TEORIA DE NUMEROS INTRODUCCION

TEORIA DE NUMEROS

INTRODUCCION

“Quien no conoce el pasado corre el riesgo de cometer los mismos errores”; las ciencias dentro del camino del ser humano han sido y serán como un plano o una guía que permite no seguir estrictamente una vía sino, de manera lógica crearse un camino o en todo caso tomar la mejor decisión en ese momento.

Para aprender matemáticas es necesario conocer sus bases y tenerlas presente al momento de todo nuevo conocimiento, porque esta ciencia no puede aprenderse por capítulos separados sino como una secuencia lógica. Este es el problema que encuentro en los estudiantes principiantes en la carrera de ingeniería, por ello es necesario retroceder lo más que se pueda y de manera lógica mostrarle el avance de esta ciencia y de la importancia de tener el concepto claro antes de continuar con otro tema.

Imagine que retrocedo en el tiempo hasta encontrar el origen de los números, luego comienzo a regresar y anoto todos los avances que muestran la evolución de las matemáticas y cuando llego a esta época lo invito a seguirme; le mostrare a modo de cultura general el origen de los números y le enseñare la importancia de su aprendizaje para el logro de la carrera de ingeniería que Ud. ha elegido, pero solo le pido una condición, tendrá que tener un comportamiento para seguirme; habrá momentos en que deseara nunca haberme seguido o quizás quiera alejarse de su carrera, puede pensar que Ud. no está hecho para la ingeniería, lo único que le puedo asegurar es que “está experimentando un método de vida”. La vida universitaria requiere cambios en su comportamiento, para algunos esto es rápido, para otros muy lento; pero hay quienes definitivamente no quieren cambiar, posiblemente tengan otras habilidades y la ingeniería no sea su camino, pero le aseguro que no importa la carrera que quiera seguir, tiene que evolucionar en su pensamiento y todo lo aprendido hasta ese momento le servirá en su vida.

APARICIÓN DE LOS NÚMEROS.-

Probablemente desde que apareció el ser humano en la tierra y comenzó a buscar abrigo, alimento o simplemente donde dormir, encontró a su alrededor un mundo que necesitaba conocer para poder sobrevivir, la observación de unos árboles o piedras le habrá formado la idea de un conjunto.

Existen muestras de los diversos tipos de numeración hechos en China, Mesopotamia, India, Roma, etc. Pero la muestra de la existencia de la numeración anterior a estas culturas es la marca realizada en un hueso de un babuino (pariente de los simios) encontrado en Ishango, región del África cerca a los orígenes del río Nilo. La importancia de estos restos pertenecientes al Paleolítico superior, muestra la existencia o por lo menos la idea de los inicios de un sistema de numeración pero ¿Qué representan estas marcas? ¿Por qué se utiliza un hueso de animal, como se hizo con el cuerno de un Mamut o de otros animales?

Otras marcas se encuentran gravadas en paredes de una cueva, pero estas cuevas no la pueden movilizar, por lo tanto lo gravado hace pensar que hacen referencia a hechos sin embargo lo que si movilizaban eran cuernos o huesos de animales, por lo que puedo pensar que lo marcado no eran hechos históricos sino, información que debían utilizar constantemente. Muchas preguntas por responder, por el momento solo queremos responder una ¿Cuándo nace la idea de número en el pensamiento humano?

Y como no es sencillo responder a esta pregunta, asumamos que en un momento del tiempo se forma la lógica del número y la creación del número “uno”, a partir de aquí el resto de números aparece a través de siglos de desarrollo del pensamiento, como una muestra de la evolución del ser humano.

En otro momento del tiempo nacen los “otros números” que se agrupan en lo que ahora conocemos como el conjunto de números NATURALES ( ): {1, 2, 3,4….}, pero aunque la lógica era la misma; la representación de estos primeros números era diferente.

Civilizaciones y números

 Numeración Arábiga:

Segundo formato: al-Biruni’s del año 1082 Primer formato: al-Sizji’s del año 969

Tercer formato: El de la península Ibérica (Al-Andaluz) 1202

 Numeración India:

Primer Formato: Escritura Brahma, Siglo I D.C.

Segundo Formato: Escritura Gupta, Siglo IV D.C.

Tercer Formato: Escritura Nagari, Siglo XI D.C.

 Numeración China:

 Numeración Egipcia:

 Numeración Romana:

 Numeración Mesopotámica:

 Numeración Maya:

Todas las numeraciones tenían diferente base por eso las representaciones eran diferentes, luego deben haber pasado miles de años para que todos acepten la base decimal 10 y adoptar la simbología actual.

Nota: debo esclarecer por qué algunos autores consideran al “cero” como natural y otros no; la razón es teórica y aún queda mucho por discutir, pero; esto no es nuestro objetivo, la mayoría de universidades en el mundo han adoptado a los números naturales como:

{1,2,3…..}, el resto bajo su óptica y razones prefieren: {0,1,2,3…..}.

Un poco para no dejar a ambos en la discusión llaman Naturales a {1,2,3….} y Cardinales a {0,1,2,3….}; luego continúan con la teoría.

Como estudiantes de ingeniería debemos dejar las discusiones para los matemáticos puros, quienes basados en teoría pueden explicar las razones que los lleven a considerar el cero o no, para nosotros los naturales comienzan desde el uno como la mayoría de universidades en el mundo considera y debemos orientarnos a la aplicación de la teoría.

Es exactamente igual cuando se discute en que momento de la historia aparece el numero

“uno” o en qué momento el hombre comienza a tener una idea de conjunto, es importante saberlo y hay profesionales a cargo de poder hacer este descubrimiento, para nosotros es

cultura general, no tiene relativa importancia saberlo ya que ello no forma parte de nuestra formación como ingenieros. Continuemos explicando el desarrollo de la teoría de números.

Hasta aquí habíamos dicho que se desarrollan operadores matemáticos como la suma y el producto; cuando aparece el tercer operador diferencia, dentro de una operación comercial ocurre dentro de operaciones que tienen lógica; a nadie se le ocurre restar (1 – 2), ya que no tiene lógica.

Este problema de aceptar la diferencia es otra historia y pasa por aceptar que todo lo que sabían sobre los números no era suficiente, que existían los negativos de cada número natural y posiblemente pensar en un orden y que el “cero” antecedía al número “uno”, quienes piensan así desarrollan otro conjunto pero, basado en los naturales y le llaman:

ENTEROS ( ) : { …, -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, …}.

Se debe haber desarrollado la aritmética y el álgebra como formas operativas para el tipo de comercio que se realizaba, pero otros pensaban en otras operaciones no relativas al comercio para lo cual los enteros les daban una explicación; luego pueda que el mismo comercio o la forma de realizar una transacción origine un cuarto operador matemático llamado Cociente o División entre enteros.

Se originan nuevos números como 2.7; 0.5, 0.3333…; es decir el operador origina estos números que al ser diferentes a todo lo conocido, hace pensar que; todo lo que sabían no era suficiente y había que darles un espacio o un lugar que el campo de los números enteros no podía darles, por lo tanto construyen un nuevo conjunto que los contenga, llamado:

NÚMEROS RACIONALES ( ) : {…-3, -2.5, -1, 0, 0.5, 3…}

Como definición podemos decir que todo numero racional es originado por el cociente entre dos enteros, sean positivos o negativos o en combinación.

Hasta aquí deben haber pasado varios miles de años y ya estamos en la era de los griegos, quienes estudiaban geometría basados en la lógica y la observación, pero a sus cálculos aplicaban toda la teoría de números conocida; y aparece un nuevo problema en la aplicación del teorema de Pitágoras, cuando los catetos tienen el valor uno y la hipotenusa la raíz cuadrada de dos (√ ), resulta que este número no es originado por el cociente entre dos enteros, luego aparecen otros valores que igualmente no son originados por los enteros como √

Estos números nunca hubieran aparecido como consecuencia del comercio, incluso el operador potencia y Raíz cuadrada, no debieron ser utilizados en la práctica, pero los griegos grandes pensadores y llenos de Lógica si aceptaban estos operadores y estos números, que fueron enseñados solo, a aquellos que eran alumnos de la escuela pitagórica,

por lo tanto no fue de conocimiento general, pero reconocen que hay otros números diferentes a los racionales a los cuales se les llamó:

IRRACIONALES ( ): {P/q / p q no son enteros}

Como definición son todos los números que no pueden ser generados por el cociente entre dos enteros.

El gran problema (me imagino) que tenían era relativo al orden y la posición entre ellos y se produce un estancamiento en la teoría de números ya que ambos conjuntos racionales e irracionales no tienen nada en común, no encajaban como si lo fueron los anteriores conjuntos, por lo tanto el uso de cada uno de ellos ha tenido que ser diferente hasta 1982.

Es el trabajo del matemático alemán Richard Dedekind quien en 1872; demuestra la relación entre ambos conjuntos: racionales e irracionales y su representación bajo los puntos de una recta. Este conjunto que es la unión de los racionales y los irracionales se llama Conjunto REAL ( )

{ }

Existe un nuevo conjunto que es la unión de los conjuntos anteriores y que tienen una correspondencia Biunívoca con los puntos de una recta.

Entender a los Números Reales es exactamente como comprender que una moneda tiene dos lados o caras, Dedekind demostró que entre dos racionales existe un irracional, por lo tanto aunque son números diferentes ambos forman un conjunto mayor que puede explicar operaciones que los conjuntos anteriores por separado no podrían explicar.

Hasta aquí, lo único que les he presentado con lógica es una teoría de cómo podrían haber sucedido las cosas mientras aparecían los números.

Bajo este contexto los números no tienen un sustento teórico sino histórico, la idea es darle validez científica y analítica que explique o sustente toda la ciencia matemática, partamos entonces del razonamiento lógico y definamos un conjunto.

¿Qué es un conjunto? o ¿A Qué denominamos conjunto?

Simplemente es una agrupación o formación

¿Agrupación o formación de qué?

Puede ser personas, colores, frutas, arboles, etc. Es decir si agrupamos o formamos un grupo de colores a este grupo le llamamos CONJUNTO DE COLORES y a cada color se le llama elemento del conjunto de colores.

Si agrupamos o formamos un grupo de frutas a este grupo le llamamos CONJUNTO DE FRUTAS y a cada fruta se le llama elemento del conjunto de frutas.

Un conjunto es una agrupación de elementos que tienen algo en común, para no estar nombrando al conjunto lo denotamos por una letra mayúscula.

A = {a, e, i, o, u}

Simplemente le llamamos conjunto “A” y a cada letra le llamamos elemento del conjunto

“A”; solo en este caso los elementos también son letras, por lo tanto en los elementos las letras no pueden ser mayúsculas.

Ejemplo: B = {a, 3, i, 5, u, 9}

Le llamamos conjunto “B” y a cada letra o número le llamamos elemento del conjunto B.

Regla de Pertenencia:

Cuando queremos indicar si un elemento pertenece al conjunto denotamos “ ” y cuando no pertenezca al conjunto lo denotamos “ ”.

Por ejemplo: ¿el elemento 5 a cuál conjunto pertenece?

Rpta. 5 B; 5 A

Por ejemplo: ¿el elemento k a cuál conjunto pertenece?

Rpta. k B; k A Cardinal de un conjunto:

Así se le denomina al número de elementos de un conjunto, por ejemplo ¿Cuántos elementos tiene el conjunto B? si observamos B tiene 3 números y 3 letras, por lo tanto tiene 6 elementos.

A este número cardinal le denotamos: n(A) = 6 Determinación de un conjunto:

Si mostramos cada elemento de un conjunto entonces estamos determinando al conjunto por extensión.

Por ejemplo A es un conjunto por extensión porque indicamos a todos los elementos que conforman las vocales. Hay conjuntos que no podemos nombrarlos a todos porque son demasiados, estos conjuntos se determinan por comprensión.

Por ejemplo B = {son todos los números mayores que 6}; es obvio que no podemos mostrar a todos los elementos, por eso se le señala una característica que nos permita saber quiénes son sus elementos.

Conjuntos especiales:

Son conjuntos que reciben un nombre en razón a los elementos que tienen, por ejemplo al conjunto que tiene un solo elemento se le llama Conjunto Unitario, por ejemplo:

A = {4} o B = {m}.

Al conjunto que no tiene ningún elemento se le llama conjunto vacío, por ejemplo:

A = { }, cuando observe que no hay ningún elemento no solo reconoce al conjunto vacío sino que tiene una notación especial “ ”. Cada vez que Ud. vea este símbolo se refiere al conjunto vacío.

Al conjunto que contiene a otros conjuntos se le conoce como conjunto Universal, también podemos decir el conjunto mayor o conjunto más grande que contiene a los demás conjuntos, denota “ ”

Relaciones entre conjuntos:

Dados dos conjuntos cualesquiera por ejemplo M y N.

1.- Se llama igualdad de conjuntos y denota “M = N”, { x/ si cada elemento de M pertenece a N, igualmente cada elemento de N pertenece a M.

Si no sucediera así se dice no son iguales y denota “M N”

2.- Se llama unión de conjuntos y denota “ ” { a un tercer conjunto C cuyos elementos pertenecen a M o N.

3.- Se llama intercepción de conjuntos y denota “ ” { a un tercer conjunto que tiene de elementos a aquellos elementos que se encuentran simultáneamente en ambos conjuntos.

Si no hay ningún punto en común se dice que no hay intercepción y denota “M N”

4.- Se dice “está incluido en” y denota “ ” { si cada elemento de M se encuentra en el conjunto N. lo contrario denota “ ”

5.- Se dice “incluye a” y denota “ ” { si cada elemento de N se encuentra en el conjunto M. lo contrario denota “ ”

Los elementos de un conjunto pueden formar otros conjuntos a estos nuevos conjuntos se les denomina Subconjuntos.

Por ejemplo. Sea A = {3, b, 7}

Podemos formar conjuntos unitarios: {3} {b} {7}

Podemos formar parejas: {3, b} {3, 7} {b, 7}

Podemos quitarle todos sus elementos: { } (tenemos al conjunto vacío por definición) Podemos tener los mismos elementos: {3, b, 7}

Todos los conjuntos formados son subconjuntos de A, si los cuenta observará que son 8.

¿Recuerda el cardinal de un conjunto? ¿Cuál es n (A)? Rpta. 3

Si hace 2³ = 8 exactamente igual al número de posibles subconjuntos que podía formar de A, este número se conoce como Potencia de un Conjunto.

Potencia de un Conjunto:

Dado un conjunto es el número de posibles subconjuntos que se pueden formar, una manera rápida de hallar este número es conociendo el cardinal del conjunto “n” y haciendo “2ⁿ”.

Por ejemplo: Sea El conjunto B = {2, 3, e, d, 5, g, t, 6, 7} ¿cuál es el conjunto potencia?

Tendríamos que hacer todo lo anterior para determinar a todos los subconjuntos, si preguntan ¿cuál es la Potencia de B?

Es más fácil como sabemos que el cardinal de B es = 9, entonces la potencia de B es 2⁹. Todo lo anterior es referente al concepto que debe saber sobre conjuntos, ahora podemos continuar y conceptualizar teóricamente un conjunto de números.

Aceptemos la gran creación del ser humano el uno (1) y el cero (0) y unos axiomas o verdades lógicas que no necesitan demostración, además de dos operadores matemáticos la suma y el producto, para formar los pilares sobre los cuales se va a levantar toda la teoría de los números.

Para la suma de números:

Dados 3 números a, b y c; pertenecientes al conjunto de los números reales:

A1: a + b (llamada ley de la cerradura para la suma).

A₂: a + b = b + a (llamada ley conmutativa).

A₃: a + (b + c) = (a + b) + c (llamada ley asociativa)

A₄: Se crea el elemento llamado “cero” que denota “0” de tal manera que a + 0 = a (este elemento se conoce como el neutro Aditivo).

A5: Todos los números tienen sus negativos que denotan (-a); de tal manera que a + (-a) = 0 (a este negativo se le conoce como el inverso aditivo).

Para el producto de números:

M1: a. b (llamada ley de la cerradura para el producto).

M₂: a .b = b. a (Ley conmutativa).

M₃: a (b. c) = (a. b). c (Ley asociativa)

M4: Se crea el elemento llamado “uno” que denota “1” de tal manera que a. 1 = a (este elemento se conoce como el neutro Multiplicativo).

M5: Todos los números tienen sus inversos que denotan ( ) de tal manera que .( )= 1 (a este número se le conoce como el inverso multiplicativo). “no se incluye al cero”.

Para el orden de números:

O1: Dados a y b a b ò a b ò a=b (ley de la Tricotomía) O₂: Si a b y b c a c (ley Transitiva).

O3: Si a b luego para cualquier c, se cumple a + c b + c O4: Si a b luego para cualquier c 0, se cumple a . c b . c Una combinación entre la suma y el producto:

D1: a ( b + c ) = a . b + a. c (llamada ley Distributiva)

Una base para la continuación o el desarrollo de las siguientes teorías:

L: Axioma del Supremo. ( la menor de las cotas superiores)

Como puede observar cada axioma es lógico y no necesita de demostración, luego lo aceptamos como punto de partida para desarrollar toda la teoría de números.

A continuación solo como muestra se presenta una demostración del producto de dos números y luego de la suma de dos números, en la cual tomando los axiomas anteriores podemos explicar el resultado como una secuencia lógica de axiomas, lo que luego permite generalizar otras operaciones y demostrar cualquier operación matemática.

Ejemplo: Demostrar que (-2)(-1) = 2

Solución:

2 + 0 = 2 por el neutro aditivo

2 + { 2+ (-2)}= 2 por el inverso aditivo {2 + 2} + (-2) = 2 por asociativa {2.1 + 2.1} + (-2). 1 = 2 por la existencia del uno 2{1 + 1} + (-2).1 = 2 por distributiva 2{1 + 1}+ (-2).{1+0}= 2 neutro aditivo

2{1 + 1}+ (-2).{1+ (1 + (-1)}= 2 la existencia del negativo de un número.

2{1 + 1}+ (-2).{{1+1}+ (-1)}= 2 por asociativa 2{1 + 1}+ (-2).{1+1}+ (-2){(-1)}= 2 por distributiva {1 + 1}{2+ (-2)}+ (-2) (-1)}= 2 por asociativa {1 + 1}. 0 + (-2)(-1) = 2 inverso aditivo

{1.0 + 1.0} + (-2) (-1) = 2 distributiva.

{0 + 0 } + (-2) (-1) = 2 neutro multiplicativo.

0 + (-2) (-1) = 2 neutro aditivo (-2)(-1) = 2 L.Q.Q.D.

Demostrar que 1 + 1 = 2 Solución:

2 . 1 = 2 M4

2. (2. 2^-1) = 2 M5

{2 . 2} .2^-1 = 2 M3

{2.1 + 2.1}.2^-1 = 2 M₄ 2{1 + 1}. 2^-1 = 2 D { 2. 2^-1}{1 + 1}= 2 M3

1.{1 +1}=2 M₅ {1 + 1 } = 2 L.Q.Q.D.

Cuando se prueba una operación, se procede nombrando el axioma o también como en el segundo ejemplo solo su nomenclatura que indica el axioma.

INTERVALOS

La nueva representación del conjunto de números reales corresponde a todos los puntos de una recta con la cual existe una correspondencia Biunívoca, es decir a cada punto de la recta le corresponde un único número real y a cada número real le corresponde un único punto de la recta.

Los intervalos son subconjuntos de los números reales y podemos representarlos gráficamente son segmentos de la recta, por ejemplo:

Dado el conjunto de números reales “ , representado por toda la recta; un subconjunto o parte de la recta sería gráficamente, la línea roja de esta recta.

3 7

Donde los extremos del segmento pueden pertenecer al intervalo o no, esta característica origina tipos de intervalo a cada cual le asignamos un nombre:

Intervalo Cerrado: Denota [ a ,b ]

Geométricamente lo representamos

Se debe entender a todos los números comprendidos entre “2” y “5”, incluidos estos puntos.

Es decir {2.01,3, 7/2, …. ,4.99, 5}

Intervalo Abierto: Denota] a ,b [ ó < a,b >

Geométricamente lo representamos

Se debe entender que se encuentran todos los números entre “-2” y “4”, menos los extremos.(note los círculos en negro)

Es decir {-1, 0,…., 3, 3.99}; nunca puede considerarse a -2 ò 4 Intervalo Semi Abierto ó Semi Cerrado: Denota [ a ,b > ó < a,b ]

Geométricamente lo representamos

Es como una combinación de los intervalos anteriores, donde un extremo pertenece y el otro extremo no, por eso tenemos dos modelos.(el intervalo es la línea roja)

-2 5 b 2

a

-1 3

4 b

1 6

En el primer modelo el número 1 pertenece pero el número 6 no pertenece al intervalo, también se le llama intervalo semicerrado por la izquierda ò se le llama intervalo semiabierto por la derecha, en ambos casos significa lo mismo.

En el segundo modelo es exactamente lo mismo, solo que ahora el número -1 no pertenece al intervalo y el número 3 si pertenece.

Intervalo Semi-infinito:

Denota: < ,b > ò [ a , >

En este caso no se encuentra un extremo, es decir sabemos donde se inicia pero no se sabe dónde termina, por esta razón se proyecta al infinito o menos infinito, el extremo donde nace el intervalo puede pertenecer al intervalo o no pertenecer al intervalo. Se pone los dos modelos que explican gráficamente como en el primer modelo el número 4 no pertenece al intervalo y continúa hacia la izquierda hacia menos infinito.

Todos los números comprendidos a partir del numero 4 hacia su izquierda pertenecen a este intervalo. También se le conoce como intervalo semi-infinito por la izquierda.

En el segundo modelo el número 2 pertenece al intervalo y se proyecta hacia su derecha a mas infinito, es decir se encuentran todos los números hacia la derecha del número 2.

También se le conoce como semi-infinito por la derecha.

Nota: Dado un intervalo a sus extremos se les llama cotas, así pertenezcan o no al intervalo. Esto permite diferenciar mejor a los intervalos semi infinitos del resto de intervalos ya que estos intervalos no están acotados por la izquierda o por la derecha.

Intervalo infinito:

Denota < , >

Geométricamente

Se conoce como otra representación del conjunto de los números reales, pero bajo el concepto de intervalo. No se encuentra acotado o no tiene extremos.

4 2

+ +

Se inicia en 4 y se

va hacia la

Se inicia en 2 y se va hacia la de

ALGEBRA DE INTERVALOS

Dentro del algebra de los intervalos se conocen entre otros operadores lógicos:

Por ejemplo: Hallar < 3,7 > [ -2,4 >

Solución:

1.- En la recta real dibujar ambos intervalos

-2 0 3 4 7

2.- Cuando superpone ambas rectas ó las junta ó las pone al mismo nivel

-2 0 3 4 7

Ud. observa ahora un solo intervalo que nace en “-2” y termina en “7”

[-2 , 7 > es la respuesta.

Hallar [-3,5] < -1, 4 >

Solución:

1.- En la recta real dibujar ambos intervalos

-3 -1 0 4 5

2.- Cuando superpone ambas rectas ó las junta ó las pone al mismo nivel

Ahora Ud. Observa [-3,5] respuesta.

Hallar [-5,-1] < 1, 6 >

-3 5

Solución:

1.- En la recta real dibujar ambos intervalos

-5 -1 0 1 6 2.- Cuando superpone ambas rectas al mismo nivel

Ahora Ud. Observa [-3,1] <1,6> respuesta.

No se sorprenda con la respuesta, la teoría le indica lo que debe responder “ lo que observa al unir o poner al mismo nivel las gráficas”

El otro operador se llama intercepción de intervalos.

Hallar [1,4]

Solución:

1.- En la recta real dibujar ambos intervalos

-1 0 1 2 4

2.- Cuando superpone ambos intervalos solo debe fijarse en los puntos que se repiten

-1 0 1 2 4

Ud. puede observar que al superponer ambos segmentos, solo hay puntos comunes o puntos que se repiten entre 1 y 2, a estos números le denominamos cotas. Para determinar si corresponde que sea abierto o cerrado en el número 1 preguntamos ¿1 pertenece a ambos segmentos? La respuesta es SÍ, luego debe ser cerrado. ¿El número 2 no pertenece a ambos segmentos? La repuesta es NO, por esta razón permanece abierto.

Respuesta [

:

-5 1

-1 6

Hallar [-3,2 >

1.- En la recta real dibujar ambos intervalos

-3 0 1 2 4

2.- Cuando superpone ambos intervalos solo debe fijarse en los puntos que se repiten

-3 0 1 2 4

Ud. puede observar que al superponer ambos segmentos, aparece la cota {1,2}; como puntos comunes entre 1 y 2, ¿el número 1 pertenece a ambos intervalos? NO, luego debe ser abierto en “1”. ¿El número 2 pertenece a ambos intervalos? NO, luego debe ser abierto en “2”. Respuesta 1,2 >

Hallar [-5,-1 >

1.- En la recta real dibujar ambos intervalos

-5 -1 0 6

2.- Cuando superpone ambos intervalos solo debe fijarse en los puntos que se repiten

-5 -1 0 6

Ud. puede observar que no hay cota o ningún punto en común. Respuesta { } ó { } Ambas notaciones indican lo mismo; no existe ningún punto.

Nota: puede darse el caso en el cual solo exista un único punto, por lo que debe responderse en forma de conjunto {3}, cuya notación no implica intervalo; solo es un conjunto que indica un punto único.

El otro operador se llama Complemento de un intervalo.

Sea A = [1,6] , hallar Solución:

1.- En la recta real dibujamos el intervalo

1 6 2.- Agregamos lo que falta para obtener toda la recta

1 6

Ud. puede observar que para obtener toda la recta faltan “2 intervalos”

La Respuesta es la unión de estos intervalos Sea B = [ + hallar

Solución:

1.- En la recta real dibujar el intervalo

-3 0

2.- Completar el intervalo para obtener toda la recta real

-5 0 1

Ud. puede observar la recta se completa con el intervalo Luego

Cuando haya practicado ya no será necesario hacer las gráficas.

𝐴

: Complemento

Se considera al conjunto de los , como el conjunto universo, luego el complemento de un intervalo es el otro intervalo que se necesita para obtener a todo .

Por último tenemos el operador diferencia entre intervalos:

Sea [ ] Hallar

Solución: sabemos que

1.- Vamos hacer 2 operaciones, en la recta real dibujamos ambos intervalos

-2 0 1 5 7 2.- Señalamos el complemento de A y lo alineamos con B

-2 0 1 5 7

Ud. puede observar que al superponer ambos segmentos del complemento con el intervalo B, solo hay puntos comunes o puntos que se repiten entre -2 y 1, a estos números le denominamos cotas. Para determinar si corresponde que sea abierto o cerrado en el número 1 preguntamos ¿1 pertenece a ambos segmentos? La respuesta es NO, luego debe ser abierto. ¿El número -2 pertenece a ambos segmentos? La repuesta es NO, por esta razón permanece abierto.

Respuesta

En adelante cuando practique le recomiendo hacer necesariamente la parte gráfica, inicialmente esto le ayudará a familiarizarse con el álgebra de intervalos y no podrá equivocarse, después la misma practica hará que ya no sea necesario utilizar las gráficas ya que lo resolverá con lógica (mentalmente Ud. verá las gráficas).

Hay ejercicios que puede consultar en cualquier libro o en internet, y son confusos por lo que solo los podrá resolver si grafica los intervalos, recuerde que es una ayuda visual cuando Ud. dude de su respuesta.

𝐴 𝐵: Diferencia

Complemento de A Complemento de A

ECUACIONES LINEALES

Vamos a resolver ecuaciones en general, primero las más sencillas que son las lineales, luego las cuadráticas y finalmente las polinómicas, se trata de resolver ecuaciones bajo un procedimiento que; cuando se requiera elevar el nivel, esto no sea un impedimento para resolverlas.

Resolver: +

Sencilla, pero no lo veamos por esa parte operativa, deseo que aprenda un procedimiento que se aplicará en ecuaciones en general y que ayudará a la teoría y así no cometa errores.

1.- Primero, debe llevar todo al extremo izquierdo de la ecuación; Recuerde que al pasar de un extremo al otro cambian de signo.

2.- Con su álgebra básica opere variables y números por separado; no importa el resultado del signo esto al final se acomoda con un teorema.

Es importante lo que acaba de hacer y entender que , le llamo factor.

Este factor nunca debe tener la variable “x” negativa, por lo cual la teoría indica que debe multiplicarse todo por “-1”; que es lo mismo a cambiar de signo todo el factor.

+

3.- Finalmente preguntamos ¿Cuál es el valor de “x” que haga cero el factor?

Resolver: +

1. Ordenando

+ + + 2. Operando y reduciendo

Cuando el factor tiene a la variable “x” positiva, solo falta determinar el valor que la haga cero.

3. Despejando el valor de x:

La ecuación lineal puede comenzar a elevar el nivel con solo poner números racionales o fracciones. Ejemplo:

Resolver: + + 1. Ordenando

+ +

2. Operando con orden, primero solo las variables, después solo los números:

+ Cada monomio tiene a “x”, puede escribir:

+

; +

+ =

La fracción resultante puede reducirla cuando exista mitad, tercia, etc.

Ahora continúe con la siguiente fracción:

Haga lo mismo:

Adicione la variable:

Operando ahora solo los números:

+ + Con orden:

3. Ha llegado al factor:

Donde la respuesta es el valor que haga cero el factor.

Podemos seguir elevando el nivel al introducir raíces en los coeficientes, ejemplo:

Resolver:

√ + √ √

1. Ordenando

√ + √ + √

2. Operando exactamente igual que el ejercicio anterior, con orden; pero, lo vamos hacer más rápido:

√ + √ √

+ √

√ + √ √

+√ √ + √

√ + √ √ + √ Adicione la variable:

(√ + √ ) Ahora solo los números:

√ 3. El factor queda:

(√ + √

) + √

Nuevamente el factor queda positivo solo falta despejar la variable:

(√ + √

) √ + √

√ + √

Todos los ejercicios fueron iguales en procedimiento, al principio le habrá parecido muy fácil, quizás no preste atención a lo indicado, los otros ejercicios ya tenían otro nivel, pero si tiene el álgebra básica no tendrá problemas, en todo caso le acabo de explicar lo que debe de hacer.

Cualquier ejercicio tiene el mismo procedimiento solo le queda practicar; dependerá de cuanto practique para que sea muy hábil en estos ejercicios.

ECUACIONES CUADRÀTICAS

Se llaman así, a las ecuaciones que presentan variables de exponente cuadrático, por ejemplo: + .

El procedimiento ha sido por lo general aprender la formula General, o el método de aspa simple, Horner o completar cuadrados. Todos son muy buenos algunos limitados, pero lo que se quiere es; utilizar un método que me permita responder por lo menos la gran mayoría de ecuaciones y que sea sencillo, fácil de aprender y que no me complique cuando se eleve el nivel del ejercicio.

Otra razón por la cual elijo un método es porque en las inecuaciones es necesario tener los factores para poder aplicar la teoría.

El método que recomiendo es el de completar cuadrados, pero con una ligera modificación, debemos repasar algunos conceptos algebraicos para entender mejor el método.

Recordando:

+ + +

+

Como observará el desarrollo de estos modelos tienen una diferencia en el signo, que es la parte que nos interesa, de acuerdo a esto; el modelo es (a+b)² ò (a-b)²

También es importante recordar: + “diferencia de cuadrados”

Ahora, vamos a relacionar una ecuación cuadrática con los modelos anteriores.

Resolver:

Solución: Interesa que observe solamente la parte roja Si observa el desarrollo del modelo anterior en rojo, corresponde (a-b)²

Luego ; el valor que falta se halla dividiendo 6 entre 2.

Nota: considere siempre el valor que está en el problema, en este caso es “6”, luego divida entre 2, siempre haga esto no interesa así no sea un número par.

Entonces: ( ) ……..*

Pero si desarrolla el binomio resulta.

+

Para que se mantenga la igualdad no debe estar el “9”, razón por la que debemos hacer en *

Este paso es sencillo, una vez que encuentra el número del binomio debe restar su cuadrado

Me explico:

Continuemos:

Reemplazando en el ejercicio (1) Que es la diferencia de cuadrados.

Claro solo debe acomodarlo para darle la forma y lo aprecie mejor

Ahora si aplique la diferencia: (x – 3 - ) (x – 3 + ) = 0 De donde los valores son: X1 = 7 ; X2 = -1 Rpta.

Nota: lo más importante no es la respuesta, sino los factores para continuar con la teoría.

Resolver: + +

1.- Interesa solamente la parte roja + + 2.- El modelo es donde el vacío es igual a

3.- + + 4.- + + “para que se mantenga la igualdad”

5.- Volviendo al ejercicio y haciendo el cambio + + + + 6.- + ; que es una diferencia de cuadrados

7.- Aplicando el artificio: + + + + 8.- Resolviendo:

¡Sencillo!, ahora vamos elevar el nivel.

Resolver: +

1.- Interesa solamente la parte roja + 2.- El modelo es + donde el vacío es igual a

3.- + + 4.- + + “para que se mantenga la igualdad”

5.- Volviendo al ejercicio y haciendo el cambio + + 6.- + ; que es una diferencia de cuadrados

El problema es referido a que 10 no es un cuadrado perfecto, pero eso se soluciona haciendo √

7.-Aplicando el artificio: + √ ( + + √ )( + √ ) 8.- Resolviendo: √ + √

Nota: cuando el número ; no es un cuadrado perfecto solo haga √ Resolver: +

La única diferencia es el número “3” en el factor cuadrático, pero esto no es problema, dividimos toda la ecuación entre este número.

1.- + +

2.- volvemos al modelo inicial, solo nos interesa +

3.- El modelo + , “recuerde el valor dividido entre 2, luego restar el cuadrado del resultado”

4.- Operando: ( ) + ( )

5.- El artificio de la diferencia de cuadrados: ( ) √

6.- Los factores: ( +^√ ) ^√

7.- Los valores: ^√ +^√

Resolver: √

Solución: Es lo mismo ahora solo aparece un radical y pueden aparecer mas, el procedimiento es el mismo.

1.- Se busca √

2.- dividiendo todo entre “2” ^√

3.- El modelo es

√

4.- La diferencia de cuadrados: ^√ , artificio: ^√ √

5.-Los factores: ( ^√ +^√ ) ( ^{√ √} )

6.- Los valores: ^{√ √ √} +^√

En realidad no interesa como sea la ecuación cuadrática, lo importante es el procedimiento que permite resolver cualquier ecuación.

Teóricamente es importante resolverlo pero; si no es posible formar la diferencia de cuadrados, significa que la respuesta es un número complejo, dentro del campo de los números reales se dice que es un “factor cuadrático irreductible”, es decir que no puede factorizarlo.

Por ejemplo: +

+ +

Pero no es posible; no tiene la forma de una diferencia de cuadrados por el signo.

No podemos aplicar el artificio: + √ .

Esto se conoce como un factor cuadrático irreductible, es decir no lo podemos poner como un producto de factores.

Cuando suceda este factor en una ecuación, simplemente “no existe solución en los reales”

Nota: En una inecuación tiene otro comportamiento, ya lo veremos en su momento.

Hasta aquí debe estar capacitado para poder resolver cualquier ecuación cuadrática, recuerde que no está aprendiendo una formula sino un procedimiento que facilita cualquier tipo de ecuación.