TEMA 8: PROBABILIDAD

TEMA 8: PROBABILIDAD 1. EXPERIMENTOS. SUCESOS

Existen dos tipos fundamentales de experimentos:

 Experimentos deterministas

Son aquellos que realizados bajo las mismas condiciones producen el mismo resultado. Por ejemplo:

medir la distancia entre dos puntos, medir la longitud de una mesa, etc.

 Experimentos aleatorios

Son aquellos que realizados bajo las mismas condiciones pueden producir resultados distintos. Por ejemplo: lanzamiento de un dado o moneda.

A los posibles resultados de un experimento aleatorio se le llaman sucesos elementales. Por ejemplo:

en el lanzamiento de un dado, “salir el 2” es un suceso elemental.

Se llama espacio muestral, y lo designaremos por , al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Por ejemplo: en el lanzamiento de una moneda, 



^C,X



. Se denomina suceso de un experimento aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. Por ejemplo: en la extracción de una carta de una baraja española, un suceso sería “salir jota”(A=



JO,JB,JE,JC



). Se pueden distinguir los siguientes tipos de sucesos:

o Sucesos elementales: son aquellos que representan un solo resultado posible del experimento aleatorio. Por ejemplo: en el lanzamiento de una moneda, el suceso “salir cruz”

es un suceso elemental.

o Suceso compuesto: son aquellos que están formados por varios sucesos elementales. Por ejemplo: en el lanzamiento de un dado, “salir par” (A



2,4,6



) es un suceso compuesto.

o Suceso seguro: es aquel que siempre ocurre al realizarse el experimento aleatorio. Por ejemplo: en el lanzamientote dos dados, el suceso “la suma de las puntuaciones es menor o igual que 12” es un suceso seguro.

o Suceso imposible: es aquel que nunca se puede realizar. Lo designaremos por o. Por ejemplo:

en el lanzamiento de un dado, “sacar una puntuación mayor que seis” es un suceso imposible.

o Suceso contrario: Dado un suceso A, se denomina suceso contrario de A ( A ) a aquel que se produce cuando no se realiza A. Por ejemplo: en el lanzamiento de un dado, el suceso “salir primo” (A



^1,2,3,5



) y “salir 4 o 6” (A 

 

^4,6 ) son sucesos contrarios.

Entre los sucesos se pueden definir las siguientes operaciones:

 Unión de sucesos

Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se define el suceso A unión B (A B), como el suceso que se realiza cuando se cumple al menos uno de los dos.

 Intersección de sucesos

Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se define el suceso A intersección B (A B), como el suceso que se realiza cuando se cumplen simultáneamente los dos sucesos. Diremos que dos sucesos son incompatibles si su intersección es el suceso imposible (A B o).Por ejemplo: en el lanzamiento de un dado, el suceso “salir par” (^A



^2,4,6



) y “salir impar” (^B

 

^1,3,5 ) son sucesos incompatibles.

 Diferencia de sucesos

Dados dos sucesos A y B de un experimento aleatorio, se define la diferencia de los sucesos A y B (AB), como el suceso que se realiza cuando se cumple A, pero no B.

 Sistema completo de sucesos

Diremos que un conjunto de sucesos A₁,A₂,A₃,...,A_nde un experimento aleatorio constituye un sistema completo de sucesos si:

 Los sucesos son incompatibles dos a dos.

 La unión de todos ellos es el espacio muestral (A₁A₂...A_n )

Por ejemplo: en la extracción de una carta de una baraja española, los sucesos: “salir copas”, “salir bastos”, “salir oros” y “salir espadas” constituyen un sistema completo de sucesos.

Ejemplo 1: En la extracción de una carta de una baraja española, consideramos los sucesos: A=“sacar copas”, B=“no sacar espadas” y C= “no sacar oros ni espadas”. Halla los sucesos:

A C y A B C B C

B ,  ,   .



O CO BA



C

B  , , BC



CO,BA



BA



O,BA



CA



CO,O,E



2. CONCEPTO DE PROBABILIDAD. PROPIEDADES

En cualquier experimento aleatorio en el que los sucesos elementales son equiprobables podemos aplicar la regla de Laplace:

La probabilidad de un suceso A se obtiene dividiendo el número de resultados que forman el suceso A entre el número de resultados posibles. Así:

posibles casos

n

A a favorables casos

A n

p º

) º

(  REGLA DE LAPLACE

Este concepto de probabilidad tiene las siguientes propiedades:

o Si A y B son sucesos incompatibles (ABo), entoncesp(AB) p(A) p(B).

Por ejemplo: en el lanzamiento de un dado, sean los sucesos A=“salir par” (A



2,4,6



) y B=“salir 5”

(B

 

5 ).

3 2 6 ) 4 (A B  

p  , ya que A B



2,4,5,6



;

2 1 6 ) 3 (A  

p y

6 ) 1 (B  p . Además

3 2 6 4 2 1 6

1  

o Si AB, p(A) p(B).

Por ejemplo: en el lanzamiento de un dado, sean los sucesos A=“salir impar” (A

 

1,3,5 ) y B=“salir primo” (B



1,2,3,5



). Es obvio que AB y además ( )

3 2 6 4 2 1 6 ) 3

(A p B

p     

o p()1 y p(o)0 como consecuencia inmediata de la regla de Laplace. Además como consecuencia de la propiedad anterior tenemos que para cualquier suceso A se ha de cumplir que:

1 ) ( 0 p A 

o p(A)1 p(A).

Por ejemplo: en el lanzamiento de un dado, sean los sucesos contrarios A=“salir 4 o 6” (A

 

4,6 ) y A=“salir primo” (A 



1,2,3,5



). Es obvio que .

6 1 2 ) ( 6 1

) 4

(A    p A   p

o p(AB) p(A) p(B)p(AB)

Por ejemplo: en el lanzamiento de un dado, sean los sucesos A=“salir par” (A



^2,4,6



) y B=“salir primo” (B



1,2,3,5



). Es obvio que A B



1,2,3,4,5,6



, A B

 

2 y además

) ( ) ( ) 6 (

1 6 4 6 1 3 6 ) 6

(A B p A p B p A B

p          

Diagramas de árbol

Los experimentos compuestos pueden representarse por diagramas de árbol, donde cada resultado viene dado por un camino del diagrama, y en el que cada rama tiene asignada una probabilidad. Para calcular la probabilidad de un suceso debemos tener en cuenta:

 La probabilidad de un camino es igual al producto de las probabilidades de las ramas de ese camino.

 La probabilidad de un suceso es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de los caminos que conducen a la verificación del suceso.

Ejemplos:

-Lanzamos una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de los sucesos: A=”salir tres cruces” y B=”

salir dos caras y una cruz”.

Representamos la situación en un diagrama de árbol.

TIRADA I TIRADA II TIRADA III

2 1

C

2 1

C ²

1

C

2 1

XB

2 1

X ²

1

CB

2 1

X

2 1

X

2 1

C ²

1

CB

2 1

X

2 1

X ²

1

C

2 1

X A

Así pues, p(A)= 0,125 12,5% 8

1 2

·1 2

·1 2

1    y p(B) 

2

·1 2

·1 2

1 

2

·1 2

·1 2

1 0,375 37,5%

8 3 2

·1 2

·1 2

1   

-Una bolsa contiene tres bolas rojas y dos bolas azules. Extraemos, sucesivamente y con reposición, dos bolas y observamos su color. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja y una azul?

Llamemos a dicho suceso B. Igualmente, representamos la situación en un diagrama de árbol.

EXT I EXT II

5 3

R

5 3

R

5 2

AB

5 2

A

5 3

RB

5 2

A

 ) (B

p 

5

·2 5

3  0,48

25 12 5

·3 5

2 48%

3. PROBABILIDAD CONDICIONADA

Vamos a introducir el concepto de probabilidad condicionada con el siguiente ejemplo.

Consideremos un centro escolar con N escolares, de los cuales, n tienen ordenador y m son chicas. Al elegir un escolar al azar, consideramos loa siguientes sucesos: A”escoger un escolar con ordenador” y B”escoger una chica”. Sabemos, por la regla de Laplace, que:

N B m p N y

A n

p( ) ( ) .

Supongamos, por otra parte, que el número de escolares que tienen ordenador y son chicas es n_m. Así, la probabilidad de escoger una chica que tenga ordenador será:

N B n A

p(  ) ^m .

Supongamos ahora que queremos calcular la probabilidad de que un escolar tenga ordenador, eligiendo sólo entre las chicas. Esto es equivalente a calcular la probabilidad del suceso A, sabiendo de antemano que ha ocurrido el suceso B. Esta probabilidad la representaremos por p(A/B) y se denomina probabilidad de A condicionada por B. En nuestro caso p(A/B)=

m n_m

. Si dividimos numerador y denominador por N, nos damos cuenta que:

) / (A B

p =

m n_m

= ( )

) (

B p

B A p N m N n_m

  , o también p(A/B)·p(B) p(AB). Estas igualdades son ciertas

en general y constituye lo que se denomina expresión general de la probabilidad condicionada:

) / (A B

p ( )

) (

B p

B A p 

 , para cualquier pareja de sucesos A y B.

Dos sucesos A y B se denominan independientes si la probabilidad de que ocurra uno no está condicionada a que ocurra el otro, es decir: p(A/B) p(A) o p(B/A) p(B).

En este caso la expresión general de la probabilidad condicionada sería:

) ( )·

( ) ( )·

/ ( )

(A B p A B p B p A p B

p    . Así pues, si dos sucesos A y B son independientes se cumple que: p(AB) p(A)·p(B).

Ejemplo: Supongamos que tenemos una urna con tres bolas rojas y cinco negras. Realizamos dos extracciones y consideremos el suceso A”sacar la primera bola roja” y B”sacar la segunda bola roja” , en los siguientes casos:

 Extracción con devolución.

 Extracción sin devolución.

En el primer caso p(B /A)= ( ) 8

3 p B por lo que A y B son sucesos independientes. Sin embargo, en

el segundo caso, p(B /A)=

7

2 y p(B /A)=

7

3. Por lo tanto, el hecho de que ocurra el suceso A si condiciona el que ocurra B. En este caso A y B son, por tanto, sucesos dependientes.

4. PROBABILIDAD TOTAL

Si A₁,A₂,A₃,...,Anes un sistema completo de sucesos en un experimento aleatorio cualquiera, se cumple que ( ) ( )· ( / )

1

i i

n

i

A B p A p B

p





 , para cualquier suceso B.

Eso es debido a que B B



BA₁

 

 BA₂



...



BA_n



(ver gráfico)

Como



BA₁

 

, BA₂



,...,



BAn



son incompatibles dos a dos, aplicando la primera propiedad de la probabilidad, obtenemos que:

A1

B  B A² B A₃ B A₄

A5

B 

B

A 1 A₂ A₃ A₄ A₅ ^

       

 











 ⁿ

i

n

i

i i

i

n p B A p A p B A

A B p A

B p A B p B p

1 1

2

1 ... ( ) ( )· ( / )

)

(     Así pues:





 ⁿ

i

i

i p B A

A p B

p

1

) / ( )·

( )

( , que recibe el nombre de teorema de probabilidad total.

Ejemplo1

Disponemos de tres monedas: dos legales y una ilegal con dos caras. Se elige una al azar y se lanza al aire. Calcula la probabilidad de obtener cara.

Consideremos es sistema completo de sucesos:

1 

M ”elegir la moneda 1”, M₂ ”elegir la moneda 2” y M₃ ”elegir la moneda 3”.

Sea B”obtener cara”. Aplicando el teorema de probabilidad total, tenemos que:



1)· ( / 1

 

2)· ( / 2

 

3)· ( / 3



)

(B p M p B M p M p B M p M p B M

p    =

3 1 2 3· 1 2

·1 3 1 2

·1 3

1    .

Ejemplo2

Una fábrica de tornillos dispone de dos máquinas que elaboran el 75% y el 25% de la producción, respectivamente. El porcentaje de tornillos defectuosos que produce cada máquina es, respectivamente, del 4% y 2%. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un tornillo al azar, sea defectuoso?

Consideremos el sistema completo de sucesos:

1 

M ”elegir tornillo elaborado por la máquina 1” y M₂ ”elegir tornillo elaborado por la máquina 2”.

Sean, además, los sucesos contrarios: D”elegir tornillo defectuoso” y D ”elegir tornillo no defectuoso”. Si representamos la situación en un diagrama de árbol:























 









 





 



 

D M D

D M D

M D p

M D p M

p

M D p

M D p M

p

98 , 0 ) / (

02 , 0 ) / (

2 25 , 0 ) (

96 , 0 ) / (

04 , 0 ) / (

1 75 , 0 ) (

2 2 2

1 1 1

Por el teorema de probabilidad total, sabemos que:



)· ( /

 

)· ( /



0,75·0,04 0,25·0,02 0,035 3,5% )

(D  p M₁ p D M₁ p M₂ p D M₂    

p

(En realidad las propiedades utilizadas en un diagrama de árbol constituyen el teorema de probabilidad total)

5. TEOREMA DE BAYES

Vamos a estudiar el ejercicio anterior desde otro punto de vista. Si sabemos que el tornillo elegido es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido elegido por la máquina 1?

Sabemos que:

) / (M₁ D

p ( )

) ( ₁

D p

D M

p 

 =

) (

) / ( )·

( _{1 1}

D p

M D p M

p =

) / ( )·

( ) / ( )·

(

) / ( )·

(

2 2

1 1

1 1

M D p M p M D p M p

M D p M p

 =

% 7 , 85 857 , 02 0 , 0

· 25 , 0 04 , 0

· 75 , 0

04 , 0

· 75 ,

0  

 .

A esta probabilidad p(M₁/D) se le llama probabilidad a “posteriori”.

Pues bien, este resultado se cumple en general y recibe el nombre de teorema de Bayes.

El teorema afirma que:





 _n

j

j j

i i

i

A B p A p

A B p A B p

A p

1

) / ( )·

(

) / ( )·

) ( /

( , siendo A₁,A₂,A₃,...,A_n un sistema completo de sucesos.

Las probabilidades p(A_i/B) reciben el nombre de probabilidades a “posteriori” y las probabilidades )

/ (B A_i

p se denominan “verosimilitudes”.

Ejemplo: En un congreso se reúnen 250 médicos, de los cuales 115 son holandeses, 65 belgas, y 70, luxemburgueses. De ellos, el 75% los holandeses, el 60% de los belgas y el 65% de los luxemburgueses están a favor de la utilización de una determinada vacuna. Si seleccionamos uno de los médicos y resulta estar a favor de la vacuna, ¿cuál es la probabilidad de que sea de Luxemburgo?

Consideremos el sistema completo de sucesos:

L”ser de Luxemburgo”, H”ser de Holanda” y B”ser de Belgica”; además consideramos el suceso F”estar a favor de la vacuna”.

Nos piden p(L/F). Aplicando el teorema de Bayes:

) / (L F

p = 0,124

75 , 0 250· 6 115 , 0 250· 65 65 , 0 250·

70

65 , 0 250·

70 )

/ ( )·

( ) / ( )·

( ) / ( )·

(

) / ( )·

( 





 

 p B p F B p H p F H L

F p L p

L F p L p