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Trabajo Fin de Máster
Una propuesta didáctica para la enseñanza de las funciones en segundo de ESO
A didactical proposal for teaching functions in second year of ESO
Autor:
Jonatan Rapún Nacenta
Director:
Miguel Ángel Marco Buzunariz
Facultad de Educación 2017
Indice
1. Introducción………..pág 3.
2. Estado actual de la enseñanza-aprendizaje del objeto matemático….pág 5.
2.1 Justificación en los libros………...pág 5.
2.2 Campo de problemas, técnicas y tecnologías………...pág 5.
2.3 Consecuencias en el aprendizaje de los alumnos………pág 11.
3. Conocimientos previos………...pág 15.
4. Razón de ser del objeto matemático………...pág 21.
4.1 Razón de ser………pág 21.
4.2 Razón de ser histórica………pág 21.
4.3 Problemas que constituyen la razón de ser……….pág 27.
5. Campo de problemas, técnicas y tecnologías………..……...pág 31.
6. Diseño del campo de problemas……….pág 42.
7. Secuenciación didáctica………..pag 61.
8. Evaluación………...pág 65.
9. Bibliografía………..pág 78.
1. Introducción
El motivo por el que he elegido este objeto matemático es por la gran importancia que tiene y las dificultades que supone a los alumnos su aprendizaje.
Considero que es muy importante que los alumnos adquieran una buena concepción de este objeto y de sus utilidades.
En el currículum oficial de un alumno, este objeto adquiere una gran importancia, desde la asignatura de matemáticas, sobre todo a la hora de enfrentarse a derivadas e integrales, pero también desde otras asignaturas como física en la que se emplean funciones y gráficas para describir muchos procesos que explican el funcionamiento de nuestro entorno. También desde otras del ámbito social o de letras, como en la asignatura de economía a la hora de describir la evolución económica de un país. Este es un motivo por el que es necesario que los alumnos dominen este objeto matemático.
Por otro lado en los medios de comunicación encontramos a diario cantidad de información que viene expresada como una función o gráfica. Desde el estado de la economía de un país, datos estadísticos de la población o incluso resultados deportivos.
Por ello el estudio y comprensión de este objeto matemático ayudará a los alumnos a desarrollar un sentido crítico, consiguiendo interpretar y describir de manera correcta todas estas situaciones que se encuentran a menudo en nuestro alrededor.
Por estos motivos considero que es necesario que los alumnos se familiaricen, con un cierto grado de profundidad, en este tema desde cursos bajos, como puede ser segundo de educación secundaria obligatoria. Con ello conseguiremos primero que su vida académica se desarrolle correctamente y segundo que sepan desenvolverse a la hora de realizar o comprender funciones y sus gráficas y entiendan las implicaciones que estas tienen para ellos mismos o su entorno.
En el aspecto legal esta unidad didáctica está ubicada dentro del Bloque 4:
Funciones de la Orden ECD/489/2016 de fecha 26 de mayo, por la que se aprueba el currículo de la educación secundaria obligatoria en Aragón. Pero también dentro del Bloque 2: Números y Álgebra del mismo documento, en su apartado de resolución gráfica de sistemas lineales.
El campo de problemas que se abarcarán se compone de tres bloques. En primer lugar se tratará un estudio general de las funciones y sus propiedades, para posteriormente centrarnos en casos particulares y profundizar más en casos concretos como el de la función lineal, inversa o cuadrática. El último de los bloques será el de la resolución gráfica de sistemas de ecuaciones.
La estructura que seguiré en este trabajo consistirá en ver en primer lugar el estado actual de la enseñanza de este objeto, viendo cómo se justifica su introducción, los problemas y técnicas que se utilizan y los efectos que estos tienen en su enseñanza.
A continuación destacaré los conocimientos previos que los alumnos necesitan conocer para la introducción de este objeto matemático, así como actividades para reforzarlos.
Posteriormente se destacará la razón de ser tanto a nivel escolar como histórica y algunos problemas que la ilustren. Por último se describirán y desarrollarán los problemas y ejercicios, así como las técnicas y tecnologías necesarias para su resolución así como una secuencia didáctica o cronograma y se mostrará un ejemplo de prueba de evaluación y sus criterios de calificación que sirva para decidir si los alumnos han conseguido alcanzar los conocimientos requeridos sobre el objeto matemático.
2. Estado de la enseñanza-aprendizaje del objeto matemático.
2.1 Justificación en los libros.
Las funciones se introducen debido a la necesidad de representar gráficamente la relación existente entre dos variables numéricas que modelan una situación real. Los ejemplos más comunes son la temperatura a lo largo de un día, la distancia recorrida por un móvil según su velocidad, la altura del nivel del agua de un río a lo largo de un año… En definitiva a los alumnos se les pide realizar un gráfico sobre un eje cartesiano en el que se representan dos magnitudes de una situación real. La mayoría de problemas tienen una relación de proporcionalidad directa, en gran parte debido a que es un conocimiento que tienen reciente y se puede trasponer a multitud de situaciones reales.
Otra ventaja es que los alumnos puedan manejar la gráfica y la fórmula con soltura, proceso necesario a la hora de rellenar una tabla de valores o representar la función gráficamente.
2.2 Campo de problemas, técnicas y tecnologías.
Para presentar el campo de problemas que se enseña habitualmente en 2º de ESO, primero transcribiré los contenidos mínimos dictados por la Orden ECD/489/2016, de 26 de mayo.
Bloque IV: Funciones Contenidos:
-Coordenadas cartesianas: representación e identificación de puntos en un sistema de ejes coordenados.
-El concepto de función: Variable dependiente e independiente. Formas de presentación (lenguaje habitual, tabla, gráfica, fórmula). Crecimiento y decrecimiento.
Continuidad y discontinuidad. Cortes con los ejes. Máximos y mínimos relativos.
Análisis y comparación de gráficas.
-Funciones lineales. Cálculo, interpretación e identificación de la pendiente de la recta. Representaciones de la recta a partir de la ecuación y obtención de la ecuación a partir de una recta.
-Utilización de calculadoras gráficas y programas de ordenador para la construcción e interpretación de gráficas.
También describiré el campo de problemas utilizando, basándome en algunos libros.
Libro 1 (Santillana, 2008) 0. Introducción.
Cuenta una historia relacionada con René Descartes y las funciones.
1. Coordenadas cartesianas.
Técnica: La primera coordenada x se representa sobre el eje de las abcisas (horizontal), la segunda coordenada y se representa sobre el eje de las ordenadas (vertical). Se parte desde el punto de corte de los ejes (0,0).
2. concepto de función.
Técnica: Para que una relación represente una función, a cada valor de x, le tiene que corresponder un único valor para y, siendo x la variable independiente e y la independiente.
Justificación: Lo justifica con dos ejemplos, a partir de la temperatura que hace a lo largo de varios días que es función del tiempo, ya que en cada momento hace una temperatura única. En el segundo ejemplo vemos dos gráficas descontextualizadas, viendo que una es función y la otra no (usa la técnica de trazar una línea vertical y que a lo sumo sea cortada por un punto en todo el dominio, aunque no la explica)
3. Representación gráfica de una función.
3.1 A partir de una tabla de valores.
Técnica: Representar los valores de la variable independiente sobre el eje horizontal y la dependiente sobre la vertical.
Justificación: Realiza un ejemplo contextualizado cuya gráfica es lineal.
3.2 A partir de una expresión algebraica.
Técnica: A partir de la ecuación de la función y=f(x), se obtiene una tabla de valores y se aplica el caso anterior.
Justificación: Realiza un ejemplo contextualizado cuya gráfica es lineal.
4. Estudio de una función.
4.1 Función continua y discontinua.
Técnica: Una función es continua si su gráfica se puede dibujar de un solo trazo.
Justificación: Realiza dos ejemplos uno de una variable continua lineal y otro con una variable discreta.
4.2 Puntos de corte con los ejes.
Técnica: Los puntos de corte con el eje x, se calculan sustituyendo la variable y por cero. Para el corte con el eje y, se sustituye x por cero.
Justificación: Los puntos de corte con el eje x son de la forma (x,0) y con el eje y son de la forma (0,y).
4.3 Crecimiento y decrecimiento.
Técnica: Una función es creciente en un tramo si al aumentar el valor de x también aumenta el valor de y. Y será decreciente si al aumentar el de x disminuye el de y.
4.4 Máximos y mínimos.
Técnica: En los puntos donde la gráfica pasa de ser creciente ser decreciente, presenta un máximo la función. Y en los que pasa de ser decreciente a creciente presenta un mínimo.
Justificación: Plantea un problema de una etapa ciclista en la que intenta ver todo lo estudiado.
5. Función de proporcionalidad directa.
Técnica: Una función de proporcionalidad directa, o función lineal, es una función que relaciona dos magnitudes directamente proporcionales. Su expresión algebraica es del tipo y = mx, donde m es la constante de proporcionalidad directa y también se le llama pendiente de la recta. Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.
Si m es positivo, la función es creciente y si es negativo decreciente.
Justificación: Realiza un ejemplo.
6. Función de proporcionalidad inversa.
Una función de proporcionalidad inversa es una función que relaciona dos magnitudes inversamente proporcionales. Su expresión es del estilo 𝑦 = 𝑘
𝑥, con k la constante de proporcionalidad inversa. Su gráfica es una hipérbola, y no corta a los ejes.
Justificación: Realiza un ejemplo.
Libro 2 (Anaya, 2000) 0. Introducción.
Se plantean algunos problemas previos muy intuitivos.
1. Las funciones y sus elementos.
Técnica: La función asigna a cada valor de x un único valor de y. Para apreciar con claridad el comportamiento de una función, esta se representa gráficamente sobre unos ejes cartesianos.
Realiza un ejemplo en el que aplica la técnica para comprobar si es función de trazar una recta vertical y viendo que sólo se corta una vez a lo sumo, pero no la explica.
2. Crecimiento y decrecimiento.
Técnica: Una función es creciente en un tramo cuando al aumentar x, aumenta y.
Y decreciente si al aumentar x, disminuye y. Si mantiene el mismo valor en un tramo, se dice constante en ese tramo.
Justificación: Se muestra un ejemplo que relaciona el precio de las naranjas a lo largo de cierto año, traduciendo lo que significa cada uno de los apartados anteriores.
3. Funciones dadas por tablas de valores.
Técnicas: No presenta ninguna técnica. Además comenta que a veces se puede obtener la ecuación a partir de los valores, pero lo demuestra con dos ejemplos en los que se “saca de la manga” la ecuación sin ninguna justificación.
4. Funciones de proporcionalidad: y = mx.
Técnica: No presenta ninguna técnica, sólo algunos ejemplos.
5. Pendiente de una recta.
Técnica: m es la pendiente, si es positiva, la recta es creciente, mientras que si es negativa, la función es decreciente.
Si 𝑚 = 𝑎
𝑏 realiza ejemplos de representación tomando a como el lado opuesto al ángulo formado por línea y eje x.
Justificación: Ninguna, pero antes de explicar la técnica, realiza algunos ejemplos.
6. Las funciones lineales: y = mx + n.
Técnica: Pendiente m y corta al eje y en el (0, n) 7. Función constante: y = k.
Técnica: Se representa por una recta paralela al eje x, a una distancia k de éste.
Libro 3 (Vicens Vives, 2008)
1. Representación de puntos en el plano.
1.1 Representación cartesiana de puntos en el plano.
Técnica: El primer número indica, en valor absoluto, la distancia al eje vertical.
Y el segundo, la distancia en valor absoluto al eje horizontal.
Justificación: Lo aplica a un ejemplo y ve los signos de los cuadrantes.
1.2 Coordenadas polares de un punto del plano.
2. Relación entre variables.
3. Funciones.
3.1 Gráfica de una función.
4. Estudio gráfico de funciones.
4.1 Discontinuidades.
Técnica: Una función presenta una discontinuidad en un punto si no es posible dibujar la gráfica de la función pasando por ese punto sin levantar el lápiz del papel.
4.2 Cortes con los ejes.
Técnica: Para calcularlos, se debe resolver la ecuación f(x) = 0.
4.3 Crecimiento y decrecimiento.
Técnica: Una función es creciente si al aumentar el valor de la variable independiente x lo hace también el de la variable dependiente y
4.4 Máximos y mínimos relativos.
Técnica: La función tiene un máximo relativo en un punto si el valor de la ordenada en ese punto es mayor que en los puntos próximos.
5. Algunas funciones interesantes.
5.1 La función lineal.
5.2 La función afín.
5.3 Función cuadrática y = ax2 + bx + c
Técnica: Si a es positivo, la gráfica estará abierta hacia la parte superior. Vértice en (0, 0)
5.4 La función de proporcionalidad inversa.
2.3 Consecuencias en el aprendizaje de los alumnos
La forma en que se suele presentar este objeto matemático, aunque a veces puede ser acertada, puede provocar algunos problemas.
En primer lugar el introducir las funciones como una gráfica de dos variables una dependiente de la otra que es independiente no es mala idea, pero habría que comentar que hay otras definiciones, ya que introducir únicamente el concepto de esta forma podría provocar que los alumnos asocien la idea de que la función exista al hecho de que se pueda o no representar dicha función de manera gráfica. Podemos encontrarnos funciones cuya gráfica es realmente difícil de comprender, como la función de Dirichlet y en este caso los alumnos no sabrían responder si es o no función.
Por lo tanto habrá que introducir correctamente el concepto y ver la definición de función no limitándonos a la definición gráfica y viendo las diversas representaciones de la misma.
Pero tampoco se puede hacer un estudio centrándose únicamente en el aspecto algebraico, dejando de lado las demás representaciones de una función, ya que los estudiantes podrían limitarse a repetir rutinas o algoritmos sin entender muy bien el por qué se realizan.
Considero que el aprendizaje de las funciones pasa, en primer lugar por un conocimiento de cada uno de estos lenguajes de representación, es decir, por la adquisición de la capacidad para leer e interpretar cada uno de ellos y posteriormente para traducir de uno a otro. Las diferentes representaciones que podemos ver de una función son las siguientes:
-Modelo físico o simulación: es el lenguaje más cercano, menos simbólico y que aparece inmediato al realizar un experimento o una simulación en ordenador.
-Descripción verbal: utiliza el lenguaje común para hacer una descripción generalmente cualitativa.
-Tabla de valores: presenta una visión cuantitativa, interpretable desde la correspondencia, se identifican los pares ordenados y es parcial debido a la imposibilidad de mostrar la totalidad de datos.
-Gráfica: da una visión global y completa de la función a nivel cualitativo como cuantitativo, permite la generación de modelos, posibilita “ver” características de variación, crecimiento, continuidad, concavidad, máximos, mínimos, periodicidad, cambio, etc.
-Fórmula o ecuación: brinda una visión cuantitativa y cualitativa, general de la función, también permite observar las características de variación, crecimiento, continuidad, concavidad, máximos, mínimos, periodicidad, cambio empleando métodos algebraicos.
Si bien es cierto el modelo físico o simulación no lo trataremos demasiado en esta propuesta didáctica, pero se menciona debido a la gran importancia en la historia de este concepto.
En la siguiente tabla podemos ver un planteamiento en el que se indica el proceso a seguir para cambiar entre las diversas formas de expresar una función:
Además es común ver ejercicios, tanto en textos, como elaborados por profesores, del estilo: obtén la gráfica de la ecuación y=2x+3. Con la intención de que el alumno rellene a partir de una fórmula una tabla y posteriormente convierta esa
información en una gráfica, dando una mayor prioridad a este proceso se consigue que los alumnos adquieran un significado erróneo del significado de una gráfica viéndola como un elemento de ayuda y no como una representación de la función en sí misma.
Otro grave problema que experimentan los alumnos es el de decidir si un gráfico ha de representarse de manera continua o no. Acostumbrados a ver gráficas continuas como ejemplo (en gran parte a causa de trabajar con la expresión algebraica de las mismas) los alumnos tienden a representar los puntos que se obtienen de una tabla de valores por ejemplo y posteriormente unirlos y no se detienen a pensar si esa unión tiene sentido o no, o lo que es lo mismo si estamos ante una variable discreta o continua. Por lo que trataremos ejemplos de ambos tipos de variable con la intención de que los alumnos aprendan a razonar sobre qué tipo de variable se trata y por consiguiente si hay que unir o no los puntos.
Durante este curso nos centraremos sobre todo en la función lineal, aunque eventualmente veremos otros tipos como la cuadrática. Un aspecto importante es el de usar una escala adecuada para su representación gráfica. Ya que una elección errónea puede provocar una interpretación errónea a la que representa realmente, y obtenga conclusiones equivocadas. Nuestro objetivo será que los alumnos entiendan la importancia de la escala con las funciones que vamos a trabajar y puedan extrapolarlo a funciones más complejas que se verán en cursos posteriores.
Un error habitualmente cometido por los alumnos es a la hora de obtener máximos y mínimos de una función, tal y como pude apreciar durante mi practicum.
Normalmente la definición de máximo o mínimo viene dada por los puntos en los que el crecimiento de la función varía, pero esto lleva a cometer errores del tipo que siempre uno de estos puntos debe ser absoluto, sin tener en cuenta los casos en los que la función alcanza el valor máximo en sus extremos, como ocurre en las funciones lineales a las que se dedicará bastante tiempo.
Enfatizaremos al respecto para que los alumnos sepan localizar estos puntos y no obtengan la conclusión errónea que siempre van a ser puntos aislados o que siempre están presentes, sino que pueden ser un conjunto finito de extremos absolutos o incluso infinito si la función presenta un intervalo constante superior al del resto de la función.
Otro aspecto importante es la continuidad de la función. Habitualmente se enseña con frases del estilo “Una función es continua si puede dibujarse sin levantar el boli del papel”, que podemos apreciar en algunos textos o a menudo en boca de los profesores en activo. Podemos citar por ejemplo los libros de texto de 2º de la ESO de la editorial Edebé (1997), Vicens Vives (2003) o Santillana (2012).
Esta apreciación no es mala y para este nivel a menudo es suficiente, pero en un futuro podría acarrear problemas a los alumnos, ya que no es correcta del todo. Es necesario entender el concepto de dominio de una función (dónde está definida la misma) para poder ver el comportamiento de la función en el mismo. Una función puede representarse levantando el boli del papel y ser continua si por ejemplo su dominio no es conexo. Este concepto es bastante difícil y por supuesto no se va a tratar en este nivel, pero hace surgir la duda de qué es mejor para los alumnos, enseñar un concepto en parte erróneo o enseñar el concepto correcto en cursos posteriores como podemos apreciar en algunos libros de texto (por ejemplo los de este nivel educativo de las editoriales Edelvives (2007) y Anaya (2012), que no mencionan este concepto y lo dejan para cursos posteriores).
3. Conocimientos previos necesarios.
Evidentemente, el estudio de nuestro objeto matemático requiere que nuestros alumnos conozcan algunos conceptos que han estudiado con anterioridad en este u otros cursos. Sin estos contenidos, será muy difícil entender la razón de ser del objeto o que el objeto asiente de manera adecuada. Serán necesarios pues los siguientes conocimientos y objetos matemáticos:
-Números enteros: es importante que los alumnos entiendan el concepto de número entero y número negativo sobre todo y sepan situarlo en la recta entera correctamente. Ya que a la hora de representar valores en el plano cartesiano hay que hacer este proceso dos veces, una en la recta vertical y otra en la horizontal. Este procedimiento es muy importante a la hora de representar gráficamente una función o para obtener información de una gráfica.
-Números reales: ya que las funciones continuas carecerían de significado sin los números reales. Puesto que el dominio de estas funciones no se limita simplemente a los números enteros, sino que abarca los números reales.
-Proporcionalidad: en una gran parte del tema se trabajará con funciones lineales que presentan una proporcionalidad directa, es necesario que los alumnos manejen el concepto de proporcionalidad directa entre dos variables. Así podrán obtener con facilidad por ejemplo la gráfica de algunas funciones o completar tablas de valores de funciones de este estilo.
-Ecuaciones y cálculos algebraicos: una función se puede expresar con una ecuación o fórmula y así obtener resultados mucho más precisos, por este motivo es necesario que los alumnos sepan manejar dichas expresiones.
-Sistemas de ecuaciones lineales: una utilidad de las funciones que veremos será la de resolver sistemas de ecuaciones de manera gráfica. Por lo que será necesario que los alumnos comprendan qué es un sistema de ecuaciones y conozcan otros métodos de resolución para poder comparar resultados.
Todos estos conceptos necesarios se trabajan en 2º de la ESO, aunque algunos ya se vieron en cursos previos. Por este motivo es conveniente trabajar estas unidades didácticas con anterioridad a la expuesta en este trabajo. El que estos conocimientos
formen parte del temario de 2º de la ESO facilita que los alumnos los mantengan en la mente y puedan recordarlos con mayor facilidad que otros contenidos vistos en cursos anteriores. Un inconveniente que nos podemos encontrar es el hecho de que algunos de estos conceptos se han introducido a los alumnos por primera vez durante este curso y quizás no hayan interiorizado por completo. Por este motivo voy a presentar una serie de ejercicios que pueden usarse a modo de prueba inicial o de nivel antes de empezar con nuestra unidad didáctica y si fuese necesario se realizarían algunos ejemplos más a modo de refuerzo.
-Números enteros:
1- Indica cuáles de los siguientes son números enteros:
-En este caso buscamos que los alumnos sepan distinguir que es un número entero y que no.
2- Ordena estos números en una recta de números enteros horizontal y en una vertical:
-4, 12, 0, 5, -3, -5, 1, -6, 8
-Con este ejercicio buscamos dos cosas en primer lugar recordar cómo se ordenan los números enteros y su colocación sobre la recta entera, pero también ver que la recta se puede poner en vertical o en horizontal, cosa que será necesario cuando empecemos a trabajar con un eje cartesiano.
-Números reales:
3- ¿Cuál de los siguientes números crees que es mayor? Compruébalo situándolos sobre una recta de números reales:(Puedes usar una calculadora para saber un valor aproximado de los números)
-Con este ejercicio queremos ver si los alumnos se hacen una idea aproximada del valor decimal que tienen los números reales y posteriormente que lo comprueben y
sitúen sobre la recta real. Este proceso adquirirá gran importancia al trabajar con funciones continuas.
4- Escribe 2 números enteros que quieras. Obtén el número que se encuentra entre esos números (Recuerda que el número intermedio se calcula sumando ambas cifras y dividiendo por 2). Quédate con el número intermedio y el que se sitúa a su derecha de los dos iniciales. Repite este proceso 3 veces.
a) ¿Cuántas veces se podría realizar este proceso?
b) ¿Cuál es el valor intermedio de 2 y -2?
c) Sabemos que el valor intermedio de 2 números es 4.25. ¿Pueden ser los dos números iniciales enteros? ¿Puede ser alguno de los 2 un número entero? Razona tu respuesta.
-Este ejercicio tiene bastantes objetivos. El primero es reforzar el cálculo numérico. El segundo sería el ver con el apartado a) que siempre podemos encontrar un número entre 2 números dados y de allí deducir la idea de que la recta real es continua.
Con el apartado b) queremos conseguir deducir la idea de inverso de un número en la recta real. Y con el c) buscamos que razonen con números que no son enteros y las operaciones con reales.
5- Ordena los siguientes números reduciendo la fracción (sin usar la calculadora)
-En este ejercicio se pretende recordar la reducción de fracciones. Además en el apartado a) se pretende recordar las diferentes formas de expresar una fracción negativa, en el b) el proceso de ordenación de fracciones cuando estas tienen el mismo numerador y en el c) cuando tienen el mismo denominador.
-Proporcionalidad:
6- Un granjero necesita diariamente 96.93 kg de pienso y 85.32 kg de forraje para alimentar a sus 27 vacas. ¿Qué cantidad de pienso y de forraje diarios necesitará a partir de ahora si ha vendido 11 vacas? Dos meses después nacen 2 terneros que consumen la misma cantidad que una vaca, ¿cuánto pienso y forraje necesitará a partir de ese momento?
-En este problema vamos a empezar a repasar la proporcionalidad, además se trata de una relación inversa que hará a los alumnos pensar un poco y no la simple relación de “a más, más” que parece que ocurre siempre a la hora de hablar de proporcionalidad. Es cierto que no vamos a usar mucho la función inversa, pero es necesario ya que sí se tratarán algunos aspectos relacionados con ella. Además se refuerza el cálculo con decimales, ya que parece también que en los problemas de proporcionalidad el resultado siempre es un número entero.
7- El dueño de una papelería ha abonado una factura de 670 € por un pedido de 25 cajas de folios. ¿A cuánto ascenderá la factura de un segundo pedido de 27 cajas?
¿Cuántas cajas recibirá en un tercer pedido que genera una factura de 938 €?
-Con este problema queremos recordar la proporcionalidad directa ya que representa una función lineal y será una parte importante de estudio en nuestra unidad didáctica.
8- Sabemos que un cuaderno cuesta 2 euros. Rellena una tabla en la que se vea el precio de 2, 3, 4, 5 y 6 cuadernos. Realiza una gráfica con estos valores.
-En este problema planteamos una situación más sencilla, pero queremos que los alumnos se empiecen a familiarizarse con las tablas y con las gráficas de situaciones fáciles como esta función lineal.
-Ecuaciones y cálculos algebraicos:
9- Resuelve las siguientes ecuaciones:
Con este ejercicio queremos conseguir en primer lugar recordar la resolución de ecuaciones, en segundo lugar operaciones con monomios y por último la resolución de ecuaciones de segundo grado completas e incompletas. Además no en todos los ejercicios la variable es “x” para evitar que un simple cambio de nombre en los alumnos provoque que ya no sepan resolver esta ecuación. Considero necesario estas operaciones puesto que a veces las funciones vienen dadas por fórmulas y es necesario resolver cálculos similares al encontrar, por ejemplo. los cortes con los ejes.
-Sistemas de ecuaciones:
10- Resuelve los siguientes sistemas por el método indicado en cada caso:
-El objetivo es que sepan resolver sistemas de ecuaciones por los 3 métodos trabajados en la parte de álgebra, ya que en esta unidad se enseñará el método de
resolución gráfico y podrán comprobar las soluciones por alguno de los métodos estudiados.
4. Razones de ser del objeto matemático.
4.1 Razón de ser.
La razón de ser de este objeto matemático que quiero trasmitir es la de la necesidad de usar funciones para modelar situaciones de la vida real. Además veremos la necesidad de tener varias representaciones de una misma función ya que por ejemplo se podrán obtener valores más precisos cuando tengamos una tabla, mientras que para describir un fenómeno podríamos hacerlo a través de una gráfica. También veremos que será mucho más preciso el disponer de una expresión de la función y así conseguir con exactitud todas las características.
Por otro lado también será necesario obtener información de las gráficas, ya que en multitud de ocasiones recibimos información codificada de esta forma.
En definitiva, la necesidad de usar las funciones vendrá dada por las ventajas que estas poseen a la hora de representar cualquier situación que pueda darse en nuestro entorno. Por este motivo también será necesario interpretar las funciones para obtener las características de los fenómenos que modelan.
4.2 Razón de ser histórica.
A lo largo de la historia ha habido multitud de situaciones en las que se han usado las funciones aunque con una definición diferente en muchos casos a la actual o incluso sin una definición clara.
Evidentemente es muy difícil exponer todas las ocasiones en las que se han usado funciones a lo largo de la historia, ya que en multitud de ocasiones no hay registro por escrito de las mismas.
Pero sí que apreciamos que se ha dado tres enfoques a las funciones a lo largo de la historia.
-Función como tabla de valores.
Según varias investigaciones, se puede intuir que las primeras ideas matemáticas que pueden ser relacionadas con el concepto de función surgen en la antigua Babilonia.
Hay que comentar que el sistema de numeración de esta civilización consistía en dos símbolos, uno que representaba la unidad y otro que representaba nuestra actual decena. Además usaban un sistema sexagesimal, puesto que sólo disponía de cifras hasta el 59 empezando por el 0.
Usando esta numeración era habitual encontrar tablillas de arcilla con algunos cálculos matemáticos que podían surgir en su vida cotidiana relacionados con el comercio, agricultura, astronomía o los calendarios entre otras.
La escritura de esta civilización se conoce ya desde 1835 con los hallazgos de Henry Rawilson y las traducciones que realizó junto con Edward Hincks. Pero las primeras tablillas con contenido matemático se dieron a conocer en 1929 con los descubrimientos del arqueólogo Edgar James Banks.
Era habitual encontrar tablillas con relaciones entre un número n y su cuadrado o su cubo por ejemplo.
Estas tablillas podrían considerarse como la primera aparición de una relación entre un número y una cantidad de la otra columna que se ha calculado mediante una expresión. Sería algo parecido a una tabla de valores actual que describe una función.
Por otro lado Grecia siempre ha sido considerada la cuna de la civilización occidental y siempre han demostrado grandes conocimientos en las ciencias y por supuesto también en matemáticas. Claro está que los conocimientos matemáticos de los griegos son herencia de las matemáticas Egipcias y babilónicas entre otras.
Una de las más importantes aportaciones a las matemáticas hecha por los griegos es la idea de dependencia entre cantidades, ya que ellos la mencionaron por primera vez, por ejemplo de la mano de Arquímedes y sus leyes de la mecánica:
“Cualquier cuerpo sólido que se encuentre sumergido total o parcialmente en un fluido será empujado en dirección ascendente por una fuerza igual al peso del volumen del líquido desplazado por el cuerpo sólido”
Claramente en las leyes de Arquímedes o en muchos otros postulados griegos podemos ver que están hablando de una función lineal, aunque evidentemente ellos no la llamen así.
Otra aproximación al concepto de función podemos verlo en los estudios trigonométricos. Los primeros tratamientos que se hace a la trigonometría consisten en ver la relación existente entre los arcos o cuerdas de un círculo con su correspondencia en tablas de datos organizados ya conocidos desde la época de Hipócrates.
Por lo tanto podemos relacionar la trigonometría con el concepto de función ya que se intentaba ver la dependencia existente entre elementos de la circunferencia. Pero también en la organización sistemática y estudios en la dependencia para determinar las regularidades que posteriormente darían lugar a la elaboración de una teoría basada en las mediciones de arcos y cuerdas de una circunferencia.
Estudios en trigonometría también podemos verlos en las matemáticas árabes, los cuales disponían de tablas para el cálculo de senos, cosenos, secantes, cosecantes, tangentes y cotangentes. Nuevamente vemos una función que viene dada por una tabla de datos. Además es curioso que ya no se trata de funciones polinómicas como las vistas por babilonios o griegos.
-Función como representación de un fenómeno real y primeras representaciones gráficas.
Por ejemplo Nicolás Oresme hizo grandes aportaciones a la representación gráfica de funciones. Su representación consistía en segmentos verticales que apoyaba sobre una superficie llana formando una figura geométrica. Estos segmentos representaban las variaciones que se daban al observar algún fenómeno. Por ejemplo para describir un movimiento uniformemente acelerado se pondría sobre un segmento horizontal representando la posición en cada instante con un segmento en vertical y consiguiendo así una especie de gráfica que describía el fenómeno.
Es una de las primeras representaciones gráficas de una función que encontramos a lo largo de la historia.
En la edad moderna ocupa un lugar protagonista el estudio del movimiento como motor de las ideas científicas. Por ejemplo Galileo consideraba que el movimiento puede ser representado por curvas que simularían el trazo dibujado por una partícula al moverse. Como vemos Galileo basa sus trabajos en la observación y medición. Por ejemplo de caída libre de cuerpos siendo la primera vez que se representa un fenómeno
mediante la experimentación a diferencia de los análisis cualitativos del movimiento hechos por sus predecesores.
Galileo basa sus estudios de la caída libre en una situación en la que un objeto parte de una superficie horizontal y éste se mueve hasta su extremo y aprecia que siempre sigue una trayectoria parabólica si se desprecia la resistencia del aire. Esta representación mejora la de Oresme.
Galileo por lo tanto aporta al concepto de función una nueva perspectiva al tratamiento de la representación del movimiento como trayectoria y la descripción de sus mediciones con relaciones matemáticas que vienen dadas por una fórmula o expresión.
Esto da pie a que los matemáticos se centren en buscar métodos más adecuados para describir los movimientos. Un primer elemento a destacar es el de abordar el problema del lenguaje adecuado que exprese las ideas matemáticas. Vemos a François Viète que diferencia entre variable y parámetro de una ecuación lo cual propicia la idea de que una función puede venir representada por una ecuación.
-Función cómo fórmula y representación sobre un eje cartesiano.
Es René Descartes en su libro “El discurso del método” el que establece por primera vez el hecho de que una ecuación en x e y es una forma de expresar una dependencia entre dos cantidades variables de forma que dando valores a una variable, podemos conocer el valor de la otra.
Posteriormente Fermat introduce el concepto de ecuación lineal usando vocales (generalmente A y E) para representar las cantidades desconocidas tal y como había hecho Vieté. Fermat enuncia que todas las ecuaciones de primer grado representan líneas rectas.
Así se asentaron las bases de la hoy conocida como geometría analítica. Si bien es cierto aún no se ha formado el concepto de función, todos estos avances unidos a los de otras ramas de la matemáticas, como el hecho de usar letras o signos para representar de manera más cómoda las cantidades desconocidas o las operaciones, propiciaría la aparición del concepto formal de función.
Definición actual del concepto.
La definición actual de función se formuló en la edad contemporánea, a lo largo de la misma vemos diferentes aproximaciones desde diversos puntos de vista hasta la obtención de la definición actual. Como digo hay múltiples aproximaciones y desde puntos de vista diferentes, análisis, teoría de conjuntos,… Vamos a citar unas aproximaciones, pero no vamos a darle demasiada importancia a estas definiciones, ya que se emplean matemáticas mucho más avanzadas de las que se abarcan en este nivel, y nos centraremos en las representaciones de funciones vistas anteriormente, que son mucho más próximas a lo que queremos conseguir con nuestros alumnos.
En esta época encontramos en primer lugar a Newton que basa su estudio en el teorema del binomio y el estudio de series infinitas. Aunque el mayor aporte de Newton hacia el concepto de función viene dado por el tratamiento geométrico-cinemático del que parte su estudio.
Para Newton el movimiento de un móvil venía descrito por una curva que era composición de dos movimientos uno en vertical y otro en horizontal. Por lo que la posición estaba determinada por dos coordenadas y éstas variaban en función del tiempo.
El estudio de Newton se basa en dos problemas, el primero consiste en encontrar la velocidad del movimiento para un momento determinado y el segundo que era el inverso del anterior, encontrar en qué tiempo el objeto se mueve con una determinada velocidad.
Estas apreciaciones están muy relacionadas con la idea de función que existe actualmente.
También Leibniz hizo aportes. Su estudio se dedicó sobre todo a las series infinitas, pero advirtió la reciprocidad que hay entre el problema de obtener el área bajo una curva y la tangente de la misma. También la generalización de términos como constante, variable, coordenadas y parámetro de manera muy similar a la conocida actualmente.
Con todos estos antecedentes se empezaron a encontrar las primeras definiciones de las funciones.
Encontramos a Bernoulli que define: “una función arbitraria de x es una cantidad formada de manera cualquiera a partir de x y constantes”, de donde se puede interpretar que con “cualquier manera” se refiere a una ecuación algebraica.
También Euler definió función de la siguiente manera: “una función de una cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera a partir de esta cantidad variable y números o cantidades constantes”, el mismo Euler explica que por “expresión analítica” se refiere a operaciones algebraicas.
Posteriormente Euler precisó otra definición, semejante a la anterior pero cambiando la idea de expresión analítica por la de correspondencia entre variables como elementos pertenecientes a conjuntos. Su definición fue: “si x es una cantidad variable, entonces toda cantidad que dependa de x de cualquier manera o que esté determinada por aquella x se llama función de aquella variable”. Con esta definición se plantea la idea de que una función se origina cuando es posible asignarle una curva cualquiera en un sistema de coordenadas. También puede atribuirse a Euler la notación de f(x) para referirse a la función f aplicada sobre el argumento x.
Vemos que Euler deja entrever la idea de correspondencia entre ecuaciones y curvas dejando clara la idea que dada una función siempre puede trazarse la curva correspondiente y viceversa.
Una nueva definición podemos agradecérsela a Lagrange quien definió función como: “llamamos función a toda expresión matemática de una o varias cantidades en la cual estas aparecen de cualquier manera, relacionando o no con algunas otras cantidades que son consideradas como constantes, mientras las cantidades de las función puede tomar todos los valores posibles”
Las nuevas soluciones que iban surgiendo a problemas físicos originaban nuevas definiciones cada vez más precisas. En concreto se unió un nuevo elemento en el desarrollo del concepto de función, la clasificación entre continuas y discontinuas.
Así surgen definiciones como la de Lobachevsky: “El concepto general exige llamar función de x a un número, el cual se da para cada x y paulatinamente varía junto con x. El valor de la función puede estar dado por una expresión analítica, o por una condición, es decir, la dependencia puede existir y quedarse desconocida.
O la de Dirichlet, que es bastante satisfactoria: “Si una variable y está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre que se atribuya un valor numérico a x hay una regla según la cual queda determinado un único valor de y, entonces se dice que y es una función de la variable independiente x”
Por último fue Hausdorf quién cito la definición que se conoce hoy en día, en términos de relaciones de conjuntos: “El concepto de función es casi tan fundamental y primitivo como el concepto de conjunto. Una relación funcional está formada por pares de elementos, al igual que un conjunto está formado por elementos individuales”.
4.3 Problemas que constituyen la razón de ser.
Vamos a ver tres problemas que podemos usar a modo de razón de ser del objeto matemático a enseñar.
1. Marta está montada en una noria, y nos gustaría representar la altura en la que se encuentra en cada momento. ¿Sabrías representarlo? ¿Influye la velocidad a la que se mueve la noria? Representa que ocurriría si la noria se moviera más deprisa y más despacio. Si la noria se averiase, representa gráficamente la altura a la que se encuentra Marta en cada instante.
2. ¿Qué deporte podría producir una gráfica así? Razona cuáles de las siguientes opciones podrían ser y cuáles no.
Pesca
Salto de pértiga 100 metros lisos Paracaidismo Golf
Tiro con arco
Lanzamiento de Jabalina Salto de altura
Salto de trampolín Billar
Carrera de obstáculos.
Esquí acuático.
3. Vamos a ver algunas gráficas que muestran la evolución de cierto fenómeno a lo largo del tiempo (eje horizontal). Encuentra una situación de la vida real que quede representada por cada una de ellas. ¿Has podido encontrar una situación para cada gráfica? ¿Qué ocurre con la gráfica d)?
Implementación: Estos problemas se presentarán a los alumnos al comienzo de la unidad didáctica.
La idea de lo que se quiere conseguir es en el caso del primero, que intenten describir una situación que es familiar para los alumnos. Muchos empezarán a describirlo con palabras pero en seguida surgirán problemas a la hora de expresarse y se darán cuenta que se necesita otra forma de transmitir la información. Verán que es necesario recurrir a las funciones y en este caso a una representación gráfica que muestre la altura de la noria a lo largo del tiempo.
Con el segundo problema veremos que aunque es muy útil una representación gráfica, como se dieron cuenta con el primer ejercicio, si no sabes interpretarla, sigues sin saber la solución a tu problema. Al ver esa gráfica, pronto empezarán a decir que es
salto de altura, lanzamiento de jabalina o alguna respuesta similar. Esto se debe a que la gráfica parece que describe el recorrido de la jabalina o de alguien realizando un salto.
Esperamos que algún alumno aprecie que se representa la velocidad con respecto al tiempo y en ese momento surja el debate. Sino iniciaremos el debate proponiendo que la representación puede simular un tiro en una mesa de billar. Con este ejercicio conseguiremos que los alumnos vean que las gráficas serán muy útiles siempre y cuando sepamos interpretarlas.
Con la información que hayamos podido trasmitir a los alumnos o estos hayan encontrado por sí mismos en los dos primeros ejercicios, intentamos que encuentren ellos una situación para cada una de las gráficas. Los apartados a), b) y c) aunque supondrán problemas, más o menos todos los alumnos encontrarán una situación.
Aunque estoy convencido que una gran parte de la clase dirá que la b) representa una pelota botando, por el hecho de que imita su movimiento. Explicaremos que puede ser así si lo que mides es la altura a la que está la pelota pero que no tiene nada que ver con el hecho de que se parezca al movimiento que sigue. La idea es que se den cuenta de que la d), que no es una función, no puede representar ninguna situación real si el eje de las x es el tiempo, ya que eso supondría estar en dos estados a la vez. Por estado entendemos en dos puntos si describe la posición, con dos velocidades distintas si representa velocidad, etc. Así introducimos el concepto de función y la idea de que no puede haber más de un valor en una misma línea vertical.
Los alumnos tendrán muchas dificultades al intentar resolver estas situaciones, ya que el tema de funciones es algo nuevo para ellos. A partir de este momento desarrollaremos un campo de problemas con el que intentaremos conseguir que situaciones como las anteriores ya no supongan ninguna dificultad a los alumnos. En primer lugar veremos problemas que ayuden a los alumnos a representar e interpretar gráficas y funciones. A modo de clarificar un poco más el tema, veremos algunos ejemplos de funciones (lineal, de proporcionalidad inversa y cuadrática), de las que podremos obtener su ecuación o fórmula y obtener información más precisa que con la gráfica. También trabajaremos las tablas de valores como otra representación de una función o cómo paso intermedio entre la fórmula y la gráfica. Y también la resolución gráfica de sistemas.
Vemos que problemas de este estilo se han dado a lo largo de la historia, a la hora de construir el concepto de función, por lo que podríamos decir que la razón de ser que mostraremos a los alumnos es similar a la razón de ser histórica para este objeto matemático.
5. Campo de problemas, técnicas y tecnologías
Bloque 1: Concepto de función y características de estas.
1. Ejercicios relacionados con el concepto de función y sus diferentes formas de representación.
2. Representación de puntos en el plano.
2.1 Dibujo aproximado de una función.
3. Ejercicios sobre el estudio global de una función.
3.1 Dominio e imagen.
3.2 Monotonía.
3.3 Extremos relativos y absolutos.
3.4 Cortes con los ejes.
3.5 Continuidad.
4. Construcción aproximada de una gráfica conociendo sus características.
5. Problemas sobre la recreación del comportamiento de un fenómeno real a través de su gráfica.
6. Problemas de asociación de gráficas con su correspondiente situación real y viceversa.
Bloque 2: Ejemplos de funciones.
7. Ejercicios relacionados con las funciones lineales.
7.1 Ejercicios de representación gráfica de una ecuación a partir de su fórmula.
7.2 Ejercicios de representación de una tabla de valores.
7.3 Obtención de la ecuación a partir de una tabla de puntos.
7.4 Obtención de la ecuación de la función y su gráfica conociendo algunos datos.
8. Función de proporcionalidad inversa.
8.1 Representación gráfica y ecuación.
9. Función cuadrática.
9.1 Representación gráfica y ecuación.
10. Problemas de relacionar funciones tipo con su gráfica.
11. Obtención de la gráfica de la función resultante de combinar varias funciones tipo.
Bloque 3 Sistemas de ecuaciones. Método gráfico.
12. Resolución de sistemas lineales.
13. Resolución de sistemas no lineales con ayuda de herramientas informáticas.
A continuación indicaré las técnicas y tecnologías asociadas a cada uno de los problemas del campo de problemas.
Bloque 1. Concepto de función y características de éstas.
1. Determinar qué es y qué no es función en las diversas representaciones de las mismas.
Si la función viene dada por una descripción del suceso, consiste en ver que tiene coherencia esa definición.
Si la función viene dada por una expresión, reconocer que las funciones más básicas como los polinomios no presentan ningún problema.
Si la función viene dada por una tabla de valores, identificar la variable independiente y ver que no existe ningún valor que presente dos imágenes diferentes.
Si la función viene dada por una gráfica, se trazará la línea perpendicular al eje de las x y la “desplazaremos” por todos los puntos del dominio de la función para ver que sólo presenta un corte con la función en todos los casos.
Tecnología asociada. La definición de función nos indica que para cada punto del dominio, sólo puede haber una imagen asociada. Veremos la idea de que las funciones polinómicas siempre cumplen esto. También que en las tablas de valores la variable independiente no puede presentar dos imágenes para un mismo punto. Mientras que en las gráficas al trazar una línea vertical que vamos desplazando por todo el dominio de la función (todos los valores de x), si sólo es cortado una vez indica que sólo presenta una imagen en ese punto la función.
2. Representación de puntos en el plano.
Dentro de este apartado veremos dos tipos de ejercicios:
-Representar puntos en el plano sobre dos ejes cartesianos.
Un punto se representa como (x, y) donde x e y son coordenadas, la primera corresponde al eje horizontal o eje de abcisas y la segunda al eje vertical o eje de ordenadas.
Hay dos técnicas para situar los puntos. La primera consiste en situarnos en el origen de los ejes cartesianos cuyas coordenadas son (0, 0) y nos desplazamos tantas unidades cómo indique la primera coordenada del punto a representar hacia la derecha, si es un número positivo o a la izquierda si es negativo. Y luego se repite el proceso con la otra coordenada hacia arriba o hacia debajo de donde se quedó el punto.
La segunda técnica consiste en trazar una línea vertical (aunque sea imaginariamente) que pase por el eje de abcisas en el mismo punto que indique la primera coordenada. Y luego hacer lo mismo con una línea horizontal que pase por el eje de ordenadas a una altura igual a la segunda coordenada del punto a representar.
El punto buscado es la intersección de las dos rectas.
Las tecnologías que justifican estas técnicas son:
Para la primera el hecho de que (a, 0) + (0, b) = (a, b) O lo que es lo mismo podemos primero desplazarnos en el eje X y a continuación hacer el desplazamiento en el eje Y.
Para la segunda se justifica como que la intersección entre la recta x=a y la recta y=b es el punto (a, b) por lo que podemos representar esas dos rectas y su intersección será el punto buscado.
-Obtener las coordenadas de un punto representado en una gráfica.
La técnica a desarrollar es contar las unidades que se separa el punto del origen horizontalmente y ponerlo como primera coordenada teniendo en cuenta que si está más a la derecha este número será positivo y a la izquierda negativo. Y lo mismo para la segunda coordenada pero mirando las unidades que lo separan del origen verticalmente.
La tecnología que justifica esta técnica es la propia definición de representación de un punto sabiendo sus coordenadas.
2.1 Dibujo aproximado de una función.
La idea intuitiva es representar los puntos que conozcamos como se ha explicado antes o posteriormente veremos cómo obtener los puntos a partir de una fórmula. Y a continuación unirlos trazando la recta o curva.
La única salvedad es saber si esta unión de los puntos tiene sentido o no. Por eso habrá que discutir ante qué tipo de variable nos encontramos, puesto que si nos encontramos con una variable discreta, la unión de los puntos no tendría sentido, mientras que con una variable continua sí se podría realizar esta unión.
La tecnología que justifica esta técnica es que en una variable discreta por ejemplo personas no podemos saber qué pasará con 3.2 personas puesto que no sabemos que significa ese 0.2 personas. Por lo que no se puede unir los puntos y su gráfica serán puntos aislados. Sin embargo si estamos con una variable continua como el tiempo, sí tiene sentido saber qué ocurre en el segundo 3.5 por ejemplo, por lo que su gráfica será una recta o curva.
3. Ejercicios sobre el estudio global de una función.
3.1 Dominio e imagen.
Unimos estos dos problemas en uno ya que la técnica es muy similar en ambos casos. Para el dominio la técnica será imaginar que pintamos la función y que deja un rastro de pintura. Desplazaremos la función verticalmente y la parte que quede
“pintada” sobre el eje x será el dominio de la función. Para la imagen la idea será idéntica pero desplazando horizontalmente la función hasta el eje y, los puntos que queden “pintados” sobre el eje de ordenadas será la imagen de la función.
La tecnología que justifica esta técnica la encontramos en la propia definición de dominio de una función. Ya que el dominio es el conjunto de puntos para los que la variable independiente está definida o lo que es lo mismo los puntos x para los que existe la gráfica de la función. Con la técnica de ver qué parte del eje se queda “pintado”
conseguimos exactamente esto, ver los puntos del eje x para los que existe la gráfica. En el caso de la imagen son los posibles valores que alcanza la función. Esto se consigue con la técnica que hemos descrito.
3.2 Monotonía.
Para ver la monotonía (crecimiento y decrecimiento de la función) recorreremos el eje de las x (abcisas) de izquierda a derecha, si cada vez los valores de f(x)
(coordenada y) aumentan, estaremos en un tramo creciente y si disminuyen, será un intervalo decreciente. Si por el contrario los valores son iguales estaremos ante un tramo constante. Los resultados se darán como un intervalo mirado en la variable x, ya que si lo miramos en la y podría haber confusión, ya que se pueden alcanzar varias veces un mismo valor, cosa que en con las x no puede ocurrir.
La tecnología que justifica la técnica anterior es la traducción al lenguaje de la definición formal. Una función y=f(x) es creciente en un intervalo (a, b) del dominio si para cada par de valores x1< x2 si se cumple que f(x1) < f(x2), traduciendo esto con palabras, consiste en la técnica hemos descrito. Si vemos la definición de función decreciente y de función constante veremos que se corresponde también con la técnica descrita antes.
3.3 Extremos relativos y absolutos.
Detectaremos los puntos en los que la función cambia de ser creciente a decreciente o viceversa y estos puntos serán máximos o mínimos relativos
respectivamente. Para encontrar si alguno de estos puntos es máximo o mínimo absoluto miraremos si alguno de los relativos es también el punto máximo de la función.
También miraremos el valor que tiene la función en los extremos de los intervalos que conformen el dominio (si el dominio es continuo pero la función no lo es habrá que mirar también el punto de discontinuidad), ya que el valor máximo de la función también puede encontrarse entre estos puntos.
La tecnología que justifica esta técnica volvemos a encontrarla en la definición de extremo relativo. Por definición un punto es máximo relativo si el valor de f(x) en ese punto es el mayor en un entorno de ese punto. Por lo tanto un punto en el que la función pase de ser creciente a decreciente cumplirá este requisito. Idénticamente vemos el caso de mínimo relativo. En cuanto a los extremos absolutos, son los valores máximos y mínimos de la función en la totalidad de su dominio. Por ello comprobamos los puntos que ya son máximos o mínimos locales pero nos damos cuenta que si una función es creciente, el valor máximo estaría en el extremo final del dominio, por este motivo comprobamos también estos puntos y lo mismo ocurre en el caso de dominio continua pero función discontinua.
3.4 Cortes con los ejes.
De manera gráfica estos puntos se localizarán mirando los puntos que recaen sobre los ejes coordenados y dar sus coordenadas. Los que recaigan sobre el eje x serán los cortes con el eje x y los que recaigan sobre el eje y serán los cortes con el eje y (por la propia definición de función, sólo se puede cortar a la sumo una vez el eje y).
La tecnología que justifica la técnica es nuevamente la definición de punto con los cortes, ya que los cortes con el eje x son aquellos que tienen segunda coordenada igual a 0, o lo que es lo mismo los puntos en los que la función pasa por el eje de abcisas. O la resolución de un sistema por el método gráfico, ya que el corte con el eje x sería la resolución del sistema determinado por la función con la recta y=0. Y análogo con los cortes con el eje y.
3.5 Continuidad.
Consistirá en mirar que puntos del dominio de la función no se unen por derecha o por izquierda con el resto de la función y estos serán los puntos de discontinuidad.
Hay que matizar que si el dominio no es continuo estos puntos de discontinuidad no indicarán que la función no sea continua en estos puntos. La función será continúa en el resto de valores del dominio. Se darán todos los resultados en función de las coordenadas x de la función.
La tecnología que justifica esta técnica es nuevamente la definición formal de continuidad. Una función es continua en un punto si existe la función en ese punto (es parte del dominio) y además el límite de la función en ese punto coincide con su imagen. Esta explicación se escapa del nivel de los alumnos con los que tratamos, por eso daremos la idea intuitiva de que será continua si no presenta un salto la función bien sea en un punto o en un intervalo.
4. Construcción aproximada de una gráfica conociendo sus características.
A la vista de las características que nos den, los alumnos deben ser capaces de hacer una representación gráfica aproximada de la función. Para ello deberán aplicar las técnicas empleadas en el punto 3, pero a la inversa. Las tecnologías que las justifiquen serán las mismas que en ese apartado.
5. Problemas sobre la recreación del comportamiento de un fenómeno real a través de su gráfica.
Los alumnos deberán saber qué significa en una situación real cada una de las características que hemos visto en el punto 3. Así deberán saber qué significado tiene en su caso por ejemplo que una función sea creciente en un intervalo.
Realmente no hay ninguna técnica ni tecnología nueva asociada a este punto.
6. Problemas de asociación de gráficas con su correspondiente situación real y viceversa.
Los problemas consistirán en exponer a los alumnos unas situaciones reales y por otro lado sus gráficas y deberán asociar cada situación con su gráfica. Para ello nuevamente se basará en algunas de las características estudiadas en el punto 3 y con ellas deberán decidir cuál es la representación más apropiada en cada caso.
Nuevamente no se presentará ninguna técnica ni tecnología nueva en este apartado.
7. Ejercicios relacionados con la función lineal.
7.1 Ejercicios de representación gráfica de una ecuación a partir de su fórmula.
Vamos a presentar tres técnicas en este apartado:
Técnica 1. Los alumnos deben conocer que la función lineal tiene una expresión del tipo y=mx + n dónde m es la pendiente de dicha recta y n es su ordenada en el origen. Por ello y representarán el punto (0,n) en la gráfica y a continuación mirarán el valor de 𝑚 = 𝑎
𝑏 (a y b enteros y b distinto de 0). A partir del punto representado se desplazarán hacia arriba a posiciones, si m es positivo o hacia abajo si es negativo y luego se desplazará b unidades a la derecha del punto obtenido marcando el punto obtenido. La unión de estos puntos prolongada producirá la gráfica requerida.
Técnica 2. Teniendo en cuenta la representación anterior de la ecuación general de la función lineal. Los alumnos representarán los puntos (0, n) el punto (b, n+a) si m es positivo o (b, n-a) si m es negativo. La unión de estos puntos prolongada será la gráfica requerida.
Técnica 3. Los alumnos deben saber que si una función es lineal pueden obtener su gráfica sabiendo dos puntos cualesquiera de la gráfica. Por lo tanto darán dos valores arbitrarios a x y hallarán sus respectivas imágenes. Representarán por lo tanto (x1, f(x1)) y (x2,f(x2)) y la unión prolongada de estos dos puntos dará la gráfica requerida.
Las tecnologías que justifican estas técnicas son:
Tecnología 1. La recta corta al eje y precisamente en n. Como hemos visto el corte con el eje y se obtiene con el punto en que x vale 0 y este es n. Así el punto (0,n) pertenecerá a la recta. Por definición de pendiente positiva, si construimos el triángulo rectángulo formado por dos puntos de la recta como vértices y como hipotenusa el segmento de la recta que los une, la pendiente será igual a dividir el cateto opuesto por el cateto contiguo del ángulo que se forma entre el segmento de recta y el cateto horizontal. Por lo que el hecho de que la pendiente m=a/b habrá que realizar este triángulo con a unidades de cateto opuesto y b unidades el contiguo. Justo lo que realizarán los alumnos. Un razonamiento similar se haría para pendientes negativas.
Tecnología 2. Es similar a la anterior, ya que al final hallan los mismos puntos que en la técnica anterior pero de manera menos intuitiva, sabiendo exactamente la expresión que estos tendrá.
Tecnología 3. En este caso se encuentran dos puntos y sus imágenes sustituyendo en la fórmula el valor de estos puntos (x). Sabiendo que sólo hay una recta que une dos puntos, nuestra recta debe ser la que una estos puntos.
Para realizar el proceso inverso, obtener la ecuación a partir de una gráfica presentaremos también dos técnicas.0
Técnica 1. La ecuación buscada será de la forma y = mx + n. Miraremos el punto de corte de la gráfica con el eje y, y la segunda coordenada de este punto será igual a n.
Para obtener m tomaremos dos puntos de la gráfica A = (x1, y1) y B = (x2, y2), con x1<
x2 y m se obtendrá como 𝑚 = (y2 – y1)
(x2 – x1). Se sustituyen m y n en la ecuación inicial.
Técnica 2. En esta técnica obtendremos también dos puntos y los sustituiremos en la fórmula general de la recta. Resolveremos el sistema formado por estas dos ecuaciones con incógnitas m y n. Se sustituirán los valores obtenidos de m y n en la ecuación general.
Las tecnologías que justifican estas técnicas son:
Tecnología 1: Por la definición proporcionada anteriormente de ordenada en el origen y pendiente queda perfectamente justificado, ya que y2 – y1 nos proporciona lo que se desplaza la y, y x2 –x1 nos proporciona lo que se desplaza la x entre (x1, y1) y (x2, y2).
Tecnología 2: Sustituyendo dos puntos de la recta obtenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tiene una única solución para los parámetros m y n.
Resolviendo este sistema obtenemos la ecuación de la recta.
7.2 Ejercicios de representación de una tabla de valores.
Si tenemos una tabla de puntos, la técnica a seguir es la misma que en 2.
Representación de puntos en el plano. Con la única diferencia que ahora los puntos vienen recogidos en una tabla con dos entradas, una para la variable dependiente (y) y otra para la independiente (x).
El proceso inverso de rellenar una tabla de valores conociendo la gráfica de la función también se resuelve con la técnica explicada en 2. Representación de puntos en el plano. Pero la parte de obtención de puntos de una gráfica, con la salvedad de que se almacenarán en una tabla.
Las tecnologías que justifican las técnicas son idénticas a las mostradas en el apartado 2.
7.3 Obtención de la ecuación a partir de una tabla de puntos.
