Ecuaciones y Sistemas. Inecuaciones. 1

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Ecuaciones y Sistemas. Inecuaciones.

1^◦Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología

Departamento de Matemáticas

I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA

Curso 2015/16

J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) ecuaciones e inecuaciones Curso 2015/16 1 / 49

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Índice

1 Introducción

Ecuaciones de primer grado Ecuaciones de segundo grado

2 Ecuaciones bicuadradas y asimiladas

3 Otros tipos de ecuaciones

Ecuaciones con fracciones algebraicas Ecuaciones irracionales

Ecuaciones factorizadas Ecuaciones logarítmicas Ecuaciones exponenciales

4 Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación y métodos

5 Método de Gauss Introducción

S. Compatible determinado

S. Compatible indeterminado S. Incompatible

6 Sistemas de ecuaciones no lineales

7 Inecuaciones Introducción

Inecuaciones de primer grado Inecuaciones de segundo grado Inecuaciones racionales

8 Problemas Propuestos

9 ¡No me cuentes historias!

Diofanto de Alejandría y M. al-Jwarizmi Niccolò F. Tartaglia y Girolamo Cardano

10 Complementos

La ecuación de tercer grado. Solución

11 Bibliografía

12 Créditos

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Introducción

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1| Introdu ión

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Introducción Ecuaciones de primer grado

Ecuación de primer grado o lineal

Unaecuación de primer gradooecuación lineal, es aquella que se pude reducir a la forma ax+ b = 0, donde a y b son números reales, con a 6= 0. Lasoluciónde esta ecuación es x = −b

a.

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a. Para resolver una ecuación, como por ejemplo 3(x − 2)

2 − (2x − 1) = 0, tenemos que:

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2 − (2x − 1) = 0, tenemos que:

Eliminar los denominadores. Calculamos el m.c.m. de los denominadores y multiplicamos cada término por él. Como m.c.m =2, tenemos

✁

2·3(x − 2)

✁

2 −2· (2x − 1) =2· 0 ⇒ 3(x − 2) − 2 · (2x − 1) = 0

(7)

2 − (2x − 1) = 0, tenemos que:

✁

2·3(x − 2)

✁

2 −2· (2x − 1) =2· 0 ⇒ 3(x − 2) − 2 · (2x − 1) = 0 Quitar paréntesis. Aquí debemos tener cuidado con el signo negativo

3(x − 2)−2 · (2x − 1) = 2 · 0 ⇒ 3x − 6−4x+2 = 0

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2 − (2x − 1) = 0, tenemos que:

✁

2·3(x − 2)

✁

3(x − 2)−2 · (2x − 1) = 2 · 0 ⇒ 3x − 6−4x+2 = 0

Reducir términos semejantes.

3x − 4x+ 2 − 6= 0 ⇒ −x − 4 = 0

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2 − (2x − 1) = 0, tenemos que:

✁

2·3(x − 2)

✁

3(x − 2)−2 · (2x − 1) = 2 · 0 ⇒ 3x − 6−4x+2 = 0

3x − 4x+ 2 − 6= 0 ⇒ −x − 4 = 0

Despejar la x.

−x − 4 = 0 ⇒ x= 4

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Introducción Ecuaciones de segundo grado

Ecuación de segundo grado o cuadrática

Unaecuación de segundo gradooecuación cuadrática, es aquella que se pude reducir a la forma ax²+ bx + c = 0, donde a, b y c son números reales, con a 6= 0. Cuando b y c son distintos de cero, se dice que la ecuación encompleta. Si b = 0 o c = 0, la ecuación se diceincompleta.

(11)

La solución general de las ecuaciones de segundo grado es

x=−b ±√ b²− 4ac 2a

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x=−b ±√ b²− 4ac 2a

Cuando b o c son cero, tenemos métodos particulares. Estos son:

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x=−b ±√ b²− 4ac 2a

Si b = 0 y c 6= 0, la ecuación queda como ax²+ c = 0 y tiene por soluciones

x= ±

q_−c

a

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x=−b ±√ b²− 4ac 2a

x= ±

q_−c

a

Si b 6= 0 y c = 0, la ecuación queda como ax²+ bx = 0 y tiene por soluciones, sacando factor común a la x

x(ax + b) = 0 ⇒ x= 0 y x=−b a

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x=−b ±√ b²− 4ac 2a

x= ±

q_−c

a

Si b 6= 0 y c = 0, la ecuación queda como ax²+ bx = 0 y tiene por soluciones, sacando factor común a la x

x(ax + b) = 0 ⇒ x= 0 y x=−b a

Si b = 0 y c = 0, la ecuación queda como ax²= 0 y tiene por solución x= 0

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Ecuaciones bicuadradas y asimiladas

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2| E ua iones

bi uadradas y

asimiladas

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Ecuaciones bicuadradas

Unaecuación bicuadradaes una ecuación que se puede reducir a la forma ax⁴+ bx²+ c = 0, donde a, b y c son números reales, con a 6= 0.

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Para resolver estas ecuaciones usamos el método de cambio de variable, donde sustituimos x² por otra variable z (z = x²), que nos lleva a una ecuación de segundo grado en z. Veamos un ejemplo. Sea x⁴+ x²− 2 = 0, entonces

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Hacemos el cambio z = x²(y por tanto z²= x⁴).

x⁴+ x²− 2 = 0 −→ z²+ z − 2 = 0

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x⁴+ x²− 2 = 0 −→ z²+ z − 2 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado en z.

z=−1 ±p

1²− 4 · 1 · (−2)

2 ⇒ z= 1 y z= −2

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x⁴+ x²− 2 = 0 −→ z²+ z − 2 = 0

z=−1 ±p

1²− 4 · 1 · (−2)

2 ⇒ z= 1 y z= −2

Deshacemos el cambio.

Si z= 1 ⇒ x²= 1 ⇒ x= ±1

Si z= −2 ⇒ x²= −2 ⇒ x= ±✟✟^√−2

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Ecuación asimilada a las bicuadradas

Unaecuación asimilada a una bicuadradaes una ecuación que se puede escribir en la forma ax²ⁿ+ bxⁿ+ c = 0, donde a, b y c son números reales, con a 6= 0, y n un número natural tal que n ≥ 3.

Para resolver estas ecuaciones usamos el método de cambio de variable, donde sustituimos xⁿ por otra variable z (z = xⁿ y z²= x²ⁿ), que nos lleva a una ecuación de segundo grado en z.

Veamos un ejemplo. Sea x⁶+ 7x³− 8 = 0, entonces

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Veamos un ejemplo. Sea x⁶+ 7x³− 8 = 0, entonces Hacemos el cambio z = x³(y por tanto z²= x⁶).

x⁶+ 7x²− 8 = 0 −→ z²+ 7z − 8 = 0

(24)

x⁶+ 7x²− 8 = 0 −→ z²+ 7z − 8 = 0

z=−7 ±p

7²− 4 · 1 · (−8)

2 ⇒ z= 1 y z= −8

(25)

x⁶+ 7x²− 8 = 0 −→ z²+ 7z − 8 = 0

z=−7 ±p

7²− 4 · 1 · (−8)

2 ⇒ z= 1 y z= −8

Deshacemos el cambio.

Si z= 1 ⇒ x³= 1 ⇒ x= 1

Si z= −2 ⇒ x³= −8 ⇒ x=√³

−8 = −2

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Otros tipos de ecuaciones

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3| Otros tipos

de e ua iones

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Otros tipos de ecuaciones Ecuaciones con fracciones algebraicas

Ecuaciones con fracciones algebraicas o racionales

Como su nombre indica, lasecuaciones con fracciones algebraicasoecuaciones racionalesson ecuaciones en las que hay fracciones algebraicas, es decir, la incógnita aparece en el denominador de alguna fracción. Las soluciones obtenidas hay que comprobarlas, pues pueden introducirse soluciones incorrectas.

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Para resolver estas ecuaciones eliminamos los denominadores multiplicando por el m.c.m. y resolviendo la ecuación resultante.

Ejemplo: x+ 1

2 − 4

x+ 1= 1. El m.c.m. de los denominadores es m.c.m. =2 · (x + 1), por tanto:

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Ejemplo: x+ 1

2 − 4

Eliminamos los denominadores multiplicando cada término por el m.c.m

✁

2 · (x + 1)·x+ 1

✁

2 −2 ·✘✘✘(x + 1) 4

✘✘_x_{+ 1}✘⁼2 · (x + 1)· 1 ⇒ (x + 1) · (x + 1) − 2 · 4 = 2 · (x + 1)

(30)

Ejemplo: x+ 1

2 − 4

✁

2 · (x + 1)·x+ 1

✁

2 −2 ·✘✘✘(x + 1) 4

✘✘_x_{+ 1}✘⁼2 · (x + 1)· 1 ⇒ (x + 1) · (x + 1) − 2 · 4 = 2 · (x + 1) Quitar paréntesis. Cuidado con el signo negativo

x²+ 1 + 2x − 8 = 2x + 2

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Ejemplo: x+ 1

2 − 4

✁

2 · (x + 1)·x+ 1

✁

2 −2 ·✘✘✘(x + 1) 4

✘✘_x_{+ 1}✘⁼2 · (x + 1)· 1 ⇒ (x + 1) · (x + 1) − 2 · 4 = 2 · (x + 1) Quitar paréntesis. Cuidado con el signo negativo

x²+ 1 + 2x − 8 = 2x + 2

x²+✚✚_{2x −}✚✚2x+ 1 − 8 − 2 = 0 ⇒ x²− 9 = 0

Continúa

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Resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta.

x²− 9 = 0 ⇒ x= ±3

(33)

x²− 9 = 0 ⇒ x= ±3

Ahora hay que comprobar las soluciones

(34)

x²− 9 = 0 ⇒ x= ±3

Ahora hay que comprobar las soluciones Solución x = 3:

x+ 1

2 − 4

x+ 1 = 1 ⇒ 3 + 1

2 − 4

3 + 1= 1 ⇒ 2 − 1 = 1 Solución válida

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x²− 9 = 0 ⇒ x= ±3

Ahora hay que comprobar las soluciones Solución x = 3:

x+ 1

2 − 4

x+ 1 = 1 ⇒ 3 + 1

2 − 4

3 + 1= 1 ⇒ 2 − 1 = 1 Solución válida

Solución x = −3:

x+ 1

2 − 4

x+ 1= 1 ⇒ (−3) + 1

2 − 4

(−3) + 1= 1 ⇒ −1 − (−2) = 1 Solución válida

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Otros tipos de ecuaciones Ecuaciones irracionales

Ecuaciones con radicales o irracionales

Unaecuación con radicalesoirracionales una ecuación en la que la incógnita se encuentra dentro de una raíz.Las soluciones obtenidas hay que comprobarlas, pues pueden introducirse soluciones incorrectas.

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Veamos con un ejemplo como se resuelven estas ecuaciones.

Ejemplo: √

x+ 13 − 1 =√ x+ 6.

(38)

Ejemplo: √

x+ 13 − 1 =√ x+ 6.

Aislamos uno de los radicales en un miembro.

√x+ 13 − 1 =√

x+ 6 ⇒ √

x+ 13=√ x+ 6 + 1

(39)

Ejemplo: √

x+ 13 − 1 =√ x+ 6.

√x+ 13 − 1 =√

x+ 6 ⇒ √

x+ 13=√ x+ 6 + 1

Elevamos al cuadrado los dos miembros y operamos.

(√

x+ 13)²= (√

x+ 6 + 1)² ⇒ x+ 13 = 1 + 2√

x+ 6 + (x + 6)

(40)

Ejemplo: √

x+ 13 − 1 =√ x+ 6.

√x+ 13 − 1 =√

x+ 6 ⇒ √

x+ 13=√ x+ 6 + 1

Elevamos al cuadrado los dos miembros y operamos.

(√

x+ 13)²= (√

x+ 6 + 1)² ⇒ x+ 13 = 1 + 2√

x+ 6 + (x + 6)

Volvemos a aislar la raíz en un miembro.

x+ 13 = 1 + 2√

x+ 6 + (x + 6) ⇒ 3 =√ x+ 6

continúa

(41)

Elevamos otra vez al cuadrado los dos miembros y operamos.

3²= (√

x+ 6)² ⇒ 9 = x + 6 ⇒ x= 3

(42)

3²= (√

x+ 6)² ⇒ 9 = x + 6 ⇒ x= 3 Ahora hay que comprobar las soluciones

(43)

3²= (√

x+ 6)² ⇒ 9 = x + 6 ⇒ x= 3 Ahora hay que comprobar las soluciones

Solución x = 3:

√x+ 13 − 1 =√

x+ 6 ⇒ √

3 + 13 − 1 =√

3 + 6 ⇒ 4 − 1 = 3 Solución válida

(44)

Otros tipos de ecuaciones Ecuaciones factorizadas

Ecuación factorizada

Unaecuación factorizadaes una ecuación formada por el producto de otras ecuaciones igualado a cero. Normalmente los factores son polinomios. Tienen la forma (x − a) · (x − b) · (x − c) · · · = 0.

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Unaecuación factorizadaes una ecuación formada por el producto de otras ecuaciones igualado a cero. Normalmente los factores son polinomios. Tienen la forma (x − a) · (x − b) · (x − c) · · · = 0. Para resolver estas ecuaciones sólo hay que tener en cuenta que para que un producto sea igual a cero es necesario que alguno o todos los factores sean cero.

(46)

Ejemplo: (2x − 1) · (x²− 1) · (x + 2)²= 0

(47)

Ejemplo: (2x − 1) · (x²− 1) · (x + 2)²= 0

(2x − 1) · (x²− 1) · (x + 2)²= 0 ⇒

® _{2x − 1 = 0} _⇒ _x₌¹

2

x²− 1 = 0 ⇒ x= ±1 (x + 2)²= 0 ⇒ x= −2

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Otros tipos de ecuaciones Ecuaciones logarítmicas

Ecuación logarítmica

Unaecuación logarítmicaes una ecuación en la que la incógnita se ve afectada por un logaritmo, o dicho de otra forma, que la incógnita forma parte del argumento del logaritmo.

(49)

Para resolver estas ecuaciones sólo hay que tener en cuenta la definición de logaritmo, log_ab= x ⇒ b = a^x y sus propiedades.

(50)

Para resolver estas ecuaciones sólo hay que tener en cuenta la definición de logaritmo, log_ab= x ⇒ b = a^x y sus propiedades.

Veamos uno ejemplo:

2 log x − log(x − 16) = 2 De la propiedades

log x²

x − 16 = log 100 y por ser log 100 = 2 x²

x − 16 = 100 Resolvemos y comrprobamos

x1= 80 Solución válida

x2= 20 Solución válida

Nota: Siempre hay que comprobar las soluciones.

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Otros tipos de ecuaciones Ecuaciones exponenciales

Ecuación exponencial

Unaecuación exponenciales una ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente de una potencia.

(52)

No hay un procedimiento estándar para resolver estas ecuaciones. Aquí veremos algunos ejemplos:

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Reducibles a una igualdad de potencias de igual base

3 · 2^3x= 1536 Pasamos el 3 dividiendo 2^3x= 512 descomponemos 512 en factores

2^3x= 2⁹ Igualamos exponentes

3x = 9 y resolvemos

x= 3

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Reducibles a una igualdad de potencias de igual base

3 · 2^3x= 1536 Pasamos el 3 dividiendo 2^3x= 512 descomponemos 512 en factores

2^3x= 2⁹ Igualamos exponentes

3x = 9 y resolvemos

x= 3

Cuando se llega a una igualdad de distinta base

3 · 2^3x= 81 Pasamos el 3 dividiendo

2^3x= 27 descomponemos 512 en factores 2^3x= 3³ Tomamos logaritmos en ambos lados log 2^3x= log 3³ Resolvemos la ecuación logarítmica

x= log 3³ log 2³

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Resoluble por cambio de variable

3^x+ 3^{x −1}+ 3^x+1= 13 Descomponemos las potencias 3^x+ 3^x3⁻¹+ 3^x3 = 13 Hacemos 3^x= z z+ 3⁻¹z+ 3z = 13 y sacamos factor común

z(1 +1

3+ 3) = 9 y operamos y resolvemos

z= 3 seshacemos el cambio

3^x= 3 ⇒x= 1

(56)

z(1 +1

3^x= 3 ⇒x= 1

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z(1 +1

3^x= 3 ⇒x= 1

Nota final: la ecuación a^x = −b, cona, b > 0 no tiene solución.

(58)

Sistemas de ecuaciones lineales

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4| Sistemas de

e ua iones

lineales

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Sistemas de ecuaciones lineales Clasificación y métodos

Definición y clasificación

Unsistema de ecuaciones linealeses un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas.

(60)

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican, atendiendo al número de soluciones, en:

(61)

Compatibles: cuando el sistema tiene alguna solución. Si el sistema tiene:

(62)

Una única el sistema esdeterminado.

(63)

Más de una solución esindeterminado.

(64)

Incompatibles: cuando no tiene solución.

(65)

Incompatibles: cuando no tiene solución.

Para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas usaremos cualquiera de los conocidos métodos de resolución: reducción, igualación o sustitución.