresada incorrectamente 112º 101’ 60’’

Sin embargo: 112º 101’ + 1’

112º 102’ 112º 60’ + 42’ 112º + 1º 42’ Rpta. Expresada correctamente: 113º 42’

Para que una medida angular indicada en grados y minutos, grados y segundos o en grados, minutos y segundos esté bien expresada el número de minutos y/o segundos debe ser menor que 60.

b) ¿Cuál es la medida angular de las tajadas de Silvia y Sharon juntas? (Completa los recuadros)

Para obtener la respuesta sumaremos: 69º 50’ 55’ 28º 17’ 30’’ Rpta. expr. incorrec.: 97º 67’

Sin embargo: 97º 67’ 60’’ + 97º 67’+

97º 25’’ 97º 60’ + 25’’ 97º + 1º 25’’

Rpta. Exp. Correct. 25’’

Hoy día aprenderemos a sumar, restar, multiplicar y dividir ángulos con la misma facilidad con la que operamos los números naturales. Para alcanzar este objetivo debemos recordar que:

AMIGUITOS:

Para Sharon Para Silvia Para Fernandito Para el “profe” que es muy

goloso _{Tajada que aún}

queda

¡CUIDADO!

1 vuelta <> 360º 1º <> 60’ 1’ <> 60” 1º <> 3600”

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c) ¿Cuál es la medida angular de la tajada que ha sobrado del pastel? (Completa los recuadros). PRIMERO

Sumaremos las medidas angulares de las tajadas de los amiguitos de Lorena:

43º 51’ 05’’ → Fernandito 69º 50’ 55’’ → Silvia 28º 17’ 30’’ → Sharon 125º 57’ → El profe de geo Rpta. Exp. Inc. 265º 175’ 80’’

Sin Embargo: 265º 175’ 60’’ 265º 175’ + + 265º 30’’ 265º 120’ + 30’’ 265º + 2º 30’’ Rpta. Exp. Corc. 30’’

SEGUNDO

Ahora a la medida angular del pastel (360º) le restamos la medida angular de lo repartido (267º55’30’’)

360º → 60’ → 359º 59’ 60’’



267º 55’ 30’’ 92º 04’ 30’’

Respuesta: La medida angular de la tajada que no ha sido repartida es 92º04’30’’. EJERCICIO #1 Calcular el complemento de 29º52’37’’ 90º → 89º60’ → 89º 59’ 60” 29º 52’ 37’’ EJERCICIO #2 Calcular el suplemento de 137º17’58’’ 180º → 179º60’ → 179º 59’ 60” 139º 17’ 58’’

II. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE MEDIDAS ANGULARES

Las medidas angulares pueden multiplicarse y dividirse por una cantidad escalar (número sin unidad). EJERCICIO #3 ¿Cuál es el triple de 22º56’5’’? 22º 56’ 45’’ x 3 66º 168’ 135’’ 66º 168’ 120’’ + 35’’ 66º 35’’ 66º 120’ + 50’ 35’’ 50’ 35’ EJERCICIO #4

¿Cuál es la quinta parte de 36º41’25’’? (36º41’25’’)  5

Se comienza por los grados, pasando a los minutos y luego a los segundos.

36º 5 60’ + 41’ 60” + 25” 35º 7º 101’ 5 85’’ 5 1º  60’ 100’ 20’ 85’’ 17’’

1’  60’ 00’ ‘ La respuesta esta dada por los cocientes: (36º41’25’’)  5 = 7º20’17’’

¡IMPORTANTE!

Para restar medidas angulares, el minuendo y el sustraendo deben estar expresados en la misma forma.

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EJERCICIO #5 ¿Cuál es el cuádruple de 17º34’28’’? 17º 34’ 28’’ x 4 68º 136’ 112’’ 68º 136’ 60’’ + 68º 68º 120’ + 52’’ 52’ EJERCICIO #6 29º 3 120’ + 35’ 120’’ + 42’’ 27º 9º 155’ 3 162’’ 3 2º  120’ 153’ 51’ 162’’ 54’’ 2’  120’’ 00’ ‘ Luego: (29º35’42’’)  3 = 9º51’54’’

Sería muy útil que dominaras “la tabla del 60”. 60 x 1 = 60 60 x 7 = 420 60 x 2 = 120 60 x 8 = 480 60 x 3 = 180 60 x 4 = 240 60 x 9 = 540 60 x 5 = 300 60 x 6 = 360

1. Relaciona las columnas convenientemente: a) 74º 100’ 65’’ ( ) 73º01’50’’ b) 73º90’75’’ ( ) 74º31’15’’ c) 72º73’69’’ ( ) 73º14’09’’ d) 71º120’110’’ ( ) 75º41’05’’ 2. Calcular: 24º55’35’’ + 39º050’28’’ a) 63º105’63’’ d) 64º46’03’’ b) 63º106’03’’ e) 59º25’30’’ c) 66º100’63’’

3. Calcular el complemento de: 29º37’28’’ a) 59º21’32’’ d) 60º22’32’’ b) 61º21’32’’ e) 59º25’30’’ c) 63º20’30’’ 4. Calcular el suplemento de 142º37’29’’ a) 37º21’33’’ d) 30º22’31’’ b) 37º22’31’’ e) 36º21’33’’ c) 37º21’30’’

5. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC. Calcular m∢AOC si:

m∢AOB = 20º37’26’’ M∢BOC = 15º52’36’’

a) 35º90’02’’ d) 34º89’61’’ b) 35º89’62’’ e) N.A. c) 36º30’02’’

6. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC. Calcular m∢AOB si:

m∢AOC = 77º56’32’’ M∢BOC = 21º37’30’’ a) 56º20’02’’ d) 57º19’02’’ b) 56º19’02’’ e) N.A. c) 58º20’05’’ 7. Calcular el quíntuple de 52º29’18’’ a) 260º145’90’’ d) 261º26’30’’ b) 260º146’30’’ e) N.A. c) 262º26’30’’

8. Calcular la cuarta parte de: 29º17’16’’ a) 7º18’19’’ d) 7º20’19’’ b) 8º19’19’’ e) 9º20’19’’ c) 7º19’19’’

9. Se dibuja el ángulo AOB cuya medida es 117º47’32’’. Se traza la bisectriz OM. Calcular: m∢AOM

a) 55º53’46’’ d) 55º52’45’’ b) 57º53’46’’ e) N.A. c) 58º53’46’’

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10. Si la tercera parte de un ángulo es 10º20’26’’. Calcular la mitad de dicho ángulo.

a) 31º01’18’’ d) 16º30’39’’ b) 30º01’18’’ e) N.A. c) 15º30’39’’

11. Del gráfico, calcular: m∢COD



m∢AOB, si:

m∢BOC = 2m∢AOB y m∢COD = 3m∢AOB a) 30º

b) 60º c) 70º d) 15º e) 45º

12. Del gráfico, calcular m∢BOC; m∢AOD = 160º; m∢AOB+m∢BOC = 100º y m∢BOC+m∢COD= 110º a) 70º b) 60º c) 50º d) 40º e) 45º

13. Si: m∢AOC = 50º28’39’’ y m∢DOE = 20º17’30’’. Calcular: m∢BOC.

a) 30º12’09’’ d) 25º17’09’’ b) 29º12’09’’ e) N.A. c) 30º11’09’’

14. Del gráfico anterior calcular m∢COD. a) 130º31’21’’ d) 128º31’21’’ b) 129º31’21’’ e) N.A. c) 120º17’20’’

15. Calcular la mitad del complemento de 22º50’36’’ a) 33º34’40’’ d) 32º34’42’’ b) 33º34’42’’ e) N.A. c) 30º34’40’’

1. Relaciona las columnas convenientemente: a) 39º126’182’’ ( ) 20º42’08’’ b) 20º38’248’’ ( ) 40º10’09’’ c)37º189’69’’ ( ) 22º02’02’’ d)18º240’122’’ ( ) 41º09’02’’ 2. Calcular: 29º35’29’’ + 39º45’55’’ a) 68º80’84’’ d) 69º21’24’’ b) 68º81’24’’ e) N.A. c) 69º80’80’’ 3. Calcular el complemento de 10º55’05’’ a) 69º04’55’’ d) 79º05’54’’ b) 69º05’55’’ e) 79º04’55’’ c) 79º05’55’’

4. Calcular el suplemento de: 100º25’32’’ a) 69º34’25’’ d) 69º34’28’’ b) 79º34’28’’ e) N.A. c) 78º34’28’’

5. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC. Calcular: m∢AOC si: m∢AOB = 10º20’31’’ ; m∢BOC = 2m∢AOB.

a) 30º61’33’’ d) 31º02’32’’ b) 30º33’01’’ e) 31º01’33’’ c) 30º01’33’’

6. Se tienen los ángulos adyacentes AOB y BOC. Calcular m∢AOB si: m∢BOC = 3m∢AOB además m∢AOC = 61º17’20’’

a) 15º18’20’’ d) 14º20’19’’ b) 16º19’20’’ e) N.A. c) 14º19’20’’

7. Del gráfico:

OM es bisectriz del ∢AOB. Calcular la m∢AOB si: m∢AOM = 25º25’31’’ a) 50º50’62’’ b) 51º51’02’’ c) 50º51’02’’ d) 14º50’02’’ e) N.A. C B M A O D C B A O D C B A O

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8. Del gráfico anterior. Calcular la m∢AOM. a) 155º34’29’’ d) 150º33’30’’ b) 154º34’30’’ e) N.A. c) 154º34’29’’

9. Calcular la mitad de complemento de 33º52’18’’ a) 28º33’51’’ d) 27º03’51’’ b) 28º03’51’’ e) N.A. c) 28º03’51’’ 10. Calcular la medida de “x”. a) 11º50’30’’ b) 10º49’30’’ c) 10º49’29’’ d) 32º29’27’’ e) N.A.

11. Del gráfico, calcular el suplemento de la mitad de la medida del ángulo BOC.

Si: m∢DOE + m∢FOA = 80º a) 80º

b) 130º c) 40º d) 100º e) N.A.

12. Del gráfico calcular: m∢MOC



m∢AOM. Si: OM: bisectriz del ∢AOB.

a) 20º b) 10º c) 30º d) 40º e) 50º

13. Del gráfico. Calcular: 2m∢BOD



2m∢AOB. Si: OB : Bisectriz del ∢AOC.

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º

14. Del gráfico anterior. Calcular el suplemento de la medida del ángulo AOD. Si: m∢AOB = 15º30’ a) 130º b) 129º c) 131º d) 119º e) 109º 15. Si el suplemento de un ángulo es 100º20’30’’. Calcular su complemento. a) 10º20’30’’ d) 15º30’20’’ b) 100º20’30’’ e) N.A. c) 12º20’40’’ 32º29’27’’ 3x A B C D E F O O A M B C 30º A B O 20º C D