T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE

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ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE NÁUTICA Y MÁQUINAS NAVALES / NAUTIKAKO ETA ITSASONTZI MAKINETAKO GOI ESKOLA TEKNIKOA

MATEMATICAS

T0. TRANSFORMADAS DE LAPLACE

Mediante transformadas de Laplace (por Pierre-Simon Laplace) puede resolverse un tipo de ecuaciones diferenciales de orden n, son las llamadas ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, muy comunes en la resolución de circuitos eléctricos:

Las A son constantes, y la variable "x" en la práctica suele ser el tiempo. T0.1 Transformación (transformada) de Laplace de una función.

Para simplificar los cálculos supondremos que nuestras funciones y = f(x) cumplen las siguientes condiciones:

1) f(x) está definida para todos los puntos .

2) f(x) es contínua o contínua a trozos en cualquier intervalo 0 < x < b.

3) f(x) es de orden exponencial  , lo cual significa que f(x) es tal que:

La transformada de Laplace de una función f(x) con las características arriba indicadas se define como:

[1]

Así definida, como una integral, la transformada de una función f(x) cumple las típicas propiedades de linealidad:

Ejemplo 1: Hallemos la transformada de Laplace de una función constante, y = A. Respuesta: Sin más que utilizar la fórmula [1] donde sustituímos f(x) por A e integramos:

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Ejemplo 2: Hallemos la transformada de Laplace de una función exponencial inversa,

f(x) = e-ax.

Respuesta: Utilizamos la fórmula [1] donde sustituímos f(x) por su valor e integramos:

Ejemplo 3: Hallemos la transformada de Laplace de la función f(x) = sen x, siendo  una constante.

Respuesta: Como siempre, sustituímos f(x)=sen x en la fórmula [1] e integramos:

T0.2 Propiedades de las transformadas de Laplace.

Expresaremos aquí las propiedades más importantes de la transformada de Laplace de funciones:

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T0.3 Cálculo de transformadas mediante tabla.

Para el cálculo de transformadas de Laplace de funciones es conveniente tener

disponible una tabla con las transformadas de las funciones más importantes (aquí tiene una tabla de transformadas). Con la ayuda de esta tabla, y mediante las propiedades, podemos hallar la transformada de cualquier función que se nos presente.

Ejemplo 4: Con la ayuda de la tabla hallemos la transformada de Laplace de la función:

f(x) = 3 + 2 x²

Respuesta: Utilizando la propiedad 1, de linealidad de la transformadas, y con ayuda de la tabla tenemos:

Ejemplo 5: Con la ayuda de la tabla hallemos F(s) para la función f(x) = 2 sen x + 3 cos 2x.

Respuesta: Utilizando la linealidad, y mediante la tabla tenemos:

Ejemplo 6: Con la ayuda de la tabla hallar F(s) para la función f(x) = x e4x.

Respuesta: Teniendo en cuenta (1) que la transformada de f(x) = x es , y (2) la propiedad 2 de las transformadas, tenemos:

Ejemplo 7: Con la ayuda de la tabla hallar F(s) para la función f(x) = x cos ax . Respuesta: Según la tabla, la transformada para f(x) = x cos ax es:

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Ejemplo 8: Con la ayuda de la tabla, hallar F(s) para la función f(x) = e- 2xsen 5x. Respuesta: Según la tabla, la transformada de la función f(x) = sen 5x es:

y ahora, según la propiedad 2, con a = -2, tenemos:

Ejemplo 9: Con la ayuda de la tabla, hallar F(s) para la función: f(x) = e-x x cos 2x. Respuesta: Primeramente hallamos la transformada de la función f(x) = x cos 2x, de forma idéntica al ejemplo 7, con a=2, tenemos:

a continuación, tenemos en cuenta la propiedad 2 con a=-1,

Ejemplo 10: Con la ayuda de la tabla, hallar F(s) para la función: . Respuesta: Según la tabla, la transformada de la función f(x) = sen 3x es:

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Ejemplo 11: Con la ayuda de la tabla hallar la

transformada de Laplace para la onda cuadrada de la figura.

Respuesta: Se puede apreciar por la figura que la función f(x) es periódica (de periodo T=2), en concreto, la función puede ser expresada en un periodo en la forma:

Por lo tanto, según la propiedad 6 para funciones periódicas tenemos:

para realizar la integral del numerador debemos partir el intervalo (0,2) en los dos, (0,1) -en que la función es f(x) =1- y (1,2) -con la función f(x) = -1-:

Por lo tanto:

Ejemplo 12: Con la ayuda de la tabla hallar la transformada de Laplace para la onda en sierra de la figura.

Respuesta: Se puede apreciar por la figura que la función f(x) es periódica (de periodo T=2), en concreto, la función puede ser expresada en un periodo en la forma:

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Por lo tanto, según la propiedad 6 para funciones periódicas tenemos:

para realizar la integral del numerador debemos partir el intervalo (0,2) en los dos, (0,) -en que la función es f(x) =x- y (,2) -con la función f(x) = 2-x-:

por lo tanto tenemos:

T0.4 Transformadas de la derivada y de la integral de una función.

I) Consideremos una función f(x) cuya transformada de Laplace sea F(s), vamos a ver cuál es la transformada de su función derivadaf’(x):

II) Consideremos una función f(x) cuya transformada de Laplace sea F(s), vamos a ver cuál es la transformada de su función integral :

Atención a esta pareja de resultados, que serán fundamentales a la hora de resolver ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

T0. 5 Transformada inversa.

La transformada inversa de Laplace de una función F(s), es otra función f(x) ,

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Un teorema asegura que si la transformada inversa de Laplace de una función F(s) es continua, entonces también es única (no depende de ningún parámetro).

Al igual que en el caso de la transformada, también se cumple la linealidad:

El método más común para hallar la transformada inversa de una función F(s) es mediante la tabla, fijándonos ahora en la segunda columna para hallar la función f(x) de la primera columna, como veremos a continuación en los ejemplos.

Van a ser muy utilizados dos recursos que pasamos a comentar. * El método del cuadrado.

Se trata de expresar un polinomio de segundo grado, a s2 + b s + c, en la forma: a(s + k)2 + h2. El proceso es muy simple:

* El método de las fracciones parciales.

Es el mismo método usado en las integrales indefinidas. Toda función en la forma fraccionaria p(s)/q(s), -siendo p(s) y q(s) polinomios tales que el grado de p(s) sea menor que el del

q(s)- puede expresarse como una suma de otras fracciones en cuyos denominadores vienen polinomios de grado 1 o cuadráticos elevados a una potencia. Es decir, la suma de:

para cada raíz real del polinomio q(s), s = a, de orden de multiplicidad m, más la suma de:

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ponemos el mismo denominador en el miembro de la derecha e identificamos los coeficientes de ambos numeradores, lo que nos conduce a un sistema simple que nos permite hallar el valor de todas estas constantes A1, A2, ..., B1, B2, ..., C1, C2, ... Como ejemplo vamos a realizar esta descomposición para la función:

Tenemos tres raíces reales: s = 0 (orden de mult. 3), s = 2 (orden 1) y s = -1 (orden 1), entonces:

El denominador común del miembro de la derecha es s3 (s2 - s - 2), que obviamente coincide con el de la izquierda. Ponemos este denominador común a la derecha, y cancelamos ambos denominadores, lo que nos lleva a:

Ahora en esta identidad vamos haciendo sucesivamente s =0, s=2, s=1, ... lo que nos va conduciendo a la determinación de los coeficientes. Finalmente tenemos:

* Ejemplos de transformadas inversas:

Solución: Si nos fijamos en la tabla de transformadas, comprobamos que nos conviene que haya un 2 en el numerador de la fracción, por lo tanto podemos poner:

* * *

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* * *

Solución: El numerador, s + 4, lo podemos expresar como la suma (s + 2) + 2. Entonces tenemos,

* * *

Solución: Hacemos la descomposición en fracciones simples,

A continuación determinamos A y B, en este caso obtenemos: A = 5/3, B = -2/3. Y por lo tanto:

* * *

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cuyos coeficientes son es este caso: A=1/4, B= -1/4 y C =0. Por lo tanto, tenemos:

T0. 5 Resolución de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes mediante la transformada de Laplace.

Considérese una ecuación lineal con coeficientes constantes en la forma:

junto con n "condiciones iniciales" en la forma:

Llamemos Entonces, como se ha visto en T0.4, podemos expresar la

transformada de la derivada de y(x) así:

resultado que vamos a llamar provisionalmente F1(s). Y ahora vamos aplicando de manera recursiva esta misma fórmula de la transformada de la derivada:

Ahora bien, todas estas derivadas de y(x), en el punto origen son las condiciones iniciales.

La forma de resolver una ecuación diferencial tal como la que hemos expresado anteriormente, con ciertas condiciones iniciales conocidas, es la siguiente:

1) Tomamos transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuación, con lo cual

obtenemos una expresión en la forma:

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2) En esta expresión, despejamos F(s) y finalmente tomamos transformadas de Laplace inversas, lo cual nos conduce directamente a la solución buscada.

* Ejemplos:

Ejemplo 1: Resolver la ecuación diferencial y’ - 5 y = 0, con la condición inicial

y(0)=2.

Solución: Comenzamos por hacer las transformadas de Laplace de ambos miembros:

La transformada de 0 es 0, la de "y" es F(s), y la de y' es "s F(s) - y(0)", entonces podemos poner:

(s F(s) - 2) - 5 F(s) = 0 Ahora despejamos F(s) en esta ecuación:

Y finalmente tomamos transformadas inversas en ambos miembros:

con lo que llegamos a la solución pedida: y(x) = 2 e5x.

* * *

Ejemplo 2: Resolver la ecuación diferencial y’ + y = sen x; con la condición y(0)=1. Solución: Tomamos transformadas de Laplace en ambos miembros:

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* * *

Ejemplo 3: Resolver la ecuación diferencial y" + 4 y’ + 8 y =

sen x, con las condiciones iniciales: y(0) = 1, y’(0) = 0. Solución: Tomamos transformadas de Laplace en ambos miembros:

es decir,

Ahora despejamos F(s) y hallamos transformadas inversas:

* * *

Ejemplo 4: En el circuito RCL de la figura, se tiene R = 2  , L = 1 H, C = 0,5 F, V = 50 volt. Las condiciones iniciales con el circuito abierto son : q(0) = 0, i(0) =0. Hallar la intensidad de corriente i(t) cuando se cierra el circuito.

Solución: Aplicando la ley de Ohm al circuito RCL cerrado, se tiene:

En este caso podemos expresar , con lo que la ley de Ohm nos queda:

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la integral de i(t) es:

podemos tomar transformadas en ambos miembros:

y la solución se obtiene de obtener las transformadas inversas:

Figure

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