ºSISTEMA EDUCACIONAL LIAHONA GERENCIA TECNICA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA. NM4-2017
GUIA PARA EL APRENDIZAJE Nº 11: TRIÁNGULOS
NOMBRE: CURSO:
Ángulos en triángulos
Teorema Nº 1: En todo triángulo, la suma de las medidas de los ángulos interiores es igual a 180º
Ejemplos:
1) En el triángulo de la figura, el valor del ángulo x es:
a) 19º b) 23º c) 29º d) 58º e) 116º
2) En el triángulo ABC de la figura es igual a: a) 20º
b) 25º c) 30º d) 35º e) 40º
Teorema Nº 2: En todo triángulo, la suma de los ángulos exteriores es igual a 360º
Ejemplo:
3) En el triángulo GHI de la figura, el valor de x es:
a) 45º b) 75º c) 135º d) 150º e) 210º
4) En el triángulo ABC de la figura, es: a) 58º
b) 122º c) 160º d) 180º e) 238º
Teorema Nº 3: En todo triángulo, la medida de cada ángulo exterior es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.
Ejemplos:
5) El valor de en el triángulo DEF de la figura, con , es
a) 30º b) 40º c) 50º
d) 60º
e) 70º
6) = 115° el ángulo x en el triángulo PQR mide:
Clasificación de los triángulos
a) Según sus lados:
Escaleno: tiene sus
tres lados de distinta medida
Isósceles: tiene sólo dos lados de igual medida
Equilátero: tiene sus lados de igual medida
b) Según sus ángulos:
Acutángulo: tiene sus ángulos agudos
Rectángulo: tiene un ángulo recto
Obtusángulo: tiene un ángulo obtuso.
Ejemplos:
7) ¿Cuál de las
siguientes opciones es siempre falsa? Un triángulo puede ser:
a) Isósceles y Rectángulo b) Isósceles y Obtusángulo c) Isósceles y Acutángulo d) Escaleno y Obtusángulo e) Equilátero y Obtusángulo
8) Los ángulos
interiores de un triángulo miden respectivamente , y . Luego el triángulo es:
a) Acutángulo y no Isósceles b) Escaleno rectángulo
c) Obtusángulo y no Isósceles d) Rectángulo e Isósceles e) Acutángulo e Isósceles
9) La clasificación del triángulo de la figura es: a) Escaleno y Acutángulo
b) Escaleno y Rectángulo c) Isósceles y Acutángulo d) Isósceles y Obtusángulo e) Isósceles y Rectángulo
Otros Teoremas referentes a un triángulo cualquiera
Teorema Nº 4: En todo triángulo, la medida de cada lado es menor que la suma de las medidas de los otros dos y mayor que la diferencia (positiva) de las medidas de los otros dos.
Teorema Nº 5: En todo triángulo, a mayor ángulo se opone mayor lado y viceversa. si y sólo si
Ejemplos:
10) De acuerdo al triángulo de la figura, ¿cuál de las siguientes desigualdades es siempre verdadera?
a) b) c) d) e)
11) En el triángulo ABC de la figura, el orden decreciente de las medidas de los lados es: a)
b)
c) d) e) Elementos Secundarios del Triángulo
Altura.
Es la perpendicular que va desde el vértice al lado opuesto o a su prolongación
H: Ortocentro ( punto de intersección de las alturas)
Ejemplos:
12) En el triángulo PQR, H es ortocentro ¿Cuál es la medida del ángulo x?
a) 15º b) 50º c) 55º
13) En el triángulo ABC, altura, y ∢ACD=5 ∢DAC. Luego ∢ DCB =
a) 5,5º
d) 70º
e) 75º
c) 45º
d) 67,5º
e) 75º
Bisectriz. Es el trazo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
∢ACE≅∢ECB
I: Incentro (punto de intersección de las bisectrices)
Observación: el punto de intersección de las bisectrices equidista de los lados del triángulo
Ejemplo:
14) En el ∆DEF de la figura, bisectriz del ángulo FDE. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
a) 35º b) 50º c) 60º d) 90º e) 95º
15) En el triángulo isósceles ABC de base de la figura, I es el incentro. Si ∢AIB=100°, ¿cuánto mide el ∢ACB?
a) 10° b) 20º c) 40º d) 50º
e)
80º16) ∆ABC es equilátero, y son bisectrices de los ángulos ABC y ADB respectivamente, luego ∢AED
a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 75º
Transversales de Gravedad. Es el trazo que une el vértice con el punto med
io del lado opuesto.
G: Centro de Gravedad (punto de intersección de las transversales de gravedad)
Propiedades
En todo triángulo rectángulo la transversal de gravedad correspondiente a la hipotenusa mide la mitad de ésta.
En todo triángulo, el centro de Gravedad divide a ésta en la razón 2:1
Al trazar las 3 transversales se forman 6 triángulos de igual área.
Eje
mplo:
17) En el ∆ABC de la figura, transversal de Gravedad. La medida del ángulo x es:
a) 15º b) 20º c) 25º d) 30º e) 35º
18) En el ∆OPQ rectángulo en Q de la figura, G es centro de Gravedad. La medida del ángulo x es:
Simetral. Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo.
O: Circuncentro (centro de intersección de las simetrales)
Propiedades. El punto de intersección de las simetrales equidista de los vértices del triángulo.
Ejemplos:
19) En el triángulo MNP de la figura, es simetral, . La medida del ∢x es:
a) 15º
b) 30º
c) 40º
d) 50º
e) 90º
20) O es el circuncentro del ∆ABC, según la figura. Si ∢0AB=20° y ∢C0B=80°. La medida del ∢x es:
a) 10º
b) 20º
c) 50º
d) 80º
e) Otro
valor
Mediana. Es el segmento de recta que une los puntos medios de los lados del triángulo
no existe punto de intersección de las medianas
Propiedades
i) En todo triángulo, cada mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de éste
y
ii) En todo triángulo al trazar las 3 medianas se forman 4 triángulos congruentes.
Ejemplos:
21) En el triángulo MNT de la figura, MP= 8 cm. QN= 12 cm. Y es mediana. Entonces
es: a) 2 cm. b) 4 cm. c) 6 cm. d) 8 cm. e) 10 cm.
22) En el triángulo PQR de la figura ∢PRQ=80° y es mediana. ¿Cuánto mide ∢ x?
a) 35º
b) 45º
c) 50º
d) 55º
e) 60º
Teoremas referentes a un triángulo Isósceles y/o Equilátero
Teorema 1: En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto
23) El triángulo DEF de la figura es isósceles de base . R es punto medio de y ∢DFE=50° ¿Cuánto mide el ángulo REF?
a) 25º
b) 30º
c) 40º
d) 50º
e) 80º
24) El triángulo ABC es isósceles de base , es transversal de gravedad y ∢ACD=20°. ¿Cuánto mide el ángulo ABC?
a) 20º b) 40º c) 70º d) 80º e) 90º
Teorema 2: En todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.
Ejercicios
25) En el triángulo ABC de la figura, es bisectriz del ∆ ABC. Si ∢ CAB = 70° y ∢ ACB = 50°, entonces ¿cuánto mide el ángulo x?
a) 30º b) 50º c) 60º d) 70º e) 100º
26) En el triángulo ABC rectángulo en C de la figura, transversal de Gravedad. Si ∢ CAD = 50°, entonces el ángulo DCB mide
a) 20º b) 25º c) 30º d) 40º e) 5º
27) Desde el vértice C del triángulo ABC de la figura se ha trazado la altura y la bisectriz del ángulo ACB. Entonces el ∢ DCE mide?
a) 25º b) 20º c) 15º d) 10º e) 5º
28) En el triángulo LMN de la figura, H es el ortocentro y ∢ LMN=66°. Luego, el ∢ LHN mide:
a) 94º b) 114º c) 118º d) 123º e) 124º
29) En el ∆ ABC, transversal gravedad y ∢CAD = ∢BAD. Entonces, la medida del ángulo ADB es:
a) 110º b) 100º c) 90º d) 80º e) 60º
30) En la figura ¿cuál es el valor de ?
(1) es bisectriz (2) D es punto medio
a) (1) por sí sola b) (2) por sí sola
c) Ambas juntas (1) y (2)
d) Cada una por sí sola, (1) ó (2) e) Se requiere información adicional
EJERCICIOS
31) En el triángulo ABC de la figura, es rectángulo en C, entonces el complemento del complemento de x es:
a) 22º
b) 36º
c) 44º
d) 46º
e) 134º
a) 63 b) 70º c) 117º d) 103º e) N. A.
33) En la figura, DAB = CBA. Entonces, el x es:
a) 80º
b) 100º
c) 110º
d) 120º
e) 140º
34) De acuerdo a la información suministrada en la figura, ¿cuál es el valor de x?
a) 110º b) 120º c) 150º d) 160º e) 170º
35) Si en la figura adjunta , x vale el 75% de y, entonces la razón x : y : z, es:
a) 11 : 4 : 3 b) 3 : 7 : 11 c) 4 : 3 : 11 d) 3 : 4 : 11
e) No se puede calcular
36) En la figura adjunta , se tiene que: y , entonces x – y =
a) 110° b) 120° c) 140 d) 150° e) 160°
37) En el triángulo ABC de la figura, y son bisectrices de los ángulos CAB y ACB respectivamente. Entonces, el ángulo x mide:
a) 146º b) 158º c) 168º d) 68º e) 36º
38) En la figura, se tiene que . Entonces, x es:
a) 85º b) 95º c) 100º d) 115º e) 125º
39) En la figura, el triángulo ABC es rectángulo en C. Si , entonces el ángulo mide:
a) 105º b) 15º c) 12.5º d) 10º e) 8º
40) Si en el triángulo ABC de la figura, y , entonces el ángulo x mide:
a) 130º b) 100º c) 80º d) 60º e) 50º
41) Si en la figura, PSR = 40°, entonces QPS + PQT + TRS =
